ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НАГРУЗКОЙ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ НАГРУЗКОЙ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Курбанов Н. Т.

Республика Азербайджан, Сумгаитский Государственный Университет, проф., зав. кафедрой Математический анализ и теория функций

Гадиева С.С.

Республика Азербайджан, Сумгаитский Государственный Университет, д.ф.по математике., асс.

кафедры Математический анализ и теория функций

Алиева У.С.

Республика Азербайджан, Сумгаитский Государственный Университет, диссертант кафедры Математический анализ и теория функций

RESEARCH OF DYNAMIC TORQUE OF A VISCOELASTIC CYLINDRICAL SHELL WITH A LOAD DISTRIBUTED ON A LATERAL SURFACE

Qurbanov N.,

Republic of Azerbaijan, Sumgait State University, prof., Head. Department of Mathematical Analysis and

Theory of Functions Qadiyeva S.,

Republic of Azerbaijan, Sumgait State University, PhD in mathematics, ass.Department of Mathematical

Analysis and Theory of Functions Aliyeva U.

Republic of Azerbaijan, Sumgait State University, dissertation Department of Mathematical Analysis and

Theory of Function

Аннотация

В статье исследуется распространение нестационарных волн сдвига в вязкоупругом цилиндре с нагрузками, заданными на некотором участке боковой поверхности. Сначала с помощью методов интегральных преобразований Лапласа по времени и косинус-преобразования Фурье по осевой координате определяются точные выражения изображения смещения. Считая оболочку тонкой, получены приближенные выражения изображения смещения и в дальнейшем произведено обращения этих выражений, для произвольных наследственных ядер при малой вязкости. Полученные решения исследованы в частном случае для дробноэкспоненциального ядра Работнова методом контурного интеграла.

Abstract

The article investigates the propagation of unsteady shear waves in a viscoelastic cylinder with loads specified on a certain section of the lateral surface. First, using the methods of integral Laplace transforms in time and the Fourier cosine transform in the axial coordinate, the exact expressions of the displacement image are determined. Considering the shell thin, approximate expressions for the displacement image were obtained, and then these expressions were inverted for arbitrary hereditary nuclei at low viscosity. The solutions obtained are investigated in a particular case for the fractional exponential kernel Rabotnov by the method of the contour integral.

Ключевые слова: вязкоупругость, функция наследственности, ядро, функция релаксации, изображения, вязкость, контурный интеграл, напряжения, смещения, деформация, свертка функций.

Keywords: viscoelasticity, heredity function, kernel, relaxation function, images, viscosity, contour integral, stresses, displacements, deformation, convolution of functions.

Введение

Развитие современной техники вызвало широкое применение полимерных, композитных и других материалов с ярко выраженными реологическими свойствами. Поэтому в последние годы проблеме создания надежных методов изучения физико-механических свойств изделий из вязко-упругих материалов уделяется большое внимание. Однако поведение этих изделий для произвольных реологий остаётся недостаточно исследованным. Цилиндрические вязкоупругие оболочки широко используются во многих областях техники и промышленности. При этом, как правило, в процессе

эксплуатации они подвергаются динамическим воздействиям различного характера. Следовательно, проблема устойчивости цилиндрических оболочек при действии динамических нагрузок с учетом реологических свойств материала является актуальной.

В работах [1; 2; 6] исследовано динамическое кручение упругих конечных и бесконечных цилиндров, когда динамические нагрузки воздействуют на боковой поверхности или на точке.

Отметим что, аналогичные задачи для малых

цилиндров из вязкоупругих материалов с опреде- Г f(tz\ Ы < Z

ленными целями исследованы в работах [1; 4; 5]. 0 ^ V ' /' I 0

Рассмотрены частные случаи, когда зависи- гО = \п I К (1)

с I 0/ , ^ ^Л .

мость внешней нагрузки от времени имеет синусо- ^ I I 0

идальный и импульсивный вид. где сю - постоянная, М г) - заданная функция,

1 Постановка задачи и решение в изображе- характеризующая внешнюю нагрузку и четная

ниях функция аргумента г.

Пусть к поверхности Г = Г полого цилин- Отметим что, в такой постановке задачи о по-

г лубесконечном и бесконечном цилиндрах эквива-дра, находящегося в покое и занимающего область

лентны. Поэтому будем рассматривать часть ци-

Г < Г < Г , z в цилиндриче- „ ^ п

0 1 линдра Z ^ 0.

ской системе координат Г, О, Z в момент вре- Разыскивая компоненты вектора смещения и

мени 1=0 приложена касательная нагрузка, распре- (г, 2> °> и° (г, 2> °< иг (г, 2> ° с°°тветственн° по

деленная на участке (-го, го) его поверхности направлениям г, ° г в виде

V = V = 0, Vв = V{г^Л) и для определения бу-

r — Г симметрично относительно начала коорди- w r w в

нат, т.е. z=0.

и условия

дем иметь уравнение движения

dare{r,z,t) | daze{r,z,t) + 2are{r,z,t) _ pd2U(r,z,t) (2)

dr dz r dt2

U(r,z,t)_du(r^Û _ о при t _ 0 ^

x ' dt (3)

U(r,z,t0 при z

Определяющие соотношения принимаем в виде:

t t агв _ JR(t - r)d£ гв; _ JR(t - r)d£ 2в (4)

о 0

где p- плотность материала, R(t) - функция релаксации, ore и uze - компоненты напряжения, erQ и ezQ - компоненты деформации и определяются следующими формулами

''du ыл

Kdz г у

1 du

eze- 2 äZ

Здесь уравнения (4) вместе с соотношениями (1)-(3) составляют полную систему для определения перемещения U(r, z, t).

Систему (1)-(4) будем решать методами интегральных преобразований Лапласа по времени t и косинус -преобразования Фурье по координате Z. Тогда для определения изображения смещения ULc(r, р) получаем уравнение

dи p +1 dUL p) - [о* +11 ULC (z> p)= 0 (5)

2 "ч----- — \а ,

^ Г ^ Г ;

где а2 =^2 н__р_; с2(р) = (р), Р и # параметры преобразования Лапласа и Фурье соответ-

_ с2 (рУ 2Р '

ственно, к (р)- изображения по Лапласу функций Я(.1), через ЬС - обозначено совместное преобразования одноименных функций.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям имеет вид:

jjLC (z £ р)=- 2aofLC_ (P'Ç) J1 (iar К (iar0 ) - Y1 (iar )J2 ) ' ' ipRa J 2 {iar1 )Y2 (iar0 )- J 2 {iarQ )Y2 {iar1 )

(6)

2 С а 0 2 '

где и Уг(г) - цилиндрические функции.

2. Вычисление оригиналов решений Поставленная задача решена формально, поскольку обратное преобразование осуществляется с помощью квадратур. Однако его фактическое вычисление является трудным. Поэтому исследуем тонкую

г — г и , г — г , ^__________ . г — г г — г

Го,

оболочку, когда r-'L — — « j, -<L « }. Обозначив z — iar0, x —-—, y — —-- и вос-

пользуясь разложением функции У, (¡аг) = [г(1 + л)] в ряд Тейлора в окрестности точки х=0, получаем

2 2

У (¡аг) = ^) + zxJ\ ^) н—— У +... Отсюда, с учетом производной цилиндрических функций определяем

r0

r0

r0

J¡ (i ar ) = J ¡ (z) + xz

J0 (z ) —

Ji (z )'

+...

Аналогичным образом определяем

J2 (i^i ) = J2 (z) + >z

2

4

J (z ) + |1 - -4,1 J (z)

+...

г V. 2

Учитывая эти и аналогичные формулы для функций Yl(iar) и Y2(iar^) в уравнении (6) получаем:

ULC (r^p )= f (Р, €)

PRa2r0h

и \2 rh rh2

2r + r0 a (r — r ) +---+

ro 2ro

Отсюда вычисляя обратное преобразование Фурье при f(t, z)=f(t) находим

_p(zo-z) p(z0 + z )

U (r, z, p)= p) . ^ Jl — I

V ' 'p PR (p\h p2 [2

(r — r0)2; при z < z0.

c (p) + e c (p)

■ +

f (p)

(7)

PR (p)h

U (r, z, p)« ^^^rCipl. c!(p)

PR (p )ro h p 2

p( z—zo)

c ( p )

+ e

p ( z+z0 ) c (p)

z > z„

Из последней формулы видно, что в нулевом приближении поперечные сечения цилиндра поворачивается как целое относительно оси, и окончательное решение задачи зависит от вычисления обратного преобразования Лапласа выражения

V (z, p ) = — е c(p) Р

где zi=z0-z, z2=z0+z; i=l,2:

Предположим, что вязкое сопротивление материала является малым по сравнение с упругим сопротивлением. При этом релаксационные функции являются пропорциональными некоторому положительному малому параметру е и выполняются условия

(PR (p))'' = РП(р); PR (p) = 2/(l - £Г(р)); / = const. Здесь чертой сверху обозначены преобразования Лапласа одноименных функций. Формулу (8) представим в виде

pZ¡

(8)

/-Ч те

V (z, p ) = — (l — sT(p))J

0

Asín ^^^ JdA p2 + A2 — sA2 r(p)

(9)

Учитывая неравенство

p2sr(p) (p2 + A2 )(1 ~sr(p))

< 1.

представляем формулу (9) в виде ряда

V (z, p )= - J *p 0

p 2s\

\(p )

p2 + A2 (p2 + A2 ) (l — fiT(p))

+... +

+ ■

(— 1)" (p2sT(p p ))" (p2 +A2 )"+1 (1 — sT(p))"

Вычисляя интегралы и учитывая,что

sT( p )

■ +...

A sin \dA. \ C

1 — \(p)

= sK (p)

находим

pz

C

1 — I ^ \spK(p)t + ... +

V (z, p) = - e p

+bäiK£>: S ^^211 ^

2 n!

k!(n — k — l)

(10)

Этот ряд является знакопеременным сходящим рядом. Вычисляя обратное преобразование Лапласа

z

e

e

те

l

k=0

получаем

Vta{z, t) = H(t - ^

+

(- g)" (2" - m - 2)

■z

С у " — m

-gz< K

2c

t - z.

v

2z

22п • п! ¿0 т!(п — т — 1) здесь Кп (?) = Кп (р) интегрированные ядра

K

(m)

v ^ У

+... +

t - zl

+...

(11)

К2 £) = | К (t — т)К (г)Г, ...,Кп ^) = | К ^ — т)Кп—1

о о

г{т)(Л= ^Кп 0) . К Ч) &к '

учитывая формулу (11) решение поставленной задачи находим в следующем виде:

и(г, z, ') =^Т* {н(') — 1V(z1, *)н

ГоРИ 0 I 7

+ V2 (Z2, t)]}+"

■ (r - Г0 ) h

.2 t

2 i/ (t -r)

2

dn(t)

dr

; ирм z < z0

(12)

v(г, z, t) = сог г f (т)от (^, t) — v , t)]; ири \Л > z.

ГоРИ 0

3. Анализ решений для конкретного ядра

Теперь рассмотрим конкретные материалы. Пусть наследственное свойство материала описывается дробно-экспоненциальным ядром Работнова

K (t М

t

r

V м У

(13)

Дм

где ^ =-т„ , Дм = «0 — , «0 и - нерелаксированное и релаксированное значения модуля сдвига, г« - время релаксации, параметр дробности, /(2) - гамма функция Эйлера. Учитывая изображения (13) в (8), получим

V(z,p) = -^exp -(p7 + ay)2(p7 + ¿y)-2 p c

(14)

где a = r 7 • b = ^ 7

7 и ? 7

r 7 • c 2 =

lii ; c Mo P

7 M ' 7

Оригинал функций (14) вычисляется формулой

V(z,t) = -^ f Д v ' 2m f p

exp

zP

V

p7 + a

p7 + by

+ pt

dp

(15)

Для вычисления этого контурного интеграла определим особые точки подинтегральной функции. Как видно, на первом листе римановой поверхности |аг^ р| < я эта функция имеет простой полюс в точке

р=0 и точки разветвления р=0 и р=о. Точки р = (— а ) и р = (— й не являются особыми, так как они

попадают на второй лист римановой поверхности. Выбирая замкнутый контур интегрирования с разрезами вдоль отрицательной действительном оси и учитывая, что интеграл (15) отличен от нуля при условии

Re

pt -

z,p с V

p + a7

p7+ К

^ -o

у < \argp\ < m.

определяем V(t, z,)= t - z

V

a„

2 2

b7 m 0 S

f exp

A e I--Л

— cos#- st

С У

X

81П

—— — sinu c V "?2

dS

c

c

0

c

где q1 = a2r + 2Srar cos ny + S2r ; в = 1 )

q22 = b2 + 2Srb cos ny + S2y

g^i =

Sr sinny a + Sr cos ny '

tgV2 =

Sr sinny b + S r cosny

Отметим, что данная формула применима для практического расчета только при достаточно малых 2;

значениях

c

Выводы

1. Исследовано распространение нестационарных волн кручения в тонких цилиндрах методом интегральных преобразований Лапласа и Фурье.

2. Оригинал решений найден при малой вязкости для произвольных наследственных функций. Решение исследовано для конкретного дробно-экспоненциального ядра Работнова.

Список литературы

1. Амрахов А.Н. Динамическое кручение цилиндра, на боковой поверхности которого заданы касательные напряжения. В сб.: Распространение возмущений в упругих и неупругих стержнях и оболочках. М., изд-во Московского университета, 1975, с. 19-22.

2. Бакулин В.Н., Волков Е.Н., Недбай А.Я.

Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки при действии переменного по оси внешнего давления. Изв. вузов Авиационная техника, 2017, №4, с. 11-17.

3. Ильясов М.Х. Динамическое кручение вяз-коупругих цилиндров. Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ-мат. наук, 1978, №5, с. 81-86.

4. Кийко И.А., Ильясов М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндрических стержней. Механика полимеров, 1975, №3, с. 482-492.

5. Курбанов Н.Т. Динамическое кручение вязкоупругого полого толстостенного цилиндра нагрузкой, заданной на торце. СДУ, науч. известия, Сумгаит, 2004, №1, с. 25-28.

6. Новожилов В.В., Умащева В.И. Динамическое кручение полубесконечного цилиндра. МТТ, №1, 1967, с. 71-78.

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ И КОСМОЛОГИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ

Кошман В.С.

Канд. техн. наук, доцент

«Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д.Н. Прянишникова» г. Пермь, Россия

THE LAW OF UNIVERSAL GRAVITATION AND THE COSMOLOGICAL EXPANSION OF THE

UNIVERSE

Koshman V.

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor "Perm State Agrarian and Technological University named after Academician D.N. Pryanishnikov"

Perm, Russia

Аннотация

В работе, в согласие с рекомендацией Ц. Бартона, закон всемирного тяготения представлен в безразмерных планковских единицах. Приведены доводы в пользу того, что и гравитационное поле, и силы всемирного тяготения во Вселенной возникли сразу же в след за планковским мгновением времени. Приведен результат оценки порядка величины «трудового стажа» закона всемирного тяготения.

Abstract

In the work, in accordance with the recommendation of C. Barton, the law of universal gravitation is presented in dimensionless Planck units. The arguments are given in favor of the fact that both the gravitational field and the forces of universal gravitation in the Universe arose immediately after the Planck instant of time. The result of estimating the order of magnitude of the "work experience" of the law of universal gravitation is given.

Ключевые слова: модель Вселенной, законы физики, планковские единицы.

Keywords: the model of the Universe, the laws of physics, Planck units.