CC BY
22
УДК 629.423
А. Н. Смалев
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ ЭКИПАЖА
В статье приведены некоторые математические модели вертикальной динамика экипажа различной степени сложности и проведено сравнение результатов расчетов по каждого из них. Сделан вывод о необходимости уточнения модели только в той мере, которая требуется для анализа динамических характеристик конкретного элемента экипажа.
Уточнение математических моделей и детализация процессов, протекающих в системе, являются достаточно трудоемкими задачами, требующими значительных затрат как на постановку задач и их формализацию, так и на вычислительные процессы, связанные непосредственно с их решением. Причем в этом случае должны получаться более точные, достоверные, адекватные результаты, поскольку учитываются также и второстепенные факторы, которые способны влиять на них. Хотя это влияние зачастую и незначительно, важно определить, насколько существенно изменятся результаты вычислений, и оценить соотношение между дополнительными затратами и повышением точности моделирования. При этом нельзя не отметить тот факт, что дополнительным препятствием для достижения целей усложнения модели может стать возрастание погрешности расчетов с помощью численных алгоритмов на вычислительных машинах.
Рассмотрим различия полученных результатов на примере трех математических моделей вертикальной динамики экипажа. Расположим их в порядке уточнения описания колебательных процессов: модель динамики необрессоренных масс, приведенных к колесной паре, линейчатая одноосная модель вертикальных колебаний экипажа и плоская модель динамики экипажа в продольной плоскости. Расчетные схемы указанных моделей приведены на рисунке 1. Первая из них, являющаяся наиболее простой, включает в
Рисунок 1 - Расчетная схема: а - модель динамики необрессоренных масс; б - линейчатая одноосная модель; в - плоская модель динамики экипажа
себя всего две степени свободы механической системы «колесо - путь» и позволяет оценить характеристики вертикальных колебаний колесной пары и листовой рессоры, а также, например, давления колесной пары на рельс. Вторая степень свободы появляется за счет того, что листовая рессора (или какая-то ее часть, равно как и закрепленные на ней буксовые пружины, также обладающие некоторой массой) способна совершать колебания независимо от колесной пары или рамы тележки. В частности, в этой модели рассматриваются только элементы необрессоренной части экипажа, остальные на основании известного принципа разделения движения обозначены неподвижными [1]. Вычисления проводятся относительно одной произвольно выбранной колесной пары экипажа, поэтому параметры пути и экипажа приведены в расчете на одну колесную пару.
Линейчатая одноосная модель напоминает модель динамики необрессоренных масс с тем различием, что вводятся еще две степени свободы. Следовательно, она позволяет определить характеристики вертикальных колебаний дополнительно для тележки и кузова локомотива. Особенность такой модели заключается в том, что все параметры экипажной части, а также пути приведены к одной оси колесной пары, это отражено в расчетной схеме (рисунок 1, б), где перед параметрами стоит коэффициент 2 или 4 в зависимости от числа элементов в секции локомотива или соответствующих параметров пути. Фактически это является частным случаем плоской модели, если учитывать воздействие пути как сосредоточенное или, другими словами, оказывающее одинаковое влияние на все колесные пары в определенный момент времени. В общем же случае плоская модель динамики экипажа (рисунок 1, в) учитывает временную задержку воздействия одной и той же точки пути на разные колесные пары, определяемую расстоянием между колесными парами и скоростью движения экипажа. Здесь все параметры задаются как распределенные, поэтому перед ними отсутствуют какие-либо коэффициенты. Приведенная плоская модель с четырнадцатью степенями свободы позволяет помимо линейных вертикальных перемещений и возникающих в системе усилий отдельно для каждого элемента экипажной части оценить также и угловые перемещения тележек и ку-
В любой из принятых расчетных схем движение экипажа происходит по упругому пути с некоторой массой и диссипативными свойствами. Кроме этого продольный профиль рельса принимается неидеальным, его поверхность катания характеризуется некоторой геометрической неровностью, описываемой случайной функцией. Ее свойства зададим в виде спектральной плотности ускорения, независимой от частоты и являющейся функцией скорости экипажа [2]:
= 1,24-10 -*К3=Я0(К). (1)
Теперь обозначим все обобщенные координаты, используемые в каждой из математических моделей системы: гк - вертикальное перемещение кузова; гт - вертикальное перемещение тележки; д - вертикальное перемещение листовой рессоры; гкп - вертикальное перемещение колесной пары; ги - вертикальное перемещение пути; г| - случайная функция геометрической неровности рельса. Приведенные координаты характерны для первых двух расчетных схем, кроме перемещений тележки и кузова, которые отсутствуют в модели динамики необрессоренных масс. В плоской модели наблюдаются существенные различия: помимо уже введенной координаты перемещения кузова гк обозначены также для каждого элемента экипажа следующие: ф - угловое перемещение кузова; щ и - соответственно угловое и вертикальное перемещение к-й по ходу движения экипажа тележки; и д, - вертикальные перемещения /-й по ходу движения экипажа колесной пары и расположенных на ней листовых рессор соответственно; г|, - случайная функция геометрической неровности рельса, воздействующей на /-ю колесную пару; £=1,2;/=1-4.
Помимо переменных величин, характеризующих различного рода перемещения в системе, зададим параметры экипажной части (на примере электровоза ВЛ10 [3], конструкция которого предусматривает наличие листовых рессор для гашения колебаний в буксовой ступе-
о
ни рессорного подвешивания) и пути: тк = 4,83 - масса кузова, тс-с /м; тТ = 1,03 - масса об-рессоренных частей тележки, тс-с /м; тщ = 0,012 - некоторая средняя масса буксового рессорного комплекта, соответствующая обобщенной координате д, тс-с2/м; т^ = 0,662 - масса
2 2 необрессоренных частей экипажа, тс-с /м; ти = 0,05 - «приведенная» масса пути, тс-с /м; жт =
= 200,4 - жесткость центральной ступени подвешивания, тс/м; жпр = 1120 - жесткость пружин буксового рессорного комплекта, тс/м; жлр = 244 - жесткость листовых рессор, тс/м; жп= = 70000 - приведенная жесткость пути, тс/м; (Зт = 36,63 - коэффициент вязкого трения в центральной ступени подвешивания, взятый равным 0,2 доли от критического [4], тс-с/м; (Злр = = 87,7 - эквивалентный коэффициент вязкого трения в листовой рессоре, тс-с/м, рассчитанный по методике М. И. Батя [5]; (Зп = 23 — приведенный коэффициент вязкого трения в пути,
о
тс-с/м. Моменты инерции при вращении относительно центра масс: кузова - </к = 90 тс-м-с , тележки - Л = 1,62 тс-м-с2. Геометрические параметры экипажа: 21 = 1 - база кузова, м; 2Ъ = = 3 - база тележки, м.
Составим уравнения вертикальной динамики экипажа при движении по упругому пути с геометрической неровностью рельса по каждой расчетной схеме. При этом в каждом случае исключим лишние координаты, соответствующие перемещению пути, на основании гипотезы о безотрывном движении колеса по рельсу (для плоской модели - все переменные с индексом /):
(2)
Геометрическая неровность представляет собой кинематическое возмущение и будет находиться в правой части дифференциального уравнения для соответствующей колесной пары, следовательно, она также не является обобщенной координатой. Кроме того, не будет проводиться оценка статистических характеристик угловых перемещений кузова и тележек, хотя в решении плоской модели эти обобщенные координаты, безусловно, присутствуют.
Составим необходимые уравнения с применением уравнения Лагранжа второго рода. Для модели движения по пути необрессоренных масс задача решена, например, в работе [5], и получены следующие результаты:
+ М + (жпр + жлР) Я ~ Рлр^кп - жлРгкп =
(3)
Кп + ти ) ¿'кп + (Рлр + Рп )¿кп + (Жлр + Жп )- М - ■Ж лр4 = тЛ + РпЛ + ЖпЛ-
Аналогично составим системы дифференциальных уравнений и по остальным расчетным схемам. Для линейчатой модели с четырьмя степенями свободы система уравнений динамики будет иметь вид:
'^А + РА + жт^к - РА - жт^т = 0;
шд + РА + (жт+жпР А - РА - жт^к - жпР4 = 0;
< ™лрд + Рлр</ + (жпр + жлр - [3Л1А - жлр7кп - жпр7т = 0; (4)
(^кп + ти ) ¿кп + (Рлр + Рп )¿ш + (Жлр + Жп ) ^кп - Рлр4 - Жлр4 = Л + (3ПЛ + ЖПГ|.
Для рассматриваемой плоской модели динамики экипажа с четырнадцатью степенями свободы получена следующая система уравнений:
+ 2РЛ + 2жтгк - (Зтгт1 - жтгт1 - (Зтгт2 - жтгт2 = 0;
ЛФ + 2/2РтФ + 2/2жтф + / (Зтгт1 + / жтгт1 - / (Зтгт2 - / жтгт2 = 0;
1ИД* + (ЗЛ, + (жт + 2жпр Хк - рт4 - жтгк + (-1)*+7 (Зтф + (-1)А+7 Жтф - жард2кА - жард2к = 0;
< ЛФа- + 2^жпРФа- + Ъ жард2Ы - Ъ жард2к = 0; (5)
+ РлД- + (жпр + жлр)^ -Р„Д -ж |рг, -жпрг, + (-1 )'+1 Ьж||р(р, = 0;
Кп + (РлР + Р„)*/ +(жлР +жпЬ = +РЛ + жплг-
В системе (5) два первых уравнения относятся соответственно к линейным и угловым перемещениям кузова. Следующие две строки для линейных и угловых перемещений включают в себя по два уравнения каждая для первой и второй тележки по ходу движения экипажа, обозначенных индексом к. Пятая строка, описывающая колебания листовых рессор, содержит четыре уравнения для каждой из обобщенных координат при этом индекс к, соответствующий определенной координате тележки, можно определить с помощью выражения к = (2/ + 1- (-1)')/4. Последняя строка системы уравнений (5) соответствует колебаниям четырех колесных пар, в них входит возмущающее воздействие со стороны пути. В этом случае при движении экипажа с некоторой скоростью будет наблюдаться запаздывание воздействия на каждую следующую по ходу колесную пару, т. е.
л,(0 = л('-*Д (6)
время запаздывания для каждой колесной пары вычисляется по формулам: т1 = 0; т2 = 2Ъ /и; т3 = 21 / и; т3 = 2(Ь + /) / и, где и - скорость движения экипажа.
Поскольку в механической системе «экипаж - путь», представленной любой из моделей независимо от степени уточнения, возникают малые колебания с нулевым математическим ожиданием, то оценить колебательные процессы можно с помощью метода Винера - Хинчина [6]. В этом случае в качестве статистической характеристики случайных колебаний примем среднеквадратическое отклонение вертикального ускорения элемента системы, которое вычислим по формуле:
со
а? = (7)
—со
Спектральная плотность произвольной обобщенной координаты системы (со) связана с аналогичной характеристикой случайного воздействия пути формулой:
адЧ^дНЧ^ (8)
I |2
где р^С/ю) - квадрат модуля частотной передаточной функции системы (амплитудной частотной характеристики), определяющей свойства системы для выбранной обобщенной координаты х; (со) - спектральная плотность возмущающего воздействия геометрической неровности пути, заданная формулой (1).
Квадрат модуля передаточной функции соответствующей обобщенной координаты по неровности рельса найдем из системы дифференциальных уравнений. Для этого преобразуем все уравнения выбранной в зависимости от рассматриваемой модели системы по Лапласу при нулевых начальных условиях, а затем выразим наиболее удобным способом необходимое отношение изображений обобщенной координаты и неровности рельса, получив тем самым передаточную функцию в виде отношения двух полиномов комплексного переменного
Wx(s) =
X(s) B(s)
(9)
H(s) A(s)
где и H(5) - изображения по Лапласу некоторой обобщенной координаты и случайных геометрических неровностей рельса соответственно.
Далее, подставляя s = jюв выражение (9), перейдем к комплексной функции амплитудно-фазовой частотной характеристики системы, квадрат модуля которой и необходимо было отыскать. Для вычисления несобственного интеграла в формуле (7) можно воспользоваться методом, сводящимся к решению системы линейных алгебраических уравнений [7].
Следует наглядно продемонстрировать, каким образом усложняются вычисления при уточнении модели. Во-первых, отметим, что порядок передаточной функции напрямую связан с количеством степеней свободы системы и на каждую из них приходится полином второй степени в виде сомножителя в знаменателе. Таким образом, если для модели динамики необресоренных масс максимальный порядок передаточной функции равен четырем, то для плоской модели - уже двадцати восьми. Соответственно для самой простой из моделей приведем все коэффициенты полинома знаменателя, располагая их от старшей (четвертой) степени к младшей (нулевой):
ах = (mav + тка + ти) (Злр + /галр(Зп;
а2 = РпРлр + ™лр (ж лр + Жп ) + + ти ) (Жпр + Жлр ) ; ( 1 °)
= Рлр(Жпр+Жп) + Рп (Жпр+Жлр);
п(Жпр+Жлр)-
а
а4=Жщ,ЖиР+Жп\ЖиР+Жщ,
=
(11)
тщ> +
Для линейчатой одноосной модели приведем только три коэффициента (при наибольших степенях - от восьмой до шестой):
а=т т т (т +т
О ктлрукп п /'
((Рлр + Рп ) + Рт Ко + )) + Рт^т Кп + ти )] + "У^Рлр (^кп + ^п ) ; ((ЖЛр + Жп Нр + РлрРп + + ) (^кп + >% )) +((Р ,р +Р„)Р| + (Жт + Жпр)К,+"0) + РтРлр ('+ти )] ^к + [((Р,р + Рп ) Рт + Жт (^кп + тп )) ™лр + РтРлр {ткп+тп )]
Очевидно, что формулы стали более громоздкими, при этом наибольшее число слагаемых будет, вообще говоря, в середине полинома в коэффициенте при четвертой степени. Что касается плоской модели, самой сложной из рассмотренных, то в этом случае приводить коэффициенты совершенно нецелесообразно. Достаточно только указать, что при старшей степени коэффициент состоит из четырнадцати сомножителей, каждый из которых является инерционным параметром (массой или моментом инерции) при второй производной координат во всех уравнениях, так же как и при младшей, где в качестве сомножителей используются параметры жесткости связей при нулевом порядке производной (самой координате). Остальные коэффициенты включают в себя весьма значительное количество слагаемых.
Итак, для вычисления среднеквадратического отклонения величины необходимо согласно выражению (7) рассчитать ее спектральную плотность. Таким образом, вычислим спектральные плотности для всех обобщенных координат по формуле (8). Поскольку спектральная плотность геометрической неровности зависит, учитывая (1), от скорости движения экипажа, то и для любой обобщенной координаты сохраняется эта зависимость, поэтому для каждого случая зададим скорость 120 км/ч. Отметим также, что в плоской модели АЧХ,
квадрат модуля которой присутствует в выражении (8), вследствие учета в (6) запаздывания воздействия пути на каждую колесную пару тоже зависит от скорости движения экипажа.
20
16
'<-■ 12
„
е й
' ■ и
В :: 4
Н | .
и В
• •
*
•
г-
I
/Л
4 • £ «. .1
___
20
40
Частота, с"1
60
100
Кузов
Тележка
Линейчатая модель Плоская модель
1-я 2-я ---
16
12
к 4
н О
.
_ — * * J■
> 1 ■ щ -У
20
Модель динамики необрессоренных масс Линейчатая модель Плоская модель
40 60 80
Частота, с"1 -§Й
Листовые рессоры Колесные пары
100
1-я - 3-я
2- я---4-я
1-я
2-я
3-я ■ ■ ■ ■
4-я • • • •
Все расчеты, касающиеся данной характеристики, представлены на рисунке 2 в виде зависимости от частоты. Спектральные плотности ускорений кузова и тележек рассчитаны с использованием плоской и линейчатой одноосной моделей (рисунок 2, а). Для листовых рессор и колесных пар графики отражены отдельно для высокочастотного и низкочастотного диапазонов, поскольку в каждом из них свойства существенно отличаются. Для высокочастотного диапазона (рисунок 2, б) приведена только спектральная плотность ускорения листовых рессор, так как она почти совпадает с данной зависимостью для колесных пар. Кроме того, помимо расчетов по модели динамики необрессоренных масс приведены аналогичные результаты, полученные только по линейчатой модели (они близки к результатам, вычисленным по плоской модели). Главная особенность на высоких частотах заключается в расхождении точной (с учетом малых масс листовых рессор и пути) и приближенной характеристик для всех моделей динамики экипажа.
В низкочастотной области (рисунок 2, в), наоборот, характеристики не зависят от учета малых масс или от пренебрежения ими. Напротив, все различия, которые для колесных пар выражены, очевидно, в меньшей степени, связаны в основном с выбором математической модели. Следует отметить, что для плоской модели зависимость полученных спектральных плотностей от частоты для всех обобщенных координат на малых частотах носит ярко выраженный колебательный характер, что связано с влиянием запаздывания внешнего воздействия со стороны пути. Стоит отметить, что все указанные различия для каждой из рассмотренных моделей, как будет показано далее, почти не влияют на конечный результат.
Рисунок 2 - Спектральные плотности ускорений вертикальных колебаний элементов экипажа: а - кузова и тележек; б - листовых рессор в области резонанса; в - листовых рессор и колесных пар при малых значениях частоты внешнего воздействия
Теперь вычислим среднеквадратические отклонения ускорений вертикальных колебаний для каждой координаты по формуле (7). Сразу оговорим, что точным будет условно считаться расчет по плоской модели, и уже от него будут считаться погрешности для других расчетных схем. Тем не менее требуется дополнительно указать на тот факт, что нет гарантии абсолютной точности таких расчетов, поскольку в силу значительной сложности модели, принимаемой за базовую, возможно появление в связи с большим объемом вычислений систематических ошибок при использовании стандартных алгоритмов, заложенных в наиболее распространенных пакетах математического моделирования, таких как MathCAD или Maple.
Заметим, что ни одна из рассмотренных нами моделей не позволяет вычислить СКО для ускорения колесной пары при условии учета малых масс листовой рессоры и пути, это же утверждение относится для расчета характеристик колебаний листовой рессоры по модели динамики необрессоренных масс экипажа. Однако нет никаких препятствий с тем же успехом провести эти расчеты по приближенным моделям, когда указанными массами пренебрегают, и в этом случае сравнить соответствующие приближенные результаты между собой.
0.26
0.22
0.18
ш ^
R О ■-Т m
QJ й К
9'
§ 0.14
0.10
: ■ / /
„ £
# ЛГ
¿Л*
тч
30
Модель динамики необрессоренных масс:
90 100 110 Скорость экипажа, км/ч ■
кузов
120
тележка
линейчатая точная приблеженная плоская точная приблеженная :.
1-я 1-я
2-я 2-я
2.0
о
1-Т Щ
ил ^
к 1 4
о Й о
щ
1.2
;
у J 1
0 90 100 110 12
Скорость экипажа, км/ч Модель динамики
необрессоренных лист. ресс.
масс: приблеженная
линейчатая точная ■ ■ ■
приблеженная .....
плоская точная
приблеженная -
кол. пара
а
Рисунок 3 - Среднеквадратические отклонения ускорений вертикальных колебаний элементов экипажа: а - кузова и тележек; б - листовых рессор и колесных пар
Результаты вычислений по разным моделям для скоростей движения экипажа 80, 100 и 120 км/ч приведены на рисунке 3, кроме того, они сведены в таблицу, где дополнительно указана погрешность относительно расчетов с использованием плоской модели, принятой в качестве базовой. Для всех координат, где возможно, показаны результаты в случае учета («точн.») или без учета («прибл.») малых масс листовых рессор и пути. Кроме того, полученные значения можно сравнить с экспериментальными данными, приведенными в работе [5].
Среднеквадратическое отклонение вертикального ускорения элементов экипажа
Скорость экипажа, км/ч Модель Кузов Тележка Листовая рессора Колесная пара
точн. % прибл. % точн. % прибл. % точн. % прибл. % точн. % прибл. %
80 н 1,153 ОД - - 1,157 0
л 0,095 3,3 0,095 3,3 0,144 37 0,144 37 1,085 о,з 1,158 0,5 - - 1,163 0,5
п 0,092 0 0,092 0 0,105 0 0,105 0 1,082 0 1,152 0 - - 1,157 0
100 н 1,612 0 - - 1,617 ОД
л 0,133 0,8 0,133 0,8 0,201 40 0,201 40 1,516 ОД 1,618 0,4 - - 1,626 0,6
п 0,132 0 0,132 0 0,144 0 0,144 0 1,515 0 1,612 0 - - 1,616 0
120 н 2,119 0,2 - - 2,126 ОД
л 0,175 -1,7 0,175 -1,7 0,265 45 0,265 45 1,993 ОД 2,127 0,6 - - 2,137 0,6
п 0,178 0 0,178 0 0,183 0 0,183 0 1,991 0 2,115 0 - - 2,125 0
Проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что погрешность вычислений по более простым моделям оказывается несущественной (за исключением большого отличия для среднеквадратического отклонения ускорения тележки), следовательно, для получения статистических характеристик необрессоренных элементов, а также давления колесной пары на рельс нужно пользоваться первой, наиболее простой моделью. Для определения среднеквадратического отклонения и других динамических показателей кузова и тележек достаточно воспользоваться линейчатой одноосной моделью, не учитывающей галопирования элементов экипажа. Только для определения характеристик угловых перемещений возникает необходимость составлять наиболее подробную плоскую модель динамики экипажа.
Список литературы
1. Галиев, И. И. Метод разделения движения в задачах транспортной механики [Текст] / И. И. Галиев, В. А. Нехаев, В. В. Марковиченко // Исследование динамики транспортных и строительных конструкций. Межвуз. сб. науч. тр. / МНИТ,- М., 1989. - Вып. 817. - С. 4 - 10.
2. Ушкалов, В. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей [Текст] / В. Ф. Ушка-лов, J1. М. Резников, С. Ф. Редько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 360 с.
3. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов [Текст] / Под ред. Ф. М. Дементберга и К. С. Колесникова. - М.: Машиностроение, 1980.-544 с.
4. Механическая часть тягового подвижного состава [Текст] / Под ред. И. В. Бирюкова. -М.: Транспорт, 1992.-440 с.
5. Нехаев, В. А. Динамика необрессоренных масс электровоза BJT10 [Текст] / В. А. Нехаев, В. А. Николаев, А. Н. Смалев // Транспорт Урала. - 2010. - № 25. - С. 65 - 68.
6. Лившиц, Н. А. Вероятностный анализ систем автоматического управления: В 2 т. Т. 1. Вероятностные и статистические характеристики воздействий и процессов. Линейные стационарные и нестационарные системы [Текст] / Н. А. Лившиц, В. Н. Пугачев. - М.: Советское радио, 1963. - 896 с.
7. Нехаев, В. А. О вычислении несобственных интегралов от дробно-рациональной функции при моделировании динамики экипажа [Текст] / В. А. Нехаев, В. А. Николаев, А. Н. Смалев // Вестник Ростовского гос. ун-т. путей сообщения. - 2010. - № 39. - С. 53 - 58.
