Влияние дальнодействующей корреляции дефектов на аномальное критическое поглощение ультразвука в твердых телах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 2. С. 37-41.

УДК 537.61

П.В. Прудников, В.В. Прудников, Е.А. Носихин

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ВЛИЯНИЕ ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ ДЕФЕКТОВ НА АНОМАЛЬНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ *

The influence of the long-range correlated defects on the critical attenuation of ultrasound in solids is described.

Одной из наиболее интересных и важных задач как с экспериментальной, так и теоретической точек зрения является задача исследования влияния дефектов структуры на характеристики распространения ультразвука в материалах, испытывающих фазовые превращения. Структурный беспорядок, обусловленный присутствием примесей или других дефектов структуры, наличие в эффективном гамильтониане нескольких типов конкурирующих взаимодействий, задающих состояние сложной системы, зачастую играют важную роль в поведении реальных материалов и физических систем. Эти факторы могут индуцировать новые типы фазовых переходов, задавать новые классы универсальности критического поведения, модифицировать кинетические свойства систем и обусловливать низкочастотные особенности в динамике системы. Типичными и важными примерами подобных систем являются неупорядоченные магнитные системы с примесью немагнитных атомов, фрустрированные антиферромагнетики, спиновые стекла. Особенно интересно влияние замороженных дефектов структуры, чье присутствие может проявляться в виде случайного возмущения локальной температуры фазового перехода, как это происходит, например, в ферро- и антиферромагнитных системах в отсутствие внешнего магнитного поля. Статистические особенности описания систем с замороженным беспорядком создают значительные трудности как для аналитического описания, так и экспериментальных методов исследования поведения подобных систем. Рассеяние флуктуаций на дефектах структуры обусловливает дополнительное взаимодействие флуктуаций параметра порядка через поле дефектов.

В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением низкой концентрации точечных дефектов, что позволяет считать дефекты и создаваемые ими случайные поля гауссовски распределенными и 6-коррелированными. В то же время вопрос о влиянии эффектов корреляции дефектов значительно менее исследован. В работе [1] проведено теоретико-полевое исследование критического поведения трехмерных систем с протяженными дефектами, пространст-

* Работа частично поддержана грантом Президента РФ МК-8738.2006.02

© П.В. Прудников, В.В. Прудников, Е.А. Носихин, 2008

венное распределение которых описывается изотропной степенной зависимостью

g(x-y) ~ |x-y|-a. Значениям параметра

корреляции 2<a<3 соответствуют фракталоподобные примесные структуры в сильно не упорядоченных системах, a=2 - линейные дефекты (дислокации), a=1 - двумерные дефекты (границы зерен). В [1] для различных a<3 показано, что корреляция дефектов приводит к проявлению неупорядоченности в поведении более широкого круга систем, чем б-коррели-рованные дефекты, вызывая при этом существенное изменение как статических, так и динамических характеристик критического поведения. В данной работе впервые исследуется проявление эффектов корреляции дефектов в аномальных свойствах поглощения ультразвука в твердых телах вблизи температуры фазового перехода второго рода.

Гамильтониан неупорядоченной сжимаемой модели Изинга представим в виде

H = Hel + Hop + Hint + Himp . (1)

Вклад деформационных степеней свободы определяется следующим образом:

2 d d‘

где Uaß( x)-

UaaUßß +

Л

aß

44 X Uaß a<ß

(2)

компоненты тензора дефор-

маций, Ск - упругие постоянные. Магнитная составляющая Иор представлена

в форме гамильтониана Гинзбурга-Ландау-Вильсона

Ир =| Л [ X2 + (УХ )2 + « 54 ], (3)

где 5(х) - спиновый параметр порядка; « - положительная константа взаимо-

ляющая Hint задает спин-фононное взаимодействие

H int =\ ddx

UaaS

(4)

где So - параметр квадратичной стрик-

ции. Влияние дефектов учитывается слагаемым

Himp =\ ddx[( x) S2 ]+j ddx

h( x)X

u„

,(5)

где посредством случайных и гауссовски распределенных переменных Дт(х) и И(х) со вторыми моментами g(x-y) = <<Дт(х) Дт(у)>> ~ |х-у|-а и С(х-у)= <<Ь(х) Ь(у)>> характеризуются корреляционные свойства дефектов и задается изменение модулей упругости, вызванное наличием дефектов.

Для проведения вычислений удобно перейти к фурье-компонентам деформационных переменных:

uß= uß + V12 Xi

q^O

aß

aß

aß

,(0)

(q) exp(iqx),

(6)

где выделен тензор пав однородной деформации и пар(д) = і/2 [<?апв+ Чвпа\. Введем

разложение по нормальным координатам

и(д0 = ХхеМ№чл где *Лч) - вектор поляризации. В последующем проводя интегрирование в статистической сумме по недиагональным компонентам однородной

компонентам части тензора деформации п('ав , не существенным для критического поведения системы в упруго-изотропной среде, получим гамильтониан системы в виде функционала для спинового параметра порядка S (д) и нормальных координат деформационных переменных Qя(q)

действия; т0 = (T — T0c)/T0c - приведенная температура фазового перехода. Состав-

H = 2i ddq To + q 2)SqS—q + ±j ddq + \\ddqqhß^

+ -4 Uo d ddq S,S„ S„ S—q1—„—„ — ®0 d ddq (SqS—q )(SqS—q )+

+

4

(7)

+ao d d‘'qq2 Qq.iQ—q.i.+s o d d“qqQ-

где © = 3go2/ [2V (4C,o2 — Co)]; ao =(C,o,+ 4C” — 4C44 )/4V .

a

CI

а

x

+

Фурье-образ корреляционной функции

распределения дефектов g(x)~|x|'a имеет

вид g(k)~vo+woka'd для малых к. Так как g(k) должен быть положительно определенным, то для а>А член с wo является несущественным для критического поведения, ^^0 и гамильтониан (7) описывает случай с 6-коррелированными дефектами, в то время как для а^ член с wo^0 является доминирующим для малых к и характеризует сильное влияние эффектов дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение системы.

Релаксационная критическая динамика сжимаемых систем описывается динамическими уравнениями типа обобщенных уравнений Ланжевена

л = дН Е г

=--------+Гп^? ,

П д£ =П 0

-q (В)

^ dH 2^ Л

Qq,Ä = -~^------------q DoQq,¿ +п, + hQ,

q dQ-q^ Q

где Г0 и D0 - затравочные кинетические коэффициенты; (x, t) и П (x, t) - гаус-

совски распределенные величины, имеющие характер случайной силы.

В результате итерационного решения системы нелинейных уравнений (В) с гамильтонианом H (S, Q) (7) может быть выделена функция отклика для упругих переменных

D(q,®)=[(öQq®Ä)\/5hQ = [Q ®Q-q,®)\(9)

и функция отклика для спиновых переменных

G(q,®) = [(àSq ^\/ôhs = [[Sq®,S_q,_.)J (10)

где Ç. обозначает статистическое усреднение по случайным ланжевеновским силам, [. . .\ - усреднение по флуктуациям случайных полей Лт-д и hq, задаваемых

дефектами структуры.

Используя представление Дайсона для функции отклика D(q,®), запишем ее в следующем виде

D-i (q,®) = Do-i (q,®) + E(q,®). (11)

Затравочные функции отклика G0(q,®) и D0 (q,®) задаются выражениями:

D0(q,®) = i/(®2 -a0q2 -i®D0q2), Go (q,®) = V (i®/ro + (T + q2 )).

0 1 \ 0

Собственно энергетическая часть Е(п, <э) функции отклика -0(д, <э) непосредственно связана с динамическими характеристиками распространения

ультразвука [2]. Так, коэффициент поглощения звука определяется через мнимую часть Ъ(д, <э):

а~ ®1шЕ(0,®). (12)

Нами был проведен расчет Е(д, ®) в двухпетлевом приближении. Диаграммное представление Ъ(д,ф) показано на рис. 1. Данные фейнмановские диаграммы содержат й -мерное (в нашем случае й = 3 ) интегрирование.

По мере приближения к критической точке корреляционная длина Е стремится к бесконечности и когда << Л , где Л -параметр обрезания процедуры интегрирования по волновым векторам, характеристики системы демонстрируют свое асимптотическое скейлинговое поведение для волновых векторов П << Л . Поэтому расчет данных величин можно проводить в пределе Л ^ да . Применение ренорм-групповой процедуры устраняет расходимости, возникающие в термодинамических переменных и кинетических коэффициентах при Л ^ да .

Для расчета коэффициента поглощения (12) и устранения расходимостей в Ъ(д,ф) при д ^ 0 нами был применен специальный метод согласования [3], обобщенный в [4] для описания динамического поведения системы. Так, используя скейлинговое соотношение для динамической функции отклика

В(п,ю,т) = е^П1в(пе1,(©/Г0)єг1 ,те1/у) (13) мы можем провести расчет правой части уравнения для некоторого фиксированного

значения I = I *, при котором не все аргументы в функции отклика исчезают одновре-

7*

менно. Выбор I определяется из условия

[®/г„ у Г+1Vа)2

2 21 + q e

= i. (14)

В [4] было показано, что условие (14) обеспечивает инфракрасное обрезание для всех расходящихся величин.

2

ВД = V - 24д2иМ2 - 12д2иМ2

+ 16д2у О + 16д2у О + 16^ О + 1б02г; О + 16^ <^р> + 16^

+ 16д2у Ф + 16^2г> + 16^2г> Ф + 16<72г> + 16^2,у

Рис. 1. Диаграммное представление !)(д, о) в двухпетлевом приближении

Исходя из вида масштабных условий

(14) в решении для / возникает зависимость от статических критических индексов и динамического индекса 7 .

е‘ = т"\ + (у/2)2 ]"1/4 = ), (15)

где введено обозначение у = от~2/Г0 как

аргумента функции ¥ (у). Известно [2], что в критической области в асимптотическом пределе (т — 0, о —— 0) 1т Х)(о, т) определяется скейлинговой функцией ф(у)

1т Е(о,т)/о~ т~а~2У ф(у\ (16)

зависящей от единственной обобщенной

переменной у = от 2У/г0 . В то же время

из масштабной инвариантности 1т

1°,т) следует скейлинговое соотношение

1т ^0) = е[(а+гу) V 1т х(е2/)

7 *

о ое2

Подставляя в правую часть данного

/*

соотношения выражение для е из (15), может быть осуществлен расчет скейлинговой функции ф(у). Рассчитанная нами в двухпетлевом приближении динамическая скейлинговая функция имеет вид

Ф(У) =

g*2Г0 ¥а1у+12у'

л

У

3g*2«*Г02 ¥а/у+Уу-22

42л2 у3

12

(А-1)

12

1-

(А+1)

42

(А + 1)12

42

-1

Г

А0 г

1пА-12л5 у2

3g•2«•Г02 ¥а'-12г-2

2п

g "2 w*Г02 ¥ ‘"■'■‘■“У'’-2 г(а -1)г(3/2 - “ 2)г(1- а/ 2)

4п3

у

Г(3/2)

г

1 - 005

у

а-3

1-

-аго1

(А+1) 42а аП(2-1)

12

А =

1 +

у 2 ¥ 22-2 V '

4

12

В выражении для ф(у) слагаемые, про-порциальные квадрату намагниченности М2, учитывают релаксационные эффекты намагниченности в системе, возникающие в низкотемпературной фазе и отсутствующие в высокотемпературной. При дальнейших численных расчетах скейлинговой функции нами были использованы значения вершин и*, V*, ш* в фиксированной точке ренорм-групповых преобразований, значения динамического индекса z и статических критических индексов V, а, в, вычисленнных в

[1] для различных значений показателя корреляции а<3.

Из (12) и (16) непосредственно следует соотношение для коэффициента

а(о,т) ~ югт~а~^ф(у). (17)

Результаты проведенных расчетов асимптотической зависимости коэффициента поглощения для различных значений параметра корреляции представлены в таблице.

Для различных интервалов изменения у в поведении коэффициента поглощения можно выделить следующие асимптоти-

2

ческие области: у<<1 соответствует гидродинамическая область, а у>>1 отвечает критическая область, определяющая поведение системы вблизи температуры фазового перехода (Т ^ Тс). Показатели

коэффициента поглощения для гидродинамического режима определялись для

интервала 10-3 < у < 10-1, а критического режима для интервала 10 < у < 103.

частотной и температурной зависимостей

Асимптотическое поведение коэффициента поглощения для системы с дальнодействующей корреляцией дефектов

Низкотемпературная область T<Tc Высокотемпературная область T>Tc

a Гидродин. Предкри- Критич. Гидродин. Предкри- Критич.

тич. тич.

3.0 q 2.00 т -1.44 Q 1.22 т -0.25 Q 1.12 т -0.10 Q 2.00 т -1.44 Q 1.37 т -0.48 Q 1.21 т -0.24

2.9 q 2.00 т -1.46 Q 1.24 т -0.26 Q 1.13 т -0.11 Q 2.00 т -1.46 Q 1.39 т -0.49 Q 1.23 т -0.25

2.8 Q 2.00 т -1.48 Q 1.25 т -0.28 Q 1.15 т -0.12 Q 2.00 т -1.48 Q 1.40 т -0.50 Q 1.25 т -0.26

2.7 Q 2.00 т -1.50 Q 1.26 т -0.29 Q 1.16 т -0.13 Q 2.00 т -1.50 Q 1.41 т -0.51 Q 1.26 т -0.27

2.6 Q 2.00 т -1.52 Q 1.27 т -0.31 Q 1.17 т -0.15 Q 2.00 т -1.52 Q 1.42 т -0.52 Q 1.27 т -0.28

2.5 Q 2.00 т -1.54 Q 1.27 т -0.32 Q 1.17 т -0.16 Q 2.00 т -1.54 Q 1.43 т -0.53 Q 1.28 т -0.28

2.4 Q 2.00 т -1.57 Q 1.28 т -0.34 Q 1.18 т -0.18 Q 2.00 т -1.56 Q 1.43 т -0.53 Q 1.28 т -0.29

2.3 Q 2.00 т -1.59 Q 1.28 т -0.35 Q 1.19 т -0.19 Q 2.00 т -1.59 Q 1.43 т -0.53 Q 1.29 т -0.30

2.2 Q 2.00 т -1.61 Q 1.28 т -0.35 Q 1.19 т -0.20 Q 2.00 т -1.61 Q 1.44 т -0.54 Q 1.29 т -0.31

2.1 Q 2.00 т -1.62 Q 1.29 т -0.35 Q 1.19 т -0.20 Q 2.00 т -1.62 Q 1.44 т -0.55 Q 1.31 т -0.31

2.0 Q 2.00 т -1.64 Q 1.31 т -0.36 Q 1.20 т -0.22 Q 2.00 т -1.64 Q 1.45 т -0.56 Q 1.33 т -0.32

Следует отметить, что, согласно [4,] реальной температурной области с

10-3 < т < 10-1 для ультразвуковых исследований фазовых превращений соответствует

интервал 1 < у < 102, т. е. он захватывает

всю кроссоверную область и начало критической области. Из представленных в таблице, а также на рис. 2 результатов расчета видно, что с уменьшением значения параметра корреляции должно наблюдаться увеличение аномального поглощения ультразвука в критической области. При этом а=3 соответствует случай б-коррелированных дефектов, а а<3 - протяженные дефекты.

Рис. 2. Температурная зависимость коэффициента поглощения для неупорядоченной системы для различных значений параметра корреляции дефектов

Особенно важным результатом проведенных исследований нам представляется предсказываемое проявление динамиче-

ских эффектов влияния дефектов структуры в аномальном поглощении ультразвука в более широком температурном интервале относительно критической температуры (уже в гидродинамической области), чем в других экспериментальных методах [5], в которых для выявления данных эффектов необходимо проводить исследования в узком температурном интервале вплоть до т = 10-4 .

Таким образом, полученные в данной работе результаты могут служить ориентиром для целенаправленных экспериментальных исследований динамических эффектов влияния структурных дефектов на критическое поведение твердых тел акустическими методами посредством выделения особенностей проявления дефектов структуры и их эффектов корреляции через частотные и температурные зависимости коэффициента поглощения ультразвука.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A.//

Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 8777.

[2] Iro H., Schwabl F. // Solid State Commun. 1983.

V. 46. P. 205.

[3] Nelson D.R. // Phys.Rev. B. 1976. V.14. P. 1123.

[4] Folk R., Iro H., Schwabl F. // Z.Phys.B. 1977. V. 27. P.169.

[5] Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys.

Rev. B. 1992. V. 46. P. 3452.