Смешанная задача для систем полулинейных гиперболических уравнения с нелинейной диссипацией и нелинейным источником Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.35

DOI: 10.18384-2310-7251-2017-3-34-42

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ И НЕЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ

Рустамова С.О.

Институт Математики и Механики НАН Азербайджана AZ1141, г. Баку, ул. Б. Вахабзаде, д. 9, Азербайджанская Республика Аннотация. В работе исследуется смешанная задача для систем полулинейных гиперболических уравнений с нелинейной диссипацией и фокусирующими, а также с "дефоку-сирующими" источниками. Теорема о локальной разрешимости доказана на основе комбинированного метода регуляризации и метода Галеркина. Для систем с фокусирующим источником получена априорная оценка, из которой следует соответствующая теорема о глобальной разрешимости. В случае систем гиперболических уравнений с «дефокусиру-ющими» источником доказано, что если порядок роста по совокупности переменных не превышает порядок роста диссипативного слагаемого, то имеет место глобальная разрешимость.

Ключевые слова: гиперболическая система, смешанная задача, глобальная разрешимость, нелинейная диссипация.

A MIXED PROBLEM FOR SYSTEMS OF SEMILINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS WITH NONLINEAR DISSIPATION AND NONLINEAR SOURCE

S. Rustamova

Institute of Mathematics and Mechanics of NAN Azerbaijan 9, B. Vahabzadeh st., Baku, AZ 1141, Republic of Azerbaijan

Abstract. We study a mixed problem for systems of semilinear hyperbolic equations with nonlinear dissipation and focusing, as well as with 'defocusing' sources. Using the combined method of regularization and the Galerkin method, the theorem of local solvability is proved. For systems with a focusing source, an a priori estimate is obtained, from which follows the corresponding theorem on global solvability. In the case of systems of hyperbolic equations with a 'defocusing' source, it is proven that if the order of growth of the variables does not exceed the order of growth of the dissipative term, then there is global solvability.

Key words: hyperbolic system, mixed problem, global solvability, nonlinear dissipation.

1.Введение

Рассмотрим смешанную задачу для полулинейных гиперболических уравнений с нелинейной диссипацией:

© Рустамова С.О., 2017.

uut + (-1)k1 Аklui +aiкГ 1 uit = gi(ui,U2) I / ч

' -1 \, X efi, t > 0, (1.1)

u2tt + (-1)k2 Ak2 u2 +a2 |u2t| u2t = g2(ub

u; (0,X) = ф; (x), uit (0,X) = У; (x), X eQ, i = 1,2, (1.2)

Asu (t,X) = 0, t > 0, x еГ,s = 1,2,..., к -1, i = 1,2, (1.3)

где Q с Rn ограниченная область с гладкой границей Г, (u1, u2) пара вещественных функций (t, х) е R+ • Q, aj > 0, r > 1, j = 1,2, 0 < k1 < k2. Функции g1 и g2 имеют следующие формы:

i -4 I \P1 + Р2 l \ , ,1 |P1-1 I P + 1

gi(Uuu2) = fl1 \Ui + u2\ (u1 + u2 )+ O1 \Ui\ Щ Uu

i Л I |P1 + P2 l \ . 7 I |P1 +1 I |P2-1

g2(u1,u2) = fl2 |u1 + u^ (u1 + u )+ b2 u2,

где ai, bi, pi некоторые константы, i = 1,2.

Цель данной работы - исследовать существование локальных и глобальных решений. Вопрос о существовании локальных и глобальных решений для нелинейного волнового уравнения с нелинейной диссипацией исследован достаточно подробно [4-6; 8-12; 15].

Для различных систем гиперболических уравнений аналогичная задача исследована в работах [2; 7; 13; 14]. В работе [3] исследована система типа (1.1) в случае, когда k1 = k2 = 1, а в работе [7] исследован случай p1 = p2.

Введём следующие обозначения. Через W2k (Q) обозначим пространство

Соболева, а через W2k Q) обозначим подпространство W2kQ) = {v : v eW2k (Q),

Asv(x) = 0, x e Г, s = 0,1,...,k -1}. Через ||-|| обозначим норму в пространстве

L2(Q).

2. Существование локальных решений

Сформулируем теорему о существовании локальных решений. Теорема 2.1. Предположим, что

n

p1 > 0, p2 > 0 при 2 < k < k2, (2.1)

или

2k n

p1 > 0, Р2 > 0, Р1 + Р2 <-при k1 < П. (2.2)

n - 2k1 2

Тогда для любых ф,-(.) е W^' (Q), Vi(.) е ¿2(Q), i = 1,2 существует такое T > 0, что задача (1.1)-(1.3) имеет решение (u1(t, х), u2 (t, х)), где u (.) е С([0,T);W2k< (Q)), uu(.) еС([0,T);i,2(Q))nЬщ+1([0,T]xQ), i = 1,2.

Если T' > 0 длина максимального интервала сушествования локального решения (u1(t, x), U2 (t, x)), то выполняется одна из следующих альтернатив:

2 1-

=

1) lim У

i=1

2) T = +oo

Hut (t ,,)||2 + ||ViiUi (t ,.)||

Схема доказательства. Исходно: начальные данные аппроксимируются более гладкими функциями, например, из +2(0) х И7'/'+40). Соответствующая

аппроксимированная задача решается методом Галеркина и доказывается существование локального решения на некотором полуинтервале [0, Т'). Далее получаются некоторые априорные оценки для решения аппроксимированной задачи, которые позволяют выделить слабо сходящиеся подпоследовательности в (0,Т^/'(О) х Н^/ЧО)) и доказать их фундаментальность в С([0, Т] ;Н^(0) х ^(О)) П С1([0, Т]; 1*0) х 12О)) для любого

Т0 е (0, Т'). Далее по стандартной схеме доказывается, что предельная пара (ы^, х), ы2 (£, х)) является решением задачи (1.1), (1.2).

3. Существование глобальных решений

Из теоремы 2.1 следует, что если имеет место априорная оценка:

X ^тг Г|| ии (* ,.)||2 + 1^4 V ,.)||21 < С1,1 е [0,~), (3.1)

'=1 20' —

где С1 > 0 не зависит от ^ то соответствующее решение можно продолжить на [0, Т ], для любого Т > 0.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (2.1), (2.2). Предположим, что:

- 3П П 1 О 1 ®1( р1 +1) а2( р2 + 1)

3 0, ' 0, 1,2 и А =—£-= —£-. (3.2)

О1 О2

Тогда для любых Т > 0, ф * (.) е Ш2к' (О), у * (.) е ¿2(0),' = 1,2, у<(.)е12(О), ' = 1,2 задача (1.1)-(1.3) имеет решение (ы^, х), Ы2 (и х)), где и*(.) еС([0,Т);1У2к' (О)), щ (.) е С ([0,Т);¿2(0)) П Ьт,+1([0,Т]хО),' = 1,2.

Доказательство. Умножим первое уравнение системы (1.1) на (р1 +1) ыи (£, х),

01

а второе уравнение на (р1 +1) и2( ^, х), где 01' = -01,02 =-02 и интегрируем полу-

02

ченные равенства по области [0, {] ■ О. После интегрирования по частям и, суммируя полученные равенства, получим тождество:

pi +1

Vinn t! 2b[

tu t (t ,.)||2 +\\Vk'Ui (t ,.)||2

+ У pib+! Ii uit (t, x)\r+1 dx +

+

X

pi + p2 + 2

f| ui + u2|pi+p2+2 dx +f| uilpi+1 |u21p2+1 dx = У ^ Г||у it (,)||2 + ||Vk< Ф,. (•) J J i-i 2b' 11

+

+

X

pi + p2 + 2

J^(x) + ф 2( x)|p1+p2+2 dx + ||ф1( x)|p1+1 |ф2( x)|p2+1 dx.

Отсюда получаем априорную оценку. Таким образом, в виду теоремы 2.1 T = +<х>.

Интересным является случай p1 + p2 < min {r1, r2} и когда знак X не определён. В этом случае справедлив следующий результат.

Теорема 3.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.1 и дополнительно выполнено условие p1 + p2 < min {r1, r2}. Тогда локальное решение, которое определяется теоремой 2.1, можно глобально продолжить.

Доказательство. Если ai < 0, bi < 0, i = 1,2, то справедливость утверждения теоремы является следствием теоремы 3.1. Рассмотрим случай at < 0, bi < 0, i = 1,2. Другие случаи рассматриваются аналогичным образом.

Пусть {u1(t, x), u2 (t, x)} решение задачи (1.1)-(1.3) в области [0, t] • Q, определяемой теоремой 2.1. Умножим обе части первого уравнения системы (1.1) на (p1 +1) „ , (p1 +1) f. Л

—-u1t (t, x), а второе уравнение на —-u2t (t, x) и проинтегрируем полу-

b1 b2

ченные равенства по области [0, t] • Q. После интегрирования по частям и суммирования полученных равенств, получим тождество:

1

X

1=12ai

+у — ff I u (t, x) I"+1 dxdt = у — ||y i (.)||2 + II Vфi (, )||

faa i t t12aiL

||u,t (t ,,)f +||Vui (t ,,)f

+

p1 + p2 + 2

X

f G(u1 ,u2)dx

+

+

+-1-fС(ф1,ф2)dx . . .

p1 + p2 + 2t p1 + p2 + 20 tdt

+

д

ff—G(u1(t, x), u2(t, x))dxdt, (3.3)

где

G(u1(t, x), u2(t, x)) =Xf |u1 + u21p1+p2+2 dx + (p1 +p2 + 2)f \u\p1+1 |u2|p2+1 dx, t t

G(фl(x), ф 2 (x)) = Xj^1(x) + ф2 (x)|p1+p2+2 dx + (p1 + p2 + 2)J^1(x)|p1+1 |ф2 (x)|p2+l dx.

t t

Из определения G(u1(t, x), u2 (t, x)) получим, что:

2 t д

J =-I I—G(u1(t,x),U2(t,x))dxdt =

P1 + P2 + 21 ldt

t

= 2^JJ |u1 + u2 |p1+p2 (u1 + u2)(u1t + u2t )dxdt +

0 о

t t +(p1 +1)|| |u1 |p1 1 |u2 |p2+1 u1u1tdxdt + (p2 +1)|| |u1 |p1+1 |u2 |p2 1 u2u2tdxdt = J1 + J2 + J3 + J4.

0 о 0 о

1 + 1

Применяя неравенство Гельдера с показателями q =-, q' = n +1, имеем:

Г1

< 2А

J1 < 2^J| |u1 + u2 |p1+p2+1 |u1t|dxdt <

1 11

'ffl + KP. +P2 + J 11 + 1 f ffl I» + ^ ^ " +1

II |u1 + u2\ 1 dxdt . II |u1t| dxdt

\0 о

v 0 о

1 1

t 1 + 1 t +1 J1 < 2Ае-1 Л |u1 + u2|(p1+p2+1) 1 dxdt + 2^eJJ |u1t| dxdt

Применим неравенство Юнга с параметрами п = £Г1+1(г1 + 1)Г1+1, П'=-

п-1

в правой части данного неравенства. Имеем:

|(Р1+р2+1) — л ^ Г Г| Г1+1

ы1 + ы2 " " " " '

0 О 0 О

Так как р1 + р2 + 1 < г1, отсюда получим, что:

|||ы1 + ы2|(р1+р2+1) г1 < С11 + С121||ы1 + ы2|р1+р2+2dxdt,

0 О 0 О

где С11 = 0, С12 = 1, если р1 + р2 + 1 < Г1,

\п -(р1 + р2 +1)1 Т твзО (р1 + р2 +1)1

Сц = ---4-, С12 = -гт--, если р1 + р2 + 1 < Г1.

(р1 + р2 +1)1 (р1 + р2 + 1))Г1 +1)

Следовательно,

J1 <2СпАе-1 + 2С12Ае-11 II|u1 + u2|(p1+p2+1) r1 dxdt + 2Аеjj|u1t| dxdt.

0 о 0 о

Аналогично имеем:

t 12+1 t +1

J2 <2С21Ае- 12 + 2С22Ае-12 Л|u1 + u2|(p1+p2+1) 12 dxdt + 2АеЦ|u2t| dxdt.

0о

r1 + 1

Далее, применяя неравенство Гельдера с показателями q =-, q' = r1 +1 и

r1

неравенства Юнга с параметром n = e1+1, получим, что:

f ( f n + 1 1 + 1

J3 < (p1 + 1)JJ\u\p1 |u2|p2+1 |u1t|dxdt < (p1 +1) ff |u1 |p1 i |u2|(p2+1) r1 dxdt

\0 t

1 +1

X

X

n|u1t I dxdt < r1(p1 +1) f f 1 1 (r1 + 1)er1jj

\0 t

r1(p1 +1) ffl i |(p2+u—, , e(p1 +1) rr, ,1+1

uj 1 u2 r1

, , e( p1 + 1)rr, ,11+1 , ,

dxdt +—1-1 I u11 dxdt.

r,+1 ii1 1

Применяя неравенства Гельдера с показателями

11( p1 + p2 + 2)

p= 11( p1 + p2 + 2) ,

n( p1 + p2 + 2)

(p2 + 1)(l1 + 1) 11( p1 + p2 + 2) - (p2 + 1)(l1 + 1) 11 p1 - p2 + 1 - 1 и неравенства Юнга, получим, что

r /1 + 1 /1 + 1 ( r r +1 (P' ( r

JJ |u1 |p1 r1 |u21( p2+1) i dxdt < JJ |u11p1 r1 P dxdt JJ |u2 |p1+p2 2 dxdt

V0 t

/

V0 t

<

< P"7JJ|u1 |p1 i P dxdt + P JJ|u2 |p1+p2 +2dxdt.

P 0 t P 0 t

Так как p1 + p2 + 1 < r1, поэтому:

„11 + 1 P' Л (11 + 1)(p1 + p2 + 1) <Л.Л. 2

p1-P = p1~,-г ,----- < p1 + p2 + 2.

П 11(p1 + p2 + 1) - (p2 + 1)(l1 + 1)

Итак, применяя неравенства Гельдера, имеем:

f r+11

JJju^p1 i P dxdt < C31 + C32JJЩp1+p2+2dxdt,

где C31 = 0, C32 = 1 если p1 + p2 + 1 < 11 и

= [ 1 -(p1 + p2 + 1)T] mest ^ = p1 (i1 +1)

C31 = , C32 = ,

11 p1 - p2 + 11 - 1 11 p1 - p2 + 11 - 1

если p1 + p2 + 1 < 11. Таким образом,

2 Л Г 2 2 "I 1

У— I\uit (t ,,)|| + ||Vk'ui (t ,,)Ц +--f G(u1(t ,x),u2(t ,x ))dx +

t?2«; ....... J pi + p2 + 2 О

+£(—-4Ae)| J|u(t,x)|"+1 dxdt <У — ||y,(.)f + \\Vk'ф,(,)||

i=1 2fl< 0 О i=1 2fli L

+

1

+--f G^ (x), ф 2 (x))dx + c2 + c3 ff G(u1 (t, x), u2 (t, x))dxdt, (3.4)

p1 + p2 + 2 о 0 О

где C2 > 0, сз > 0 не зависят от t.

Применяя лемму Гронуола, из (3.4) получим, что

2 Л Г 2 2 "1 1

У— IIuit(t,,)Ц + IIVkiu,(t,,)Ц +--I G(u1(t,x),u2(t,x))dx +

~=12ai L "J p1 + p2 +1О

2 ^ t +

(--4^£)JJU(f,x)|П+1 dxdt < c4.

i=1 2fli 0 о

Применяя теорему 2.1, получим, что данное решение {ui(f, x), U2 (t, x)} можно

продолжить глобально на всю область [0, f] • Q.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев А.Б., Казимов А.А. Глобальные слабые решения задачи Коши для полулинейных псевдо гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения.Т. 45. 2009. №2. С. 169-179.

2. Agre K., Rammaha M.A. Systems of nonlinear wave equations with damping and source terms // Differential Integral Equations. Vol. 19. 2006. No. 11. Pp. 1235-1270.

3. Aliev A.B., Rustamova S.O. Global existence, asymptotic behavior and blow-up of solutions for mixed problem for the coupled wave equations with nonlinear damping and source terms // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics. National Academy of Sciences of Azerbaijan Vol. 42. 2016. No. 2. P. 188-201.

4. Ang D.D., Dinh A.P. Strong solutions of a quasilinear wave equation with nonlinear damping // SIAM Journal on Mathematical Analysis. Vol. 19. 1988. No. 2. P. 337-347.

5. Georgiev V., Todorova G. Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source term // J. Differential Equations. Vol. 109. 1994. No. 2. P. 295-308.

6. Messaoudi A. Blow up of solutions with positive initial energy in a nonlinear viscoelastic wave equation // J. Math. Anal. Appl.Vol. 320. 2006. P. 902-915.

7. Said-Houari B. Global nonexistence of positive initial-energy solutions of a system of nonlinear wave equations with damping and source terms // Differential Integral Equations. Vol. 23. 2010. No. 1-2. P. 79-92.

8. Serrin J., Todorova G., Vitillaro E. Existence for a nonlinear wave equation with damping and source terms // Differential Integral Equations. Vol. 16. 2003. No. 1. P. 13-50.

9. Todorova G. Stable and unstable sets for the Cauchy problem for a nonlinear wave with nonlinear damping and source terms // J. Math. Anal. Appl. Vol. 239. 1999. P. 213-226.

10. Vitillaro E. Global existence theorems for a class of evolution equations with dissipation // Arch. Ration. Mech. Anal. Vol. 149. 1999. No. 2. P. 155-182.

11. Wang Y. A sufficient condition for finite time blow up of the nonlinear Klein-Gordon equations with arbitrarily positive initial energy // Amer. Math. Soc. Vol. 136. 2008. No. 10. P. 3477-3482.

12. Yang Z.J., Chen G.W. Global existence of solutions for quasi-linear wave equations with viscous damping // J. Math. Anal. Appl. Vol. 285. 2003. No. 2. P. 604-618.

13. Ye Y.J. Global existence and asymptotic behavior for systems of nonlinear hyperbolic equations // Applicable Analysis. Vol. 92. 2013. No. 11. Pp. 2424-2437.

14. Ye Y.J. Global existence and nonexistence of solutions for coupled nonlinear wave equations with damping and source terms // Bull. Korean Math. Soc. Vol. 51. 2014. No. 6. P. 1697-1710.

1. Aliev A.B., Kazimov A.A. [Global weak solutions of the Cauchy problem for semilinear pseudo-hyperbolic equations]. In: Differentsial'nye uravneniya [Differential equations], vol. 45, 2009, no. 2, pp. 169-179.

2. Agre K., Rammaha M.A. Systems of nonlinear wave equations with damping and source terms. In: Differential Integral Equations, vol. 19, 2006, no. 11, pp. 1235-1270.

3. Aliev A.B., Rustamova S.O. Global existence, asymptotic behavior and blow-up of solutions for mixed problem for the coupled wave equations with nonlinear damping and source terms. In: Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics. National Academy of Sciences of Azerbaijan, vol. 42, 2016, no. 2, pp. 188-201.

4. Ang D.D., Dinh A.P. Strong solutions of a quasilinear wave equation with nonlinear damping. In: SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 19, 1988, no. 2, pp. 337-347.

5. Georgiev V., Todorova G. Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source term. In: J. Differential Equations, vol. 109, 1994, no. 2, pp. 295-308.

6. Messaoudi A. Blow up of solutions with positive initial energy in a nonlinear viscoelastic wave equation. In: J. Math. Anal. Appl, vol. 320, 2006, pp. 902-915.

7. Said-Houari B. Global nonexistence of positive initial-energy solutions of a system of nonlinear wave equations with damping and source terms. In: Differential Integral Equations, vol. 23, 2010, no. 1-2, pp. 79-92.

8. Serrin J., Todorova G., Vitillaro E. Existence for a nonlinear wave equation with damping and source terms. In: Differential Integral Equations, vol. 16, 2003, no. 1, pp. 13-50.

9. Todorova G. Stable and unstable sets for the Cauchy problem for a nonlinear wave with nonlinear damping and source terms. In: J. Math. Anal. Appl, Vol. 239, 1999, pp. 213-226.

10. Vitillaro E. Global existence theorems for a class of evolution equations with dissipation. In: Arch. Ration. Mech. Anal, vol. 149, 1999, no. 2, pp. 155-182.

11. Wang Y. A sufficient condition for finite time blow up of the nonlinear Klein-Gordon equations with arbitrarily positive initial energy. In: Amer. Math. Soc, vol. 136, 2008, no. 10, pp. 3477-3482.

12. Yang Z.J., Chen G.W. Global existence of solutions for quasi-linear wave equations with viscous damping. In: J. Math. Anal. Appl, vol. 285, 2003, no. 2, pp. 604-618.

13. Ye Y.J. Global existence and asymptotic behavior for systems of nonlinear hyperbolic equations. In: Applicable Analysis, vol. 92, 2013, no. 11, pp. 2424-2437.

14. Ye Y.J. Global existence and nonexistence of solutions for coupled nonlinear wave equations with damping and source terms. In; Bull. Korean Math. Soc, vol. 51, 2014, no. 6, pp. 1697-1710.

REFERENCES

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Рустамова Самира Октай кызы - аспирант Института математики и механики Национальной академии наук Азербайджана; e-mail: samira.rustamova.1979@mail.ru

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Samira O. kizi Rustamova - postgraduate student of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan; e-mail: samira.rustamova.1979@mail.ru

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Рустамова С.О. Смешанная задача для систем полулинейных гиперболических уравнения с нелинейной диссипацией и нелинейным источником // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2017. № 3. С. 34-42.

Б01: 10.18384-2310-7251-2017-3-34-42

CORRECT REFERENCE TO THE ARTICLE

Rustamova S.O. A Mixed Problem for Systems of Semilinear Hyperbolic Equations with Nonlinear Dissipation and NonLinear Source. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2017, no. 3, pp. 34-42. DOI: 10.18384-2310-7251-2017-3-34-42