CC BY
26
20. Рудницька, Г. В. Аналiз розподшення температури у тепло-iзоляцiйнiй 3aBici [Текст] / Г. В. Рудницька // Мехашзащя с. г. виробництва: Вюник ХНТУСГ iM. П. Василенка. — Харгав: ХНТУСГ iM. Петра Василенка, 2013. — Вип. 135. — С. 57-63.
AHAЛiЗ ПЕРСПЕКТИВНИХ MET0ДiB ЗАХИСТУ ГЕНЕРАТИВНИХ OPrAHiB ПЛОДОВИХ НАСАДЖЕНЬ ВiД ВЕСНЯНИХ 3AM0P03KiB
Проведено анашз вщомих способ1в та засоб1в мехашзацй для захисту плодових насаджень вщ весняних заморозив. Запропонована класифшащя способ1в i засоб1в мехашзацй захисту вщ заморозкiв, що дае можливють вибрати перспек-тивний напрямок розвитку галуз1 мехашзацй для пiдвищення ефективност процесу захисту генеративних органiв плодових дерев вщ весняних заморозкiв.
Ключовi слова: плодовi насадження, генеративнi органи, урожайнiсть, заморозки, захист, механiзацiя.
Рудницкая Анна Викторовна, кандидат технических наук, доцент, кафедра оптимизации технологических систем им. Т. П. Евсюкова, Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства им. Петра Василенка, Украина, e-mail:semaskacat@mail.ru.
Рудницька Ганна Вiкторiвна, кандидат техтчних наук, доцент, кафедра оптимiзацn технологiчних систем 1м. Т. П. Бвсюкова, Хартвський нащональний техтчний утверситет сшьського господарства 1м. Петра Василенка, Украта.
Rudnytska Ganna, Kharkiv Petro Vasylenko National Technical University of Agriculture, Ukraine, e-mail: semaskacat@mail.ru
УДК 514.18
001: 10.15587/2312-8372.2015.44416
ковтун а. м. ИССЛЕДОВАНИЕ СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ
КУБИЧЕСКОГО ВЕКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО БИСПЛАйНА С УПРАВЛЯЮЩИМИ ТОЧКАМИ, ИНЦИДЕНТНЫМИ ПОВЕРХНОСТИ
Исследован способ построения бисплайна (векторно-параметрической поверхности) с управляющими точками, инцидентными поверхности. При этом была достигнута гладкость второго порядка. Разработан алгоритм получения бикубической поверхности с первым, а потом и вторым порядком гладкости. Приведены тестовые примеры полученных бисплайнов.
Ключевые слова: векторно-параметрический сплайн, бисплайн, сплайн с управляющими точками, инцидентными кривой, гладкость.
1. Введение
Поверхности, как и линии, являются математическими абстракциями, дающими представление об отдельных свойствах предметов. На основании результатов, полученных в [1-3], можно строить соответствующие бисплайны, то есть векторно-параметрические поверхности на базе сплайнов третьей, четвертой и пятой степеней с соблюдением гладкости от первого до четвертого порядков.
Актуальность работы обусловлена высоким интересом разработчиков САПР, составителей всевозможных моделей к алгоритмам интерполяции более корректно, адекватно отвечающим поставленной задаче. Многие существующие алгоритмы имеют недостаток, который при определенном типе первоначально заданных данных может быть существенным — управляющие точки не лежат на первоначально заданном каркасе, что неудобно для конструктора.
2. Анализ литературных данных и постановка проблемы
Ряд источников [1-9] предлагает различные способы описания сплайновых поверхностей. Например, по-
верхности Эрмита, поверхности Лагранжа, поверхности перехода, поверхности Гордона и другие. Проведенные исследования сплайнов высших степеней [5-12] показали возможность получения бисплайна с управляющими точками, инцидентными поверхности, с достижением гладкости вплоть до четвертого порядка. Решение необходимых систем линейных уравнений во многих случаях является устойчивым и однозначным.
3. Объект цель и задачи исследования
Объект исследования — задача моделирования гладких сплайновых поверхностей с управляющими точками, принадлежащими (инцидентными) поверхности.
Проведенные исследования имели цель развития уже существующих способов описания сплайновых поверхностей ввиду их важности в конструировании и производстве. Очевидными примерами их применения являются разработка и производство автомобильных кузовов, корабельных корпусов, авиационных фюзеляжей и крыльев, пропеллеров и т. д. Ясно, что при автоматическом конструировании подобного вида объектов возрастают требования к удобству и «адекватности» применяемого математического аппарата. Предлагаемый способ дает конструктору возможность более корректно
TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 3/1(23], 2015, © Ковтун А. М.
69-J
с
машиноведение и машиностроение
ISSN 222Б-3780
моделировать криволинейный обвод (с соблюдением соответствующего порядка гладкости), т. к. управляющие точки кривой инцидентны (принадлежат) поверхности. Для достижения поставленной цели исследованы свойства векторно-параметрического сплайна на основе кубического сплайна и предложен способ получения бисплайна с управляющими точками, инцидентными поверхности.
4. материалы и методы исследования
Векторно-параметрические кривые задаются в виде г = г(и), что означает: по каждой координате существуют отдельные кривые, а именно: х = х(и), у = у(и), z = z(u).
При задании точечного ряда в каждой точке назначаются произвольным образом конкретные значения параметра и. Наиболее простым способом является назначение значений и, которые равняются порядковому номеру точки, то есть щ = ¿, I = 0, 1, ..., N. При этом уравнения сплайнов значительно упрощаются, т. к. точки по параметру и размещаются равномерно (это не означает, что они равномерно размещаются в пространстве) и, кроме того, дистанция между точками по параметру и равняется единице, то есть и;+1 - щ = = (I + 1) - I = 1. Но более адекватным является назначение параметра и, который равняется реальной дистанции в пространстве, то есть:
На основе кубического сплайна [3]: (и - и1)(и - и2 )(и - и3)
У = Уо
+ У1
+ У 2
+ Уз
(ио - Ui)(u - И2ХИ0 - Из) (и - и0 )(и - и2 )(и - и3)
(ui - ■U0)(Ui - -U2)(UI- - из)
(и - u0)(u- -u1)(u - из)
(И - "U0)(U2 - Ui)(U2 - из)
(и - u0)(u- -u1)(u - U>)
(из - ио )(из - Ui )(из - и2 ) '
(3)
можно построить следующую порцию поверхности:
г = а 0 (и) r0 + а1 (u)r1 + а2 (и) r2 + аз (и)гз,
(4)
где:
Г) = а0 (v )г00 + ai (v )di + а 2 (v)^ + аз (v )пз, Г = а 0 (v) Г10 + ai (v) ri i + а2 (v) Г12 + аз (v) Г1з, Г2 = а0 (v )г20 +а1 (v )r2i +а2 (v)r22 +аз (v )г2з, Гз = а0 (v) Гз0 + а1 (v) Гз1 + а2 (v) Гз2 + а з (v) гзз.
Ui+1 - и = yl(xi +1 - Xi )2 + ((+1 - Уг )2 + (+1 - Zi )2 .
В этом случае необходимо решать системы уравнений для сплайнов с учетом неравномерности расположения точек.
5. результаты исследования способа построения кубического векторно-параметрического бисплайна с управляющими точками, инцидентными поверхности
Способ получения бисплайна следующий: возьмем векторно-параметрический сплайн в виде г = г(и) и будем его «протягивать» в трехмерном пространстве в направлении, не совпадающем с направлением и, то есть в другом направлении V.
Пусть имеем векторно-параметрический сплайн, который можно в общем случае записать как:
Уравнение (4) подадим в матричной записи:
г00 г01 г02 г0з а0 (v)"
[а0 (и), а1 (и), а 2 (и), а з (и)] г10 г11 г12 г1з а1 v)
Г'10 г21 г22 г2з а2 (v)
_гз0 гз1 гз2 гзз _ [аз (v)_
,(5)
где аг (v) = ^
j=0 (ui - uj )
, 0 < u, v < i.
j
j * i
Для того чтобы получить бисплайн с полным порядком гладкости, необходимо множество порций (5) склеивать таким образом, чтобы сохранялась соответствующая гладкость вдоль границы порции поверхности в поперечном направлении.
Пусть имеем две порции: (I - 1)-я порция и ¿-я порция. Направление «¿» совпадает с направлением параметра и. Для сохранения первого порядка гладкости по и вдоль границы по параметру V необходимо придерживаться требования:
г = r[u, г1, г2,..., rN ],
(1)
;(i-u(u-1)
1) (u, v) = r(i) Ли, v)
' / и(u=0) V ' /
(6)
где г — векторные константы.
Если протягивать (1) в другом направлении V, то векторные константы будут зависеть от этого параметра V. Тогда (1) будет иметь вид:
г = г [и, г1 (v), г2 (v),..., rN (v)] = г (и, v).
(2)
Соответствующая производная (5) будет равняться:
ги = [а0 (и)а1 (и)а2 (и)аз (и)]
г00 г01 D2 г0з
г10 г11 г12 г1з
г20 г21 г22 г2з
гз0 гз1 гз2 гзз
а0 (v)"
а1 v)
а2 (v)
[аз (v)
. (7)
I 70
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 3/1(23], 2015
Отсюда видно, что для обеспечения определенной гладкости нужно сохранить соответствующую гладкость склеивания по и траекторий всех четырех точек г(и, 0), г(и, 1), г(и, 2), г(и, 3).
Аналогично и в другом направлении, то есть для того, чтобы сохранить гладкость склеивания по V, необходимо сохранить склеивание по V траекторий точек г(0, V), г(1, V), г(2, V), г(3, V).
Таким образом, применив формулы (8) для определения кривой с первым порядком гладкости на основе [3], получим:
4,5r(i-1) - 9r2(i-1) - 9r(i} + 4.5r2(i) = r(i-1) - 10r(i) + r M, i - 1,2,...,N -1, r(i) = r0(i). (8)
Имеем бикубическую поверхность первого порядка гладкости. Для чего необходимо обеспечить первый порядок гладкости траекторий четырех управляющих точек в обоих направлениях щ, vi:
rj(M=i)(и,v )=riU'
и, v)
/(j-1) v(v=1)
и,v )=$
(и, v)
(9)
Для получения гладкости второго порядка нужно аналогично конструировать бисплайн со вторым порядком гладкости в обоих и^-направлениях (на основании формул (8) и (10)):
72r1(i-1) - 117r2(i-1) - 27r1(i) = 17r(i-1) - 88r(i) - r (i+1), -27r2(i-1) - 117r1(i) + 72r2(i) = -r(i-1) - 88r(i) + 17r(i+1), (10)
где r(i) = г0(1"), то есть обеспечить вместе с (9) справедливость следующих тождеств:
'(i-1W
tu 7) 1 — г .
и (и=1) V
,(j-1) (и v)- r '(j)
U, v )= ru(u-0)(U, v), rv(v-1) (U, v )= Чп-оАи v),
(v-0)1
т'{)-\(и,v)-r'V ,)(и,v), гУ~%(и,v)-r'{P 0)(u,v). (11)
uu(u-1)v ' ' ии(и-1)V ' !' vv(v-1) V ' / vv(v-0) V ' / v '
Но, чтобы достичь полной гладкости второго порядка (т. е. обеспечить непрерывность второй квадратичной формы по всей поверхности), необходимо еще обеспечить по линии склеивания и равные смешанные производные, то есть:
r"((-1))(u,v)-r"« 0)(и,v), rV))(u,v)-rj 0)(и,v). (12)
uv(u-1)V ' / uv(u-0)\ ' /' uv(v-1)V ' / uv(v-0)V ' / 4 7
Тестовые примеры бикубических сплайнов с управляющими точками, инцидентными поверхности, со вторым порядком гладкости, приведены на рис. 1.
Рис. 1. Бисплайн с управляющими точками, инцидентными поверхности, со вторым порядком гладкости: а — показаны порции поверхности; й — применена прорисовка сетки поверхности с помощью команды ЗБМЕБН
6. Обсуждение результатов исследования построения векторно-параметрического бисплайна с управляющими точками, инцидентными поверхности
К достоинствам работы можно отнести исследование нового способа математического описания параметрических поверхностей, используемых в машинной графике и автоматизированном проектировании при построении гладких поверхностей с управляющими точками, инцидентными поверхности.
К недостаткам можно отнести малое количество завершенных готовых моделей, выполненных с применением метода. Что объясняется его новизной.
Польза исследования заключается в разработке нового, более удобного метода, дающего разработчику большую свободу и удобство при его работе, что было описано выше.
Работа является логическим продолжением исследований в данной области, автор собирается развить данный способ ввиду важности поднятой проблемы.
7. Выводы
1. Разработанные специальные сплайны полиномов третьей степени дают возможность получать векторно-параметрические сплайны.
TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 3/1(23], 2015
машиноведение и машиностроение
ISSN 222Б-37В0
2. Исследованы свойства векторно-параметрических сплайнов, они адекватны свойствам соответствующих полиномиальных сплайнов.
3. Показана возможность образовывать соответствующие порции поверхностей из векторно-параметрических сегментов третьей степени.
4. Исследованные векторно-параметрические порции поверхностей дают возможность получать векторно-параметрическую поверхность с заданной гладкостью.
5. В работе рассмотрены условия достижения полного второго (обеспечивается непрерывность второй квадратичной формы поверхности), порядка гладкости поверхностей с помощью сплайнов третьей степени, то есть достижение также непрерывности смешанных производных.
Литература
1. Фокс, А. Вычислительная геометрия [Текст]: пер. с англ. /
A. Фокс, М. Пратт. — Москва: Мир, 1982. — 304 с.
2. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций [Текст] / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — Москва: Наука, 1982. — 352 с.
3. Ковтун, О. М. Полшом1альна крива третього степеня ¡з управляючими точками, що належать кривш [Текст]: зб. наук. праць / О. М. Ковтун // Сучасш проблеми моделю-вання. — Мелгтополь: МДПУ ¡м. Б. Хмельницького, 2015. — Вип. 4. — С. 63-67.
4. Голованов, Н. Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н. Н. Голованов. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. — 472 с.
5. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики [Текст]: пер. с англ. / Д. Роджерс, Дж. Адамс. — М.: Мир, 2001. — 604 с.
G. Якунин, В. И. Геометрические основы автоматизированного проектирования технических поверхностей [Текст] /
B. И. Якунин. — М.: Маи, 1980. — 86 с.
7. Watt, A. 3D Computer Graphics [Text] / Alan Watt. — Ed. 3. — Addison-Wesley, 2000. — 570 p.
S. Chen, L. A Comparison of Improvements for Shear Warp Algorithm Using Lagrange or Cubic Spline Interpolation [Text] / L. Chen, S. Hu // 2011 5th International Conference on Bio-informatics and Biomedical Engineering. — IEEE, 2011. — P. 1-4. doi:10.1109/icbbe.2011.5780354
9. Herman, G. T. Shape-based Interpolation Using Modified Cubic Splines [Text] / G. T. Herman, C. A. Bucholtz, Jingsheng Zheng // Proceedings of the Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society Volume 13: 1991. — IEEE, 1991. — P. 291-292. doi:10.1109/ iembs.1991.683941
10. Бадаев, Ю. И. Специальные сплайны из полиномов третьей, четвертой и пятой степеней в геометрическом моделировании [Текст]: монография / Ю. И. Бадаев, А. М. Ковтун. — О.: Феникс, 2011. — 315 с.
11. Бадаев, Ю. I. Апроксимащя сплайнами на основi кривих з шцидентними точками [Текст]: матерiали Мiжнародноi науково-практично! конференцй / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Сучасш проблеми геометричного моделювання (спец-випуск). — Львiв: Нащональний ушверситет «Льв!вська полгтехшка», 2003. — С. 75-77.
12. Бадаев, Ю. I. Векторно-параметричш сегменти, поверхш та тша за шцидентними з ними точками [Текст] / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Прикладна геометрiя та шженерна графь ка. Пращ Тавршсько! державно! агротехшчно! академи. — Мелгтополь: ТДАТА, 2003. — Вип. 4, Т. 18. — С. 37-40.
Д0СЛЩЖЕННЯ способу побудови KY6i4H0r0 ВЕКТ0РН0-
ПАРАМЕТРИЧНОГО бГСПЛАЙНА З КЕРУЮЧИМИ ТоЧКАМИ, що ШЦИДЕНТШ ПоВЕРХШ
Дослщжено споаб побудови бюплайна (векторно-парамет-рично! поверхш) за допомогою куб1чного сплайна з керуючими точками, що шцидентш поверхш. При чому було досягнуто гладкють другого порядку. Розроблено алгоритми для отриман-ня бшуб1чно'!' поверхш з першим, а поим i другим порядком гладкость Наведено тестовi приклади отриманих бюплайшв.
Ключовi слова: векторно-параметричний сплайн, бюплайн, сплайн з керуючими точками, що шцидентш кривш, гладкють.
Ковтун Александр Михайлович, кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин, Измаильский факультет Одесской национальной морской академии, Измаил, Украина, e-mail: ikra55@list.ru.
Ковтун Олександр Михайлович, кандидат техшчних наук, доцент, кафедра загальнотженерних дисциплт, Iзмагльський факультет Одеськог нащональног морськог академп, ¡змагл, Украта.
Kovtun Alexander, Izmail Faculty of Odessa National Maritime Academy, Izmail, Ukraine, e-mail: ikra55@list.ru
УДК 621.326
БШ: 10.15587/2312-8372.2015.44413
АНАЛ1З ТЕХНОДОПй Ф0РМ0УТВ0РЕННЯ ДЕТАЛЕЙ З ЛИСТ0ВИХ ТЕРМ1ЧН0 ЗМЩНЕНИХ АЛЮМ1Н1ЕВИХ СПЛАВ1В
У данш статтi представлений аналiз сучасних технологш формоутворення листових деталей з алюмiнieвих термiчно змщнених сплавiв. Визначеш технологiчнi переваги i недолжи методiв формоутворення деталей злистових термiчно змщнених алюмiнieвих сплавiв. Розглянуто особли-востi запропонованого авторами способу лазерного формоутворення деталей з листових алюмi-тевих сплавiв. Визначено задачi дослгдження для подальшог реалiзацГi в авiацiйнiй промисловостi.
Клпчов1 слова: лазерне формоутворення, листовi матерiали, згинання, алюмiнieвi сплави, дробоударне формоутворення.
1. Вступ нуючих технолопчних процеав виготовлення деталей
з метою тдвищення якост виробiв, продуктивност пращ
Одним з найважливших завдань машинобудування i зниження енерговитрат. На даний момент часу кнуе е розробка i впровадження нових та вдосконалення к- багато рiзних способiв формоутворення просторових
Романов Б. C., Кагляк О. Д., Лутай A. M., Головко Л. Ф.
72 технологический АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРоИЗВоДСТВА — № 3/1(23), 2015, © Романов Б. С., Кагляк О. Д., Лутай А. М.,
Головко Л. Ф.
