Исследование движения необрессоренных масс по пути со случайной геометрической неровностью рельса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.4

В. А. Нехаев, В. А. Николаев, А. Н. Смалев

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕОБРЕССОРЕННЫХ МАСС ПО ПУТИ СО СЛУЧАЙНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕРОВНОСТЬЮ РЕЛЬСА

В статье рассматривается движение необрессоренных масс экипажа сучетом кинематических свойств пути. Геометрическая неровность рельса принята в виде случайного процесса, спектральная плотность которого зависит от скорости движения. Проведена оценка статистических характеристик вертикальных колебаний колесной пары и сил, возникающих в зоне контакта колеса и рельса.

Уже многие годы для повышения адекватности математической модели динамики экипажа и получения более достоверных результатов в качестве возмущающего внешнего воздействия принимается случайный процесс [1]. Тем не менее и в настоящее время встречается достаточное количество работ, основанных на детерминированном характере протекания процессов. В связи с этим, как показывает практика, нередки случаи, когда результаты расчетов значительно расходятся с данными экспериментов. К тому же, и во многих задачах продольной динамики давление экипажа на путь учитывается как статическая величина, несмотря на то, что его динамическая составляющая весьма существенна.

Для такой колебательной системы, как движущийся железнодорожный экипаж, одним из параметров, описание которого желательно представлять в виде случайного процесса во времени, является геометрическая неровность поверхности катания рельса. Для ее описания предлагается большое количество спектральных плотностей, при этом наиболее простым будет представление неровностей рельса с законом распределения типа «белого» шума. Для моделирования реальных колебательных систем на «белый» шум накладываются некоторые ограничения.

Исследуем движение экипажа по случайной геометрической неровности. Рассмотрим его колебания в продольной вертикальной плоскости. В качестве математической модели возьмем механическую систему с так называемыми 1,5 степенями свободы. Половину степени свободы здесь образует способная колебаться листовая рессора, массой которой можно пренебречь. Эквивалентная расчетная схема такой системы представлена на рисунке 1. В данной схеме рассматривается необрессоренное движение колесной пары, поэтому надрессорные элементы экипажа обозначены как неподвижные (жестко закреплены). Это сделано на основании возможности разделения движения, т. е. рассмотрения движения колесной пары без учета динамики надрессорного строения экипажа [2].

Для выбранной системы составим систему дифференциальных уравнений малых колебаний для двух обобщенных координат: вертикальных колебаний края листовой рессоры и колесной пары. Решим поставленную задачу с помощью метода Лагранжа. Необходимо отыскать все виды механической энергии, присутствующие в системе, а также обобщенные силы для каждой из координат.

Сначала введем обозначения, которые потребуются в расчетах: д - вертикальные колебания края листовой рессоры; zк.п - вертикальные колебания колесной пары; zIi - вертикальные колебания пути; ц - случайная функция геометрической неровности рельса.

В качестве объекта исследования выберем локомотив ВЛ-10. Зададим необходимые для решения задачи параметры системы [3, 4] (в расчете на одну колесную пару): ткп = 0,662 -

Рисунок 1 - Расчетная схема

106 ИЗВЕСТИЯI Транссиба ^

2

масса необрессоренных частей экипажа, тс-с /м; тп = 0,05 - «приведенная» масса пути, тс-с /м; жпр = 1120 - жесткость пружин рессорного комплекта, тс/м; жлр = 244 - жесткость листовых рессор, тс/м; жп = 70000 - приведенная жесткость пути, тс/м; Жб = 200,4 - суммарная жесткость буксового рессорного комплекта, тс/м; рп = 23 - приведенный коэффициент вязкого трения в пути, тс-с/м; рлр = 87,7 - эквивалентный коэффициент вязкого трения в листовой рессоре, тс-с/м.

Кинетическую энергию экипажа и пути найдем по формулам:

1

тэ = ^ тк.п 4п; Т = — т 22.

П 2 п п

1

(1)

Применяя гипотезу безотрывного движения, получим следующие соотношения для координат и их скоростей:

2П = 2кП -л; К = 2КП -л,

(2)

тогда кинетическую энергию всей системы с учетом систем уравнений (1) и (2) определим так:

Т = — (т + т ) 2 - т 2 л + — т 112.

2 V КП П / КП П КП I 2 п1

(3)

Потенциальная энергия системы

П = — (ж + ж ) д2 + — (ж + ж ) г2 - ж дг - ж г л+ — ж Г|2

2 \ пр л.р у 1 2 к л к п к 2 п

Диссипативная функция системы имеет вид:

Ф = — Р л.ра2 + 2 (Рл.р +Рп ) ^.п "Р л.рд2к, -Рп4, 11 + 2 Рп 112. Запишем для системы уравнение Лагранжа 2-го рода в общем виде:

(4)

(5)

а Ж

ГдТЛ

За^

у

дТ дФ дП ^^

= ^ Ег; а—= а, а2 = 2К.П.

дд1 д<с1 дд^ г

(6)

Найдем все слагаемые уравнения по каждой координате и, подставив их в исходное уравнение, получим систему уравнений динамики системы:

Рл.рд - Рл.р2к.п+(жпР + жл.р) а - жл.р2к.п =0;

(т,п + тп ) 2,п + (Рл.р +Рп ) 2,п - Рл.рд + (жл.р + Жп ) 2,п - Жл.рС = тп^1 + Рп 11 + ЖпЛ.

(7)

Для нахождения статистических показателей колебательных процессов можно воспользоваться методом Винера-Хинчина [5]. Для того чтобы его применить, необходимо найти передаточные функции для координат системы по возмущению. Определим их, преобразовав систему дифференциальных уравнений (7) по Лапласу при нулевых начальных условиях:

ИЗВЕСТИЯ Транссиба

107

Рл.р *) - Рл, ) + (жпр + жлр) 0 (5) - жлр 2кп (5) = 0; ( тк.п + тп) 5 2 2 кп (5) + (рлр +рп) 52кп (5) -р лр 50( 5) +

+ (Жл р + Жп ) (5) - ж л_р0(5) = Шп52Н(5) + Рп5Н(5) + ЖпН(5).

Перейдя в системе (8) по свойству преобразования Лапласа о производной изображения к ускорениям обобщенных координат и возмущения, а затем выражая поочередно в первом уравнении для изображений одну координату через другую и подставляя полученное значение во второе, можно перейти к отношениям, характеризующим искомые передаточные функции:

(9)

ж, (5) = т = ^;

" Н (5) Л(Б )

Ж (5) = ^ = ^,

^ ' Н( 5) Л( 5)

где Бг (5) = Ь053 + 2 + Ь25 + Ь3; Бч (5) = Ь053 + Ь*52 + Ь*5 + Ь3*; Л(5) = а053 + а1Б2 + а25 + а3;

0(5), 2(5) и Н(5) - изображения по Лапласу ускорений вертикальных колебаний колесной пары и случайных геометрических неровностей рельса соответственно.

В числителе и знаменателе каждой дроби в системе (9) присутствуют полиномы 3-й степени. Коэффициенты полиномов вычисляются через известные физические параметры системы и определяются следующими выражениями:

ао = ( т,п+т )Р,Р;

а1 = РпРл.р + (тк.п + тп ) (Жпр + Жл.р ) ;

а2 = Рл.р (Жпр + Жп ) + Рп (Жпр + Жл.р ) ;

а3 = Жл.рЖпр + Жп (Жпр + Жл.р ) ;

Ь0 = тпР л.р

Ь1 =Рл.рРп + тп (Жпр + Жл.р ); Ь* = Рл.РРп + тпжл.Р;

Ь2 =Рл.рЖп +Рп (Жпр + Жл.р );

Ь2 =Рл.рЖп +РпЖл.р;

Ь3 = Жп (Жпр + Жл.р );

(10)

Ь = ж ж .

3 п л.р

Очевидно, что передаточные функции для , и zк.п отличаются лишь тремя коэффициентами, которые при этом являются попарно достаточно близкими по значению. Далее все расчеты достаточно провести только для одной из обобщенных координат, например, для координаты zк.п, а для второй результат получится простой заменой соответствующих коэффици-ентов.

Рассчитаем аналитически среднеквадратическое отклонение ускорения подпрыгивания колесной пары. Пользуясь известной формулой Винера-Хинчина, определим спектральную плотность ускорения обобщенной координаты zк.п:

^ (Ю) = Ж (м Я, (ш).

(11)

Средняя величина обобщенной координаты Zк.п равна нулю, следовательно, среднеквадратическое отклонение для подпрыгивания груза

а2 = | 8(ю)С ю

(12)

108 ИЗВЕСТИЯI Транссиба м;021(02*

Свойства поверхности катания рельса в формуле (11) характеризуются спектральной плотностью ускорения геометрической неровности рельса, которую примем согласно [6] независимой от частоты и в виде функции скорости экипажа, приведенной на рисунке 2:

5, (ю) = 1,24-10 "6 V3 = 50У3 = ^(У).

(13)

Теперь найдем частотную передаточную функцию системы и преобразуем ее к виду, удобному для вычисления приведенного в формуле (12) интеграла [5].

Частотная передаточная функция системы, присутствующая в формуле (11), определяется выражением:

К (ую) =

Ьо (у®)3 + Ь(у ю)2 + Ь2 (у ю) + Ьз _ Ьз - ЬУ + у (^ю- Ьо)

а0(ую) + ах(ую) + а2(ую) + а3 (а3 -а1ю ) + у(а2ю-аою ) квадрат ее модуля после преобразований

(14)

К. (уш)|2 = -*( у'ю)6+Ь

2Ьо^Хую)4 + (2ЪЪ - Ь22)(ую)2 + Ь2(уш)° А( ую) А(-ую)

(15)

Исследуем ЛАЧХ рассматриваемой механической системы для обеих координат, которая приведена на рисунке 3. Здесь отражены два случая: с учетом и без учета в расчетах «приведенной» массы пути. На представленных графиках видно, что расхождение свойств системы для разных координат наблюдается только при очень малых частотах (утолщенные линии: для ,(£) - 1 и для - 2). Одновременно с этим значительное расхождение точной характеристики (в случае учета массы пути - тонкие линии 3) и приближенной (в случае пренебрежения ею) наблюдается при частотах, многократно превышающих резонансную, что справедливо для обеих координат. В области резонанса расхождение точной и приближенной кривой является незначительным и заключается в небольшом уменьшении резонансной частоты и сглаживании пика характеристики (при точном расчете).

J к аз 20 15 10 5

Спектральная плотность, мм2с-3

0

40 80 120 Скорость экипажа, км/ч -

160

200

Рисунок 2 - Зависимость спектральной плотности ускорения неровности рельса от скорости движения экипажа

Далее обозначим:

К (ую)| =

Вб( ую)

ВД®)

А3( у'ю) А3( - у'ю) А6( у'ю)

Тогда вместо формулы (12) с учетом выражения (11) получим:

= | К (у®)|2 (ю) аю = I 5о(У) ¿ю = 5о(У) | а ю

А6( ую) А6( ую)

(16)

(17)

ИЗВЕСТИЯ Транссиба 109

Очевидно, что полиномы числителя и знаменателя дробно-рациональной функции подынтегрального выражения имеют одинаковый порядок и следовательно, интеграл не будет сходиться. Однако предположим, что «приведенной» массой пути тп можно пренебречь по сравнению с массой необрессоренной части экипажа. Тогда в частотной передаточной функции коэффициент Ь0 при старшей степени полинома числителя станет равным нулю, и степень полинома понизится на 2, в этом случае условие сходимости интеграла уже будет выполняться.

В формуле (15) для квадрата модуля передаточной функции обозначим: с1 = Ь12; с2 = 2Ь1Ь3 - Ь2; с3 = Ь32; для координаты д отличными будут только два последних коэффициента: с2* = 2Ь1Ь3* Ь2*) ; с3* = (Ь3*) .

Вычислим интеграл от дробно-рациональной функции аналитически [5], выразив его через параметры системы:

а*азс1 + ао (а1сз _ &зс2) /1 оч

~ 1а а (а а - а а ) '

Тогда для рассматриваемой схемы среднеквадратическое отклонение подпрыгивания колесной пары при движении по упругому рельсовому пути

I I ^л ^л С I ^^А 1 Со ^л СГ\ I

а, =42пБо(У) 1з = 2 А(У) 23 1 ,^ 1 3 \2' . (19)

V 2а0а3 ^а1а2 - а0а3)

Аналогично рассчитывается среднеквадратическое отклонение для колебания края листовой рессоры:

ад =

(* * \ ^л ^л с г\ 1

2^(У ) 2аа (аа _аа ) . (20)

Вследствие близости значений соответствующих коэффициентов передаточных функций для д и гк п статистические характеристики колебательных процессов для данных координат примерно одинаковы, поэтому в дальнейшем будем приводить результаты только для колебаний колесной пары.

Интегрируя спектральную плотность ускорения случайного процесса колебаний гк.п, вычисленную по формуле (11) (на рисунке 4 она приведена для скорости 80, 120 и 160 км/ч), получим его среднеквадратическое отклонение. Отметим, что аналитически данную величину можно получить только по приближенной передаточной функции, если пренебречь массой пути. Численное интегрирование спектральной плотности, полученной по приближенной характеристике (утолщенные линии на рисунке 4), дает такой же результат, но все же он также является приблизительным. А вот интегрирование точной спектральной плотности, которая с увеличением частоты не сходится к нулю, вообще говоря, дает в результате беско-нечность. Поэтому интегрировать в этом случае целесообразно в ограниченном диапазоне частот, в связи с чем верхний предел интегрирования ограничивают, как правило, величиной в несколько десятков резонансной частоты. Зависимость среднеквадратического отклонения ускорения колебаний колесной пары от скорости движения экипажа приведена на рисунке 5.

к; г^

Й 2 и

£

сЗ н & о

Ь м

10

9 8 7 6 5 4 3 2 1

г •

Д;

': ■.:

• I

71 1 '

/ / 1 1 •

.. д. ^ ЙГ^* V.

120

80 км/ч

240 360 Частота, с"1 —

480 —►

600

10

9 8 7 6

3 0

га н

¡2 л3

3 ь

га о о

& о

* ¡5 1

2 о 1 О

1! 1'.

1! 1'

11 1'

1

1

ц

1

1 \

к 4

\ Ч N. у — ТУТ — -- --- --

500

2000 ]3500 Частота, с"1-

5000

120 км/ч

160 км/ч

80 км/ч

120 км/ч б

160 км/ч

0 40 80 120 Скорость экипажа, км/ч

200

Рисунок 4 - Спектральная плотность ускорения вертикальных колебаний колесной пары: а - область резонанса, б — область высоких частот

Далее найдем зависимость от скорости движения экипажа для СКО скорости и самой координаты подпрыгивания. Для этого в интеграл подставим соответствующие спектральные плотности, которые получим путем интегрирования спектральной плотности ускорения:

Б. (ш) = ^ (ш), ^ (ш) = ^ ^ (ш); (21 а, б) ю ю

Б, (ш) = —у Б, (ш), Б, (ш) = —-4- (ш). (22 а, б) ю ю

Следует отметить, что нет возможности получить точное значение среднеквадратического отклонения скоростей и координат колебаний, поскольку при интегрировании в знаменателе спектральных плотностей появляется соответственно один или два нулевых корня, что не позволит вычислить интеграл (12) аналитически. Следовательно, найти данные значения и их зависимость от скорости движения экипажа можно только с помощью численного интегрирования.

Кроме того, численным методом следует находить СКО ускорения колебаний для случая, когда «приведенная» масса пути учитывается в расчетах (это относится ко всем случаям, где невозможен аналитический подход). Обратим внимание и на то, что в случае пренебрежения массой пути точный аналитический расчет и интегрирование в адекватном для вычислительной техники диапазоне частот дают приблизительно одинаковый результат.

Зависимость спектральной плотности колебаний колесной пары от частоты возмущения приведена на рисунке 6 для скорости движения экипажа 80, 120 и 160 км/ч (слева направо), график зависимости ее среднеквадратического отклонения от скорости движения экипажа -на рисунке 7.

Для сравнения найдем и СКО самой геометрической неровности рельса (как видно из графика, приведенного пунктирной линией на рисунке 7, оно должно быть одного порядка с СКО колебаний элементов экипажа):

(ю) = Л ^ (©); (23)

Рисунок 5 - Зависимость среднеквадратического отклонения ускорения колебаний колесной пары от скорости движения экипажа

Ю

[ИЗВЕСТИЯ Транссиба

111

0,8 0,7

0,6 § °'5

<и

^ 0,4 § ^

3 я

Й <^0,2 ^ ЙЙ

Й I

О О

/

/ /

у /

/,

/.

Рисунок 6 - Зависимость спектральной плотности колебаний колесной пары от частоты возмущения

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Скорость экипажа, км/ч-►

-для колесной пары •......для неровности рельса

Рисунок 7 - Зависимость среднеквадратического отклонения колебаний колесной пары и неровности рельса от скорости движения экипажа

В заключение вычислим среднеквадратическое отклонение сил, возникающих в рассматриваемой системе. В качестве примера найдем статистические характеристики реакции рельса, так как эта сила является важной при решении задач динамики экипажа, связанных, в частности, с безопасностью движения. Сначала найдем ее спектральную плотность по формуле:

(ш) = (уш)!2 ^ (и).

(25)

Передаточная функция для реакции рельса по неровности рельсового пути определяется соотношением:

(5) = 1Г7£Т = (т., *2 + Р л.р * + жл.р) W (*) - (Р л.р * + жл„ )Жд (5).

Н (*)

(26)

Далее, определив модуль этой передаточной функции, подставим его в формулу для спектральной плотности реакции (21), а затем проинтегрируем ее согласно формуле (22). В результате вычислим среднеквадратическое отклонение реакции рельса:

а2ы = | ^ (ю) d ю.

(27)

График зависимости среднеквадратического отклонения реакции рельсового пути от скорости движения экипажа приведен на рисунке 8.

25

ей

а

«

ей

и «

К

«

&

О

20

<и

К §5

/

/

/

0

160

200

40 80 120 Скорость экипажа, км/ч-►

Рисунок 8 - Зависимость среднеквадратического отклонения реакции рельсового пути

от скорости движения экипажа

112 ИЗВЕСТИЯ Транссиба

Представленные данные свидетельствуют о том, что при существующих средних скоростях обращения подвижного состава динамическая добавка реакции пути составляет от 4 до 12,5 тс (около 20 - 50 % от статической величины).

Список литературы

1. Камаев, В. А. Оптимизация параметров ходовых частей железнодорожного подвижного состава [Текст] / В. А. Камаев. - М.: Машиностроение, 1980. - 215 с.

2. Галиев, И. И. Метод разделения движения в задачах транспортной механики [Текст] / И. И. Галиев, В. А. Нехаев, В. В. Марковиченко // Исследование динамики транспортных и строительных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / МИИТ. - М., 1989. - Вып. 817. - С. 4 - 10.

3. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов [Текст] / Под ред. Ф. М. Дементберга и К. С. Колесникова. - М.: Машиностроение, 1980. - 544 с.

4. Механическая часть тягового подвижного состава [Текст] / Под ред. И. В. Бирюкова. -М.: Транспорт, 1992. - 440 с.

5. Лившиц, Н. А. Вероятностный анализ систем автоматического управления: В 2 т. Т. 1. Вероятностные и статистические характеристики воздействий и процессов. Линейные стационарные и нестационарные системы [Текст] / Н. А. Лившиц, В. Н. Пугачев. - М.: Советское радио, 1963. - 896 с.

6. Ушкалов, В. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей [Текст] / В. Ф. Ушка-лов, Л. М. Резников, С. Ф. Редько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 360 с.

УДК 629.4.083: 65.011.4

В. А. Смирнов, В. Ф. Кузнецов, А. М. Семенов АУТСОРСИНГ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

В статье рассматриваются вопросы повышения эффективности диагностирования подвижного состава железнодорожного транспорта путем передачи данного вида деятельности сторонним специализированным организациям на условиях аутсорсинга. Предложена методика оценки стоимости аутсорсинговых услуг на основе разработанной модели краткосрочного страхования рисков отрицательных последствий результатов диагностирования.

На сети железных дорог РФ ежегодно происходит более 5,5 тысячи случаев нарушения безопасности движения - браков в работе по вине отказов подвижного состава. Из них около 700 случаев - браки особого учета, связанные с авариями, сходами, столкновениями и крушениями.

Наибольшую долю отказов формируют технические неисправности. По грузовым и пассажирским вагонам: неисправности роликовых букс - 60 % в грузовом движении и 25 % - в пассажирском, тормозного оборудования - 21 %, привода генератора - 14 % (пассажирское движение), автосцепок - 7,5 % (рисунок 1).

Для электровозов наибольшее количество порч и неисправностей зафиксировано по электрическим цепям и аппаратуре (около 60 %), тяговым двигателям (более 15 %), автотормозному оборудованию (4,1 %), колесным парам и буксовым узлам (до 10 %).

Наибольший вес по тепловозному парку имеют неисправности дизеля с системой охлаж-дения (кривошипно-шатунный механизм и цилиндропоршневая группа, топливная аппаратура, система охлаждения, турбокомпрессор), доля которых составляет более 40 % от общего числа. На втором месте электрооборудование - 25 % всех случаев. Устойчиво высокую долю неисправностей имеют неисправности буксовых узлов (7,8 %).

м;021(02) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 113