Научная статья на тему 'К проблеме несуществования диссипативной оценки для дискретных кинетических уравнений'

К проблеме несуществования диссипативной оценки для дискретных кинетических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
100
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДИССИПАТИВНЫЕ ОЦЕНКИ / ДИСКРЕТНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ / DISSIPATIVE ESTIMATES / DISCRETE KINETIC EQUATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Радкевич Евгений Владимирович

Для дискретных уравнений кинетики доказано существование глобального решения в пространствах Соболева, получено разложение его по суммируемости, исследовано влияние осцилляций, порождаемых оператором взаимодействия. Доказано существование подмногообразия ${\cal M}_{diss}$ начальных данных $(u^0, v^0, w^0)$, для которых существует диссипативное решение. Показано, что при отклонении начальных данных $(u^0, v^0, w^0)$ от подмногообразия ${\cal M}_{diss}$ оператор взаимодействия порождает недиссипативную часть решения "--- солитоны (бегущие волны). Амплитуда солитонов пропорциональна расстоянию от $(u^0, v^0, w^0)$ до подмногообразия ${\cal M}_{diss}$. Отсюда следует стабилизация решений при $t\to\infty$ только на любом компакте пространственных переменных.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On problem of nonexistence of dissipative estimate for discrete kinetic equations

The existence of a global solution to the discrete kinetic equations in Sobolev spaces is proved, its decomposition by summability is obtained, the influence of its oscillations generated by the interaction operator is explored. The existence of a submanifold ${\cal M}_{diss}$ of initial data $(u^0, v^0, w^0)$ for which the dissipative solution exists is proved. It’s shown that the interaction operator generates the solitons (progressive waves) as the nondissipative part of the solution when the initial data $(u^0, v^0, w^0)$ deviate from the submanifold ${\cal M}_{diss}$. The amplitude of solitons is proportional to the distance from $(u^0, v^0, w^0)$ to the submanifold ${\cal M}_{diss}$. It follows that the solution can stabilize as $t\to\infty$ only on compact sets of spatial variables.

Текст научной работы на тему «К проблеме несуществования диссипативной оценки для дискретных кинетических уравнений»

УДК 517.958:533.723

К ПРОБЛЕМЕ НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ ДИССИПАТИВНОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Е. В. Радкевич

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет,

Россия, 119899, Москва, Воробьёвы горы.

E-mail: evrad07@gmail. com

Для дискретных уравнений кинетики доказано существование глобального решения в пространствах Соболева, получено 'разложение его по суммируемости, исследовано влияние осцилляций, порождаемых оператором взаимодействия. Доказано существование подмногообразия Mdiaa начальных данных (и0, v°, w°), для которых существует диссипативное решение. Показано, что при отклонении начальных данных (и0, v°, w°) от подмногообразия Mdiaa оператор взаимодействия порождает недиссипативную часть решения — солитоны (бегущие волны). Амплитуда солитонов пропорциональна расстоянию от (и0, v°, w°) до подмногообразия Mdiaa- Отсюда следует стабилизация решений при t —У ос только на любом компакте пространственных переменных.

Ключевые слова: диссипативные оценки, дискретные кинетические уравнения.

1. Введение. В этой статье мы продолжим исследование [1] проблемы несуществования диссипативной оценки Коши для дискретных кинетических уравнений (модели типа Бродуэлла [2] газовой динамики с конечным числом различных скоростей частиц и конечным числом разных парных взаимодействий):

дtm + (ujixdx + LOiydy + wizdz)ni =

= (T%(nkni-щщ), i = l,2,...,N, (1)

поставленной в 1974 г. в [3]. Общим для таких систем с кинетическим уравнением Больцмана является выполнение уравнения неразрывности

, N ч N

+ дх Y^jxdx + ujjydy + ujjzdz)rij = О,

S=i ' j=i

сохранение импульса и справедливость Н-теоремы Больцмана [4-6]

дt{ni In щ) + (ojixdx + LOiydy + Wizdz)(rii In щ) =

У" crij, In f

ЧЩПк'

Евгений Владимирович Радкевич (д.ф.-м.н., проф.), профессор, отделение математики, каф. дифференциальных уравнений.

Отличие состоит в том, что не сохраняется энергия и нет диссипативной оценки. В этой статье мы постараемся выяснить причину отсутствия диссипативной оценки для одномерной модели типа Бродуэлла (см. [3]). Доказательство переносится на двумерную и трёхмерную модели в [3]. Рассмотрим задачу Коши:

12 1

+ дхи = -(у2 — ум), дгУ = —{у2 — ум), с^у) — дхги = -(у2 — ум)-, (2)

ее е

■и(О) = у0, у(0) = у0, «;(0) = уи°,

на прямой х € К для £ > 0. Система (2) является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа [4], состоящего из частиц со скоростями С = 1, 0, —1 (их ПЛОТНОСТИ соответственно У = П\(х,1), У = П2(х,Ь), у) = пз(х, £)).

2. Малые возмущения. В окрестности состояния равновесия у2 = уеуие решение будем искать в виде

у = уе + е2у^2у, у = уе+ е2у^2у, у] = у]е + е2уи1^2гП.

Тогда система запишется следующим образом:

+ Адх&+ -В& = еи1/2Т(и,и), (3)

£

и (о) = и0

где

А = 0 0

У1'2 =

0 °\ ( У0е -2у/у}еуе

0 0 ■ В = -2у/у)еуе 4 уе

0 -V \ Уе -2 у'УеУе

/ ■Ше/2 ^

-2 ,е1/2 , Т(и,11) = у2 — ууи, II =

V у,1/2

Положим Ье = уе + у]е + Ауе.

Определение. В дальнейшем равномерно стабилизирующееся к нулю решение будем называть диссипативным. Решения, стабилизирующееся на любом компакте, будем называть компактно-диссипативным. К таким решениям можно отнести решения, состоящие из двух частей: диссипативной и суммы солитонов (бегущих волн).

Теорема 1. Пусть начальные данные (у°,у0,у)°) удовлетворяют соотношениям

™1/2(дх + -Ье)уи0 + -у1е/2-Ьеу0 = 0,

V е ) 2 е

и1/2(~дх + -Ье)у0 + \у1/2-Ьеу0 = 0.

V е ) 2 е

Тогда существуют постоянные ае>а и цо € (0,1), не зависящие от е, что для V0 € Н2а(Ж), а > 1/2 такого, что норма ||г’°||я2ст(к) ^ ^е,а, существует глобальное решение задачи Коши для системы (3), (и, V, «;)€ На(Ш)))3,

для 7 = Цое. Здесь норма / € На(Ж) определяется преобразованием Фурье

Ж):

/°° ~

(1 + 1е1)2<7|/Ш|Ч<оо.

-сю

Норма

2 . — [ Л|Я,ГЛ1?__ 4- 11ГП1?

Ж217(К+;(Яст(К))3) ~ е 7 (11^^11(ЯСТ(К))3(^) + 11^И(Яст(К))з(^)]

Доказательство теоремы 1 мы приведем ниже.

Множество начальных данных (и0, V0, и)0), для которых существует диссипативное решение, будем называть подмногообразием диссипативности М^зз-Как мы покажем ниже, оператор взаимодействия при отклонении начальных данных (и°, V0, ги°) от подмногообразия М^зз порождает недиссипативную часть решения — солитоны (бугущие волны). Амплитуда солитонов пропорциональна расстоянию от (и°, V0, к;0) до подмногообразия Млгзз- Отсюда следует стабилизация решений при £ —> оо только на любом компакте (отсутствие диссипативной оценки на всей прямой ж € К). Все полученные результаты переносятся на двумерную и трёхмерную модели (1), приведённые в [3].

3. Сведение к одному уравнению. Следуя [1], в образах Фурье по х:

/ОО ^

e~%£xU (^ x)dx

■ОО

систему (3) сводим к системе ОДУ

ul/2 О + ^ (weulJ2u{t, £) + uewlJ2w(t, £) - 2vevlJ2v(t, £)

= £Ve / (v(t, £ - rj)v(t, rj) - u(t, £ - rj)w(t, г]))dr],

J —OO

wl!2 - i£)w(t, 0 + ^ (weulJ2u{t, i) + uewl/2w(t, 0 - 2vevlJ2v{t, {)) =

= £Ve / (v(t, £ - rj)v(t, rj) - u(t, £ - rj)w(t, rj))dr],

J —OO

~1^/2МЦЬ’° + £ (WeUe/2^(t’0 + uewl/2w(t, 0 - 2vevl/2v(t,0^ =

= £Ve / (v(t, £ - rj)v(t, rj) - u(t, £ - rj)w(t, r]))dr].

(4)

' — CO

Как обычно (см. [1]), используя два закона сохранения (законов сохранения для импульса и уравнения неразрывности) для системы (4), понизим

с условием у(0, £) = 0, где

к

о

£

хз

р

го

к

Я)

к

к

3

м

?*+•

</>>

го

к

р

м

Д!

?*+.

</>>

I

т |м

Сгч

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

П)

«-к

</>>

+

?*+•

</>>

а.

порядок системы, сведя ее к двум уравнениям состояния

X -Г

1 „У2

1/2 v и О 1/2

We Z We

е-jbe tv0

/о°

piv(t-s)p—sLesds

dr],

L(v) = f {e Let (v° (£ - r?)+y(t, С ~г])гР (r?)) +

J — oc \

1 1/2 / 1

2 «У2

•({ - ’?)"“« - 4) jf°° e-ll-">"-‘>e-iL‘‘ds + e-iL-V(( - ч) j

X (y(t,r])+ir] J S^y(s, rj)ds ) +

1 v,

1/2

2 1/2 Jo e г(? ч)(* S)y(s,£-r])ds )x

/ 1 1 v1/2

\гуе we

Здесь

e sLetV°'

/ОС

piv(t-s)p--Lesds

1 У00 1

^■(0=иУ2^Ш+^2^°(0 Jo e^se-^sds,

ОС

D+(0 = wlJ2d+(i) -i^vl/2v°(0 J e-^se~sL-sds,

dr].

где

1 V,

1/2

1 V,

1/2

d (0 =«°(0 +«“шАО. d+(() =w°(0 +

2 uj 2 wj

По аналогии с [1] мы рассмотрим три типа глобальных решений.

1) Диссипативные решения выделим условием на начальные данные

D~(0 = D+(0 = О, Є R1.

Как мы покажем ниже, здесь в согласии с приведённым выше определением решение равномерно стабилизируется к нулю. Тогда уравнение для функции

y(t,0:

Цу(і, о = + H(t, О + 2evlJ2B(y, у) + 2evlJ2L(y) + у(0, £) = О,

те же В{у,у), h(t,(), и L(y). Здесь, так же как в [1], решение y(t,()

будем искать в виде

y(t,0=Tf\Y(t,0).

Таким образом, неизвестной будет функция Y(t,{) Є L2;7(M+) весового гильбертовою пространства с нормой

РОС

\\У\\ь2,(ж+)= е2^| Y(t,0\2dt.

Jo

Существование и свойства обратного оператора Тj 1 мы исследуем ниже, в п. «Интегро-дифференциальные операторы с трансляцией».

2) Исследование проблемы существования глобального решения задачи Коши для возмущений (3) абсолютно равновесного состояния (см. [1]) показало, что для комплекснозначных начальных данных трудности связаны с появлением секулярного члена

/СО

D-it-riD+We-K-Wdri (6)

-СО

в (5), порождаемого оператором взаимодействия. В ж-представлении получим

S(t, ж) = —2eV~(x — t)V+(x + і),

где S(t,£) = S(t,£), Ї,±(С) = -0і(О — преобразования Фурье по х. Таким образом, мы имеем мультипликативный эффект оператора взаимодействия, в отличие от аддитивного эффекта оператора взаимодействия для комплекси-фикации

dtU + Адхи + -BU = еиШеТф, U),

_ є (7)

U( 0) = и0

системы (3). Переход к комплексификации (7), как показано в [1], упрощает (6):

/•со ______ Г ОС ________

= єе~г^І - rj)D+{rj)dr] + єег^ / D~(£ — rj) D+{rj)dr],

' —CO

в ^-представлении —

5м(£, х) = —е(1С~(х — £) + /С+(ж + £)).

Здесь

/СО _____

D~{t,-r})D+{r})dr},

-СО

/СО _

^(£-г?)£+(г?)^

-со

— преобразования Фурье по х. Существование глобального вещественнозначного решения задачи Коши для системы (3) (см. [1]) следует из существования глобального вещественнозначного решение задачи Коши для комплексификации, что позволяет доказать [1] следующий результат.

Теорема 2. Пусть вещественнозначные начальные данные (и°, V0, к;0) € Н3а(Ж) для а > 1/2. Существуют постоянные ке>(Т > 0, цо € (0,1), не зависящие от е, такие, что при

существует глобальное решение (u(t,x), v(t,x), w(t,x)) системы (3) такое, что

u(t,x)-----\j^D~(x - t) + е-^Ф_(ж - t) € Ил21)7(М+;Я<7(М)),

Ue Ve

w(t, x)----\j^D+(x + t)+ е-^Ф+(х + t) € И/21/т(М+; Ha(R)),

we ve

v(t,x) € Wr21;7(M+; Ha(R)), 7 = fx0e,

где

(~Le - dx)D~(x) = ulJ2(-Le - дх)и°(х) + ^-^/2Ье^°(ж),

\£ J \£ J 2e ^

[^Le + 9ж^)-0+(ж) = Wg/2QLe + дх^°(х) + ^Vg/2LeV0(a;);

Ф+(ж) = ^G+(x) - ^е3^дФ_(ж)Ф+(ж),

Ve

Ф_(ж) = -С-(ж) - ^£3^Ф_(ж)Ф+(ж);

t Z Ve

G+(x) = 2^j-D+(x) — e2D~(x)D+(x),

vj

G~(x) = 2^j-D~ (x) — e2 D~ (x)D+ (x)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

vj

для почти всех x € R. Функции Ф± определяются условиями несекулярно-сти для оператора взаимодействия (нелинейной части в (3)).

Здесь, в согласии с приведённым выше определением, мы имеем решение компактно-диссипативного типа, которое состоит из суммы солитонов и диссипативной части. Профиль солитонов восстанавливается уравнениями (8) по начальным данным (и°, v°, w°). Равенство нулю правых частей в (8) отвечает условиям теоремы 1.

Таким образом, для вещественных начальных данных в целом вклад оператора взаимодействия — аддитивный, порождается появлением солитонов при отклонении начальных данных (и°, v°, w°) от подмногообразия Mdiss начальных данных, для которых есть диссипативное решение. Амплитуда солитонов пропорциональна расстоянию от (и°, v°, w°) до подмногообразия -M-diss• Отсюда следует стабилизация вещественных решений (3) при t —> 00 только на любом компакте (отсутствие диссипативной оценки на всей прямой).

3) В общем случае (комплекснозначных начальных данных), как мы отмечали выше, трудности исследования связаны с секулярным членом (6). Здесь справедлив следующий результат.

Теорема 3. Пусть комплекснозначные начальные данные и0, v°, w° € Н1+За(R) для а > 1/2. Существуют постоянные ке,а > 0, /хо € (0,1), не зависящие от е, такие, что при

ke,a (11 vP | \н1+3а (R) + ||'и°||я1+3ст(К) + ||'и;0||я1+з^(К)) < лД

существует глобальное решение (и(Ь,х),у(Ь,х),и}(Ь,х)) системы (3) такое, что

«(£, х) — Т>~(х — £) — Ни{х — 1,х + 1) € И/21)7(М+; ЯСГ(М)),

Ц]{1,х) - £>+(ж + £) — Иы(х - ж + £) € И^2)7(М+; ЯСГ(М)), г>(£, ж) — V+ (ж + £) — Т>~(х — £) — 'Нь(х — ж + £) € И/’21;7(М+; ЯСГ(М)),

где 7 = /х0е; ££0*0, £^0*0> ^0*0 ^ Я2<Т(М); Ни(х,у), Нт(х,у), Н^х,у) €

д-2сг,1+2сг|']^2^ у 1+2сг, 2сг^2^ и фуНКции %и(х — £, Ж + £), 'Н-Ш{х — £, Ж + £),

^(ж — £, ж + £) —конечные суммы произведения солитонов. Отсюда следует стабилизация решений при £ —> оо только на любом компакте.

Таким образом, в случае комплекснозначных начальных данных в целом вклад оператора взаимодействия — мультипликативный, порождается появлением солитонов и дисперсионной части.

4. Интегро-дифференциальные операторы с трансляцией. Теперь исследуем интегро-дифференциальный оператор с трансляцией

ту {г, ж) = дгУ(г, ж) + -ьеу(г,х)+

£

1

+ дх- \иеуи,х + (£ — 8)) — ЮеУи, х — (£ — ж € М, £ > О,

е 7о

где

у (г, ж) =

т.е. у(£, £) — преобразование Фурье по ж функции У(1,,х) € Ь2,7(М+; Ьг(М)). В образах Фурье по ж имеем

Цу(1,0 = + -£е2/(*,£) +*£- / (иеег^~з) - адее“г?(*“5))у(8,{)Й5-

М £ £ Уо

Этот оператор, отметим, является линеаризацией уравнения (5). Чтобы получить оценки решения задачи Коши

Цу&,0 = /, у^,0|4=о = 0

в Соболевских нормах, приведём сначала широко известные факты, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Определение 1. Назовём пространством Харди Н2(Кер > 7, Я) класс вектор-функций /(р) со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве Я, голоморфных в полуплоскости {р € С : Лер > 7 ^ 0}, для которых

/+00 ........

II/('■'■ I >У)\\и(1У < ос, р = х + 1у.

-оо

Сформулируем теорему Пэли—Винера для пространств Харди.

ИЗ

Теорема 3 (Пэли—Винера).

1. Пространство Hz(Rep > 7, Н) совпадает с множеством вектор-функ-ций (преобразований Лапласа), допускающих представление

—- 1

fi'P) = ~i= / ept f(t)dt (9)

V Jo

для f(t) € L2)7(M+, H), p € С, Rep >7^0.

2. Для любой вектор-функции f(p) € Hz(Rep > 7, H) существует единственное представление (9), где вектор-функция f(t) € L2tj(R+, Н), причём справедлива формула обращения

1 f°° -----------------

f(t) = -j== / е(7+г?/)*/(7 + iy)dy, t € R+, 7 ^ 0.

V J —OO

3. Для вектор-функций f(p) € H2(Rep > 7, H) и f(t) € L2)7(R+, Я), связанных соотношением (9), справедливо равенство

_ r+00 .......

Il/Il/Mli,:,,>..//! = sup / ||/(ж + м/)||я(й/ =

ж>7 J — 00

roc

= Jo e~2li\\f{t)\\2Ndt = ||/||£2(к+;я)-

JIemma 1. Существуют постоянные ао > 0, Цо € (0,1) такие, что для 7 = Цое и любой функции / € L2;7(R+) существует единственное решение y(t,£) € L2)7(R+), £ € R, уравнения T^y(t,^) = / такое, что

y(t,0\t=o = 0,

и равномерно по { € R: d

7(М+) ^ 0,0 11 /1 |l2,7(R+)-Доказательство леммы 1 приведено в [1].

Лемма 2. Функции Т^_1(е±г^*) € ИЛ21;7(М+) и существует ао > 0 такое, что равномерно по { € R имеем

\\Т[\е^)\\ч^+)^а0.

Лемма 2а. Функции

Ji = -i( [ e-^{t-s)T-l{e^s)ds, J2 = i£ [ e^{t-s)T-\e-^s)ds € Ь2, Jo Jo

и существует ао > 0 такое, что равномерно по £ € М имеем

11-^11к2,7(к+) + \\М\ь2,~/{к+) ^ ао-

Например, рассмотрим . Доказательство следует из равенства

-г£ [ е-*(*~8)ТГ1(е*8№ = - [ ^-ТГ1(е^3)(18 + Т7\е^г) (10)

Уо Jo ив

и результатов лемм 1 и 2, в силу которых правая часть (10) принадлежит

1,2,7(М+).

5. Диссипативное решение. Вернёмся к исследованию диссипативного решения, определяемого уравнением

ЦУ^,0 = ^(*>0 + н^,0 + 2еь1е/2 В(у,у) + 2еь1е/2 Ь(у) + у( 0,0 = 0. (11)

Так же как в [1], решение у(Ь,£) ищем в виде

у&о = Тё1(у(Ш.

Тогда

В(¥,¥) = В(Т^(Х(Ш,Т^(Х(Ш), С(Х) = Ь(Т^(Х(Ш)

и уравнение (11) сведётся к уравнению для У(£,£) в гильбертовом пространстве Ьг,7(

¥(1,0 = \К1,0 + Н{1,0 + 2еу1е/2В{¥,¥)+2еу1е/2С{¥). (12)

6. Билинейные формы. Рассмотрим билинейную форму В(у,у)=[ \у^,(-г])у(1,т])-

J —сю I»

(у&, с - Г]) - - Г]) ^ е-г[(’-11)[1-з)у(8, £ - <п)й8^ х

X (у{1,'п) + щ J ег’п^~3')у(8,г])с18

с1г].

Заметим, что

К /*£

е±г?(* з)у(з, 0(1.8 = у е±г^ 3')-11-у(8,0(1.8.

-.-1

Для у = Т? (¥{Ь,0) имеем

/_

*(£-»7) [ ■)о

х (Т-1(¥(1,г]))+1Г] еЩ^Т~1¥(8,Г1)<18) \йг].

Будем говорить, что У(£,£) € Ь2)7(М+;'НСГ(М)), если ограничена норма

Тогда для обратного преобразования Фурье по пространственной переменной

имеем У(1,х) € 1у2)7(М+; На(Ж)). Для -Р(£,{) € 1у2)7(М+; 'Нсг(М)) положим

А(т{Р) = Н-^Ньг^К+^СК))-Теперь рассмотрим итерационную последовательность

+2сте1/2Б(Г(га-1),Г(га-1)) + 2гие1/2£(У(п_1)), п € М, (13)

г° = ^,е) = -^,е) + я^,е).

£

Лемма 3. Пусть А2а(Р) < оо для а > 1/2, тогда существует постоянная са, не зависящая от £, такая, что при условии

члены итерационной последовательности (13) удовлетворяют оценке

где постоянная ао определяется леммами 1,2.

Доказательство леммы 3 также приведено в [1].

7. Нелинейное уравнение (диссипативное решение).

Следствие 1. Из леммы 3 для любого фиксированного £ € М следует слабая сходимость в £2;7(К+) итерационной последовательности к функции ¥(Ь, £) € £2,7(М+), удовлетворяющей оценке

/ОС Г ОС

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

е27*/ (1 + |е|2г\¥(ш2т.

ЛО -у ос

Л^) = ^(пи))

¥^(г,0 = 1нг,0 + н(г,0+

ив

Нетрудно доказать, что функция У(£, £) измерима по £. Из оценки (14) следует, что функция У(1;,£) € £2)7(К+; 'НСГ(М)) и итерационная последовательность сходится к в £2)7(К+; 'Нсг(М)).

Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 3 и

£ ^а°(а°А2ст + ^°И^(«)) = < 1-

Тогда итерационная последовательность (13) фундаментальна в Ь2)7(М+; На).

Доказательство леммы 4 приведено в [1].

Теорема существования. Пусть выполнены условия лемм 3, 4. Тогда существует решение У € £2)7(К+; 'НСГ(М)) уравнения (12), удовлетворяющее оценке

Пк2,7(м+)Ш < 1№£)1к2,7(к+) + (1^|)2^ ^ € м. (16)

Доказательство. Существование глобального решения следует из следующих утверждений:

1) из оценки (14) следует, что слабый предел У^,() € 7(К+; 'НСГ(М)) и

2) из леммы 4 следует, что У<п) в £2,7(М+;?Г(М));

3) по аналогии с оценками леммы 4 нетрудно доказать, что

-в(у;у)|||2л(,+;№(м)) <

4-иее2||£((К^ _ ^))11|2>7(к+;'н^(к)) ^

^^2^1к0||^Л(^(га)-Л11|2,7(м+;^(м))-

Отсюда следует, что У(£,£) — решение уравнения (12) в 1у2)7(М+;'НСГ(М)). □

Теорема единственности. Пусть выполнены условия лемм 3,4. Тогда в классе функций У € £2)7(К+; 'НСГ(М)), удовлетворяющих оценке (16), решение уравнения (12) единственно.

Доказательство. Пусть есть два решения У, У\ из этого класса. Тогда по аналогии с оценкой (14) можно получить неравенство

КУ-УгЖ 7(К+;'Н‘Т(К))

откуда следует единственность решения. □

8. Условия разрешимости. Теперь перейдём к оценке А2а(Т). Для этого оценим

Я(*,£) = 2еу1/2 I |й°(£-г?)й°(г?)^е-

1 Г 1 /*°° 1

__ + г({ - г?) / е-^-^-з)е~-^Ч8

егф-8)е-\Ье8Л8

Имеем

_;^2<т) ^ £24^2(7 ||^° 11^20

с1г].

В то же время

1

\Ь2П(Ж+;Н2°

Отсюда следует существование постоянной са > 0, не зависящей от е, такой, что

^2(7^ ° 11^° Н?^2СТ(Ж) (1 + е3 ||г7° ||^2СТ (М))

(17)

Отсюда следует следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть для а > 1/2 имеем

2

\\у0\\и^ту/о (х + «оС2(1 +е3|к0||^2ст(к))) < 1.

Тогда существует решение У € £2)7(К+;'НСГ(М)) уравнения (12), удовлетворяющее оценке (16).

Доказательство теоремы следует из результатов теоремы существования и оценки (17).

9. Вещественнозначные начальные данные. Как мы отмечали выше, для вещественнозначных начальных данных трудности исследования секулярных членов (6) преодолеваются переходом к комплексификации (7). Существование глобального вещественнозначного решения задачи Коши для системы (3) (см. [1]) следует из существования глобального вещественнозначного решения комплексификации (7). Здесь применимы приведенные выше рассуждения, если уточнить оценки билинейных форм В(у,у), Ь(у) в этом случае. Для комплексификации билинейная форма

В(у,у)=[ \У{1Л-Г))У^,Г})-

О —С© I

— - Не 4

У(1,£~Л) -*(£-»7) /о е

х (^У^,г]) + 1т] J г))<18^ |с£?у

для

у = Т-1т,0)+Т^(¥(1,0),

где £>(£, £) = Ф?ег?* + Ф_?е“г?*, ¥ (£, £) е ь2)7(м+).

Имеем

Б(у,у) = Б(Т-1(^,е)),Т-1(^,е))) + Б(Т-1(^,е)),Т-1(^,е)))+

+ в(т~1(¥ (г, 0),Т[1(о(г, £))) + в(т~1(о(г, 0),Т[1(о(г, £))),

где

в(т^(¥(Ш,т^(Х(Ш) = Г \т^(х(1, с- г]))т,~1(¥(1,г]))-

^ —ос \

- \ Ке (т-Д (У (*, е - Г?)) - г(£ - г?) £ е-^-^~^Т-\У(8, £ - г?)^ х Х +”7^ е^-^1!^,??)^ € Ь2;7(М+).

х ( Т,

Здесь

Т^(¥(1,0) ~гС ^ е-г^-^~1¥(8,0й8 = 1*е-г^^-Т^¥(8,0й8, Т[\¥(1,0) + гС^ег^~з)Т-1¥(8,0г18 = 1*е^-*)^-Т-1¥(8,0й8.

Проблема в том, что

[ е^-^Тг'О&Ойз Jo

не принадлежит Ь2;7(М+). В силу леммы 2

^ [ е^^-^ГГ^-^сгв, г£ [ е-^-^Тг'е^Чз € Ь2)7(М+), Jo Jo

в то время как

/•* 1 г£ / е-^-^Тг'е-^Чз = -е—е-** + еШ, £),

Уо ? и}е

(18)

где

С(*,0 = —Щ ег^~з)Т-\е-г^8 + —(^ + -Ье)т?-1(е-г0) € £2)7(М+).

УОе JQ 'Ше V (Ж £ /

Используя соотношение (18), мы можем преобразовать билинейные формы В(т^т,0), В(т^т,0),т^(г(г,0)) к виду

2єуіе/2в(т-іт,о),тгіт,о)) = в(ф,ф)~

- -е3—(е^

2 уТ

/СЮ РОС \

Ф_({ — Г])Ф+(Г])(ІГ] + е_г?* / Ф_(С — Т])Ф + (г])(1г] ), -СЮ .7 —сю /

2єУІ/2(в{ТГ1(В(і,0),ТҐ(Г(і,0))+В{ТГ1(¥(і,0)ТГ1т,0))=В(¥,Ф),

где £>(Ф,Ф) € 1у2)7(М+) и £>(Ф,К) € Ь2,7(М+); оценка проводится так же, как в п. 5. «Диссипативное решение».

Тогда уравнение (12) в этом случае запишется в виде

Г((,0 + 0(1,0 = + Я(і,{) - 2єиУ2В(Ф,Ф)~

1

г ии ии \

J ф“(^ — Г])Ф + (г])г1г] + е_г?* J ф_({ — Т])Ф + (г])г1г] | +

1

н—

є

■Ше

„!/2

+

— СЮ

СЮ

е"**+

2^П2В+(0-£2 [ В-((-т])В+(т])(1т]

Уе ]

—ос

+ 2£у1/2В(¥, ¥) + 2еь1/2(В(¥, Ф) + С(У)). (19)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, у нас возникли секулярные неинтегрируемые члены.

10. Условие несекулярности (вещественнозначный случай). Коэффициенты Ф±(^) найдём из условия отсутствия секулярных членов:

то = -£

- є I

і Уе'

+

и,р.

' — ОС РОС

е~г^+

і V,

- -е3—(е^

2 уТ

1/2

п+(0~є2 В-{^-г})В+{г})(1г]

е& I -

/СЮ РОС \

Ф“({ — Т])Ф+(г])(1г] + е_г?* / Ф_(С — Т])Ф + (г])(1г] ),

-СЮ О— ОС )

которое можно переписать как алгебраическую систему

1 1 1 Г°°

ф+«> = -єв+(0 - т/— I

Уе -З—оо оо

1 1 1 Г°° _________

ф"(0 = -с-(О - ~/—2 / Ф-(Є - гіФ+Шч

%)& «/ — сю

для всех £ € М, где

7/ ('°° _________

С+(£) = -е2 Я"(£ - л)В+Шл,

Уе ^-оо

яп /*00 ______

С-(О = 2^£>-(0 -е2 Б-(С- ^Б+Шг).

Це Л—оо

Нам нужны условия, когда существует единственное решение этой системы, такое, что Ф+({) € Н2а(Ш).

Лемма 5. Пусть (С+ ,С~)(0 € 'Н3о'(М), а > 1/2 и

Тогда существует решение (Ф+,Ф ) системы (20) в Н2а(Ш), удовлетворяющее оценке

Ща — 4^/2—^ (и^2 + у\!2 + мУ2^ (||м°||^зст(к) + ||^0||^зст(к) + || 10° .

Более того, решение единственно в классе (Ф+,Ф )(£), удовлетворяющих оценке (21).

Доказательство леммы 5 приведено в [1].

Решение условия несекулярности позволяет свести уравнение (19) к уравнению в гильбертовом пространстве

вида (И), разрешимость которого доказана в п. 5. «Диссипативное решение».

11. Общий случай (комплекснозначные начальные данные). Теперь перейдём к случаю комплекснозначных начальных данных, трудности рассмотрения которого связаны с секулярным членом (6). Этот факт приводит к необходимости исследования разрешимости уравнения

ЦХ = ^5 для специальных правых частей Р^ХБ, где

£Се (||ад0 ||-И3ст(Ж) + 1к°||-Н3ст(К) + 11^° ||-И3ст(Ж)) ^ 1

где

(21)

где

У{1, о = ^(*, О + т, О + 2^е1/2£(Ф, ф)+

+ 2£У1е/2В(У, У) + 2еу1е/2(В(У, Ф) + £(У))

Г ОС

= — / е~г^~2г]^ — г))В+(г))с1г)

</ —ОО

и ~ обратное преобразование Фурье. Ниже мы докажем существование решения задачи Коши

т^ = е5(*,о, г(г,ои=о = о, (22)

с точностью до правой части еС}+{^)ег& + £Я~(0е~г^ + е (диссипат) (с точностью до преобразований Фурье по х бегущих волн и диссипативного члена (экспоненциально быстро убывающего)).

Мы рассмотрим более общую правую часть вида

/СЮ

е-г^-2фЕ>(( -г],г])(1г].

-ОС

Решением ^В{Ь, £), ^Ь(^) О) задачи Коши (22) с точностью до правой

части + Яв(0е~г^' + £-^Ь(^)0 будем называть решение следующей

задачи:

Т№в&£))=е8в&£) + Я+е** + Япе-** + еРв, гп(г,ои=о = 0,

где Рв € 1у2)7(М+), С € М. Обратное преобразовании Фурье Р^х имеет следующий вид:

Р^х(зп)(г,х) = т>(х - г,х + £),

где

Рх->£,у->г,(РШ,Г1) =

— преобразование Фурье функции Т>(х,у). Тогда

00 с1г]

^2 (7 РОС РОС

/ОС РОС \

/ (1 + М)2^1 + |£ - г}\)2а{Щ - V, I +

-сю ^ —ос )

1-00 (1 +

/СЮ РОС

/ (1 + М)2<7(1 + |£ - п\)2а(Е>а - V, Г]))2(1Т]Х

-оо </ —со

РОС

/со (1 + |£%|)20^} <4^||£>||^(К2)> ^ (1 + М)2-‘

Лемма 6. Пусть £)(£, ?у) € 'НСГ+1’0'(М2) П 'НСГ’<7+1(М2). Тогда существует решение , <5д(С), Ро^,0 задачи Коши

щгв(1,0)=е8и(1,0 + Яр^ + ЯЪ^ + £ Ы^О, гв(1,о\г=о = о.

такое, что

ООС /»£

/ОС РЪ

/ - Г], Г], в)е^-з)сШг) =

-ос ^0

/со

— г),г))егг]*с1г)+

-ОС

+ Д+(Ое** + + еСв{1, о, (23

где

- г/, г))е1г>*с1г] <

(К+;Н* (К)

< с0£1/2(||Т>|| ^СТ + 1,СТ(К2) + ||_0||^СТ,СТ + 1(К2)),

1|е±г?*^(011 (М+;НСТ(М) ^ Со£1/2(||-0||'^<т+1,ст(К2) + ||Т>||-^<х,<х+1(

?£> (к) ^ £1^со\\Щиа’а {¥,?)■, ^ с0 ЦЩн^^СШ.2) •

Доказательство.

Построение решения ZDІt,^)> ^Ь(^0-

Для 2<? < 1, <? > О, рассмотрим непересекающиеся интервалы

ш = {г? € М,|г?| < (?!{!}, /2(0 = {г? ем,|£-г?|< ^|}) /0 = М\(/1и/2).

Сделав преобразование Лапласа по положим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Г Щ^4тЛч=!

/_оо р + г(£ - 2г?) 7/о р + г(£ - 2г?)

£*(£ - V, п)

+

*) + /

} р + г({-2г?) } р + ^-2г])

1)В области /о, где |г?| > д|{|, |£ — г?| > д|{|, решим уравнение

/ [ ^о(С, ?7, ^ ^ с1з(1'Г] =

Ло -/О

= ^о(и) + д+(е)е^ + д-(Ое-^ + ^оМ, е е /о,

где

Зь<Р,0= /

//О Р + *(£ - 2??) преобразование Лапласа 5о по £ и ТЬ(£, {) € Т2)7(М+;'НС 1а) Сделав преобразование Лапласа по получим

е еУр-г( р + г^/ .) 1о р + - 2щ

МС,л,р)

— с1г] =

г^ие г£ъие

1

-ие Н------------ъи(

1

р — р + г^у р + — 2гг] \2(£ — ту) 2г) / р + — 2гг]

+

-+

1 С 1

ие----------гг + — и)е----------------

Р-г£ 2г? Р + ^'

Тогда

1

"” = Л„ [р+ё

+ Пер-г£ Л0 Щ-Л)

£

^р_ ~~т~1 г и р. ~ 'IV,

— с1г1+

2(£ — г]) 2г) 1 / р + — 2гг]

£ ^ 1 Г А

-о(£,'П,р)<1г1 + и)е I —((,Г],р)(1т] =

На множестве г] Е /о положим

-о(£,»7,р) = £

Р+7

2(£-г])Пе

е I т^шьч.

Ло Р + *(£ - 2??)

, 77 € /0.

Отсюда

1

Я = ~ие

~Р~г£ У/0 2(^ — 77)

На интервале /о имеем

т° - е / ДС Л, л) , = + +

Ло Р + *(£ - 277)

£ ^ _ 1 -0((,т],р)(1т], д =-и),

Р + г( Ло 2??

7Г-о(С,г],р)(1г].

£ £ ^ т- Л ие +

Ье. - -ГГ-----------------гМр. - — «V. ^ Тр ( 1 -

2(£ - г?) 2г?

если

ие + иие 2 дЬе

1 > 2<у >

2дЬе

ие +1ое ЬР

) = а0 > О,

1 +

4г)е

-ие+г«е

Отсюда

<; е-Н°о*, Уг?е/0.

Сделав обратное преобразование Лапласа (р —>■ £), в образах £ имеем

(24)

Ьр^Д+ = -ие / ег?(* 5) / —-------------а0(£,77,5)^77 =

У о У/о 2(£ — ту)

-иев** / е“*

%Ш~Л)

10(£,Г],$)й8(1г]+

гШ-э)

- С п с I п о пп

Также

Ьр^іЯ =-ыее / еф / —(£,гі,$)(і8(ігі+

Уо У/0 гг!

/*оо

+ юе е

.н Л0 2г1

Таким образом, имеем і

Ф *) ( —-()(£, ?у, 5)с£зс£?7.

Ъ

[ ( ^о(С, Ї?, ^)ег(-2?7 (І8(ІГ] =

і/о -/О

= + Я^ІОе^ + ЯоіОе-^ + (і, О, (25)

где

/•СО /*

Яо (О = ~™еЄ / Є*8 /

./о 7/(

/•со /*

Яо(0 = -ие£ Є*8

</ 0 ^ І0

Щ - V, л)

Іо 2т? + і [Те - 2(^)Ие -

СІвСІГ],

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-1 I £>(£-77,77)

/о 2(£ - 7?) V?) + 4 [Те - 2(^у^е - |^е]

СІвСІГІ,

/,

-1

\ ^ I 1

2(Є - 7?)-

£*(£ - »7, »7)

Р + є 1А - 2Т?3

Ие - 7^7 гУе

2(?-Ч) “е 2Ч

СІЗСІГ].

1Ь) Теперь сделаем оценку правых частей в (25). Нетрудно видеть, что

Щ - V, Г})

ОоК) = -^еГе«'/ |-Ь-Д,(—-

Уо У/о 2т? + - [Те - 2[Г^Пе - ^е\

-1

яиО = -Пе е*/ —

Уо У/о 2(4 - Г]) \р + А [£е - щЬ^ие - щЫе]

(ІвСІГ], СІЗСІГ].

(ОНн-(к) ^ 1 / Кі + МГ^ + ІС-^ІГДС-^)!2^

1

+

/О (1 + М)2СТ 1

т

'Р-« І і

1

Р+~е[Ье~ хЬ)Пе -1

'/о (1 + ІЄ - л\)2°

т

-і \ , і

Р+~е[Ье~ хЬ)Пе -

(їв

(їв

СІГ]+

Лг] }<%,

(26)

где в силу (24) имеем ( 1

'1о

(1 +

-1

\2а '

ь

2г/ 2

^ -тт

йв\2(1г1 ^ (1г)

4 Л„ (1 + НГ 4^'

Также оценивается второй член в (26).

2) Теперь исследуем окрестности /2, где \г]\ ^ |£| — |£ — г]\ ^ (1 — д)\(\, 1С-2г?| ^ |£|-2|£-г?| > (1-2д)|£|, если |£-?7|<д|£|.

2а) Имеем

П2 Р + р-^ ]н

-2 / (( ~г],г])

,)12

Далее

г£-ие г£гое \ 1

1

(р + г£-2гг?)(р-г{)

ттгС1г].

ие + — и>(

1

2 ({ — г?) 2г? /?> + *£ — 2гг?

+

-+

1 С 1

ие----------гг + — и)е----------------

Отсюда

Ш~Л) Р~г£ 2г? р + г£' (,£,г],Р)

1Т / £ гюе

Р+еН1+2^Ь~е

(р - Ю + 7-------------------^г?-

г / (р + г£-2гг?)(р-г{)

1 1

------и}е---------

где

С

^ с\ > 0, г? € /2, 11ер ^ — Цое.

Доказательство этой оценки аналогично оценке снизу леммы 3.1 в [1]. Здесь

1 г / £ 10е Р+еЬе{1+2^Те

(р - Ю + -г£ие =

£

= {р- гО'Р

= {р- гОр

1 г Л £ ъие\1 1/ 1 1\

+ -М о- ~г~) ^ ~м т —)

£ V 27] ЬеУ р £ \{р — 1с,) р/

1 л. 1 Г Л М 1 . Ч 1

е е1 2г?Те Ье)р е е{р-гО)

где

1 т- л £ и,е ие \ 1 1 1

В то же время для р = имеем

^ С1д > 0, Г1ер ^ —Цо£, V € /г-

■с I 1 г л I £ '“М •* 1Г л , ( №е ие\_ 1

гС+е е(1 + 2г?те) ^ £е\+2г]Ье Ье)~£ие^°’

для р = О имеем

если £ ф 0. Положим

г£-Те

£

£ уое ие

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 + -—- —-2г?Те Те

Ф 0,

ЫС,Л,р) = -2г-

(£-»7)-0(£-»7>»7)

Ь + ^е(1 + 4^)] (р - г£) + ±г£ие

\/г? € /2.

Тогда

1 1 / гЫе г£«же

р+-Те + -' 4 4

— (17) =

£ £ \р — г£ р + г£/ / У/2 р + — 2гг?

7—*(£,Г1,р)с1г1.

Отсюда

2>

[ ( ??, ^)ег(-2?7 ^

/2 «/о

= ^2 + д+(е)е^ + д2-(е)е-^ + т2^,е), и ь, (27)

где

= £ [ £>(£-л,л)Лл, ^2

<32 (О = -аде£ [ еф [ ^ \а( ■)о .)12 V \

сЬвсЬт],

ед,о = ™е Ге-^-) / ^т-д/

Н ^/2 ч \

Ь V Р \[р + 1еЬе(1 + ^)](р-гО + 1егСи,

2Ь) Теперь сделаем оценку правых частей в (29). Нетрудно видеть, что

+1|2 2 IIП°{

ГОО г

^е2/Л / (1 + 1е-^1)2<7(1 + 1^1)2<7|Де-г?,г?)|2^.

^ —ОС о Iо

ОО о 1<2

На отрезке /2 имеем |£ — г]\ < д|£|. Тогда

-ц2

2 II %<*(]&)

2,_2„2 г°°

<

ь

ГI / ((1 + 1е-^1Г(1 + 1^1Г1Де-г?,г?)|)2(гг?

^ —ОО 12

1£1

-1

(р - фр[1 + ^е(1 + - £)1 +

1

'/2 (1 + М)2ст

с^|2с?г?+

+ I (0- + Ы)<т^ + \^-,п\)<т\Щ-'П,'п)\)2^ I

У/2 У/с

1£1

/,

-1

р—«

'/2 (1 + 1е - ^1)2ст 2

(р - «)р[1 + ^е(1 + ^ - %)\ + V д ;

: О—»€) -I

йв

<к!

где

Ь

-1 Р—

|«|

(х - <€)р[1 + }Ы1 + - £Ц + ^ед^гт]

<

<

27*

/,

-1

'р—^з

|«|

(р-Юр[1 + Ш1 + ац - Й)1 +1»,^]

: {Р~г0-

Ь2,7* (К+)

для 7* = ЦъЕ. Существование такого //* € (0,1) следует из леммы 3.1 в [1], согласно которой ограничены следующие нормы:

Ь

-1

1 + 1С1

Ат-1

м р^3

Отсюда

ь2,7* (м+) 2

ь2,7* (К+)

(28)

Н<?

- 112

и]2а2д2112 1

поо г

/ / ((1 + 1^1)<7(1 + 1С-^1)<71^(С-^^)1)2^6

^ —ОО о I1?

Теперь выберем 7 = цо£, цо € (0,//*). Тогда

(1 + |£1)2''К(*,«)|1!3.,(и+) < 0^1(1 + к-Ч|)2'(1 + М)**

х |в« -,, I (+(1+|дч|)2;

е-т-8)Ь-1

где

[р + \Ье{ 1 + |^)] (р - г£) + ±г£ие

[р + \Ье{ 1 + |^)] (р - г£) + ±г£ие

Ьг,7(К+)

(1г),

<

<

+

[Р + ±£е(1 + |^)] (р _ *£) + 1^Ие

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ьг,7(К+) 2

+

/.

-1

'р—

[р + ^е(1 + 4^)] (р - г£) + ±г£ие

Ь2,7(К+)

2

Ьг,7(К+)

В силу (28) имеем

ь-1 (____________________1__________________

V [р + \ье{ 1 + 1-^)] (р - гО + &ие

2

Ьг,7(К+)

В то же время

(1,3

<. — е-2>*

р—

[р + ±£е(1 + |^)] (р _ *£) + 1^Ие

27*

-1 Р---

(р - *0 +

2

^2,7*(К+)

Отсюда

л Аз

1

<

[р + ±£е(1 + |^)] (р - гО + ±г£ие

47* (7* -7) Следовательно

Ат~1

(р - *0 + \iiUe

Ьг,7(К+)

2

^2,7*(К+)

3) Теперь осталось исследовать окрестности Д, где |£ — г]\ ^ |£| — \г]\ ^

>(1-?М

1£-2г?| ^ |£| -2|г?| > (1-2д)|£|, если \г]\ < д|£|,

вй-ч.ч) йч= 1

11 - 2

??£>(£ - г], г])

'Ь (Р + гС-Щ)(р + гО

тртсЬг).

Также получим

1 1 / гЫе г£ги,

р+-Те + -' 4 4

е е\'р — р + г£/ / У/ р + г£ — 2гг?

^(£>»7>р)

— (17) =

pH ( 1 - ——т г

£ \ Ье 2(£ - Г?)

1

— г£-ад

—гС?Г?+

£ I (р + гС - 2гг])(р + гО

1 (£,г1,р)<1г1.

1 1

+ -«е

е р - У 2(£ - г?)

Ь

В этом случае доказательство, аналогичное приведённому в лемме 3.1 [1], позволяет получить оценку

pH ( 1 - —7— г £ V Ье2(£-г})

(р +

£

^ С2 > О, Т) € Л, Иер ^ —Цо£.

Здесь

' , 1 г Л Ме £

Р н (1 — I-7777 7

е V Ье2(£-г})

= р(р + г£) ^1 + ^е(1 -

(р + г£) -г-£гие =

£

ие С

Ье2((-т]) Ье)р £ е(р + ^)/’

где

, 1 г Л ие £ гие^ 1 , 1 1

г Ье 2(£-г?) Ье)р + £и,е(р + {0

Заметим, что а) при р = — £

^ с2,1 > О, г] € /ь Г1ер ^ — цо£.

1. Л «е £

Р + -£е( 1 — 7— 7777---7

е V Ье2(£-г})

Ь) при р = О

' , 1 Г (л ие £

pH Те( 1 — 7—7777 7

£ \ Ье 2(£ - г?)

(р + г£) -г-£аде

£

(р + г£) -г-£ги<

£

= ф.(1-

— 2 7^ 0)

р=-? £

р=0

ие £ и)е . , „

Те2(Г^п)~Те^ ’

если £ ф 0.

Положим

= 1 (С,Г],р) =

4ег?£>(£ - г], г?)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[р + \ье{ 1 - (Р + ~ <

г? € Д.

Тогда

где

/ [ ^1({, г), 8)ег(2г1 ^ =

[У/1 Л)

= ^1 + д+(е)е^ + дг(е)е-г?* + ^1(^е), ее/ь (29)

^1 (О = £ / ег^£>(£ - V, ц)^, У/!

<3^ (О = -2иее / е

/11

С - V

г?£>(£ - г], г?)

[р + ±£е(1 - ^ 2(^у)] (р + гО -

сЬвсЬт],

Г ОС

Г1(1,0=2ие /

Л Уд С - V

т~,-------------------------_ )**,

' [р + -£е(1 - ГГЩ^у)] (Р + гО ~ гё

Так же как выше, получим

/СЮ /»

/ (1 +1£ - г)\)2а{1 + Ы)2а\£>(£ - V,г})\2(1г}(Щ,

-ОС «/1л

2уи2а1д2/л2 £

(1 - о)2 7 ,)_00 Уд

((1 + МП 1 + |£ - г]\)а\0(( - т],т])\)2(1т](10

и)2о21л1

е*\тш^«'т < (Гзет

№\

— 1^0)

Здесь, так же как выше, мы воспользовались существованием /х* € (0,1) в силу лемы 3.1 [1], поскольку для 7* = ограничены нормы:

£-1 (____________________________1±Ш____________________________

\р(р + г£)(1 + \Ье{1 - ^2(^-7?) “ гг)р + £№е(р-н?))

1

£<2,7* (К+) 2

^ Р \р(р + г£)(1 + ^е(1

Ь£ 2(^-7]) ье/р

(р+Ю'

^2,7*(К+)

4) Итак, в разных областях

—4е

-2є

є

??£>(£ - г], г?)

(р + \Ье{ 1 - 17 2(^у))(р + І0 ~

__________(£~?7)-Р(£ -г],п)___________

(р + \ье{ 1 + |^)) (р - ІІ) + ±г£«е ’

Щ - V, п)

Р+1ЛЬе-Щ=^ие-^е

-2иеє / е"*в / х

Уо Лх Є - »7

-і І

ЧЄ/і,

V Є /2,

V є

х£.

[р + ±£е(1 - х;щз^у)] (р + *0 - і^ь)е

Я+(0 = є I Щ-11,11)^,

—7„ “Чад-,)

хТ,

£>(£ - V, п)

Р~^ (р + і [Те - 2(^уИе - |^е]

сівсігі, г] Є /і, V Є /2,

сівсігі, г] є /о;

<Г (О =

є I Єг^О((-Т],Т])(ІТ],

-і Г> / «X

Уо 7/2 V

-і і (£-Іп)Щ-Іп,Іп)

хЬ,

ос

—П1еЄ / Є

Уо У/о 2??

хЬ~1

[р + \ье(1 + |^)] (р - г£) + ±г£ие *< [ 1.

£>(£-л,л)

Р + є |А - 27£3

Ие - 7^7 гУе

2(?-Ч) “е 2ч

її є Д,

сівсігі, г} Є /2,

сівсігі, г} Є /о;

2ие / / -5-х

У* Jh І-п

-і І

хЬ,

р^-в ос

Р(і,0 = {

[р + Че(1 - ^ 2(^у)] (р + *0 -

Ц]е / Є

У* У/2 V

-і і (£-л)Щ-л,л)

хЬ,

Р^-в

сівсігі, г] Є її,

СІвСІГІ, Г] Є І2,

[р + \ье(1 + ^^)](р - іі) + \ііие

Г [ (к)є^е-^+иєег^—^)х

П У/оУ 2г? 2(£-г?)У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

хК(^ — г),г),,з)(І8(1г), г) є /о;

Р+1еіЬе~ 2[Ь)Пе ~

Структура решения. Положим

гз(і,0=[ [ ег(2,? ?)(* ^(^^сЫг?, 1 = 0,1,2.

/,■ -10

Тогда Z(t,£) = Zo(t,£) + Zl(t,£t) + Z2(t,£) — решение задачи Коши (23).

а) Здесь

Мі,0=є[ Щ-п,п) [ еі{2^){і-3Ь~^Ьє~^^иє~^Шє)3<і8<і-г] =

^ Іо л О

= е ! ег(2,7“?)*Фо(£ - Г],Г])(ІГ] + еСо(г,0, 1о

где

Щ- л, л)

Фо(С -л,л) = -

К2»7 - О + \^е - 2ф^ие - |^е)

^ ЛЛ [ --(ье-^А^ие-^те)г 0((-Т],Т])

”(,0 = Ле 2” ’ ;(2п » 1,У і а

"//о и е1Ье 2(£-г])ие 2г]и}е)

Ь) Далее преобразование Лапласа Zl(t,£) по і:

^і(р,0 = +ЄІ2,

? = [____________________д(£ ~ V’ у)______________________1 :1

Л, р(1 + іі.(1 - - ї)?+ ^ы‘ч))(г’ + ^“й’,) ’ (30)

7 = 1 [ _______________Р(С-Г],Г])_________________

(р + *6 Лх р(1 + ±£е(1 - 'тге2ф^) - т%)р + £*« (Я^)

Положим

Щ-11,11)

Мі(£ - г],т],р) =

р(і + 1ье(1 1Єє2(І-гі) Ье)р + є^Ср+г?)' Тогда

ЫЪ£)=[ е~г^-з) [ Мі(£ -г],г],8)(іф =

■)о 7/х

гоо

/•со /*

= е "^ / ег?5 / Мі(£ — Г], Г], 8)(ІГ]ГІ8+ ■> 0 У/х

/*оо

Ч, е ~

гФ *) [ М:(£ — Г], Г], ,в)с1г)с18 ■пг

— обратное преобразование Лапласа Д второго члена Д в правой части (30),

где М1(£-77,77,5) = ЬрХ^Мг^-г], г],р)).

Вопрос в том, что есть ,]\1 Обратное преобразование Лапласа первого члена в правой части (30):

= [ [ е 2г>№ ^М\(( — г), г), в)с18с1г1 =

JI1 У о

= / 6 У/1

-г(?-2Ч)* / е^Фм1{^-Г],Г},8)(Шг}-

Уо

Г г ОС

/ / — Г], Г], 8)(18(1г).

У/х У*

Отсюда

г1(1,£)=е [ е г(? 2’п)*Ч>1((-г],г])(1г] + Я1 (£)е + еС1^,£),

У/х

где

/•СО /'•СО /*

Ф1(С-^^)=/ ЛД(£ - Г], Г], 8)08, ЯЦО = £ / ^ М1{£-Г1,Г1,8)<18<1Г1,

J 0 /О 7/1

/со /*

е-*$-а) j М1^ _ ^ ^ ,3)С1Г](18+

/1

/* /'•СО

+ / / — Г), Г), 8)(18(1г).

У/1 У*

Проведём оценку Ф1, Л1 , (Д. Имеем

(1 + 1С1)

2<т

[ е *(? 27?)*ф!(£ — Г], г])с1г]

■Пл

И1 гсо

/СО /*

/ (1 + |£ - - Г], Г])(1Г]

■ОС </ /1

' —СО л 11

гсо

+ 2

(1 + |г?|)сте г(? 2ч)*Ф1 (£-г],г))с1г)

^ 4/Х2 || Ф1 ||^«Т,СТ(К2),

где Ф1 = 0 вне Д. Здесь

/ос г

/ (1 + |£ - г?|Ге“г(?_2,?)*Ф1(£ - Г], 7])(1г]

■ОС «/ /]_

/СЮ г

/ (1 + \С-г)\)ае~^-2^:

■ОС «/ /]_

/,

-1

п(л А- -Т (Л — “е1+2 _ ™е')1 I 1 А

Р{1 + £ЬЛ1 Ье 2$ Ье'р + £^е(р+^+77)) ;

Щ-11,11)

ОзсЬг]

1аХ||П||2

Также получим, что

/II

(1 + \г1\)ае г^ ^Ф^ — Г), Г])(1г)

-н^т2)’

где

тах

?€К,57€/1

/,

-1

'р—

р(1 + *£е(1 11 2(5—»?) Ье)р + ^(р+г?)

£2,7 (К)

Отсюда

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[ е *(? 27?)*Ф!(£ — Г), Г))(1Г)

У/х

<

^(К+;«-(«))

^ е1/2 ^2 (||-0||^<7 + 1,<7(]К2) + ||-0||%<7,<7 + 1

/V

где

Также

Нй'Ни^м+^Ок)) -

<И"

+ \\9\\ь оо (К+;-Нст(К))-

е-^ЕГ(С) При этом

И^(К+ ;Н"(К))

<

2а 1/л,

2,,2 /*оо

/сю /*

/ (1 + |г7|)2ст(1 + |е-^1)2стх

-СЮ 7/т

/Л* (/Л* /^о) .1—ос $ 1\

х ((1 + |£ - ??1)2 + (1 + М)2ст)|£>(£ -1], 1])|2сМ£-

с) В то же время

%2(рЛ) = еД +еТ2,

(31)

•й = -1, р) ^нГ=Щ‘*>'т‘ = Д) /,

М2(£-Г},Г},Р)<1Г},

где

Тогда

М2(£-г],Л,р) =

Щ-11,11)

р

ОС

I о-*?-5

ЫЬ£) = е*Ч е ■)о

ЛД(£ — V, Я, з)0г]08 +

Г ОС

Ч, *

;<(* *) [ М2(£ — Г),Г),8)0Г)08

7/2

— обратное преобразование Лапласа 32 второго члена 32 в правой части (31), где М2(£ — г], г], в) = Ь~\3(М2(( — г], г],р)). Обратное преобразование Лапласа первого члена ,1\ правой части (31):

^1^, О = - [ ( е_г(?_2,?)(*_'5)М2(£ - Г], Г], 8)08(17] =

12 -У о

Отсюда

где

/* РОС

= -/ е-^-2^Ч е^-2г1)зм2{^-г},г},8)с18с1г}+

7/2 7о

/* /*оо

+ / / е_г^_277^*_^М2(£ — Г), Г), в)(18(1г).

7/2 7* ад,0= / е-^-2^Ф2(£-»7,»7)£г»7 + Д+(0е^ + еС2(4,0,

■п2

Фг(С -г],г]) = - / ег(? 271)3М2(( - г], г], 8)0з,

/•СО П

Я2Ю=£ е~<3 М2{^-Г],Г],8)0Г]08,

J 0 7/2

/•СО П

<22(*,0=/ ег^~з) М2{£-г1,г1,8)0г108+

Зг 7/2

/* /*00

+ / / е_г^_27?^*_8)М2(£ — Г], Г], 8)080т].

7/2 7*

Так же как выше, получим оценки

[ е~г^~2’п')*Ч>2(( — г], г])0г] ^

7/2 ^(К+;-Нст(К))

^ е1/2 2^2 (||-0||-Н<т + 1,<т(К2) + ||-0||^ст,ст + 1(К2)) ,

/V

IIе ^^(OIIw^r+^r)) ^ е1/2^т1 (II-dII'H't+i’,t(r2) + PIIw^+hr2)) )

N

ОС

^ / /2(1 + |r?l)2<J(1 + |е“^х — С©

X ((1 + 1C - Г}\)2 + (1 + Ы)2*7)!-^ - Л, r])\2dr]dO

d) И последнее. Суммируя, получим структуру решения

Z(t, О = Zo(t, О + Z\(t, О + z2(t, О =

/ОС

е-*(?-2^ф(е _ V} ^ + в+^)еФ + R-^e-** + G(t, О,

-ос

где

G(t,0 = G0(t,0 + Сг(1,0 + G2(t,0,

[Фо(С,т?), т?е/0,

Ф(£.»7) = S Ф1(£,»7), V^h,

[^2(C,t?), т?е/2.

Сделав обратное преобразование Фурье £ —> х, получим

ZD(t, х) = eND(x -t,x + t) + Щ){х - t) + Ир(х + t) + Qd{x, t),

где Zo(i, £), R^, Gd(x, £) — преобразование Фурье ^d(^, ж), T^(t, х) и Qd{x, t) по ж соответственно. Лемма 6 доказана. □

В дальнейшем решение Z(t,£) задачи Коши (22) с точностью до правой части Q+(()e^t + Я~(0е~г^' + О Для

/ОС

e-i^-2^tD^_rj,r])drj

■ОС

будем обозначать через

Z{t,i)=T-l(^jC° e-^-2^D^-r,,r,)dvy

Соответственно Z(t, х) —обратное преобразование Фурье:

Z(t,0=T^y™ (С^х).

12. Билинейные формы. Теперь мы должны перенести результаты леммы 6 на задачу Коши для нелинейного уравнения

/ОС

D~(£ - r])D+(r])e-^-2r])tdr] (32)

- ОС

с точностью до правой части Е+(£)е^* + К (£)е + С(£,£). Рассмотрим

вклад билинейных форм в случае

/*£ рос

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

У&0 = / е“(?_2ч)(*“5)2д(£ - г?,г?,8)сЫг?+

7 О 7 — СО

+ Т?-1(От(^е))+Т?-1(Г(^е)), У(*,£) <е£2)7(М+,?Г),

где 0Т = Т_(£)е-^ + Т+(£)е**. Тогда

в(у,у) = В(ув,ув) + Ь{ув) + В(уг>,Т^1(0,г)) + Б(Т?_1(От), Уд) +

+ Б^-^Пт), Т-^Пу)) + ДТ"1^)) + В(ув + Т-1(Пу),Т~1¥) +

+ В(Т~1У,ув +Т~1(ПГ)) + в{т-1у,т-1у) + цт~1у). Случай у = ув-

Сначала исследуем вклад билинейных форм в случае, когда

/*£ рос

У&, о = Шэ(£, О = / е“г(?“2’7)(*“'5)20(£ - Г], Г], 8)08^ =

7(3 7—со

СО

= I е-г«-2^Фд(е-г?,г?)(гг? + Е+(е)е^ + ЕБЮе-г?* + сд^,е)

— со

и 2д, Фд, Дд, Сд определяются леммой предыдущего параграфа. Тогда для обратного преобразование Фурье по ж

Р^х(у)(Ь, х) = еКи{х - ж + £) + Щ){х -Ь) + И^{х + £) + <7д(ж, £), здесь билинейная форма

/СО -СО

-\(у^,(-г])-^-г]) ^ е

X (у{1,'П)+Щ J еЩ^~3)у{8,7])(18^(1г],

-*М(*-*)у(5)£_,7)жЛх

{?/(*>£ - 1])У^,Г])~

У(*,£-Г)) -г(£-л) / е ■)о

2/(в,£ - Г?)^ = /*£

с1

= / е ■)о

у(1,,Г})+Щ J егГ1{* '^у^З, Т])(18 = J егГ1{* з)-Ау(8^ Г])с18.

Лемма 7. Пусть ^в, Фд, -йд, С в определяются леммой 6. Тогда существуют функции Дв(£,г?), -Рб(£,£) такие, что

/ОС

£>в(£, - л, г])е~г{с~2г])г(1т] + <3д(£)е_г?* + + еРв{г, £),

-ОС

для которых справедливы оценки

/ОС

Дв(£ — Г], Г))е~г^~2г]^с1г) ^

-ОО Ьоо(К.+ -,'Н<7 (Ж))

^ СхЕ1!2 (||-0||-^СТ + 1,СТ(К2) + \\Б\\На,а + 1

£\\Я ±в (0е~г^\\ь оо(К+;-Нст(К)) ^

С1£1/2(\тп

,Т+1>'Т(К2) + \\Е>\\на’а+1 ^Н-^вНьг^К+^^К)) ^ с1(\\Е>\\н°+1’°(«.2) + \\Е>\\н°’°+1(«.2))-

Доказательство леммы 7 проводится аналогично приведённым выше. Оценки построенного решения следуют из оценок леммы 6.

Случай у = у в для формы Ь(у).

Теперь исследуем вклад билинейной формы

т=ГЗМ°~((- / е‘,<‘"') £*'•■,)Л+

+ £>+(г?)е^* Г е-^-^{1-з) £ _ ^8

Уо

+

+ е

— ^ьл

-Ье - г(£ - г?) Уо

е

Н

Щ {^ — ё)

(18

у(8,Г1)<18-

- -У (л)

-Ье + щ

3-г(5-ч)(*-5)_^_

(is

с1г].

Лемма 8. Пусть выполнены условия лемм 6 и 7. Тогда существуют функции Дс(£,т?), Рь(Ъ,£) такие, что

/ОС

~ V, + Я1(0е~ф + Я1 о,

-сю

для которых справедливы оценки

Доказательство леммы 7 проводится аналогично приведённым выше.

Случай для форм В(ур, Т^_1(Ох))+-В(?^_1(Пт), Уо)+В(Т/Г1({}у), Т/Г1(Г1у))+ + Щ-\ПТ)).

Теперь рассмотрим вклад билинейных форм

Б(№,Т?-1(От))+Б(Т?-1(От),Ы + Б(Т?-1(От),Т?-1(От))+Т(Т?-1(От)), где

Пт)(*,0 = Т+(0 е^ + т-(0 е-^.

Лемма 9. Пусть выполнены условия леммы 6. Тогда существуют -Оп(£, г/), Т^(£), ^п(£,£) такие, что

В(уП,Т-\Пг)) + В(Т-\Пг),Уп) + В(Т^\Пг),Т^(Пг)) + Ь(Т^(ПГ)) =

РОС

= / е-«-2^^п(е - V, + Яп(Ое~г^ + Я№)е* + ВД О,

и справедливы оценки

/ОС

Dn(£, ~ Г],т])е~г^~2г])г(1т]

-оо

Loo(R+;HCT(M))

« с2£1/2(||о|| На+1’а( R2) + Pllw-'-+1(R2)))

£11<Эп(0е г^1коо(М+;Нст(М)) ^ c2e1/2(||-C,||'HCT+1>CT(R2) + \\Щп ^ll^nllz^R+^^R)) ^ С2(\\В\\п*+1,* (щ + \\Щи°’°+1

Доказательство леммы 8 проводится аналогично приведённым выше.

13. Сведение к нелинейному уравнению в гильбертовом пространстве

-L2,-y(^+; 'Нет)- Наша задача свести уравнение

ЦУ&, О = ~£Щ, О + H(t, О + 2evlJ2B(y, у) + 2evlJ2L(y)+

1 / wP.

+ 2-{^-(0е-^ + ^пЦ0е^)-

Ve Ve

/ос

D~(^ — rj) D+(г))е~г^~2г]^ dr) (33)

- ОС

к нелинейному уравнению в гильбертовом пространстве L2)7(M+; TLa).

Решение (33) будем искать в виде

/*£ рос

У&0 = / е-^-2г]){г-з)Ев((-т],т],8)й8(1т]+

•У О у — СО

+ Т-1 (т_(Ое-^+ т+(Ое^) +т-\¥(г,0), е £2)7(д+,?Г).

Тогда в силу лемм 6-8 (33) примет следующий вид:

ЦУи^, £) + 0Т(£, О + У(£, С) = £) + Я(£, £) +

+ 2е

е 2v)t (vi/2£^Db + Dl + дп)(£ _Г],Г]) -D (£ - rj)D+(rj)) df]+

+ 2-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

£

+

(£) + £2v1J2(qb + + Qq)(C)

е"**+

ue

1/2

Ve'

^+(£) + ^41/2(Qr + + Qn)(0

+ 2A;e1/2(Fn(t,£) + iV(i,0) + 2стУ2(Б(Т-1Г,Т-1Г) +L(T“1F)), (34)

где

ft P CO

yD(t,0)= / e“t(?“2,7)(t“s)SD(£ - r),r),s)dr]ds,

Jo J—со

Пт(^0=Т+(0е^ + Т-(0е-^.

В правой части (34) мы получили секулярные (неинтегрируемые члены). Чтобы их уничтожить, достаточно в силу первой части леммы 6 выбрать D(^,r]) в 5д(^ - I}, s) из уравнения

D(C,V) = 2{vlJ2£{DB + Dl + £>п)(£,г?) - D~{OD+{rj)) и функции Т±(£) из уравнений

Т-(0 = 2-e[^D-{0 + £2V1J2{Q~B + QI + QnXO),

'V,

r+(o = 2 if^D+(o+e4i/2(gj+q+l+Q^m). £yveJ 7

Тогда мы сведём уравнение (33) к нелинейному уравнению в гильбертовом пространстве L2;7(R+; %а):

Y(t, О = \h{t, О + H{t, О + 2£41/2(FB(t, £) + Fn(t, О + FY(t, £)) +

+ 2£vlJ2(B(T~lY, T~lY) + L(T_1F)), (35)

существование решения которого следует из результатов теоремы 1.

14. Условие несекулярности (общий случай). Таким образом, у нас возникли секулярные неинтегрируемые члены, которые мы можем аннулировать, решив систему алгебраических уравнений

D(£, г?) = -2D~(OD+(v) + 2vlJ2e(DB + DL + Dn)(0 v),

T'(0 = + ^у1/2Ш0 + QKO +

£VeJ

T+(£) = + 2 evl/2(QUO + QUO + QUO),

£ VeJ

которую мы назовём условием несекулярности.

Доказательство существования решения £)(£, ?у), Т±(£) условия несекулярности аналогично доказательству разрешимости условия несекулярности В [1]. и, как мы отмечали выше, разрешимость условия несекулярности позволяет свести уравнение (34) к уравнению (35) в гильбертовом пространстве L2)7(K+; 'Ha), существование решения которого следует из результатов теоремы 1. Это заканчивает исследование общего случая комплекснозначных начальных данных.

Замечание. Приведённые выше рассуждения имеют общий характер, что позволяет перенести доказательства на двумерное и трёхмерное кинетические уравнения, естественно, с большими техническими сложностями, что не является предметом печатаемой статьи. Более того, свойства дискретных кинетических уравнений близки к свойствам кинетического уравнения Больцмана—Пайерса [7], что даёт надежду на доказательство подобных результатов для кинетического уравнения Больцмана—Пайерса.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 09-01-12024, 09-01-00288, 11-01-12082-офи_м).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Е. В. Радкевич, “О существовании глобальных решений задачи Коши для дискретных кинетических уравнений (непериодический случай)”// Пробл. мат. анал., 2012. Т. 62; англ. пер.: Е. V. Radkevich, “The existence of global solutions to the cauchy problem for discrete kinetic equations” // J. Math. Sci., New York, 2012. Vol. 181, no. 2. Pp. 232-280.

2. Т. E. Broadwell, “Study of rarified shear flow by the discrete velocity method” // J. Fluid Mech., 1964. Vol. 19, no. 3. Pp. 401-414.

3. С. К. Годунов, У. М. Султангазин, “О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана”// УМН, 1971. Т. 26, №3(159). С. 3-51; англ. пер.: S. К. Godunov, U. М. Sultangazin, “On discrete models of the kinetic Boltzmann equation” // Russian Math. Surveys, 1971. Vol. 26, no. 3. Pp. 1-56.

4. L. Boltzmann, “On the Maxwell method to the reduction of hydrodynamic equations from the kinetic gas theory” / Rep. Brit. Assoc. London, 1894. Pp. 579; русск. пер.: Л. Больцман, “О максвелловском методе вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов” / В сб.: Избранные труды: Молекулярно-кинетическая теория газов. Термодинамика. Статистическая механика. Теория излучения. Общие вопросы физики; ред. J1. С. Полак. М.: Наука, 1984. С. 307-308.

5. В. В. Веденяпин, Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001. 112 с. [V. V. Vedenyapin, Kinetic Boltzmann and Vlasov Equations. Moscow: Fizmatlit, 2001. 112 pp.]

6. S. Chapman, T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases. An account

of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction and diffusion in gases. Cambridge: Cambridge University Press, 1970. xxiv+423 pp.

7. R. Peieris, “Zur kinetischen Theorie der Warmeleitung in Kristallen” // Ann. Phys., 1929. Vol. 395, no. 8. Pp. 1055-1101.

Поступила в редакцию 18/X/2012; в окончательном варианте — 25/XII/2012.

MSC: 35Q20; 35С20, 35Q82, 82В40

ON PROBLEM OF NONEXISTENCE OF DISSIPATIVE ESTIMATE FOR DISCRETE KINETIC EQUATIONS

E. V. Radkevich

М. V. Lomonosov Moscow State University,

Faculty of Mechanics and Mathematics,

Vorob’evy gory, Moscow, Russia, 119899.

E-mail: evrad07@gmail. com

The existence of a global solution to the discrete kinetic equations in Sobolev spaces is proved, its decomposition by summability is obtained, the influence of its oscillations generated by the interaction operator is explored. The existence of a submanifold Mdiss of initial data (u°,v°,w°) for which the dissipative solution exists is proved.

It’s shown that the interaction operator generates the solitons (progressive waves) as the nondissipative part of the solution when the initial data (u°,v°,w°) deviate from the submanifold Mdiss- The amplitude of solitons is proportional to the distance from (u°,v°,w°) to the submanifold Mdiss• It follows that the solution can stabilize as t —У ос only on compact sets of spatial variables.

Key words: dissipative estimates, discrete kinetic equations.

Original article submitted 18/X/2012; revision submitted 25/XII/2012.

Evgenii V. Radkevich (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of Differential Equations.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.