CC BY
10
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2003, №1, с. 25-27. © Омский государственный университет
УДК 543.123
ИССЛЕДОВАНИЕ АНОМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА ВБЛИЗИ ТЕМПЕРАТУРЫ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
В.В. Прудников, П.Л. Ильюшевич
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а1
Получена 18 ноября 2002 г.
The calculations of sound attenuation and dispersion in pure and diluted Ising-like system near the critical point are presented.
Данная статья посвящена исследованию особенностей неравновесного поведения систем вблизи температуры фазового перехода второго рода и их проявлению в аномально сильном поглощении и дисперсии скорости ультразвука в твердых телах за счет эффектов взаимодействия низкочастотных акустических колебаний с дол-гоживущими и аномально большими по амплитуде флуктуациями параметра порядка. Основное внимание в работе уделено исследованию влияния дефектов структуры на характеристики распространения ультразвука в критической области, когда присутствие дефектов структуры существенно меняет поведение изингоподобных систем.
В ряде работ [1-3] при использовании метода е-разложения описано влияние флуктуационных эффектов на характер поведения коэффициента поглощения и дисперсии скорости ультразвука при фазовых переходах в однородных системах. В работе [4] предпринята попытка описать влияние замороженных точечных дефектов структуры на характеристики распространения ультразвука вблизи критической температуры. Однако, как показано в настоящей статье, при описании этого явления в [4] были допущены ошибки, выделены неправильные диаграммы для учета динамических эффектов взаимодействия флуктуа-ций параметра порядка через поле примесей и не рассмотрены диаграммы, дающие существенный вклад в коэффициенты поглощения и дисперсию ультразвука.
В статье представлено корректное описание влияния дефектов структуры на характеристи-
1 Работа поддержана грантами РФФИ (00—02—16455) и
Минобразования РФ (Е00-3.2-43 и УР.01.01.056).
ки распространения ультразвука в неупорядоченных трехмерных изингоподобных системах вблизи температуры фазового перехода, рассматривается упруго-изотропная среда со спиновым гамильтонианом, соответствующим модели Изинга. В гамильтониане системы
Н — Hel + Нор + Hint + Himp
наряду с упругой энергией кристалла
Hei = Uddx(c011Zela+
\ а
+ 2С?2 Е eaaeßß + 4С4°4 £4/3 1-
(1)
aß
a<ß
(2)
где еа/з(х) - тензор деформации, С^ - упругие постоянные кристалла, и спиновым гамильтонианом
Нор = / ddx
-rS2 + - (VS)2 + -uS4 2 2 v ' 4
(3)
где г = ro(T — Тс), S — параметр порядка, и — положительная константа. Учитывается взаимодействие спиновых и деформационных переменных
Hint = / <rx
9о
У е S'2
(4)
где до - параметр квадратичной стрикции.
Примесная составляющая гамильтониана учтена следующим образом:
Нипр= I ёЛх [Дг(.т)5'2] + I ёЛН(х)^аа, (5)
26
В.В. Прудников, П.Л. Ильюшевич.
где случайные гауссовски-распределенные переменные Дг(.т) и к(х) характеризуют соответственно флуктуации локальной температуры фазового перехода и поля напряжений, индуцированные дефектами структуры.
Для нахождения эффективного гамильтониана системы перейдем к фурье-образам переменных, вводя
я 77
^ = и°а13 + V]Г 1к0иа(к)ехр(1кх), (6) * 13 кф о
где 17 (к) = £ел(А^,л). л
В выражении (6) выделен тензор одно-
родной деформации. Используя фурье-образ переменной II, определим тензор деформации в следующем виде: еаа = 011а /дха .
Проведение интегрирования в статистической сумме по недиагональным компонентам однородной части тензора деформации и последующее переопределение констант соо = до2 /2 А ;
А = 1/2Сц + 2С12;о1 = (А - 2С44) /2У ;д =
доУ_1/2А позволяет получить окончательное выражение для эффективного гамильтониана системы:
Н = | / с!кк (го + к'2) 5г5_г + | /
-д / , + 01 / <Гк1^(),.х() ,.Л.
(7)
Процесс распространения ультразвука вблизи критической температуры описывается динамическими уравнениями для параметра порядка Б к и упругих переменных <5—типа обобщенных уравнений Ланжевена:
5Ь = -Т0дй /дв-к + & + Г01г3, (8) ОН
Як,Х = -тгр:--+ + г0/гд, (9)
ОЧ-к,Х
где Го, -О® - кинетические коэффициенты, и ~ гауссовы случайные силы. В ре-
зультате итерационного решения системы нелинейных уравнений (8) и (9) с гамильтонианом (7) могут быть выделены функции отклика как упругих С(к,ш), так и спиновых И (к, и) переменных, определяемые как
с(к, и) = 5С)к^ш = [{Як^Я-к,-.)], (Ю) Б(к, со) = бБк^ /61гз = , (И)
где (...) - статистическое усреднение по случайным гауссовым силам, [...] - усреднение по случайным примесным полям Аг(х),к(х).
Выделим в функциях отклика их собственно энергетические части, представляя С(к,ш) и 0(к,и) в виде
С~1{к,ш) = Со1{к,ш) + 'Е{к,ш),
Б-1 (к, со) = Оо1{к,ш) +П(А;,ш),
где затравочные функции отклика Со(к,ш) и По (к, и) определяются:
С0{к, ш, А) = 1 /(с^2 - а1к2 - киО°хк2) ,
Б0(к, и) = 1 /(ш /Г0 + (г0 + к2)) .
Характеристики распространения ультразвука определяются из анализа функции отклика С(к,ш). Так, через мнимую составляющую собственно энергетической части функции отклика Т,(к,ш) определяется коэффициент поглощения:
а(ш,т) ~ иЛтЕ(и;), (12)
а дисперсия скорости звука выражается через ее действительную составляющую:
с2(со, т) - с2(0, т) ~ Ие (ЕН - Е(0)) . (13)
В формализме фейнмановских диаграмм выражение для собственно энергетической части Т,(к,ш) можно задать в двухпетлевом приближении в следующем виде:
где линия - - Со(к,ш), —X— - корреляционная функция
Во(к, и>)Во(—к, — и), вершинам «,г> = ((Дг)2) сопоставляются диаграммы^ и^---^.
Применяя схему размерной регуляризации, связанную с введением перенормированных величин и проводя замену переменных к; = ке1, и>1 = шег1, получаем закон преобразования функции отклика С(к,и>) = е2гС(А'г, с^г). На I наложено ограничение /2Го + = 1- Используя известное скейлинговое выражение для восприимчивости \ [2] и проводя перенормировку входящих в Т,(к,ш) величин, итоговое выражение для мнимой составляющей Т,(к,ш) при к = 0 приобретает следующий вид:
Исследование аномальных свойств распространения ультразвука.
27
У 4t 40 » 39 37 38 35 34 -«I
,1 ■ft 05 t « № r 4 1
Рис. 1. Скейлинговые функции коэффициента поглощения ф(у) и дисперсии f(y) для неупорядоченной (графики 1 и 3) и однородной (графики 2 и 4) систем соответственно
Рис. 3. Температурное поведение дисперсии скорости ультразвука с частотой ио = 750МГц для однородной (1) и неупорядоченной (2) систем
Ассимптотическое поведение коэффициентов поглощения и дисперсии в гидродинамической Т Тс и критической Т —► Тс областях для однородной и неупорядоченных сред
r « n -ОД
01
1 1
\
1 V
\
1 \
/ \
/ \
/ i
S / \ v
Ю1 -Oft 006 < » OyU Ю6 г Ofi
Среда Область а(cj, к) cz(u)-cz( 0)
Однородная т>тс Т > Тс со'2т-а~ги L0l-*/zu T~a
Неупорядоченная т>тс Т > Тс U3r-a-2zu u;0,2T-ct-0,2uz
Рис. 2. Температурное поведение коэффициента поглощения ультразвука с частотой ио = 250МГц для однородной (1) и неупорядоченной (2) систем
ImE(cj) juj = т
Щу),
у(у) = 9о v*¥imp(y) + 00
*2 Fa^{y,T)
f бтг F~1/2u(y,T) \V2r0gi(y,T)Fz(y,T)
+
167Г U*
(1 +9Ï
У Го ,24 1/4
-1 +
(1 + ^)1/2-1]},
(14)
где у = ит г1/, а = д2/Сп - и)0,
Р(у,т) = [(1-6 + Ьг-«)-2 + (2//2)4/г]"1/4, сг*, ^о 5 ~~ значения вершин в критической точке, - критические индексы.
Выражение для действительной составляющей:
- Е(0))=т-° Ш - /(0)),
Яу) = 9о2У*/Шр(у) + Р^(у,т)д*02х
\(Л ^ (15)
где (р1тр{у) и ¡гтр{у) ~ примесные составляющие скейлинговых функций, получаемые на основе численных расчетов соответствующих диаграмм в пропорциональных вершине V.
Из рис. 1 видно, что в гидродинамической области с у « 1 (Т > Тс) наличие примесей не изменяет функциональной зависимости скейлинговых функций, но сильно модифицирует функции д(у) и /(у) в критической области с у > 1
В соответствии с выражениями (12) - (15) характеристики распространения ультразвука имеют вид:
a(LU,T)~LU2T-a-»z<p(y), (16)
с2 (со, т) - с2 (0, т) ~ г-« (/ (у) - f (0)). (17)
Асимптотические характеристики данных величин от uj и т, представленные в таблице, демонстрируют, что в критической области как для однородной, так и для неупорядоченной системы должно наблюдаться аномально сильное поглощение и аномальное поведение дисперсии скорости ультразвука.
На рис. 2 и 3 наглядно представлены полученные для однородной и неупорядоченных систем аномальные температурные зависимости коэффициентов поглощения и дисперсии скорости звука вблизи критической температуры (т —0).
Наличие примесей в системе приводит к увеличению коэффициента поглощения и дисперсии скорости звука по отношению к их значениям для однородной системы.
1. Iro H., Schwabl F. Damping and dispersion of sound at structural transition / / Solid State Communications (1983). Vol. 46. № 2. P. 205-208.
2. Pawlak A. Propagation of ultrasound near the phase transition in Ising system // J.Phys.: Condens. Matter 1 (1989). P. 7989-8006.
3. Pawlak A. Sound propagation in ammonium halides near the tricritical point // Physical Review B. (1991). Vol. 44. № 10. P. 5296-5298.
4. Pawlak A. and Fecher B. Sound attenuation and dispersion in a diluted Ising model // Physical Review B. (1989). Vol. 40. № 13. P. 9324-9326.
