Влияние конкуренции между дальнодействием и близкодействием на критическое поведение неупорядоченных сжимаемых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математические структуры и моделирование 2004, вып. 14, с. 53-65

УДК 536.763/764

С.В. Белим

ВЛИЯНИЕ КОНКУРЕНЦИИ МЕЖДУ ДАЛЬНОДЕЙСТВИЕМ И БЛИЗКОДЕЙСТВИЕМ НА КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СЖИМАЕМЫХ СИСТЕМ

Как хорошо известно, критические свойства систем задаются малым количеством параметров. Таких как размерность, симметрия параметра порядка и скорость убывания взаимодействия с расстоянием. Особый интерес представляют системы, в которых кроме обычного блнзкодействня присутствуют эффекты дальнодействия. В классической изингоподобной системе взаимодействие между флуктуациями убывает экспоненциально с расстоянием по закону ехр(—г/го), вследствие чего рассматривается взаимодействие только между ближайшими соседями и данные системы можно охарактеризовать как близкодействующие. При убывании взаимодействия с расстоянием г по закону r_jD_a, где D - размерность пространства, уже нельзя ограничиваться взаимодействием между ближайшими соседями и возникают эффекты дальнодействия.

В общем случае при наличии как близкодействия, так и дальнодействия Фурье-образ разложения взаимодействия между критическими флуктуациями v(q) по волновому числу \q\ имеет вид:

Гамильтониан неупорядоченной изингоподобной системы в критической области с учетом упругих деформаций может быть записан в виде:

v(\q\) = v0+ j2\q\2 + ja\q\a + w(\q\),

(1)

где w(q)/qmax(a’2) g при q —» 0.

© 2004 C.B. Белим

E-mail: [email protected]

Омский государственный университет

Работа поддержана грантом РФФИ N 04-02-16002

где Sq — флуктуации параметра порядка, г^о — положительная константа, tq ~ \Т — Тс|/Тс, Тс - температура фазового перехода, а - параметр дальнодействия, ja - параметр, характеризующий относительное влияние эффектов дальнодействия, j2 _ параметр, характеризующий относительное влияние эффектов близкодействия, Атд - случайное поле примесей типа случайной температуры, щ, <22 - упругие постоянные кристалла, аз - параметр квадратичной

стрикции. Взаимодействие примесей с нефлуктуирующим параметром поряд-з

ка у{х) = иаа(х), где иар - тензор деформаций, задается величиной hq -

а=1

случайным полем, термодинамически сопряженным иаа(х). В (2) проведено интегрирование по слагаемым, зависящим от нефлуктуирующих переменных, не взаимодействующих с параметром порядка Sq, а также выделены слагаемые у^) описывающие однородные деформации. Как показано в работе [1], такое разделение необходимо, так как неоднородные деформации yq отвечают за обмен акустическими фононами и приводят к дополнительным эффектам дальнодействия, которые отсутствуют при однородных деформациях.

Как показано в работе [2], в рамках ^-разложения (є = 2а — D) для значений а < 2 при ренормгрупповом преобразовании с масштабным параметром b слагаемое jaqa преобразуется в jaqfa с q' = qb. Коэффициент при q2 убывает как Ьа_2, а коэффициент при S4 изменяется пропорционально b2a~D. Таким образом, эффекты дальнодействия приводят к изменению критической размерности, и гауссова фиксированная точка доминирует при D > 2а, так как слагаемое, пропорциональное 54, становиться несущественным при предельном переходе b —> оо. Слагаемое j2q2 несущественно при а < 2. Отсюда следует, что в области значений а < Dj2 в системе наблюдается гауссово критическое поведение. При D/2 < а < 2 в системе наблюдается негауссово критическое поведение, зависящее от параметра дальнодействия а.

В обратном случае а > 2 при ренормгрупповом преобразовании с масштабным параметром b слагаемое j2q2 преобразуется в j2q'2 с q' = qb. Коэффициент при qa убывает как Ъ2~а) а коэффициент при S4 изменяется пропорционально b4~D. То есть критическая размерность, как и для систем с отсутствием дальнодействия равна, 4. Слагаемое jaqa несущественно при а > 2.

Для однородных несжимаемых систем с эффектами дальнодействия получены как некоторые аналитические [2-4], так и численные результаты [5-7]. В работе [2] получены критические индексы для общего случая систем с тт-компо-нентным параметром порядка при использовании ренормгруппового подхода в рамках ^-разложения. Исследование непосредственно в трехмерном пространстве в двухпетлевом приближении [8] подтвердило предсказание ^-разложения для однородных систем с дальнодействием.

Как показано в работах [9,10], взаимодействие флуктуаций параметра порядка с упругими деформациями может приводить как к смене режима критического поведения, так и к появлению на фазовой диаграмме трикритических точек и критических точек четвертого порядка. Введение в систему замороженных точечных примесей приводит не только к изменению режима критического поведения, но и к исчезновению мультикритических точек [11]. Исследование

54

влияния замороженных дефектов структуры на спиновые системы с дальнодействием, проведенное в работе [12], выявило существование интервала значений параметра дальнодействия, при котором происходит смена рода фазового перехода.

В данной работе проводится описание критического поведения неупорядоченных сжимаемых систем с учетом эффектов дальнодействия непосредственно в трехмерном пространстве при различных значениях параметра дальнодействия а.

При малой концентрации примесей распределение случайных полей Arq) hq) /ij можно считать гауссовым и задать функцией:

где А - нормировочная константа, а Ъ{ — положительные константы, пропорциональные концентрации замороженных дефектов структуры.

Применяя реп личную процедуру для усреднения по случайным полям, задаваемым замороженными дефектами структуры, получим эффективный гамильтониан системы:

константы a>i,bi. Свойства исходной системы могут быть получены в пределе числа реплик (образов) m —► 0.

Определим эффективный гамильтониан системы, зависящий только от сильно флуктуирующего параметра порядка 5, следующим образом:

Если эксперимент осуществляется при постоянном объеме, ТО у о является константой, интегрирование в (5) проводится только по неоднородным деформациям, а однородные деформации вклада в эффективный гамильтониан не вносят.

(з)

m

(4)

а—1

пп

<а

—ql—q2—q3

а=1

m

а—1

Здесь введены положительные константы 5о, до, до°\ А, А о, выражаемые через

55

При постоянном давлении в гамильтониан добавляется слагаемое РП, объем представляется в терминах компонент тензора деформации в виде

П = Пд [1 Н- Е ^аа + 'У ^ иааи(3(3 + 0(и3)]^ (6)

а=1 аф/3

и интегрирование в (5) осуществляется также и по однородным деформациям. Как отмечено в [13], учет в (6) квадратичных слагаемых может оказаться важным в случае высоких давлений и кристаллов с большими стрикционными эффектами. В результате:

Я

1

2

dDQ(tq + jaqa + J2?2) 7^ SqS-q +

(2—1

+

dDqidDq2dDq3S^S^3S

a

—ql—q2—q3

Sj m Г

- Y, / з

a,6=1 ^

+

1 Ш /*

+ — (z0 - «*>) £ /

a=l ^

2 / л (0)2 , л ^0

= 30/Ф wo = 9o /Аo, v0 = % - — .

(7)

Возникающий в гамильтониане эффективный параметр взаимодействия = г^о — /2 за счет влияния стрикционных эффектов, определяемых парамет-

ром д0, может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. В результате данный гамильтониан описывает фазовые переходы как первого, так и второго рода. При Vo = 0 в системе реализуется трикритическое поведение. В свою очередь, эффективное взаимодействие в (7), определяемое разностью параметров Zq — гео, также может приводить к смене рода фазового перехода. Из данного вида эффективного гамильтониана следует возможность осуществления критической точки более высокого порядка, в которой пересекаются трикритические кривые, при одновременном выполнении условий = 0, Zq = Wq [14]. Следует отметить, что при трикритическом условии Zq = wо гамильтониан модели (7) изоморфен гамильтониану неупорядоченной модели Изинга с эффектами дальнодействия.

Поведение системы в критической и трикритической области определяется значениями эффективных зарядов в неподвижной точке ренормгруппового преобразования. Данное преобразование имеет различный вид в зависимости от величины параметра дальнодействия а. Для случая а > 2 ренормгрупповая процедура имеет вид:

yf = ZxVq, y^ = ZоУо, S^ = Z^2Sq, r0 = b2rZT, (8)

щ = b4~DuZu, (50 = b4~DSZs, д0 = b2~D/2gZg,

д(0) = Ь2-^(0)^(0)? Д) = b2-aj(l)Zju Д1) = ja/h'

56

Масштабный параметр b вводится для обезразмеривания величин. Как легко видеть, ренормгрупповые преобразования для эффективных зарядов и, ф щ димеют такой же вид, как и для систем с отсутствием дальнодействия. Те же значения будут иметь и фиксированные точки ренормгруппового преобразования.

Для случая а < 2 ренормгрупповая процедура определяется соотношениями:

yf] = Ziyq, уМ = гоУо, sW = zV2Sq, r0 = barZT, (9)

Щ = b2a~DuZu, S0 = b2a~DSZs, go = ba~D/2gZg,

g(0) = ba-D/2g(0)Z(0)^ jo = p-2jZji Jq = jfJ ^

Эффективные заряды Л и Aq характеризуют только нефлуктуирующий параметр порядка у и поэтому не меняются при ренормгрупповом преобразовании:

Ar = Л, \0R = Л0. (10)

На основе техники фейнмановских диаграмм были построены двухточечные вершинные функции Гг2\ Гд2\ Гдд\ четырехточечные вершинные функции Ти\ а также двухточечные вершинные функции со вставкой Г^2,1\ Г^2,1^

с пропагатором G(q) = 1/(т+ \q\a).

Z-факторы определяются из требования регулярности перенормированных вершинных функций, выраженном в условиях нормировки: для случая а > 2

z^Г2Дд2=о = 1, £2гДД2=о = b2a~Du, Z2T&{\,=0 = b4~DS, (11)

z1zrg^%2=0 = b2~D/2g, z0zrg0w\k2=0 = b2~D/2g^\

^іГл(2Д2=о = b~D A, Z0TX0m\k2=0 = b~D Aq,

ZTt^\ka=o = b2~D/H, £Ц1(2,1)|*2=о = b2~aj;

для случая a < 2

Z^T^(k)\k2=0 = 1, Z2ru^\k2=0 = b2a~Du, ^2гДЦ2=0 = b2a~D8, (12)

гггтд^\к2=0 = ba~D/2g, Z0ZTgo{2’1}\k2=o = ba-D'2g^\

ZiTx^\k2=0 = b~D A, Z0rA0(2)|fc2=0 = b~D Ao, zrt&%a=o = ba~D/H, ^Г/2ДД2=0 = ba~2j.

Ренормгрупповая процедура была осуществлена в рамках двухпетлевого приближения. Следующим шагом в теоретико-полевом подходе является определение скейлинговых (3- и д-функций, задающих дифференциальное уравнение ренормгруппы для вершинных функций:

[ЬШ + Д + Д + Д + Д + Д>

-7,7-2-] . Tim)(q;T,u,S,g,gi0,,b) - 0.

п d In Zv

Ь~дГ

(13)

57

Введем новые эффективные вершины взаимодействия:

Vi = v Jo, v2 = 5 J0 v3 = z J0, Vi = w J0.

(14)

В результате для случая а > 2 (3- и д-функции для эффективных вершин щ, Щ) Щ) Va имеют такой же вид, как и для близкодействующих систем [11]. Для вершины j^ получаем:

Pji = “(2 - Д'(1) +576 ^2j)

+96 ( 2 Л

1 — 24^i + 8v2 — 4v3 + 2v4 +

(15)

— 1 — -G

CL—2 о

<2=2

vf - 120 2Ji

— 1 — -G

a=2 5

<2=2

2 ~ \ o"|

-1--G ) V2

CL—2 3 a=2 / 3

Для случая a < 2 были получены выражения:

/?і = —(2а — 12)^1

1 - 36г>і + 24г;2 + 1728 (2JX - 1 - -

/?2 —

2304(2Ji - 1 - ^G)v!V2 + 672(2Jx - 1 - (^G>2 6 З

г ~ 2 ~

— (2а — D)v2 1 — 24г>і + 8г>2 + 576(2 Ji — 1------G)vf —

З

1

1

- 1152(2Jx - 1 - -G)viv2 + 352(2Ji - 1----G)n

о

/?з = —(2а — -Офз 1 — 24г>і + 16w2 — 2v3 + 576(2Ji — 1 — ^G)J( —

О

- 120(2Л - 1 - ^G)wiw2 + 96(2Л - 1 - \d)v|1,

О о -

/?4 = —(2a — D)v 4 1 — 24г>і + 8г>2 — 4г>з + 2г>4 + 576(2Ji — 1 — -G)v\ —

О

- 120(2Ji - 1 - -G>i«2 + 96(2Ji - 1 - -G)v\

/3j —

5 v 3

-(a — 2)j 1 — 24г>і + 8г>2 — 4г>з + 2г>4 + 576(2 Ji

- 120(2Ji - 1 - -G)viv2 + 96(2Ji - 1 - -G)v\

1 - 3G)^

1

(16)

71 = (2a — Л) — 12г>і + 4г>2 — 2v% + 2v^ + 288 pJi — 1 — ^G)vf — 192(2Л - 1 - \d)vxv2 + 32(2Д - 1 - 1g)u|

o A

58

7v?

■h

Jo

G

J\

(2 a

D)64G(3vl

3v4 v2 + v\).

dPqdPp

(1 + \q\a)2(l + |p|“)(l + Iq2 +p2 + 2pq\a/2) ’ dDn

J (1 + I#)2’

d f dDqdDp

d\k\a J (1 + Iq2 + k2 + 2kq\a)(l + |p|a)(l + |q2 + p2 + 2pq\a/2)

t2 ’ U t2 '

Jo Jo

k=o’

При значениях a < Dj2 интегралы Д, G становятся расходящимися. Для получения конечных выражений вводился параметр обрезания Л и рассматривался предел отношений Ji/Jq, G/Jq при Л —> сю. Значения интегралов находились численно, после чего строилась последовательность значений Ji/Jq и Gj Jq при различных значениях Л и аппроксимировалась на бесконечность.

С целью извлечения из полученных выражений нужной физической информации был применен обобщенный на четырехпараметрический случай метод Паде-Бореля. При этом прямое и обратное преобразования Бореля имеют вид

f(v1,v2lv3lv4) = X = Iе tF(v1t,v2t,v3t,v4t)dt,

EV„, Щ,г2,гз,г4 пМ п,і2 „М

{ll+h + k + i^ Ъ Ъ •

(17)

Для аналитического продолжения борелевского образа функции вводится ряд по вспомогательной переменной в

оо

F(Vl,v2,v3,v4,e) = ^Ok ^2 Ctl’k\M viviv3v*Sii+i2+i3+iA,k з (18)

к=0 іі,І2,гз,І4

к которому применяется аппроксимация Паде [L/M] в точке в = 1. В двухпетлевом приближении для вычисления /5-функций были использованы аппрокси-манты [2/1].

Режим критического поведения полностью определяется устойчивыми неподвижными точками ренормгруппового преобразования, которые могут быть найдены из условия равенства нулю /5-функций:

А

Vi,v2,v3,v4

,Л = 0 (г = 1,2,3, 4, Д

(19)

Требование устойчивости фиксированной точки сводится к условию положительности собственных значений bi матрицы

_df3i(v*1,v*,v*3,v*4,f) dv,

Для случая а > 2 устойчивые фиксированные точки совпадают с соответствующими точками близкодействующих систем [п] , так как для всех этих

59

фиксированных точек эффективный заряд j= 0. Нулевое значение эффективного заряда, характеризующего относительное влияние эффектов дальнодействия, свидетельствует о доминирующей роли близкодействия в этих системах и несущественности вклада дальнодействия.

Устойчивые фиксированные точки ренормгруппового преобразования, собственные значения матрицы устойчивости в фиксированной точке и критические индексы для значений параметра 1,5 < а < 1,9 приведены в таблице 1. Для значений параметра 0 < а < 1,5 существует только гауссова фиксированная точка v* = 0, являющаяся устойчивой. Для значения параметра дальнодействия а = 1,5 определить значения эффективных зарядов в фиксированной точке невозможно, так как /5-функция тождественно равна нуль при D = 3. Однако для случая а = 1,5 определение фиксированной точки и не требуется в силу того, что = 0 и = 0 тождественно и соответствующие индексы совпадают со среднеполевыми. Данный результат согласуется с предсказаниями ^-разложения [2-4].

Анализ фиксированных точек и собственных значений матрицы устойчивости показывает, что для значений параметра а < 2 близкодействие становится несущественным для всех типов систем, определяющую роль играют эффекты дальнодействия. Данный вывод следует из нулевого значения параметра j* = 0, определяющего относительное влияние эффектов близкодействия в устойчивой фиксированной точке, и положительного значения параметра Ь$ > 0, определяющего устойчивость системы относительно параметра j.

Для неупорядоченных «жестких» систем (фиксированные точки 1,6; 2,6; 3,6;

4,6) устойчивые фиксированные точки в физической области > 0) суще-

ствуют лишь при значениях параметра дальнодействия а > 1,8. Как показывают вычисления для всех значений 1, 6 < а < 1, 8, устойчивые точки трехмерных примесных систем характеризуются отрицательным значением вершины v\. Присутствие в физической области только неустойчивых фиксированных точек свидетельствует о смене рода фазового перехода со второго на первый [15]. Данные фиксированные точки неустойчивы относительно упругих деформаций.

Для неупорядоченных сжимаемых систем при 1, 8 < а < 2 реализуется свой режим критического поведения (фиксированные точки 3,7; 4,7). Фиксированные точки 3,8 и 4,8 задают трикритическое поведение первого типа (v£ = v\). Трикритическое поведение второго типа (г?* = 0) не реализуется в силу отсутствия устойчивых фиксированных точек в физической области значения эффективных зарядов. И, как следствие, на фазовой диаграмме отсутствуют критические точки четвертого порядка.

Индекс щ характеризующий рост радиуса корреляции в окрестности критической точки (Rc ~ \Т — Тс|_Д, находится на основе соотношения

V = 0,5(1 + -jt(v*l,v*2,vl,vl))-1. (21)

Индекс Фишера ц, описывающий поведение корреляционной функции в окрестности критической точки в пространстве волновых векторов (G ~ /с2+??), опре-

60

Таблица 1. Значения фиксированных точек и собственных значений матрицы устойчивости

однородных систем.

N v\ «2 vt < 3 Ь\ 62 h b4

а = 1, 6

1,1 0,01597 0 0 0 0 0,32 і О 00 -0,62 -0,62 0,87

1,2 0,01597 0 0,30968 0 0 0,87 1 о 00 0,62 0,62 0,16

1,3 0,01597 0 0,30968 0,30968 0 0,87 -0,48 0,62 -0,62 0,32

1,4 0 0 0,5 0 0 -1 -1 1 1 0,4

1,5 0 0 0,5 0,5 0 -1 -1 1 -1 0,4

1,6 -0,22762 0,59481 0 0 0 45,30 32,57 - 0,12 - 0,12 0,08

а = 1,7

2,1 0,02049 0 0 0 0 0,23 -0,34 -0,53 -0,53 0,70

2,2 0,02049 0 0,26650 0 0 0,70 СО о" 1 0,53 0,53 0,12

2,3 0,02049 0 0,26650 0,26650 0 0,70 со о" 1 0,53 СО LO о" 1 0,23

2,4 0 0 0,5 0 0 -1 -1 1 1 0,3

2,5 0 0 0,5 0,5 0 -1 -1 1 -1 0,3

2,6 -0,04523 0,27489 0 0 0 13,24 3,92 - 0,17 - 0,17 0,08

а = 1, 8

3.1 0,02323 0 0 0 0 0,15 -0,22 -0,49 -0,49 0,63

3.2 0,02323 0 0,24540 0 0 0,63 -0,22 0,49 0,49 0,08

3.3 0,02323 0 0,24540 0,24540 0 0,63 -0,22 0,49 -0,49 0,15

3.4 0 0 0,5 0 0 -1 -1 1 1 0,2

3.5 0 0 0,5 0,5 0 -1 -1 1 -1 0,2

3.6 0,06419 0,04688 0 0 0 0,63* 0,63* - 0,12 - 0,12 0,08

3.7 0,06419 0,04688 0,06610 0 0 0,63* 0,63* 0,12 0,12 0,09

3.8 0,06419 0,04688 0,06610 0,06610 0 0,63* 0,63* 0,12 - 0,12 0,08

а = 1, 9

4,1 0,04207 0 0 0 0 0,06 -0,18 -0,18 -0,18 0,68

4,2 0,04435 0 0,09519 0 0 0,68 -0,18 0,19 0,18 0,04

4,3 0,04435 0 0,09519 0,09519 0 0,68 -0,18 0,19 -0,19 0,06

4,4 0 0 0,5 0 0 -1 -1 1 1 0,1

4,5 0 0 0,5 0,5 0 -1 -1 1 -1 0,1

4,6 0,06656 0,04082 0 0 0 0,56* 0,56* - 0,12 - 0,12 0,04

4,7 0,06656 0,04082 0,06572 0 0 0,56* 0,56* 0,12 0,12 0,05

4,8 0,06656 0,04082 0,06572 0,06572 0 0,56* 0,56* 0,12 - 0,12 0,04

деляется на основе скейлинговой функции 7^:

?7 = 7>1>2>з>4*). (22)

Значения остальных критических индексов может быть определено исходя из скейлинговых соотношений.

61

Значения критических индексов для фиксированных точек из табл.1, лежащих в физической области значений, приведены в табл.2.

Динамическое поведение системы в релаксационном режиме вблизи критической температуры может быть описано кинетическим уравнением для параметра порядка типа уравнения Ланжевена:

dS л 8Н

~т ~ ~л° + 4 + (23)

где Ао - кинетический коэффициент, //(./;, I ) - гауссова случайная сила, характеризующая влияние теплового резервуара и задаваемая функцией распределения

Pv = Av exp

(4Ао) 1

ddx dtr]2(x,t)

(24)

с нормировочной константой £(£) - внешнее поле, термодинамически сопряженное параметру порядка. Временная корреляционная функция G{x,t) параметра порядка определяется путем решения уравнения (23) с H[S) Ат], задаваемым (2) относительно 5[цД, Ат], с последующим усреднением по гауссовской случайной силе rj с помощью по случайному потенциалу поля примесей Аг{х) с помощью Р[Дт, h, ho] и выделением линейной по ДО) части решения, т.е.

G(x, t) = *))]tmplc=0, (25)

где

[(S(x,t))]imp = В1 f D{ri}Y[dATqS(x,t)P11PAT, (26)

в = J D{V} Д dATqPvPAT. (27)

Вместо корреляционной функции удобнее рассматривать ее вершинную часть Г(2)(/с, ст), которая была получена в двухпетлевом приближении с использованием формализма фейнмановских диаграмм.

Для однородных «жестких» систем (фиксированные точки 1,1; 2,1; 3,1; 4,1) режим критического поведения существенно зависит от параметра дальнодействия. При этом с уменьшением скорости спадания взаимодействия между флук-| туациями с расстоянием (уменьшением параметра а) наблюдается стремление критического поведения к гауссовому. Критическое поведение становится гауссовым при значении параметра дальнодействия а = 1,5. Из отрицательного значения собственных значений матрицы устойчивости Ь2? Ьз, Д следует, что критическое поведение однородных «жестких» систем неустойчиво как относительно введения в систему замороженных примесей, так и относительно упругих деформаций.

Для однородных сжимаемых систем качественно картина критических явлений выглядит одинаково при любых значениях параметра дальнодействия 1, 5 < а < 2. Устойчивой оказывается фиксированная точка при постоянной деформации (фиксированные точки 1,2; 2,2; 3,2; 4,2). Фиксированные точки 1,3; 62

62

Таблица 2. Критические индексы.

N V а V 7 Z

а = = 1,6

1,1 0,69736 -0,09208 0,40394 1,11303 2,00018

1,2 0,88948 -0,66844 0,40394 1,41966 2,00018

1,3 0,69736 -0,09208 0,40394 1,11303 2,00018

1,4 1,25 -1,75 0,4 2 2

1,5 0.625 0,125 0,4 1 2

а = = 1,7

2,1 0,66745 -0,00235 0,30486 1,13142 2,00078

2,2 0,83065 -0,49195 0,30486 1,40807 2,00078

2,3 0,66745 -0,00235 0,30486 1,13142 2,00078

2,4 1,17647 -1,52941 0,3 2 2

2,5 0,58823 0,23531 0,3 1 2

а = = 1,8

3,1 0,63634 0,09098 0,20746 1,14116 2,00153

3,2 0,78291 -0,34873 0,20746 1,40399 2,00153

3,3 0,63634 0,09098 0,20746 1,14116 2,00153

3,4 1,11111 -1,33333 0,2 2 2

3,5 0,55556 0,33333 0,2 1 2

3,6 0,73279 -0,19837 0,25098 1,28540 2,11225

3,7 0,75776 -0,27328 0,25098 1,32919 2,11225

3,8 0,73279 -0,19837 0,25098 1,28540 2,11225

а = = 1,9

4,1 0,65268 0,04196 0,11342 1,23179 2,00663

4,2 0,75143 -0,25429 0,11342 1,41814 2,00663

4,3 0,65268 0,04196 0,11342 1,23179 2,00663

4,4 1,05263 -1,15789 0,1 2 2

4,5 0,52632 0,42104 0,1 1 2

4,6 0,70679 -0,12037 0,13441 1,31979 2,12385

4,7 0,72133 -0,72133 0,13441 1,34695 2,12385

4,8 0,70679 -0,12037 0,13441 1,31979 2,12385

63

2,3; 3,3; 4,3 описывают первый тип трикритического поведения сжимаемых систем, наблюдаемый при постоянном давлении. Фиксированные точки 1,4; 2,4; 3,4; 4,4 являются трикритическими для систем, исследуемых при постоянном объеме. Точки 1,5; 2,5; 3,5; 4,5 являются критическими точками четвертого порядка, в них пересекаются две трикритические линии. Данные фиксированные точки неустойчивы относительно замороженных дефектов структуры.

Релаксационное поведение системы определяется динамической скейлинго-вой функцией да (г?!, щ), которая позволяет определить динамический кри-|

тический индекс z, характеризующий критическое замедление процессов релаксации,

z = 2 + 7Л(Д, гТ гТ гД,

7л = (2а - D) [ - 4D[ - 532(£>' - ^G)v\ +

D'i = £>i =

D' = D2 = D3 = D4 =

Лз + Л"

1 dD1 /c=0,cj=0-

Jod(- -іи/А)

dPq

J 1 + 1#- iu/X

1 dDi /c=0,cj=0

Дд(; -iu/X)

dPqdDp

4 J (1 + |#)(1 + |p|“)(3 + \q\a + \p\a + \p + q|° - iu/X)'

3 f dPqdPp

4J 2(1 + \q\a — iw/X)(l + |p|°)(2+ \q\a + \p + q\a)'

dr qdrp

(1 + \q\a - іи/A)(l + \p\a - iu/X)( 1 + Ip + q\a - іи/X)'

D5= I dDqdDp

(1 + \q\a - іи/A)2(l + Ip + q|а - іи/X)

1 i

(1 + \q\a - iu/X)2(l + \p\a - iu/X).'

(28)

(29)

Для асимптотического ряда разложения 7аД, Щ, Щ, щ) по степеням v\, v%, и v\ при D = 3 был применен метод суммирования Паде-Бореля. Значения динамического критического индекса, как и статические индексы, приведены в табл. 2.

Таким образом, расчеты, проведенные непосредственно в трехмерном пространстве, показали, что эффекты дальнодействия несущественны при значениях параметра дальнодействия а > 2. Для однородных сжимаемых и «жестких» систем в интервале значений 1,5 < а < 2 наблюдается негауссово критическое поведение, существенно зависящее от значения параметра дальнодействия а. Для неупорядоченных сжимаемых и «жестких» систем в интервале значений 1,8 < а < 2 так же, как и для однородных систем, наблюдается негауссово

64

критическое поведение, существенно зависящее от значения параметра дальнодействия а. В интервале значений 1,5 < а < 1,8 для примесных систем происходит срыв на фазовый переход первого рода. При значениях а < 1,5 для всех рассматриваемых систем наблюдается среднеполевой характер критического поведения, характеризующийся гауссовыми критическими индексами.

Литература

1. Ларкин А.И., Пикин С.А. // ЖЭТФ. 1969. Т.56. С.1664.

2. Fisher М. Е., Ма S.-k., Nickel В. G. Critical exponents for long-range intraction // Phys. Rev. Lett. 1972. V.29. P.917.

3. Honkonen J.// J. Phys. A. 1990. V.23. P.825

4. Luijten, E. Mebingfeld Criticality in One Dimension with Inverse Square-Law Potentials // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.5305.

5. Bayong E., Diep H.T. Effect of long-range interaction on the critical behavior of the continuous Ising model // Phys. Rev. B. 1999. V.9. P.11920

6. Luijten E. Test of renormalization predictions for universal finite-size scaling functions II Phys. Rev. E. 1999. V.60. P.7558.

7. Luijten E., Bloote H. W. J. Classical critical behavior of spin models with long-range interactions // Phys. Rev. B. 1997. V.56. P.8945.

8. Белим C.B. Влияние эффектов дальнодействия на критическое поведение трехмерных систем І/ Письма в ЖЭТФ. 2003. В.2. N.77. С.118-120.

9. Laptev V.M., Skryabin Yu.N. Critical behavior of random spin models with a coupling to a nonfluctuating parameter //Phys. Stat. Sol.B. 1979. V.91. P.K143-K147.

10. Skryabin Y.N., Shchanov A.V. Tricritical behavior of random systems with a coupling to a nonfluctuating parameter //Phys. Lett.A. 1997. V.234, N.l. P.147.

11. Белим C.B., Прудников В.В. Трикритическое поведение сжимаемых систем с замороженными дефектами структуры // ФТТ. 2001. Т.43, Вып.7. С.1299.

12. Белим С.В. Влияние эффектов дальнодействия на критическое поведение неупорядоченных трехмерных систем //Письма в ЖЭТФ. 2003. N.77. С.509-512.

13. De Maura М.А., Lubensky Т.С., Imry Y., Aharony A. // Phys. Rev.B. 1976. V.13, N.4. P.2177.

14. Imry Y. Tricritical Points in Compressible Magnetic Systems //Phys. Rev. Lett.B. 1974. V.33. P.1304.

15. Изюмов Ю.А., Сыромятников B.H. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.:Наука,1984.

65