CC BY
5УДК: 517.958 MSC2010: 35D99
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИССИПАТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ АЛЬФА-МОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА1
© А. В. Звягин, Д. М. Поляков
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕрСИТЕТ, НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Университетская пл., 1, Воронеж, 394018, Российская Федерация Владикавказский научный центр РАН, Южный математический институт, отдел математического анализа Маркуса, 22, Владикавказ, 362027, Российская Федерация e-mail: zvyagin.a@mail.ru e-mail: DmitryPolyakow@mail.ru
Investigation of the Dissipative Solvability for Alpha-Maxwell Model.
Zvyagin A. V., Polyakov D. M.
Abstract. We study initial-boundary value problems for the Lagrangian averaged alpha model for the equations of motion for the corotational Maxwell and inviscid fluids in 2D and 3D. We show existence of (global in time) dissipative solutions to these problems.
The Maxwell model is one of the basic and classical models of a viscoelastic material. Its mechanical analogy is comprised of a spring and a dashpot connected in series. The multidimensional Maxwell models generate complicated systems of PDEs due the frame-indifference restrictions and consecutive involvement of objective derivatives. Very few mathematical results are known for the corotational Maxwell fluid equations. In particular, there is no global solvability theorem, even in 2D. Moreover, there is evidence of non-existence of smooth solutions. In these circumstances, if we want the problem to be solvable globally, a possible way out is to consider a kind of a generalized solution different from the standard hydrodynamical weak solution framework.
We are going to use the concept of dissipative solution due to Lions. It was suggested for the Euler equations of ideal fluid flow, which have only been proven to be globally weakly solvable on the torus (this is a very recent result, and that wild weak solutions are necessarily not dissipative solutions). Later, in addition to the Euler equation, the existence of such solutions was established for Boltzmann's equation, and for various models arising in magnetohydrodynamics, diffusion in polymers, and image restoration.
1Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых (грант МК-2213.2018.1, соглашение 075-02-2018339) и РФФИ (грант 16-01-00370). Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (проект 14.Z50.31.0037).
The objective of our paper is to introduce dissipative solutions for the corotational Maxwellalpha problem, and to show their existence and basic properties. These solutions are always global in time.
Keywords : alpha model of hydrodynarnic, Maxwell model, dissipative solution, existence theorem, topological approximation method.
Введение
В последние тридцать лет интенсивное развитие и популярность получили альфа-модели гидродинамики. По сравнению с исходными моделями, они представляют собой своего рода аппроксимации, которые зависят от параметра а. Альфа-модель отличается от исходной модели тем, что функция скорости V в ряде слагаемых заменена на более гладкую и, связанную с V. Идея использовать для исследования исходных моделей такие аппроксимации впервые возникла в работе Ж. Лере [1]. Позднее на этой идее и была построена теория альфа-моделей, в которой функция скорости V в ряде слагаемых заменена на более гладкую и, связанную с V именно эллиптической системой V = и — а2Аи. Используемый при этом оператор сглаживания представляет из себя известный оператор Гельмгольца. Выбор такого оператора связан с его хорошими математическими свойствами. Пионерскими работами в этой теории были статьи по исследованию альфа-моделей Эйлера [2, 3] и Навье-Стокса [4].
Большая часть работ по исследованию разрешимости альфа-моделей посвящена моделям движения идеальной или ньютоновской жидкости (см. обзорную статью [5]). Это уже упомянутые нами альфа-модели Эйлера, Навье-Стокса [6] и ее различных модификаций: альфа-модели Лере [7, 9], альфа-модель Кларка [10], альфа-модель Бардина [11] и др. Рассмотренные альфа-модели разделяются на два класса, в зависимости от свойств ортогональности сглаженного нелинейного члена (согласно классификации, приведенной в [12]). Так, например, альфа-модель Лере принадлежит классу I, а альфа-модель Навье-Стокса — классу II. Причем со временем эти системы, как правило, стали рассматриваться как независимые корректно определенные системы уравнений.
Интерес к изучению альфа-моделей также связан с их применением к исследованию эффектов турбулентности для потоков жидкости [13]. Также делались шаги по использованию альфа-моделей в исследованиях движения потоков воды в Атлантическом океане, циркуляции атмосферы для глобального моделирования климата [14].
В последние несколько лет появились работы, посвященные альфа-моделям для неньютоновской жидкости (см., например, [15, 17]). Данная работа на примере альфа-модели I класса для начально-краевой задачи, соответствующей альфа-модели Максвелла, продолжает исследования разрешимости альфа-моделей неньютоновских жидкостей.
Пусть ^ — ограниченная область в пространстве Мп, п = 2,3, с достаточно гладкой границей дМы будем исследовать разрешимость следующей начально-краевой задачи:
дь дь „ .„.
ж+Е и ^ + = -+/, (1)
г=1
-+Ч |+5:«. £)(«), (2)
г=1
V = и — а2Аи, (3)
а1у и = 0, (4)
и\дп = 0, Ди|ш = 0, (5)
и\ь=0 = ио, -\í=0 = -0. (6)
Здесь, и = (и1(Ь,х),... ,ип^,х)) — вектор-функция скорости, V = (ь1(Ь,х),..., ьп(£,х)) — вектор-функция модифицированной скорости, р = р(Ь,х) — функция давления, / = /(¿,х) — функция плотности внешних сил, - = (-ц(и)) — девиатор тензора напряжений. Дивергения Б1у - тензора - является вектором с координатами (Б1у = ^•=1(д-г^/дхг). Через
е=«,м), е,м=1 (^+и), и=1,...,п,
обозначим тензор скоростей деформации, и через
Ж = №, (V)), Ж (ь) = 2 (£ — Ц), и = 1,...,п,
обозначим тензор завихренности. Кроме того, символом а > 0 обозначим скалярный параметр, отражающий ширину шкалы пространственной фильтрации для модифицированной скорости, п > 0 — вязкость среды, Л — время релаксации, и0 и -0 — начальные значения. Здесь (2) — реологическое (определяющее) соотношение Максвелла. Далее, (3) — действие оператора Гельмгольца на вектор-функцию и, (4) — условие несжимаемости жидкости, (5) — граничное условие "прилипания" и (6) — начальные условия.
В настоящей работе мы установим существование диссипативного решения, которое впервые было введено П.-Л. Лионсом для уравнения Эйлера движения идеальной жидкости (см. [18, §4.4], а также обзорную статью [19]). Отметим, что понятие диссипативного решения играет ключевую роль в задаче перемещения кинетической энергии в гидродинамике. В качестве основного метода исследования будет выступать аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики, разработанный В. Г. Звягиным (см. [20]).
Работа организована следующим образом. В § 2 введем необходимые обозначения и функциональные пространства, сформулируем определение диссипативного решения и основную теорему, посвященную существованию решения для альфа-модели Максвелла. В § 3 рассмотрим вспомогательную задачу с более хорошими свойствами и, используя теорию топологической степени, для этой задачи докажем существование слабого решения. Наконец, последний параграф посвящен предельному переходу и доказательству существования диссипативных решений у исходной альфа-модели.
1. Предварительные сведения и основной результат
Через Rnxn мы обозначим пространство матриц размера n х n и через М^ХП — его подпространство симметричных матриц. Всюду далее через E обозначается одно из следующих пространств: Rn, Rnxn, М!ПХп.
Через Lp(fi), 1 ^ p < то, будем обозначать множество измеримых функций u : fi ^ E, суммируемых с p-ой степенью. Через Hm(fi) = Wm(fi), m ^ 1, будем обозначать гильбертово пространство Соболева функций u : fi ^ E, которые со своими производными до порядка m включительно принадлежат пространству L2(fi).
Через Co°(fi)n мы обозначим пространство бесконечно-дифференцируемых вектор-функций из fi в Rn с компактным носителем в fi и через V множество {v 6 C0°(fi)n, div v = 0}. Через V0 мы обозначим замыкание V по норме L2(fi), через V1 — по норме Hx(fi) и через V2 пространство V2 = H2(fi) П V1. Также будем использовать разложение Вейля векторных полей из L2(fi): L2(fi) = V0 ф VH 1(fi), где VH 1(fi) = {Vp : p 6 H 1(fi)} (т. е. пространства V0 и VH1 (fi) ортогональны в
L2(fi)).
Введем шкалу пространств Vе, в 6 R (см. [21, §4.2]). Для этого рассмотрим проектор Лере P : L2(fi) ^ V0 и оператор A = -PA, определенный на D(A) = V2. Этот оператор может быть продолжен в V0 до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с компактным обратным. Пусть 0 < А1 ^ А2 ^ ■ ■ ■ ^ Ak ^ ... — собственные значения оператора A. В силу теоремы
Гильберта о спектральном разложении компактных операторов, собственные функции {в,} оператора Л образуют ортонормированный базис в V0. Обозначим через
Еж = |v = V, ву : V, е М, N е ,
множество конечных линейных комбинаций, составленных из в, и определим пространство Vв, в е М, как пополнение пространства Еж по норме
-'ж
1
llVПvв = ( ^ АвIvfcП , где v = • (7)
^ к=1 ' к=1
В [21, Лемма 4.5] показано, что на пространстве Vе, в > -1/2, норма (7) эквивалентна обычной норме || ■ ||нв(п) пространства НвКроме того, согласно [22, Следствие 4.2.1] нормы в пространствах
V1, V2, V3 и V5 могут быть заданы следующим образом:
1 1
2 / Г \ 2
|^||у 1 = Vv(ж) : Vv(ж) ¿ж^ , |Н|^2 = (/ Av(ж)Av(ж) ¿ж^ ,
п п
|^||уз = (/ VAv(ж) : VAv(ж) ¿^ 2, |Н|у5 = ^ VA2v(x) : VA2v(ж) ¿^ 2 •
пп Здесь символ " : " обозначает покомпонентное матричное произведение, т. е. для
п
С = (с,), Б = (¿у), г, ^ = 1, • • • п, имеем С : Б = ^ су ¿у.
¿¿=1
Далее, через V-'3 = (Vе)*, в е М, мы будем обозначать сопряженное пространство к Vв. Кроме того, из определения шкалы пространств V в следует, что оператор Л : Vе ^ Vе-2 непрерывно обратим.
По теореме Рисса будем отождествлять гильбертово пространство V0 с его сопряженным (V°)*. Следовательно, справедливы следующие вложения
V5 С V3 С V1 С V0 = (V0)* С V-1 С V-3,
где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны.
Через С([0, Т]; ^), С,ш([0, Т]; ^), Ьр(0, Т; ^) мы обозначим банаховы пространства непрерывных, слабо непрерывных и суммируемых с р-степенью функций на [0, Т] со значениями в банаховом пространстве ^. Через (/, ф) будем обозначать действие функционала / из V-1 на элемент ф из V1. Кроме того, согласно [23, Глава III, Лемма 1.1] имеет место равенство
(и, ф) = ¿Ъ(и, ф), и, ф е V^
Наряду со скалярным произведением в пространстве V1 мы рассмотрим скалярное произведение
(и,и)у = (и, V) + (аУи,аУу), и,-у € V1. Тогда согласно [24, СЬ. II] имеет место равенство
(Д«и, ф) = 0(и, ф)у = (и', ф), и, ф € V3.
ОЙ
Всюду далее символом С с индексами внизу мы будем обозначать положительные константы.
Теперь перейдем к определению диссипативного решения. Но прежде введем некоторые дополнительные понятия. Определим оператор Гельмгольца Да = I — а2Д, где I — тождественный оператор. Кроме того, введем замену р = п/А. Рассмотрим следующие выражения, где т и р векторно- и матрично-значные функции по времени:
Т? ( ^ дДат дДат I РТЛ- I Pf
Е1К р) = —оГ — + Р р + РЛ
г=1 1
^ р) = — А — Ж — Ё ^ £ + 2"Е (Д=Ш)-
г=1
Кроме того, для дальнейшего исследования потребуются аналогичные выражения, зависящие от скалярной величины £ > 0:
Е1К р, £) = —-— + £ Р Р +
г=1 1
р, £) = — А — др — £ £ ^ ^ + (Д«т).
г=1 1
Следуя [18, § 4.4], введем определение диссипативного решения для альфа-модели Максвелла.
Определение 1. Пусть и0 € V2, о0 € V0. Пара (и, о-) из класса и € Сш([0, то); V2), о € С№([0, то); V0), называется диссипативным решением задачи (1) - (6), если для всех функций к € С 1([0, то); V5), в € С 1([0, то); V3), и почти всех £ ^ 0 имеет место неравенство
2^||и(*) — к(*)||^о + ||о(£) — о < ехр(/ 2^|Д«ио — Д«к(0)||^о +
0
ъ и
+ К - 0(0)11^ + Iе*р(/ Г(ф) [МЕ(к, 0)(5), Да(-(5) - ВД)) +
и в
+ 2(Е2(к, 0)(5), а(з) - 0(5))] ^ , (8)
где
Г(*) = Си(||Д«к(*)|кз + ||0(^а). (9)
Основным результатом настоящей работы является следующая
Теорема 1. Пусть ^ С Мп, п = 2, 3, — ограниченная область с достаточно гладкой границей д&. Тогда:
(a) Для ии € V2 и аи € Vи существует диссипативное решение начально-краевой задачи (1) - (6).
(b) Если, для некоторых ии € V2, а0 € Vи, существует сильное решение (иТ, ат) € С1 ([0, Т]; V5) х Сх([0,Т]; V3) начально-краевой задачи (1) - (6), то сужение любого диссипативного решения (с теми же начальными условиями) на [0, Т] совпадает с (ит, аТ).
(c) Каждое сильное решение (ит, ат) € С 1([0,Т]; V5) х С1([0,Т]; V3) является единственным диссипативным решением.
2. Исследование семейства вспомогательных задач
Всюду в этом параграфе будем предполагать, что ии € V2, а0 € Vи, / € ¿2(0,Т; Vи). Мы рассмотрим следующее семейство вспомогательных задач:
дДаи ^ дДаи „ , ^ . .
~дт+^ - д-^- + ур+^ = а+/, (10)
г=1 1
да а да . ^ . . , .„„.
+ д + ^ - дХ + ^а = 2^^ Е (Даи), (11)
г=1 1
а1у и = 0, и|ш = 0, Ди|ш = 0, Д2и|ш = 0, (12)
и|ъ=и = -о, а|ъ=и = ао. (13)
Здесь 0 < е < 1, 0 < £ < 1 — константы. Операторы А2 : V5 ^ V-3 и А3 : V3 ^ V-3 задаются соответственно следующим образом
(А2и, = (УДДаи, УД^), ^ € V3, (А3а, Ф) = (У Да, УДФ), Ф € V3.
Эта задача будет рассматриваться в следующих функциональных пространствах:
= {- € ¿2(0, Т; V5), и' € ¿2(0, Т; V-3)}
с нормой ||и 11^1 = 1М|ь2(0,Т5) + ||и'УЬ2(0,г-3) и
^2 = {и € ¿2(0,Т; V3), и' € ¿2(0,Т; V-3)} с нормой ||и||^2 = ||и|ь2(0,Т;У3) + ||и'|и2(0,Г;У-3).
Определение 2. Пара функций и € и о € Ж2 называется слабым решением вспомогательной задачи (10) - (13), если выполнены начальные условия (13) и для всех <£> € V3, Ф € V3, и почти всех £ € [0, Т] имеют место равенства
d ' —
-(A«u, - £ ^ (игАаи, + £ (ст, V>) + e(VAA«u, VA^) = (/, (14)
i=1 г
— (ст, ф) + 1(ст, ф) - £ (^ст, дф) + 2^(А«и, Div Ф) + e(VAa, VAФ) = 0. (15)
Замечание 1. Согласно [24, Lemma 2.2.7] справедливы вложения W1 С C([0,T]; V2), W2 С C([0,T]; V0). Таким образом, начальные условия (13) имеют смысл.
Перепишем вспомогательную задачу (10) - (13) в удобной операторной форме. Используя слагаемые в равенстве (14), для почти всех t 6 (0, T) мы введем операторы с помощью следующих равенств:
Ki : Wi ^ L2(0, T; V-3), (К^и), = £ (^A^, ), и 6 Wi, ^ 6 V3,
г=1
Si : W2 ^ L2(0, T; V-3), ^(ст), = -(ст, V^), ст 6 W2, ^ 6 V3, A2 : Wi ^ L2(0, T; V-3), (A2U, = (VAA«a, VA^), и 6 Wi, ^ 6 V3. Аналогичным образом мы зададим операторы для слагаемых из равенства (15): K : Wi х W2 ^ L2(0,T; V-3),
n од.
(K2(и, ст), Ф) = ^ (^ИгСТ, — ) , и 6 Wi, ст 6 W2, ф 6 V3,
i=i г
52 : W2 ^ L2(0, T; V-3), ^(ст), = (ст, Ф), ст 6 W2, Ф 6 V3,
53 : Wi ^ L2(0, T; V-3), (S3(и), Ф) = -(A«u, Div Ф), и 6 Wi, Ф 6 V3, A3 : W2 ^ L2(0, T; V-3), (А<,ст, Ф) = ^ст, VAФ), ст 6 W2, Ф 6 V3.
Также мы определим операторы следующими равенствами:
А: Wi х W2 ^ L2(0, T; V-3) х ¿2(0, T; V-3) х V2 х V0, А(и, ст) = (и' + eA2-u, ст' + еА3ст + 1/А£2(ст),и|г=о, ст|4=о),
д : х W2 ^ ¿2(0, Т; V-3) х ¿2(0, Т; V-3) х V2 х V0, д(и, а) = (К1(и) + ^1(а),К2(и, а) + 2^53(и),ио, ао).
Таким образом, вспомогательная задача эквивалентна следующему операторному уравнению
!(-, а) = ед(и, а) + (/, 0,-0, ао). (16)
Исследуем свойства операторов, входящих в уравнение (16). Чтобы не нагромождать обозначений, мы будем использовать одну и ту же букву для обозначений операторов, действующих в разных функциональных пространствах.
Лемма 1. Операторы А2 : ^ ¿2(0,Т; V-3), А3 : Ж2 ^ ¿2(0,Т; V-3) и : Ж2 ^ ¿2(0,Т; V-3) являются непрерывными операторами.
Доказательство. Сначала установим непрерывность оператора А2 : ¿2(0,Т; V5) ^ ¿2(0,Т; V-3). Для доказательства непрерывности линейного оператора А2 необходимо установить его ограниченность. Используя неравенство Гельдера, а также непрерывность вложения V5 С V3 для любых и € ¿2(0,Т; V5) и < € V3 получим
|(А2-, <)| = |(УДД«и, УД<)| < ||и - а2Ди||Vз||<||уэ < С1(1 + а2)\\и\\У5 ||<||уэ.
Следовательно, ||А2и||у-з ^ С1(1 + а2)||и||у5. Возведем в квадрат последнее неравенство и проинтегрируем его по £ в пределах от 0 до Т. Тогда
НАи||£2(о,Т;У-3) < С2(1 + а2)2||и||^(о,Т;^).
Таким образом, оператор А2 : ¿2(0,Т; V5) ^ ¿2(0,Т; V-3) является непрерывным. Следовательно, имеет место следующая суперпозиция вложений:
С ¿2(0, Т; V5) ¿2(0, Т; V-3),
где вложение непрерывно и отображение А2 также непрерывно. Таким образом, отображение А2 : ^ ¿2(0,Т; V-3) — непрерывно. Непрерывность отображений А3 : Ж2 ^ ¿2(0, Т; V-3) и ¿2 : Ж2 ^ ¿2(0,Т; V-3) доказывается аналогичным образом. Лемма доказана. □
Лемма 2. Операторы К1 : ^ ¿2(0,Т; V-3) и К2 : х Ж2 ^ ¿2(0,Т; V-3)
являются вполне непрерывными операторами.
Доказательство. Сначала докажем утверждение леммы для оператора К1. Сначала установим непрерывность билинейного оператора
Ki : L6(0,T; Vх L3(0,T; V2) ^ L2(0,T; V-3) вида
n
(Ki (u,w), ,) = £ .
i=i
Используя неравенство Гельдера, для , 6 V3 мы получим
i'j=i П
„ 1 1
|(Ki(u,w), ,)| =
n n „
<
i,j=i 2
<
u,
д x,-
d^M |A«Wj |2 dx! < C2 11 V, 11 11 u 11 l2(h) 11 A«w 11 L2(n) <
^ 4 П д П
22
< Сз(1 + а2)11 и 11 V1 11 ш11 V2 11 ^ 11 V2 = Сз(1 + а2)11 и 11 V1 11 ш 11 V2 | |<р| | Vз.
Кроме того, здесь мы воспользовались тем фактом, что из непрерывного вложения V2 С Ь^(^) следует неравенство 11 <р 11 ¿^(п) ^ С4 11 <р 11 V2, <£> € V2. Следовательно, | | К (и, ад) 11 V-з ^ С3(1 + а2) 11 и 11 V1 11 ш 11 v2. Возведем обе части последнего неравенства в квадрат и проинтегрируем его по £ в пределах от 0 до Т. Тогда, вновь используя неравенство Гельдера, получим
т
т
I I Ki(u,w) 11 ¿2(0,T;V-3) = I I Ki(u,w) 11 V-3 dt < Cg(1 + a2 )2 / | | u 11 Vi 11 w 11 V2 dt
<
0
T 2 T 2
< C32 (1 + a2)2 (J I I u 11 V1 dt) I I w 11 V 2 dt) 3 = Cf(1 + a2)2 11 u 11 ^.т ;V i) 11 w 11 2Ыо,т^).
00
Таким образом, билинейный оператор Ki является непрерывным. По теореме Симона (см. [25, Corollary 8]) вложения
Wi С Lp(0,T; Vi), Wi С Lq(0,T; V2),
являются вполне непрерывными для любых p < то и q < 8. Следовательно, имеем следующую суперпозицию вложений:
Wi х Wi С L6(0,T; Vi) х £3(0,T; V2) ¿2(0,T; V-3),
где вложение является вполне непрерывным и оператор Ki — непрерывен. Таким образом, билинейный оператор Ki : Wi х W2 ^ L2(0,T; V-3) является вполне непрерывным. Следовательно, для u = w оператор Ki : Wi ^ L2(0, T; V-3) также является вполне непрерывным.
Теперь установим вполне непрерывность отображения К2. Сначала докажем, что оператор К2 : ¿4(0,Т; Vх ¿4(0,Т; V0) ^ ¿2(0,Т; V-3) является непрерывным. Используя неравенство Гельдера, а также непрерывность вложения V1 С Ь4(^) для Ф € V3 получим
2
|(K2(u, ст), Ф>| =
¿/^Нdx|^Z(/|uЩ dx)2(/^|2dx)2
г:_1 П n n
|2 dx <
< СЫМкН^ФНм^Мк» < Сб|М|у1 И**> ||Ф||у3.
Следовательно, ||К2(и, 0")||у-з ^ С6||и||у1 1М|у°. Возведем в квадрат и проинтегрируем по £ в пределах от 0 до Т обе части последнего неравенства. Используя неравенство Гельдера, имеем
т т
||К2(и, ^)Ц2(0,Т;У-3) = / ||К2(«, ^-3 ^ < С2/ 1 ^ <
00
T 2 T 2
^ сг(/lluHV 2 d^ 2(| IMIV„ d^2 = c62|U|L4(0iT;V2)|ct|L4(0iT;V„).
0 0
Следовательно, оператор K2 : L4(0,T; V1) x L4(0,T; V0) ^ L2(0,T; V-3). По теореме Симона (см. [25, Corollary 8]) вложения
Wi С Lp(0,T; V1), W2 С Lp(0,T; V0),
являются вполне непрерывными для любого p < то.
Таким образом, имеет место следующая суперпозиция вложений:
W1 x W2 С ¿4(0, T; V1) x ¿4(0, T; V0) ¿2(0, T; V-3),
где вложение является вполне непрерывным и оператор K2 — непрерывен. Таким образом, отображение K2 : W1 x W2 ^ L2(0,T; V-3) является вполне непрерывным. Лемма доказана. □
Лемма 3. Операторы S1 : W2 ^ L2(0,T; V-3), S3 : W1 ^ L2(0,T; V-3) являются вполне непрерывными операторами.
Доказательство проводится аналогичным образом как и [26, Theorem 3.1]. Перейдем к получению основных оценок.
Лемма 4. Пусть ^ С Rn, n = 2, 3, — ограниченная область c достаточно гладкой границей 0Q. Пусть и 6 W1 и a 6 W2, — слабое решение вспомогательной задачи (10) - (13). Тогда для любых к 6 C 1([0, то); V5) и в 6 C 1([0, то); V3) и почти всех
£ € [0, Т] справедливо следующее неравенство
г
11 Д«и(£) - Дак(*) 11 ^ + | | - в(£) 11 Vо + (2^ 11 Д«ф) - ДаВД 11 Vз +
о
г
+ | | ф) - 0(5) 11 Vз) < еХр(/ ^ {2^ 11 ДаИо - Дак(0) 11 Vо + | | ^0 - 6(0) 11 ^ +
t 0
+ / ехр(У Г(^) d^
4^(Ei(fc, 0, £), Aa(u(S) - k(s))) + 2(E(k, 0, £), ф) - 0(s))-
dsj, (17)
- 4^е(УДДак(з), УДДа(и(в) - ВД)) - 2е(УДв(в), УД(о-(в) - в(в)))
где Г определяется формулой (9).
Доказательство. Рассмотрим равенства (14) и (15) от функций к € Сх([0, то); V5) и в € Сх([0, то); V3) с дополнительными слагаемыми:
d n —
—(A«k,,) - £ ^ (k,A«k, + £(0, V,) + e(VAA«k, VA,)+ ,=i ,
+ (Ei(k, 0, £),,) = (f,,) + e(VAA«k, VA,), (18)
dt(0, Ф) + 1(0, Ф) - £ ¿ (k,0, ¡Ф) + 2^£(Aak, Div Ф) + e(VA0, VAФ)+
,=i ,
+ (E2(k, 0, £), Ф) = e(VA0, VAФ), (19)
для р € V3, Ф € V3, и почти всех £ € (0, Т). Через т и ( обозначим величины т = и - к и ( = ст - в, соответственно. Для почти всех £ € (0, Т) положим р = Дат(£) и Ф = £(¿)/(2^). Сложим разность между (14) и (18) вместе с разностью между (15) и (19). Тогда
1 d , . , 1 ^ ^ ^ ^ „ / . дДат\ „ хт^ Л . дДат
(A„w, Д..) + ¿1 (С, Z) - £ £ (w.A«w, - £ Е (k-A«w,
2 dV а ' а ' 4я dt ....
Г i=i ' ,=i
n
£ g (w-Aak, ¡Af) + 2Д (z, z) - ¿EH, ¡X-
f ^ (w,0, + 2" (VAZ, VAC) + e(VAAaw, VAA«w)+
' ,=i . '
= -2^(VA0, VAC) - e(VAA«k, VAA«w) - £(C, VA«w) - £(Aaw, Div C)+
+ (Ei(k, 0,0, A*w) + 2-(E2(fc, 0, е), Z).
(20)
Приступим к оценке всех имеющихся слагаемых в последнем равенстве. Отметим очевидное равенство — £(£, £(Да^, Б1у () = 0. Рассмотрим одно из слагаемых
в рассматриваемом равенстве. Для и € имеем
2-
r i=1
£ =- 2- <
г - i,j=1 о
z j л dj^c — »ж,;
4P i,j=1 о
tJu ё—
f i dx — 0.
Рассуждая аналогичным образом, получим, что
<9A„w
(„^ =0, iE (к,Д^ =0.
i=1 i=1
Перейдем к следующему слагаемому. Для этого мы воспользуемся известным неравенством (см. [24, Corollary 2.1.1]):
I I uv 11 L2(n) < C7 11 и 11 H2 (n) 11 V 11 L2(n), и 6 H 2(fi), V 6 ¿2^). Интегрируя по частям и используя равенство (4), мы получим
dwi
(21)
Е Hf) < Е/ w,0, g ^ Е/
,= 1 ,,j=1 о i,j=1 0
дж,;
0j Zj /ж
+
^ J w, — 0
i'j=1 о
Wi
d0j
дж,;
iz, i2 <**) — E
i,j=1
w,
d0j
дж,;
i'j=1 о
I I Zj I I <
<
< C8 11 w 11 у о 11 V0 11 H2(o) 11 Z 11 V0 < C 11 A«w 11 V0 11 V0 11 V2 11 Z 11 V0 — C9 11 A«w 11 V0 11 0 11 V 3 11 Z 11 V0.
Здесь мы воспользовались непрерывностью вложения V2 С H2(^), а также следую-
щими соотношениями:
1/2
I | Aaw 11 уо — ^ J (w — a2Aw)(w — a2Aw) /ж^ о
— (||w 11 V 0 +2a2 11 w 11 V! + a4 11 w 11 V 2 )1/2 > | | w 11 у о.
(22)
Далее рассмотрим следующее слагаемое в (20). Используя неравенство Гельдера, оценки (21) и (22), а также учитывая, что т € Ж, мы получим
¿=i . ,,j=i О
д (Aaw)
^dx
д x,-
n f д n f
- Е / ¡х- (Aak)j ( AaW) j dX - £ J
.,j=i n i'j = i О
wi
d(Agk)j д x,-
(Aaw)j dx
<
<
E I I (AaW)j I I V0
i,j=i
w,
д (Aa k)j
д x,-
<
< Cio£ I I (A w)j | | V0 11 w, I I V0
22 (О)
d(Aak)j
д x,
H2(n)
< Cii 11 AaW 11 V0 11 Aa k 11 V3.
Вернемся к равенству (20). Учитывая полученные выше неравенства, умножим обе части этого равенства на 4^ и оценим по модулю обе части этого равенства. Имеют место следующие соотношения:
dt(2^ 11 Дат 11 ^ + 11 с 11 ^) + 25(2^ 11 Д«т 11 Vз + 11 С 11 Vз) < 4^Сц 11 Дак 11 vз 11 Дат 11 Vо +
+ 2C9£ 11 Aaw 11 V 0 11 0 11 V 3 11 C 11 v 0 + 1 11 C 11 V 0 +4MEi(k, 0, £), A«w)+
+ 2(E2(k, 0, £), C) - 4^(VAAak, VAAaw) - 2e(VA0, VAC) <
< £ Ci2 [2^ 11 Aaw 11 V0 ( 11 Aak 11 V3 + I I 0 11 V 3 ) + I I C 11 V 0] + 4ME(k, 0, £), Aaw)+ + 2(E2(k, 0, £), C) - 4^(VAAak, VAAaw) - 2e(VA0, VAC) <
< £Г(2^ 11 Aaw 11 V0 + I I C 11 V0) +4MEi(k, 0, £), Aa.) + 2(E (k, 0, £), C )-
- 4^е(УДДак, УДДат) - 2е(УДв, УДС),
где Г определено в (9).
Далее нам потребуется следующий результат.
(23)
Лемма 5. [27, Лемма 3.1] Пусть f, х, Ь, М : [0, Т] ^ М — скалярные функции, причем х, Ь, М € Ь(0,1) и f € Жхх(0,Т). Если
х(£) > 0, Ь(£) > 0 и /(*) + х(£) < (£) + М(£)
для почти всех £ € (0,Т), то
г о
f Ь(£ М (а) ds
f (i) + / X(S)ds i ехр(/ Us)ds
00
для почти всех £ € [0, Т].
Применяя эту лемму к последнему неравенству в (23), получим требуемую оценку (17). Лемма доказана. □
Лемма 6. Пусть и € и а € Ж2 — слабое решение вспомогательной задачи (10) - (13). Тогда справедливы следующие оценки:
I I Д«и 11 ^(0,т;^0) + | | а 11 ^(0,т;^0) < С13( 11 Д«и 11 у* + | | ао 11 уо + | | / 11 Ь2(0,т;у0) + 1), (24)
С14
7£
I I Даи11 Ь2(0,Т;У3) + | | а 11 ^(0,^3) < 74( 11 Д„и0 11 уо + | | а0 11 уо + | | / 11 ^(0,^0) + ^ (25)
I | и' 11 Ь2(0,Т;У-3) + 11 а' 11 Ы0,Т;У-3) < С15(1 + £)( 11 Даи0 | | Vо + 11 а0 | | Vо + 11 / 11 ¿2(0,Т; V0) + 1), (26) где постоянные С13, С14, С15 не зависят от £.
Доказательство. Для доказательства первых трех оценок рассмотрим неравенство (17) при к = в = 0. Тогда
4
2^ 11 Д«и(£) 11 Уо + | | а(£) 11 Уо + 2£ У (2^ 11 Д«и(з) 11 У3 + | | а(5) 11 У3) <
0
4
< 2^ 11 Д«и I I Vо + I I а0 I I Vо +4^ У (/(5), Д«ф)) ¿5. (27)
0
Интеграл в правой части можно оценить следующим образом. Применяя неравенство Гельдера, получим
4 4 4
4^ / (/(в), Даи(й)) < 4^
(/(5), Д«ф))
< 4Л | | /(5) 11 Vо 11 Д«и(5) 11 Vо <
000 Т Т 1/2 Т 1/2 < 4^ I | /(£) 11 Vо 11 Даи(£) 11 Vо ^ < 4^11 I /(£) 11 ^ ^ [I I I Д«и(*) 11 Vо ^ 0 0 0 = I I / 11 ¿2(0,т;Vо) 11 Даи11 1/2 < 4^Т | | / 11 ^(0,^0) + ^ 11 Даи 11 L(0,T;V0).
Здесь мы воспользовались неравенством Коши
2
5Ь2 С2
Ьс <--+ —:
2 25
для 5 = 2Т1/2.
Следовательно, неравенство (27) перепишется в виде
2р 11 Даи(£) 11 Vо + | | 11 ^ +25 у (2р 11 Даи(а) 11 Vз + | | ф) 11 Vз) dS <
о
< 2Р 11 Даи0 | | Vо + I I | | Vо + 4РТ I I f 11 ¿2(0,Т¡Vо) + Р 11 Даи 11 |ТС(0,Т^0).
Из неотрицательности величин 1111Vо, | | Даи(в) 11Vо, | | Даи(в) 11Vз, | | 0"(й) 11Vз сле^ дуют оценки:
2р 11 Даи(£) 11 Vо < 2р 11 Да^0 | | Vо + | | ^ | | Vо + 4рТ | | f 11 ^(0,^0) + Р 11 Да« 11 Ь^(0,Т;^), I | 11 Vо < 2р 11 Да% I I Vо + I I СТ0 I I ^ + 4рТ | | f 11 ¿2(0,Т¡Vо) + Р 11 Даи 11 Ь^(0,Т;^),
г
25 /(2р 11 Даи(5) 11 Vз + || ф) | | Vз ) ^ < 2Р 11 Даи0 | | Vо + I I °0 | | Vо +
+ 4РТ I I f 11 ¿2 (0,Т; V 0) + Р 11 Даи 11 Ьтс(0,Т^0).
Так как правая часть во всех приведенных неравенствах не зависит от то перейдем к максимуму по £ € [0,Т] в левой части. Тогда
Р11 Даи(£) 11 ^ 2Р 11 Даи0 | | Vо + I I | | Vо + 4РТ I I 11 Ь(од^о^
I I 11 Ь^,(0,Т^0) < 2Р 11 Даи0 | | Vо + I I | | Vо + 4РТ I I f 11 ¿2(0,Т;V0) + Р 11 Даи 11 L(0,T;V0),
45р 11 Даи 11 ^(о,!^) + 25 I I 11 ¿2(0,Т; Vз) < 2р 11 Даио I I V0 + I I Сто I I V0 +
+ 4рТ | | f | |
¿2(0,Т^0) + Р 11 Даи 11 (0,Т;V0).
Складывая все указанные неравенства, получим (24) и (25). Осталось установить оценку (26). Используя равенство (14), имеем
|(u', ,)| <
n д, j=i
+ |£ (a, V,)| + e|(VAAau, VA,)| + |(f, ,)|.
Оценим первое слагаемое в последнем неравенстве. С учетом неравенства Гель-дера, оценки (22), а также непрерывных вложений V1 С Ь4(^) и V2 С для
р € V3 будут справедливы соотношения:
2 * *
£
г=!
uiAau
' дж, /
,,j=i ч;
ui
д, д x
< Ci6 11 Vu 11 v 0 11 V, 11 2те(О) 11 Aau 11 V 0 < Ci7 11 Aau 11 V0 11 V, 11 V 2 < Ci7 11 Aau 11 V0 11 , 11 V 3.
t
Перейдем к оценке оставшихся слагаемых. Справедливы следующие неравенства: |£(а, У^| + £|(УДД„и, УД^)| + |(/, < | | а 11 Vо 11 У^ 11 уо + £ 11 Д„и 11 vз 11 V 11 vз +
+ 11 / 11 Vо 11 V 11 Vо < С18( 11 а 11 Vо + £ 11 Даи 11 v3 + 11 / 11 v0 ) 11 V 11 V« . Таким образом, учитывая все полученные оценки, получим
|(и', V) < С19( 11 Да и 11 ^ + I I а 11 V о + £ 11 Даи 11 уз + | | / 11 v0 ) 11 V 11 у3.
Следовательно, 11и' 11у-3 ^ С19( 11Даи 11уо + 11а 11уо + £ 11Даи 11у3 + 11/ 11уо). Возведем последнее неравенство в квадрат и проинтегрируем по £ в пределах от 0 до Т. Тогда
т т т
I I и' 11 ¿2(0,Т;у-3) =| I I и' 11 V 3 ^ < С129(| I I Даи 11 4уо Л + | | | а 11 уо 0 0 0 т т
+ £2 I | | Даи 11 V3 ^ + У | | / 11 V0 ^ < С^ 11 Даи | | Ь^(0,т; V 0)Т+ 00
+ I I а 11 Ь^(0,Т;уо)Т + £2 11 и 11 ¿2(0,Т;у3) + I I / 11 ¿2(0,Т;у 0)).
Извлекая квадратный корень из обеих частей полученного неравенства, а также применяя оценки (24) и (25), имеем
I I и' 11 ¿2(0,т;у-3) < 62,(1 + £)(11 Даи0 | | уо + | | а0 | | уо + 11 / 11 ^(0,Т;V0) + 1), (28)
где постоянная С20 > 0 не зависит от £.
Рассуждая аналогичным образом для (15), получим
|(а', Ф)| < С21 ( 11 а 11 уо + | | Даи 11 уо 11 а 11 уо + | | Даи 11 уо + £ | | а 11 у3) 11 Ф 11 у3.
Следовательно, 11 а' 11 у-3 ^ С21( 11 а 11 у о + 11 Даи 11 уо 11 а 11 уо + 11 Даи 11 у о + £ 11 а 11 у3). Возведем последнее неравенство в квадрат и проинтегрируем по £ в пределах от 0 до Т. Тогда
т т т
I I а' 11 ¿2(0,Т;у-3) = | I I а' 11 у-3 ^ < (| | | а 11 уо ^ + | | | Да и 11 уо 11 а 11 уо 0 0 0
т т
+ / I I Даи 11 V0 + £^У I I а 11 V3 Я) < С21 ( 11 а | | Ь^(0,т ;у 0)Т+ 00
+ I I Даи 11 Ь^(0,Т;уо) 11 а 11 |^(0,Т;уо)Т + I I Даи 11 !^(0,Т ;у0)Т + £2 11 а 11 ¿2(0,Т;у3)).
Извлечем из обеих частей квадратный корень и применим оценки (24) и (25). Складывая полученную оценку с (28), мы имеем (26). Лемма доказана. □
Следствие 1. Пусть u 6 W и а 6 W2 — слабое решение вспомогательной задачи (10) - (13). Тогда имеют место оценки:
I I u 11 W1 + I I а 11 w < —22Ф, (29)
«2 11 u 11 W0,T;V2) < —23( 11 A«u0 11 V« + I I а0 11 V« + I I f 11 L2(0,T;V°) + 1), (30)
где постоянная —22 зависит от £ и постоянная —23 не зависит от £.
Доказательство. Имеют место следующие соотношения
| | Д„ u 11 V з = | | u 11 V з + 2а2 11 u 11 V4 + а4 11 u 11 V 5 > a4 11 u 11 V 5.
Таким образом, из полученного соотношения и неравенства (25) имеем
—
а2 11 u 11 L2(0,T;V5) + | | а 11 L2(0,T;V3) < —т4 ( 11 A«u0 11 v 0 + I | а0 11 v« + I I f 11 ¿2(0,t;V«) + 1).
£
Складывая это неравенство с оценкой (26), мы получим (29).
Оценка (30) непосредственно следует из неравенств (22) и (24). Следствие доказано. □
Лемма 7. Пусть ^ С Rn, n = 2, 3, — ограниченная область с достаточно гладкой границей dfi и u0 6 V2, а 6 V0, f 6 L2(0,T; V0). Тогда существует слабое решение u 6 W и а 6 W2 вспомогательной задачи (10) - (13).
Доказательство. Для доказательства данной леммы воспользуемся теорией степени Лере-Шаудера для вполне непрерывных векторных полей. Рассмотрим операторное уравнение (16), которое соответствует начально-краевой задаче (10) - (13):
l(u, а) - £Q(u, а) = (f, 0,^, а0), где £ 6 [0,1]. (31)
Из оценки (29) следует, что все решения уравнения (31) лежат в шаре Br С W х W2 с центром в нуле и радиусом R = —22 + 1. По лемме 1 операторы S2, A2 и A3 являются непрерывными. Тогда согласно [24, Lemma 3.1.3] оператор A является непрерывно обратимым. Следовательно, ни одно решение семейства уравнений
(u, а) - £A-1Q(u, а) = A-1(f, 0,u0, а0), где £ 6 [0,1], (32)
не принадлежит границе того же шара Br.
Оператор Q : х W2 ^ L2(0, T; V-3) х L2(0, T; V-3) х V2 х V0 является вполне непрерывным как сумма вполне непрерывных операторов (см. леммы 2 и 3). Следовательно, оператор a4-1Q(u, а) : х W2 ^ х W2 является вполне непрерывным, как произведение непрерывного и вполне непрерывного операторов.
Таким образом, вполне непрерывное векторное поле (и, о) — £ А-1 ф(и, о) невырождено на границе шара Вд, а значит для этого векторного поля определена степень Лере-Шаудера degi£(I — £А-1^, Вд, А-1(/, 0,ио, оо)). По свойствам гомотопической инвариантности и нормировки степени получим, что
degLs(I — £А-1д, Вд, А-1(/, 0, ио, оо)) = degLs(I, Вд, А-1(/, 0, и, оо)) = 1.
Отличие от нуля степени отображения обеспечивает существование хотя бы одного решения и € Ж1, о € Ж2 уравнения (32), а следовательно, и вспомогательной задачи (10) - (13). Теорема доказана. □
3. Доказательство теоремы 1
Возьмем возрастающую последовательность положительных чисел Тт ^ то и убывающую последовательность положительных чисел ^ 0. По лемме 7 существует пара ит € Ж1, от € Ж2, которая является решением вспомогательной задачи, где Т = Тт, е = ет, £ = 1. Обозначим через 4т и 4т функции, которые совпадают с ит и от на отрезке [0,Тт] и равны нулю на (Тт, то) соответственно.
По лемме 4 для любых к € С 1([0, то); V5), в € С 1([0, то); V3), и 0 < Ь < Т < Тт, имеет место следующее неравенство
г
2р 11 Д«4т(Ь) — Д«к(Ь) 11 V0 + I I 4т(Ь) — в(Ь) 11 V0 < exp^J Г(в) ^ •
о
г о
2р 11 Д«ио — Дак(0) 11 Vo + I I оо — в(0) 11 V0 + y,exp^y, Г(^) ^ •
о в
4р(В1(к, в), Да(ит(5) — к(в))) + 2(В2(к, в), от(5) — в(в)) — — 4^ет(УДДаВД, УДДа(ит(в) — к(в))) —
— 2ет(УДв(5), УД(от(5) — в(в)))
,
¿в }, (33)
где Г определяется формулой (9).
Зафиксируем произвольный интервал [0, Т]. Согласно априорным оценкам (24), без ограничения общности, мы предположим, что Да4т ^ Даи *-слабо в (0, то; Vо) и 4т ^ о *-слабо в В^(0, то; V0).
Кроме того, из (26) без ограничения общности, можно предположить, что 4^ ^ и' слабо в В2(0,Т; V-3), 4т ^ о' в В2(0,Т; V-3). Следовательно, и € С([0,Т]; V-3),
ст G C([0,T]; V 3). Тогда с учетом оценки (30) по лемме Лионса-Мадженеса (см. [23, Глава III, Лемма 1.4]) получим, что u G Cw([0,T]; V2), ст G Cw([0,T]; V0).
Возьмем скалярное произведение в L2(0,T) в неравенстве (33) со скалярной функцией ф с компактным носителем в (0,T). Используя неравенство (25) и неравенство Коши-Буняковского-Шварца, мы получим:
T
у ^ 11 A«Um(t) - Aafc(t) 11 V0 + I I CTm(t) - 0(t) 11 V^ ф(*) dt <
0
T t
22
r(s) ds){
^ exp I / r(s) ds N 2^ 11 A«uc - A«fc(0) 11 Vо + | | сту - 0(0) 11 Vo +
у /—1 a r
0 ' 0 t 0
+ J
0
exp^J Г(^) d-0^
4^(Ei(fc, 0), Aa(um(s) - k(s))) +
+ 2(E2(fc, 0), VA(CTm(s) - 0(s))) + +
dsj^(t) dt. (34)
Перейдем к пределу в (34) при т ^ то. Принимая во внимание полученные сходимости, а также тот факт, что норма слабого предела последовательности не превосходит нижнего предела нормы последовательности, и учитывая неравенство (22) и произвольность выбора ф и Т, мы приходим к (8). Таким образом, доказано существование диссипативного решения задачи (1) - (6).
Докажем пункт (Ь). Предположим, что существует сильное решение , стт с теми же начальными значениями, что и диссипативное решение и, ст. Положим к = и 0 = стт в (8) для £ С [0, Т]. Учитывая, что , стт) = Е2(ит, стт) =0 на [0,Т], то
мы получаем, что правая часть (8) равна нулю. Таким образом, и левая часть равна нулю, что и доказывает (Ь).
Пункт (с) прямо следует из (а) и (Ь). А именно, любое достаточно гладкое решение, если оно существует, будет совпадать со всеми диссипативными решениями. Теорема доказана.
Список литературы
1. LERAY, J. (1934) Essai sur le mouvement d'un fluide visqueux emplissant l'space. Acta Math. 63. p. 193-248.
2. HOLM, D. D., MARSDEN, J. E., RATIU, T. S. (1998) The Euler-Poincare models of ideal fluids with nonlinear dispersion. Phys. Rev. Lett. 349. p. 4173-4177.
3. HOLM, D. D., MARSDEN, J. E., RATIU, T. S. (1998) The Euler-Poincare Equations and semidirect products with applications to continuum theories. Adv. Math. 137. p. 1-81.
4. CHEN, S.,FOIAS, C., HOLM, D. D., OLSON, E., TITI, E. S., WYNNE, S. (1998) Camassa-Holm equations as a closure model for turbulent channel and pipe flow. Phys. Rev. Lett. 81. p. 5338-5341.
5. Звягин, А. В. Разрешимость альфа-моделей гидродинамики / А. В. Звягин, В. Г. Звягин, Д. М. Поляков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. — 2016. — № 2. — C. 72-93.
6. FOIAS, C., HOLM, D. D., TITI, E. S. (2002) The three dimensional viscous Camassa-Holm equations and their relation to the Navier-Stokes equations and turbulence theory. J. Dyn. Diff. Equat. 14. p. 1-35.
7. CHESKIDOV, A., HOLM, D. D., OLSON, E., TITI, E. S. (2005) On Leray-a model of turbulence. Proc. R. Soc. London. A. 461. p. 629-649.
8. ILYIN, A. A., LUNASIN, E., TITI, E. S. (2006) A modified Leray-a subgrid scale model of turbulence. Nonlinearity. 19. p. 879-897.
9. Звягин, А. В. Разрешимость задачи термовязкоупругости для альфа-модели Ле-ре // Известия вузов. Математика. — 2016. — № 10. — C. 70-75.
ZVYAGIN, A. V. (2016) Solvability of Thermoviscoelastic Problem for Leray AlphaModel. Russian Mathematics. 60 (10). p. 59-63.
10. CAO, C., HOLM, D. D., TITI, E. S. (2005) On the Clark-a model of turbulence: global regularity and long-time dynamics. J. Turbul. 6. p. 1-11.
11. CAO, Y., LUNASIN, E. M., TITI, E. S. (2006) Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models. Comm. Math. Sciences. 4 (4). p. 823-884.
12. Чепыжов, В. В. Об аппроксимации траекторного аттрактора 3D системы Навье-Стокса различными a-моделями гидродинамики // Матем. сб. — 2016. — Т. 207(4). — C. 143-172.
CHEPYZHOV, V. V. (2016) Approximating the trajectory attractor of the 3D Navier-Stokes system using various a-models of fluid dynamics. Sb. Math. 207 (4). p. 610-638.
13. HOLM, D. D., JEFFERY, C., KURIEN, S., LIVESCU, D., TAYLOR, M. A. and WINGATE, B. A. (2005) The LANS-a model for computing turbulence origins, results, and open problems. Los Alamos Science. 29. p. 152-172.
14. HECHT, M. W., HOLM, D. D., PETERSEN, M. R., WINGATE, B. A. (2008) Implementation of the LANS-alpha turbulence model in a primitive equation ocean model. J. Comput. Phys. 227 (11). p. 5691-5716.
15. Звягин, А. В., Поляков, Д. М. О разрешимости альфа-модели Джеффриса-Олдройда // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52(6). — C. 289-294.
ZVYAGIN, A. V., POLYAKOV, D. M. (2016) On the solvability of the Jeffreys-Oldroyd-a model. Differ. Equations. 52 (6). p. 761-766.
16. POLYAKOV, D., ZVYAGIN, A. (2015) On dissipative solutions of the Jeffreys-Oldroyt-alpha equation. AIP Conference Proceedings. Advancements in Mathematical Sciences. 1676. p. 020089-1-020089-7.
17. Звягин, А. В., Звягин, В. Г., Поляков, Д. М. О разрешимости одной альфа-модели движения жидкости с памятью // Известия вузов. Математика. — 2018. — № 6. — C. 78-84.
ZVYAGIN, A. V., ZVYAGIN, V. G., POLYAKOV, D. M. (2018) On solvability of a fluid flow alpha-model with memory. Russian Mathematics. 62 (6). p. 69-74.
18. LIONS, P.-L. (1996) Mathematical topics in fluid mechanics. V. 1. New York: NY: Oxford University Press.
19. Бардос, К., Тити, Э. С. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости // УМН. — 2007. — Т. 62(3-375). — C. 5-46.
BARDOS, C., TITI, E. S. (2007) Euler equations for incompressible ideal fluids. Russian Math. Surveys. 62 (3). p. 409-451.
20. Звягин, В. Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию математических задач гидродинамики // СМФН. — 2012. — Т. 46. — C. 92-119.
ZVYAGIN, V. G. (2014) Topological approximation approach to study of mathematical problems of hydrodynamics. J. Math. Sci. (N. Y.). 201. p. 830-858.
21. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск.: Научная книга, 1999. — 364 c.
FURSIKOV, A. V. (1999) Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications. Providence, Rhode Island: Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society.
22. Звягин, В. Г. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред / В. Г. Звягин, М. В. Турбин. - M.: КРАСАНД УРСС, 2012. - 412 с. ZVYAGIN, V. G. and TURBIN, M. V. (2012) Mathematical problems of hydrodynamics of viscoelastic media. Moscow: KRASAND URSS.
23. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. — M.: Мир, 1981. - 408 с.
TEMAM, R. (1977) Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. Amsterdam: North-Holland.
24. ZVYAGIN, V. G., VOROTNIKOV, D. A. (2008) Topological approximation methods for evolutionary problems of nonlinear hydrodynamics (de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications vol. 12). Berlin: NY: Walter de Gruyter & Co.
25. SIMON, J. (1987) Compact sets in the space Lp(0,T; B). Ann. Mat. Pura Appl. 146 (4). p. 65-96.
26. ZVYAGIN, V. G., VOROTNIKOV, D. A. (2008) Approximating-topological methods in some problems of hydrodynamics. J. Fixed Point Theory Appl. 3. p. 23-49.
27. VOROTNIKOV, D. A. (2008) Dissipative solutions for equations of viscoelastic diffusion in polymers. J. Math. Anal. Appl. 339. p. 876-888.
