CC BY
10
УДК 514.18
Б01: 10.15587/2312-8372.2016.80457
ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА РАСчЕТА БИСПЛАйНА чЕТВЕРТОй СТЕПЕНИ НА ОСНОВЕ ПОЛИНОМА чЕТВЕРТОй СТЕПЕНИ
Разработан способ построения векторно-параметрического сплайна четвертой степени (использовался сегмент из трех точек и двух первых производных в конечных точках). Получен векторно-параметрический сегмент на основе предложенного полинома. Показана способность такого сплайна образовывать бисплайн (векторно-параметрическую поверхность) четвертой степени. Рассчитаны порции поверхности. Приведен тестовый пример векторно-параметри-ческого сегмента и порции поверхности.
Ключевые слова: сегмент из трех точек и двух первых производных, векторно-параметри-ческий сплайн четвертой степени.
Ковтун А. М.
1. Введение
Математическая модель кривой линии строится в зависимости ее радиус-вектора т(€) от параметра t, причем нужно знать и область изменения параметра. В зависимости от алгоритма, используемого при описании кривой, меняется и набор данных, и способ вычисления радиус-вектора.
В работах [1-5] показаны алгоритмы, по которым можно строить соответствующие бисплайны (векторно-параметрические поверхности). Причем используются сплайны третьей, четвертой и пятой степеней при выполнении условия соблюдения гладкости первого, второго, третьего и четвертого порядков. Так же затронута область проектирования сплайнов четвертой степени. Сплайн четвертой степени обладает «специфическими» свойствами, однако опыт последних исследований говорит о том, что исследование новых, или признанных «несостоятельными», методов часто ведет к далеко идущим последствиям. Часть из них имеет чисто математическую направленность и непосредственно не связана с запросами пользователей САПР. Часто уровень программного обеспечения (ПО) отстает от «мощности железа» (пример, «закон Мура» об «удвоении» вычислительных мощностей каждые 24 месяца). Поэтому развитие новых, более гибких и эффективных алгоритмов чрезвычайно востребовано современной наукой и производством.
2. Объект исследования и его технологический аудит
Объект исследования — математический аппарат для описания гладких сплайновых поверхностей на основе векторно-параметрических бисплайнов. Одним из наиболее проблемних мест в данном аппарате является несовершенство алгоритмов, применяемых для конструирования гладких обводов — склонность существующих сплайнов к осцилляциям (волнообразованию). Причиной этого является недостаточное количество работ
и исследований (в особенности по сплайнам четвертой степени), позволяющих улучшить положение.
Для выявления особенностей разработки сплайн-функций четвертой степени проводился технологический аудит, имеющий целью определить способность полиномов четвертой степени давать векторно-парамет-рический бисплайн четвертой степени и возможность построения бикубических поверхностей на его основе. Существенную помощь разработчику может оказать возможность дозадания дополнительных условий (для корректировки формы сплайна к конкретным задачам). Исследование имеет уклон в сторону практического применения специальных сплайн-функций и в большей степени связан с запросами пользователей САПР, предлагая дополнительные возможности конструктору.
3. Цель и задачи исследования
Цель исследования — установить способность сплайнов из полинома четвертой степени формировать би-сплайн соответствующей степени.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить такие задачи:
1. Получить векторно-параметрический сплайн четвертой степени на основе сегмента из трех точек и двух первых производных.
2. Записать векторно-параметрический сплайн четвертой степени на основе сегмента из трех точек и двух первых производных.
3. На основе векторно-параметрического сплайна четвертой степени получить векторно-параметрический бисплайн (векторно-параметрическую поверхность).
4. Рассчитать тестовый пример бикубического сплайна четвертой степени.
4. Анализ литературных данных
В ресурсах мировой периодики выявлены следующие направления, применяемые для аналитического представления гладких поверхностей, также использована
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 5/1(31], 2016, © Ковтун А. М.
J
«классическая» литература по аналитическом геометрии. Могут быть выделены такие подходы к решению проблемы [1, 2, 4-7]:
— аналитические поверхности;
— поверхности Кунса;
— поверхности Безье;
— сплайновые поверхности;
— поверхности Эрмита;
— поверхности Гордона;
— поверхности перехода;
— рациональные поверхности;
— NURBS поверхности.
Каждый из этого далеко не полного списка приведенных методов обладает своими недостатками и преимуществами, не изобретено универсального, «волшебного» метода. Обычно приходится «платить» за каждое из преимуществ, выбирая из существующих алгоритмов наиболее подходящий инструментарий. Особенно ценится гибкость, «настраиваемость» метода, если он, к тому же, дает снижение осцилляций, то такой метод заслуживает более подробного рассмотрения.
Сплайны на основе полиномов четвертой степени почти совсем не изучаются, поскольку полином четвертой степени «несимметричный». Для него нельзя задать одинаковое количество краевых условий c обоих концов, как для полиномов третьей и пятой степени, но возможно дозадать одно срединное условие: точку, производную или вторую производную [5, 8-16]. Это дает дополнительные возможности применения сплайна в интерполяции и аппроксимации. Поэтому есть смысл изучить возможности сплайнов на основе полиномов четвертой степени.
5. Материалы и методы исследования
Векторно-параметрические кривые задаются в виде r = r(u), что означает: по каждой координате существуют отдельные кривые, а именно: x = x(u), y = y(u), г = z(u).
При задании точечного ряда в каждой точке назначаются произвольным образом конкретные значения параметра u. Наиболее простым способом является назначение значений u, которые равняются порядковому номеру точки, то есть щ = i, i = 0, 1, ..., N. При этом уравнения сплайнов значительно упрощаются, т. к. точки по параметру u размещаются равномерно (это не означает, что они равномерно размещаются в пространстве) и, кроме того, дистанция между точками по параметру u равняется единице, то есть ui+1 - ui = (i + 1) - i = 1. Но более адекватным является назначение параметра u, который равняется реальной дистанции в пространстве, то есть:
ui+1 - ui =sJ(xi+1 - xi) + (yi+1 - yi) + (zi+1 - zi) .
В этом случае необходимо решать системы уравнений для сплайнов с учетом неравномерности расположения точек.
6. Результаты исследования
Бисплайн — это векторно-параметрическая поверхность на базе сплайнов различной степени, которая получается при перемещении векторно-параметрическо-го сплайна в трехмерном пространстве в направлении
отличном от направления и. Напомним, что она, (поверхность), имеет вид г = г(и). Другими словами — протягиваем г = г(и) в направлении V (параметр). Данный алгоритм имеет сходство с алгоритмом кубического бисплайна.
6.1. Векторно-параметрический сплайн четвертой степени на основе сегмента из трех точек и двух первых производных. Для конструирования бисплайна предлагается рассмотреть вариант 1 полинома четвертой степени [5]:
Заданы конечные точки, производные в них и еще одна срединная точка.
Будем искать функцию в виде полинома:
у = ао(и)уо + а1(и)у1 + а2(и)У2 + [Ро(и)у0 + Р1 (и)у2^, (1)
где h = Х2 - хо, и = (х - хо)/(х2 - хо).
В точке о: и = о.
В точке 2: и = 1.
В точке 1: можем назначить любое значение и. Если эта точка находится посредине между точками о и 2, тогда значение и1 будет о,5 (наиболее симметричным).
Следовательно, функции ао(и), а1(и), а2(и), р1(и) и р2(и) являются полиномами вида:
(2)
аi (и) = а^ + Ьи + си2 + d^u3 + еи4. Для и = о:
ао(и) = 1, а1(и) = о, а2(и) = о, ро(и) = о, р1(и) = о; ао'(и) = о, а^(и) = о, а2'(и) = о, Ро'(и) = 1, Р^(и) = о.
Для и = и1:
ао(и) = о, а1(и) = 1, а2(и) = о, Ро(и) = о, р1(и) = о. Для и =1:
ао(и) = о, а^и) = о, а3(и) = 1, Ро(и) = о, Р1(и) = о; ао'(и) = о, а^(и) = о, а2'(и) = о, Ро'(и) = о, Р1'(и) = 1.
Применим эти условия для определения ао(и). Имеем следующие пять линейных уравнений:
a0(0) = a = 1, а0(0) = b = 0,
a0(u1) = 1+cu2 + dwf + euf, a0(1) = 1 + c + d + e = 0, a0(1) = 2c + 3d + 4e = 0.
Решив систему (3), получим: a0(u) = 1 + (e - 3) u2 + (2 - 2e) u3 + eu4
(3)
(4)
где:
3u2 - 2u3 -1
e =-
u^ 2 u + u
Если u1 = 0,5, то получим:
a0(u) = 1 - 11u2 + 18u3 - 8u4.
Аналогично определив aj(u), a2(u), p0(u), Pi(u).
TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 5/1(31], 2016
23-J
На основе формулы (1) можно записать векторно-параметрический сплайн четвертой степени на основе сегмента из трех точек и двух первых производных в виде:
г = а 0 (и) г0 + а1 (и) г1 + а2 (и) г2 + р0 (и) г0' + р1 (и) т{, (5)
где:
а0 (и) = 1 - 11и2 + 18и3 - 8и4, а1 (и ) = 16и2 - 32и3 + 16и4, а2 (и) = -5и2 + 14и3 - 8и4, Р0 (и) = и - 4и2 + 5и3 - 2и4, Р! (и) = и2 -3и3 + 2и4.
6.2. Построение бисплайна четвертой степени. На
основе сегмента четвертой степени (5) для порций поверхности можно записать такое уравнение:
r=^a0(u)ai{u)a2{u)ß0{u)ßi{u)^
r20 r21 r22 r20 r21
r00 ro1 r02 С r01V ru ru ru ruv ru
'(i-1)l
u(u-l)(u>v ) = ruS= 0)(u-v).
Тестовая программа визуализации (рис. 1) написана на основании полученных в работе формул на языке Auto Lisp в среде AutoCAD. На рис. 1 видны порции поверхности четвертой степени.
Для повышения эффективности предложенного алгоритма применена корректировка формы кривой с помощью дополнительных условий — одной серединной точки (рис. 2).
a0(v) ai(v)
a2(v) , (6)
ß0(v)
ßl(v)
где а ¡(и) рассчитывается аналогично (5).
Для задания такой порции нужно иметь не только первые производные, но и смешанные производные в узловых точках.
Пусть имеем две порции: (I - 1)-порция и ¡-я порция. Направление «¡» совпадает с направлением параметра и. Для сохранения первого порядка гладкости по и вдоль границы по параметру V необходимо придерживаться требования:
Тестовые примеры порций поверхности четвертой степени поданы на рис. 1.
Рис. 1. Порции поверхности четвертой степени
Рис. 2. Сравнение кубического сплайна и сплайна 4-й степени со вторым порядком гладкости
На рис. 2 представлено сравнение кубического сплайна и сплайна 4-й степени со вторым порядком гладкости [5]. Заметны такие свойства сплайна 4-й степени как образование вдвое меньших по величине волн и вдвое более быстрого их угасания.
7. SWOT-анализ результатов исследований
Strengths. К сильным сторонам приведенного исследования можно отнести исследование нового алгоритма описания векторно-параметрических поверхностей, полезные свойства которых можно применять при построении гладких поверхностей с управляющими точками, инцидентными поверхности. Анализируя векторно-параметрический сплайн четвертой степени на основе сегмента из трех точек и двух первых производных, легко заметить, что для него нельзя задать одинаковое количество краевых условий c обоих концов, как для полиномов третьей и пятой степени, поскольку полином четвертой степени «несимметричный». Но возможно дозадать одно срединное условие: точку, производную или вторую производную. Это дает дополнительные возможности применения сплайна в интерполяции и аппроксимации. Поэтому есть смысл изучить возможности сплайнов на основе полиномов четвертой степени.
Weaknesses. Слабые стороны данного исследования обусловлены малым количеством завершенных готовых моделей, выполненных с применением метода, что объясняется его новизной.
Opportunities. К дополнительным возможностям, обеспечивающим достижение цели исследования, могут быть отнесены и вероятные внешние факторы:
— все более повышающийся спрос на специализированное ПО;
— разработка обводов объектов и аппаратов, работающих в движущихся средах, требует все более совершенных подходов и алгоритмов;
I 24
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 5/1(31], 2016
— пакеты САПР востребованы как в Украине, так и за ее пределами.
Threats. Сложности во внедрении полученных результатов исследования связаны с нынешней политико-экономической ситуацией. Данная работа является продолжением диссертационной работы автора [17], которая была применена в производстве ряда предприятий Украины.
Таким образом, SWOT-анализ результатов исследований позволяет обозначить основные направления для успешного достижения цели исследования дальнейшая разработка более совершенных алгоритмов и ПО, продвижение их на вновь открывающиеся внешние и внутренние рынки IT.
8. Выводы
1. Получен векторно-параметрический сплайн на основе рассмотренного полинома четвертой степени, который показан в виде:
r = а 0(м) r0 + а1(м) r1 + а 2(м) r2 + р0(м) r0' + Р1(м) г',
где:
а0 (м) = 1 - 11м2 + 18м3 - 8м4, а' (м ) = 16м2 - 32м3 + 16м4, а2 (м) = -5м2 + 14м3 - 8м4, р0 (м) = м - 4м2 + 5м3 - 2м4, Pi (м) = м2 - 3м3 + 2м4.
2. Для изучаемых сплайнов найдены сегменты из трех точек и двух первых производных:
y = ао(м)уо + а1(м)у1 + а 2(м) y2 + [Ро(м)у0 + Р1<м) y2 ]h,
где h = х2 - хо, м = (x - х0)/(х2 - х0), функции а0(м), а1(м), а2(м), р1(м) и р2(м) являются полиномами вида:
аi (м) = ai + Ьм + ciм2 + diм3 + ем4.
3. Показана возможность получения векторно-пара-метрической порции поверхности четвертой степени. На основе сегмента четвертой степени для порций поверхности можно записать такое уравнение:
roo roi Г02 r00 r01 ao(v)
r10 r11 r12 r10 r11 «1(»)
[ao(M)ai(M)a2(M)ßo(M)ßi(M)] r2o Г21 Г22 rVo ^ «2(»)
r0M0 r0M1 r02 r00 roT ßo(v)
r10 r11 r1M2 r"o r11 _ _ß1(v)_
где при расчете ai(u) необходимо придерживаться требования:
4. На основании полученных в работе формул на языке Auto Lisp в среде AutoCAD рассчитан тестовый
пример порции поверхности четвертой степени, представленный на рис. 1.
Литература
1. Фокс, А. Вычислительная геометрия [Текст]: пер. с англ. /
A. Фокс, М. Пратт. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
2. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций [Текст] / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — М.: Наука, 1982. — 352 с.
3. Ковтун, О. М. Полшо1шальш сплайни четвертого степе-ня [Текст] / О. М. Ковтун // Мiжвiдомчий науково-техшчний збiрник «Прикладна геометрiя та шженерна графжа». — К.: КНУБА, 2004. — Вип. 74. — С. 239-243.
4. Голованов, Н. Н. Геометрическое моделирование [Текст] /
H. Н. Голованов. — М.: Издательство физико-математической литературы, 2002. — 472 с.
5. Бадаев, Ю. И. Специальные сплайны из полиномов третьей, четвертой и пятой степеней в геометрическом моделировании [Текст]: монография / Ю. И. Бадаев, А. М. Ковтун. — Одесса: Феникс, 2011. — 316 с.
6. Бадаев, Ю. I. Векторно-параметричш сегменти, поверхщ та тша за шцидентними з ними точками [Текст] / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Пращ Тавршсько! державно! агротехшч-но! академй. Прикладна геометрiя та шженерна графша. — Мелгтополь: ТДАТА, 2003. — Вип. 4, Т. 18. — С. 37-40.
7. Csurcsia, P. Z. Identification of time-varying systems using a two-dimensional B-spline algorithm [Electronic resource] / P. Z. Csurcsia, J. Schoukens, I. Kollar // 2012 IEEE International Instrumentation and Measurement Technology Conference Proceedings. — Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2012. — Available at: \www/URL: https:// doi.org/10.1109/i2mtc.2012.6229494
8. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики [Текст]: пер. с англ. / Д. Роджерс, Дж. Адамс. — М.: Мир, 2001. — 604 с.
9. Якунин, В. И. Геометрические основы автоматизированного проектирования технических поверхностей [Текст] /
B. И. Якунин. — М.: Маи, 1980. — 86 с.
10. Завьялов, Ю. С. Сплайны в инженерной геометрии [Текст] / Ю. С. Завьялов, В. А. Леус, В. А. Скороспелов. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.
11. Watt, A. 3D Computer Graphics [Text] / A. Watt. — Ed. 3. — Addison-Wesley, 2000. — 570 p.
12. Zamani, M. A simple 2D interpolation model for analysis of nonlinear data [Text] / M. Zamani // Natural Science. —
2010. — Vol. 2, № 6. — P. 641-645. doi:10.4236/ns.2010.26080
13. Chen, L. A Comparison of Improvements for Shear Warp Algorithm Using Lagrange or Cubic Spline Interpolation [Electronic resource] / L. Chen, S. Hu // 2011 5th International Conference on Bioinformatics and Biomedical Engineering. — Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE),
2011. — Available at: \www/URL: https://doi.org/10.1109/ icbbe.2011.5780354
14. Herman, G. T. Shape-based Interpolation Using Modified Cubic Splines [Electronic resource] / G. T. Herman, C. A. Bucholtz, Jingsheng Zheng // Proceedings of the Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society — Vol. 13, № 1. — Available at: \www/URL: https:// doi.org/10.1109/iembs.1991.683941
15. Бадаев, Ю. I. Апроксимащя сплайнами на основi кривих з шцидентними точками [Текст]: матерiали Мiжнародноi науково-практично! конференци; пращ Национального ущвер-ситету «Львiвська пол^ехщка» (спецвипуск) / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Сучасщ проблеми геометричного моде-лювання. — Львiв: Нащональний ущверситет «Львiвська пол^ехщка», 2003. — С. 75-77.
16. Moreno, J. Analysis of NURBS dielectric volumes by using the Method of Moments [Electronic resource] / J. Moreno,
I. Gonzalez, M. J. Algar, F. Catedra // The 8th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP 2014). — Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2014. — Available at: \www/URL: https://doi.org/10.1109/ eucap.2014.6902306
17. Ковтун, О. М. Спещальщ полiномiальнi сплайни третьо-го, четвертого i п'ятого степещв у геометричному моделю-ванщ [Текст]: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / О. М. Ковтун. — Ки!в, 2006. — 21 с.
TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 5/1(31], 2016
ДОСЛ1ДЖЕННЯ СПОСОБУ ПОБУДОВИ Б1СПЛАЙНА ЧЕТВЕРТОГО СТЕПЕНЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОЛ1НОМА ЧЕТВЕРТОГО СТЕПЕНЯ
Розроблено споаб побудови векторно-параметричного сплайна четвертого степени (використовувався сегмент з трьох точок та двох перших похщних). Отримано векторно-параметричний сегмент на основi запропонованого полшома. Показана здатшсть такого сплайна утворювати бiсплайн (векторно-параметричну поверхню) четвертого степеня. Розрахованi порцп поверхнi. Приведено тестовий приклад векторно-параметричного сегмента та порцй поверхш.
Ключовi слова: сегмент з трьох точок та двох перших похщних, векторно-параметричний сплайн четвертого степеня.
Ковтун Александр Михайлович, кандидат технических наук, доцент, кафедра инженерных дисциплин, Дунайский институт Национального университета «Одесская морская академия», Измаил, Одесская обл., Украина, e-mail: [email protected].
Ковтун Олександр Михайлович, кандидат техтчних наук, доцент, кафедра тженерних дисциплт, Дунайський iнститут Нацюнального утверситету «Одеська морська академiя», 1змагл, Одеська обл., Украгна.
Kovtun Alexander, Danube Institute of National University «Odessa Maritime Academy», Izmail, Odessa Region, Ukraine, e-mail: [email protected]
УДК 519.6
DOI: 10.15587/2312-8372.2016.80561
РОЗРОБКА ОБЕКТНО-ОР1ЕНТОВАНО1 МОДЕЛ1 ДЛЯ АНАЛ1ЗУ ТЕПЛОВТРАТ У БУД1ВЛ1 НЕВИРОБНИЧОГО ПРИЗНАЧЕННЯ
Запропонована методика побудовирозрахунковог структури будь-яког конструктивно-функ-цюнальног схеми будiвлi невиробничого призначення. Ця структура дозволяерозглядати з единих позицш будь-який взаемопов'язаний i взаемообумовлений тепловий процес. Показано, як в рамках об'ектно-орiентованог методологи Object Modeling Techniques побудувати функцюнальну i об'ек-тну моделi для аналiзу тепловтрат у будiвлi. Приведений приклад демонструе застосування одержаних результатiв.
Клпчов1 слова: розрахункова структура будинку невиробничого призначення, об'ектно-орiен-тована модель, тепловтрати, теплоакумулююча тдлогова система електричного опалення.
Ерохш А. Л., Зацеркляний Г. А.
1. Вступ
Житлово-громадський сектор економжи Украши вщно-ситься до числа найбшьших споживач1в енергп. Основна частина енергп в буд1влях споживаеться системами опалення, а також, при 1х наявносп, системами вентиляцп 1 кондищонування повиря. Сьогодт житлово-комуналь-на сфера Украши споживае до 50 % газу для об1гр1ву буд1вель, виробництва гарячо'1 води та приготування 1ж1 Важливим е те, що ефективтсть використання енерго-ресурав в житловому фонд1 Укра1ни в 3-5 раз1в нижча, н1ж у крашах 6С з под1бними кл1матичними умовами.
Витрати енерг11 на опалення значною м1рою залежать в1д теплового захисту буд1вель. Укра1на значно посту-паеться пров1дним кра1нам св1ту в теплоспоживанш буд1вель на 1 м2 опалювально! площ1. А це свщчить про великий потенц1ал енергозбереження в сфер1 тепло-постачання, а отже низькому р1вш енергоощадност1 буд1-вель. Д1апазон потенц1алу енергозбереження в сучасних буд1влях за деякими оц1нками фах1вщв коливаеться в1д 10 до 50 %.
Питання енергозбереження актуальне не тшьки для Украши. Тому на збшьшення ефективносп використання енергГ! в крашах 6С спрямована директива бвропей-ського парламенту та Ради 2010/31/6С в1д 19 травня 2010 року щодо енергетично! ефективност1 буд1вель. Дотримання вимог ще1 директиви допоможе заощадити
до 1/5 споживаних енергоресурс1в у крашах бвропей-ського Союзу.
Завдання забезпечення в примщеннях буд1вл1 пев-ного теплового режиму е оргашзащею взаемод1ючих та взаемопов'язаних теплових потоюв у складнш арх1тек-турно-конструктивн1й систем1 з р1зноматттям складо-вих 11 елемент1в. Принциповою особлив1стю ц1е1 системи е та обставина, що буд1вля як едина енергетична система е не простою сумою цих елеменпв, а особливим 1х з'еднанням, що надае всш систем1 нов1 якост1, вщсутш у кожного з елемент1в.
Таким чином, тепловий режим буд1вл1 е складною системою. Для його анал1зу, а тим паче для оптим1зацп, не обштися без математичного моделювання з вико-ристанням 1нформац1йних технологш.
Математичне моделювання (тобто проведення об-числювального експерименту) теплового режиму буд1в-л1 доц1льно орган1зувати в рамках пакету прикладних програм.
При розробщ шформацшних систем та пакет1в при-кладних програм розробники намагаються задовольнити вимоги замовниюв за рахунок програмно'1 реал1зацп компонент1в системи, яка забезпечуе виконання сер-в1с1в, необх1дних користувачу. Такий тдхвд дозволяе значно розширити функщональшсть програмного продукту 1 знизити затрати як на його розробку, так 1 на виконання, а в раз1 необхщносп, 1 на його модершзащю.
26 ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 5/1(31], 2016, © Ерохш А. Л., Зацеркляний Г А.
