CC BY
31
Л. Л. Досколович. Н. Л. Казанский
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ФОКУСИРУЮЩИХ В ДВУМЕРНУЮ ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ОБЛАСТЬ
I. ВВЕДЕНИЕ
В лазерных фотопостроителях с прямоугольным растром необходим оптический элемент, позволяющий сфокусировать лазерное излучение в прямоугольник с размерами, близкими к дифракционному.
Геомегрооптический фокусатор в прямоугольник с постоянной интенсивностью, рассмотренный в [1], обеспечивает хорошее качество только при фокусировке в прямоугольник с размерами, существенно превышающими размеры дифракционного пятна.
Фокусаторы в прямоугольник, синтезированные по алгоритму Гершберга-Секстона, также не позволяют сфокусировать излучение в прямоугольник с размерами в несколько дифракционных пятен {2].
В работе [3] рассмотрены примеры оптических элементов, фокусирующих излучение в области дифракционных размеров, однако по приведенным в [3] численным результатам энергетическая эффективность фокусировки в прямоугольник с размерами, близкими к дифракционному разрешению, составляет всего несколько процентов.
В данной статье предлагается голографический оптический элемент, обеспечивающий фокусировку в прямоугольник с размерами в несколько дифракционных пятен с энергетической эффективностью порядка 30% и низким среднеквадратичным отклонением интенсивности от постоянной величины.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Лазерный пучок с комплексной амплитудой »0(и) = А0(и)ехр , где А0(1Г) - амплитуда освещающего
пучка, - фаза пучка падает на фазовый оптический элемент с квадратной апертурой С, со стороной 2Ь, распо-
ложенный в плоскости ? = (и,V) при г = 0 (рисунок), который преобразует падающее излучение в поле \у(1Г) = = \У0(и)ехр[^(и)], где - фазовая функция оптического элемента. Задача состоит в отыскании фазовой функции обеспечивающей в фокальной плоскости г = { формирование светового поля с интенсивностью 1(?)= ГМхКа,, |у|<»2 [ 0, иначе,
соответствующей равномерно засвеченному прямоугольнику размером 2а! х 2а2, где х = (х, у) - декартовы координаты в фокальной плоскости.
Пусть \У0(и) - факторизуемая функция; \*0(и) = w01(u)w02(v), то есть А0(и") = А0,(и)А02(у), ^(и) = *>0,(и) + + тогда фазовую функцию оптического элемента можно представить в виде:
1р(и,у) = ,р1(и) + чг2(у), (1)
где (и), с/>2(у) - фазовые функции цилиндрических (линейных) оптических элементов, преобразующих одномерные пучки с комплексными амплитудами ^*0](и) и в отрезки с постоянной интенсивностью с длинами 2а! и 2а2 соответственно.
Расчет фазовой функции (и) (у)] цилиндрического оптического элемента основан на алгоритме Гершбер-га-Секстона с использованием в качестве начального приближения геометрооптической фазовой функции ^,(и) фокусатора в отрезок и методе фазового кодирования амплитудных функций [4]. В параксиальном приближении (и) имеет вид:
+/(-!=/ А01(ч)«1тг)<1?-%(и)], (2)
( 2 «о л/Г "о где к = X - длина волны, Г - расстояние до плоскости фокусировки.
Использование в качестве начального приближения геометрооптической функции обеспечивает быст-
рую сходимость алгоритма. В рассмотренных в п. 3 примерах для сходимости алгоритма требовалось не более 10 иттераций.
С целью улучшения формы фокального распределения интенсивности, в полученном в результате алгоритма Гершберга-Секстона амплитудно-фазовом распределении на апертуре фокусатора *01(")= Ащ^ехрО^и))=
= АП1(и)7(и)ехр0^.(и)), где 7(11) = , амплитудная функция 7(и) не заменяется единицей, а кодируется фа-
01 1 М")
где а>—I
зовой функцией. Для фазового кодирования функции 7(и) был выбран метод Кирка-Джонса, согласно которому примет вид:
^,(и) = ехр[^,(и)+ ¡Со$(ви)я(и)], (3)
хг '
а ч(и) определяется из решения следующего уравнения: 'шах
где 10(х) - функция Бесселя нулевого порядка
Тшах = тах •
тах ие[Ь,Ь)
С учетом методики расчета, двумерный оптический элемент, синтезированный по вышеописанному алгоритму, может быть отнесен к классу топографических оптических элементов.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Для расчета рассмотренного топографического элемента (1), (3) и оценки поля в фокальной плоскости использовался интеграл Кирхгофа в приближении Френеля. Для характеристики качества фокального изображения используются следующие величины: значение энергетической эффективности -Ей среднеквадратичного отклонения-«.
х»2х
Величина Е =-— характеризует долю энергии пучка, попавшую в область фокусировки, где
Я10(и>12? в
Р = [-а1; а! ] х [-а2; а2] - область фокусировки, С = [-Ь; Ь] х [-Ь; Ь] - апертура фокусатора, 1{х') - интенсивность в фокальной плоскости, 10(и) - интенсивность освещающего пучка.
Величина 5 =4 М— Я 1К*) — I ] <3 х] — характеризует близость распределения интенсивности к посто-I 12 Р
янной величине, где!- —-— //¡(х)д2х - среднее значение интенсивности в области фокусировки. 4а,а, Р
Расчет производился для фокусаторов плоского пучка в квадрат (а, =а2) при следующих физических пара-
а,
метрах: Ь = 10 мм, X = 10,6 мкм, ( = 250 мм, а размер области фокусировки описывался величиной г) , характеризующей соотношение размера квадрата фокусировки с диаметром дифракционного пятна Д
о
В таблице приведены значения энергетической эффективности Е и среднеквадратичного отклонения б при фокусировке в квадрат для фокусатора 1 - фокусатора с геометрооптической фазовой функцией <р(и), для фокусатора 2 - фокусатора, полученного по алгоритму Гершберга-Секстона с начальным приближением ^(и) и для топографического элемента (1), (3) в зависимости от величины г?.
Данные таблицы показывают, что при фокусировке в квадрат с размером стороны 2а1 »т) топографический элемент по сравнению с конкурентами, обеспечивает лучшую равномерность распределения интенсивности, но обладает более низкой энергетической эффективностью. Однако при фокусировке в квадрат с размерами, близкими к дифракционному, фокусаторы 1, 2 не могут быть признаны работоспособными из-за высокого среднеквадратичного отклонения интенсивности от требуемого распределения.
V Фокусггор 1 Фокусатор 2 Гологржфический элемент
Е(%) 6 (%) Е(%) 6 <%) Е <%) « (%)
20 91,5 373 96,6 34,1 463 313
10 893 453 94,2 473 40,4 25,0
5 84,9 56,4 95,6 433 40,7 22,4
4 83,1 56,7 90,2 45 37,4 34,1
3 80,4 663 92,4 80 24,7 31,2
2 753 68,6 883 573 31,0 443
Среднеквадратичное отклонение для геометрооптического фокусатора 1 при фокусировке в квадрат с размером, меньшим чем 5 т?, составляет более 50%. Дифракционный фокусатор 2 также не позволяет получить достаточно равномерного распределения при фокусировке в квадрат с размером, меньшим чем 4т?. Топографический элемент обладает энергетической эффективностью порядка 30% и позволяет сфокусировать излучение в квадрат с размером всего в два дифракционных пятна. Прямоугольная область фокусировки также может быть получена с помощью голограммы с функцией пропускания
T(u,v) = Sinc(|aIu)Sinc(^a,v)exp[- *(u2 +v2)], (5)
где Sinc(x) = полученной как результат обратного пересчета поля из области фокусировки на апертуру. Ин-
тересно отметить, что топографический элемент при фокусировке в квадрат с длиной стороны 2aj < 5?j обеспечивает примерно такую же равномерность как и голограмма (5), но обладает существенно более высокой энергетической эффективностью. В частности, при 2at = 2т? среднеквадратичные отклонения для голограммы и топографического элемента примерно одинаковы - 43% и 44,3%, однако энергетическая эффективность голограммы всего 5,5%, а энергетическая эффективность топографического элемента - 31%.
Таким образом, топографический элемент является наиболее перспективным среди рассмотренных оптических элементов для случая фокусировки в прямоугольник с размерами порядка нескольких дифракционных пятен. Предложенный подход к синтезу топографического фокусатора в прямоугольник легко обобщается и может быть использован для расчета фокусаторов в произвольную фокальную область.
Литература
1 .ГолубМ. А., Досколович Л.Л., Казанский H.JI., Сисакян И.Н., СойферВ.А., Харитонов С. И. Вычислительный эксперимент с фокусатором гауссового пучка в прямоугольник с постоянной интенсивностью// Компьютерная оптика: Сб./МЦНТИ, М., 1990, вып. 7.
2. Воронцов М. А., Матвеев А. Н., Сивоконь В. П. К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении// Компьютерная оптика: Сб./МЦНТИ, М., 1987, вып. 1.
3.Котляр В. В. Метод дополнительного поля для синтеза фокусаторов// Компьютерная оптика: Сб./МЦНТИ, М., 1990, вып. 7.
4. Акаев A.A.. Майоров С. А. Когерентные оптические вычислительные машины//Машиностроение, 1977, с. 327—333.
