ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА ВЕКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО БИСПЛАЙНА ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ С УПРАВЛЯЮЩИМИ ТОЧКАМИ, ЛЕЖАЩИМИ НА ПОВЕРХНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18

Б01: 10.15587/2312-8372.2015.51287

ковтун а. м. исследование алгоритма расчета

векторно-параметрического бисплайна четвертой степени с управляющими точками, лежащими на поверхности

Разработан способ построения бисплайна (векторно-параметрической поверхности) с помощью сплайнов четвертого порядка с управляющими точками, принадлежащими поверхности. В результате была получена гладкость вплоть до третьего порядка включительно. Получен алгоритм расчета бикубической поверхности с первым, а потом вторым и третьим порядками гладкости. Приведены тестовые примеры полученных бисплайнов.

ключевые слова: векторно-параметрический сплайн четвертой степени, бисплайн, сплайн с управляющими точками, принадлежащими кривой, гладкость.

1. введение

Координаты радиус-вектора некоторых поверхностей могут быть представлены аналитическими функциями двух параметров. Такие поверхности принято называть аналитическими. Предлагается их параметрическое представление, а также неявное описание с помощью уравнений для координат их радиус-вектора. Причем способ описания поверхности может варьироваться как по функциональным (например, порядок гладкости), так и по эстетическим критериям. В работах [1-3], показаны алгоритмы, по которым можно строить соответствующие бисплайны (векторно-параметрические поверхности). Причем используются сплайны третьей, четвертой и пятой степеней при выполнении условия соблюдения гладкости первого, второго, третьего и четвертого порядков.

В последние годы появилось большое количество публикаций, посвященных описанию кривых и поверхностей. Часть из них имеет чисто математическую направленность и непосредственно не связана с запросами пользователей САПР. Это, казалось бы, лишает их права на осуществление, однако опыт показывает, что многие из таких разработок часто являются маленькими открытиями, влекут за собой далеко идущие последствия. Актуальность работы заключается в облегчении труда проектировщика-конструктора. Метод позволяет задавать расположение управляющих точек на первоначально заданном каркасе, что даст пользователю инструмент более адекватный к выполняемой задаче.

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

Математические абстракции, такие как поверхности и линии, дают представление об отдельных свойствах предметов. Кривые линии и поверхности могут служить для создания тел. Исследования сплайнов высших степеней с управляющими точками, принадлежащими

кривой [4-14], показали возможность получения би-сплайна на основе таких линий с соответствующими свойствами. То есть получения векторно-параметриче-ской поверхности с управляющими точками, инцидентными поверхности, с достижением гладкости первого, второго и третьего порядков. Показан алгоритм решения необходимых систем линейных уравнений, при этом получена большая стойкость к волнообразованию (ос-цилляциям), чем у кубических бисплайнов.

3. объект, цель и задачи исследования

Объект исследования — моделирование сплайновых поверхностей высокой степени гладкости с управляющими точками, принадлежащими (инцидентными) поверхности.

Цель исследования — развитие уже существующих способов описания поверхностей на базе сплайнов высших степеней ввиду их важности в конструировании и производстве.

Для достижения поставленной цели исследованы свойства векторно-параметрического сплайна на основе сплайна четвертой степени и предложен способ получения бисплайна с управляющими точками, инцидентными поверхности.

4. результаты исследования способа построения векторно-параметрического бисплайна четвертой степени с управляющими точками, инцидентными поверхности

Для получения бисплайна возьмем векторно-пара-метрический сплайн в виде г = г(и) и будем его «протягивать» в трехмерном пространстве в направлении, не совпадающем с направлением и, то есть в другом направлении V (алгоритм во многом схож со способом конструирования кубического бисплайна).

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 5/7(25], 2015, © Ковтун А. М.

Пусть имеем векторно-параметрический сплайн, который можно в общем случае записать как:

a2(u) = 64(u-0)| u-^Ди- j I(u-1),

r = r[u, ri, r2, ..., rN],

(1) 63

«a(u) = 33~(u-0)l u-4 II u-2 I(u-1),

где г — векторные константы.

Если протягивать (1) в другом направлении v, то векторные константы будут зависеть от этого параметра V. Тогда (1) будет иметь вид:

r = r [u, r1 (о), r2 (о), ..., rN (v)] = r (u, v).

(2)

a4(u) = yO - 0)|u -1)(u - ^u - 4

На основе сплайна четвертой степени (3) можно записать уравнение в матричной записи для векторно-параметрической порции поверхности:

Функция полинома четвертой степени по пяти точкам хо, уо, х1, у1, х2, у2, х3, уз, х4, у4 может быть записана в виде:

у = а0(и)у0 +а1(и)у1 + а2(и)у2 + а3(и)у3 + а4(и)у4. (3)

Функции а(и) являются коэффициентами полинома Лагранжа:

r = [а0 (u)а1 (u)a2(u)а3 (u)а4 (u)] х

r00 r01 r02 r03 r04 «0 v)

r10 ГЦ r12 r13 r14 а1 v)

х r20 Г21 Г22 Г23 Г24 а2 v)

Г30 Г31 Г32 Гзз Г34 аз v)

/40 Г41 Г42 Г43 Г44 _ а4 v)

(4)

ao(u)= a1(u) = a2(u)= «3(u)= a4(u)=

(u - u1 )(u - u2 )(u - u3)(u -1)

(0 - u1)(0 - u2)(0 - u3)(0 -1)'

(u- -0)(u - -u2)(u - u3)(u -1)

(u1 - 0)(u1 - -u2)(u1- - u3)(u -1)'

(u - 0)(u - u1)(u - -u3)(u -1)

(u-2 - -0)(u2 - u0(u2 - u3 )(u -1)'

(u - 0)(u - u1)(u - -u2)(u -1)

(u3 - -0)(u3 - %)(% - u2)(u3 -1),

(u - 0)(u - u1)(u - -u2)(u - u3)

(u4 - 0)(u4 - u1 )(u4 - u2 )(u4 - u3)'

где а^и) рассчитывается аналогично (3).

Для получения сплайна с первым порядком гладкости необходимо обеспечить гладкость траекторий пяти точек (по числу параметров) в обоих направлениях:

;(i-1) u(u=1)

= r 'К

u, v ) = r

(u=0)

u,vi, r

■( j-1)

'(v=1)

= r '(i)

u, v ) = r

'(v=°)

(u, v)

При равномерном расположении точек значения параметров и будут:

Также, для получения гладкости второго порядка нужно обеспечить соответствующую гладкость траекторий всех точек в обоих направлениях, а также гладкость смешанных производных:

^и^1!) (и,v)=г^=о) (и, (и,v)=г&ц (и, v), ^(Д(и, ^=г„,!1(1 -1)(и, гХ%(и,v)=rvV'!V=о)(и, v).

точка о: ио = о, 1

точка 1: и1 =—,

точка 2: u2 = —,

Для обеспечения гладкости третьего порядка нужно достичь соответствующей гладкости траекторий всех точек в обоих направлениях, то есть:

'''(i-1 ( uuu(u-1)

) = r "'(1 ■,(" uuu(u=0) V

■"(j-1) ( ' vvv(v=1) V

) = r"'(j) J

vvv(v=0) \

точка 3: и3 = —,

3 4

точка 4: и = 1,

Для обеспечения полной гладкости третьего порядка необходимо обеспечить также и равенство смешанных производных, то есть:

тогда:

32

«0(u) = -у1u-4J|u-2Jlu- 4 J(u-1),

«1(u) = -"3~(u -0)lu -2Лu -4 j(u -1),

■■(i-1) uv (u=1)

■■(i-1)

(u,v) = r (i) nJu,v), r [1,l\Au,v) = r (j) nJu,v),

V 7 / uuv{u=0)\ 7 /7 uuv(v=1)V 7 / uuv(v=0)V 7 r

u, v).

"'(j-1) , v(v=1)V

) = r "'(j) и v(v=0)

u, v) = r (i)

uv

(u,v), r (j 1L(u,v) = r (j)

\ ' шкАп=1 \ ' > uv

Для этого следует применить формулы для расчета сплайна с третьим порядком гладкости. Система линейных уравнений с четырехдиагональной главной матрицей:

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 5/7(25], 2015

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ — ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ ISSN 2226-3780

ф i-2) Аз i-i)'1

A(3i):

,И)_

B

'(3 i-2)r2

(i-i)

+ C(3i

(i-i)

B

(i-i)

B(3

'(3i-1)r3 r (i)

(i-i)

(3i-2)r3 (i)

C(3i-i)r1

(i-i)

D(3 i-2)r1(i) = G(3 i-2)-

(3i)ri ' + C(3i)r2 ' + D(3i)r3 ' = G(3i)

r.«

+ По;)ГУ> = G

-D(3i-1)r2(i)= G(3 i-1) -.(i)= (

(5)

при I =1, 2, ..., N - 1, где Ау, 5,-, С-, Dj, Gj — рассчитывается согласно алгоритма расчета сплайна третьей степени дефекта (1) [3]. Имеем 3^ - 2) уравнений и 3N неизвестных.

Для получения сплайна с третьим порядком гладкости необходимо дозадать три краевых условия. Наиболее простые условия: первая и вторая точки на первом сегменте и третья точка на последнем. Можно строить разные типы краевых условий, например, три производных и другие. В любом случае необходимо рассчитать три дополнительные точки.

Тестовые примеры бикубических сплайнов четвертой степени с управляющими точками, принадлежащими поверхности (обеспечено равенство вплоть до третей производной плюс равенство смешанных производных), поданы на рис. 1.

б

рис. 1. Бисплайн четвертой степени с управляющими точками, инцидентными поверхности, с третьим порядком гладкости: а — показаны порции поверхности (обеспечено равенство соответствующих и смешанных производных); б — результат действия команды AutoCAD 3DMESH

5. выводы

1. Показана способность сплайнов четвертой степени давать векторно-параметрические сплайны.

2. Свойства векторно-параметрических сплайнов четвертой степени адекватны свойствам полиномиальных сплайнов четвертой степени.

3. Из векторно-параметрических сегментов третьей степени гладкости получены порции поверхности.

4. Исследованные векторно-параметрические порции поверхностей дают возможность получать бисплай-ны соответствующей степени гладкости.

5. В работе предложен алгоритм построения би-сплайна четвертой степени с управляющими точками, инцидентными поверхности.

литература

1. Фокс, А. Вычислительная геометрия [Текст]: пер. с англ. /

A. Фокс, М. Пратт. — Москва: Мир, 1982. — 304 с.

2. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций [Текст] / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — Москва: Наука, 1982. — 352 с.

3. Ковтун, О. М. Полшо1шальш сплайни четвертого степе-ня [Текст]: 1шжвщомчий наук.-техн. зб. / О. М. Ковтун // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. — К.: КНУБА, 2004. — Вип. 74. — С. 239-243.

4. Голованов, Н. Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н. Н. Голованов. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. — 472 с.

5. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики [Текст] / Д. Роджерс, Дж. Адамс. — М.: Мир, 2001. — 604 с.

6. Якунин, В. И. Геометрические основы автоматизированного проектирования технических поверхностей [Текст] /

B. И. Якунин. — М.: Маи, 1980. — 86 с.

7. Завьялов, Ю. С. Сплайны в инженерной геометрии [Текст] / Ю. С. Завьялов, В. А. Леус, В. А. Скороспелов. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.

8. Watt, A. 3D Computer Graphics [Text] / A. Watt. — Addison-Wesley, 2000. — Ed. 3. — 570 p.

9. Zamani, M. A simple 2D interpolation model for analysis of nonlinear data [Text] / M. Zamani // Natural Science. — 2010. — Vol. 02, № 06. — P. 641-645. doi:10.4236/ns.2010.26080

10. Chen, L. A Comparison of Improvements for Shear Warp Algorithm Using Lagrange or Cubic Spline Interpolation [Text / L. Chen, S. Hu // 2011 5th International Conference on Bioin-formatics and Biomedical Engineering. — Institute of Electrical & Electronics Engineers (IEEE), 2011. — P. 1-4. doi:10.1109/ icbbe.2011.5780354

11. Herman, G. T. Shape-based Interpolation Using Modified Cubic Splines [Text] / G. T. Herman, C. A. Bucholtz, Jingsheng Zheng // Proceedings of the Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. — 1991. — Vol. 13, № 1. — P. 291-292. doi:10.1109/iembs.1991.683941

12. Бадаев, Ю. И. Специальные сплайны из полиномов третьей, четвертой и пятой степеней в геометрическом моделировании [Текст]: монография / Ю. И. Бадаев, А. М. Ковтун. — Одесса: Феникс, 2011. — 315 c.

13. Бадаев, Ю. I. Апроксимащя сплайнами на основi кривих з шцидентними точками [Текст]: матерiали Мiжнародноi науково-практично! конференцй; пращ Национального ушвер-ситету «Льв!вська полгтехшка» (спецвипуск) / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Сучасш проблеми геометричного моде-лювання. — Львiв: Нащональний ушверситет «Львiвська полгтехшка», 2003. — С. 75-77.

14. Бадаев, Ю. I. Векторно-параметричш сегменти, поверхш та тша за шцидентними з ними точками [Текст]: пращ Тав-ршсько! державно! агротехшчно! академи / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. — Мелггополь: ТДАТА, 2003. — Вип. 4, Т. 18. — С. 37-40.

а

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 5/7(25], 2015

ДOCЛiДЖEHHЯ способу побудови ВЕКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧНОГО бiCПЛAЙНA ЧЕТВЕРТого СТЕПЕНЯ

з керуючими точками, що лежать на поверхш

Дослiджено спосiб побудови бюплайна (векторно-парамет-ричио! поверхнi) за допомогою сплайна четвертого степени з керуючими точками, що шцидентш поверхиi. У результат була отримана гладкiсть аж до третього порядку включно. Отримано алгоритм розрахунку бiкубiчноi поверхиi з першим, а пойм другим i тре^м порядками гладкость Наведено тестовi приклади отриманих бiсплайнiв.

Ключовi слова: векторно-параметричний сплайн четвертого степеня, бюплайн, сплайн з керуючими точками, що шцидентш кривш, гладкють.

Ковтун Александр Михайлович, кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин, Измаильский факультет Одесской национальной морской академии, Украина, e-mail: ikra55@list.ru.

Ковтун Олександр Михайлович, кандидат техтчних наук, доцент, кафедра загальнотженерних дисциплт, 1змагльський факультет Одеськог нащональног морськог академп, Украта.

Kovtun Alexander, Izmail Faculty of Odessa National Maritime Academy, Ukraine, e-mail: ikra55@list.ru

УДК 519.687

001: 10.15587/2312-8372.2015.51415

Мацусва к. а. РоЗРоБКА МоДЕЛЕЙ I АЛГоРИТМ1В

оПТИМ1ЗАЦН СПоЖИВАННЯ РЕСУРС1В В СХоВИЩ1 ДАНИХ НА БАЗ1 ХМАРНо! ПЛАТФоРМИ

В рамках представленого дослгдження побудована модель збериання та оргатзащ роз-подшеного доступу до даних з використанням хмарног платформи мультимедшних ресурсов, розгорнутих в ¡нформацшнш системг. При цьому основным завданням дослгдження е розробка алгоритмгв I методгв управлтня продуктивтстю та оптимгзацгя використання програмних I апаратних ресурсгв.

Ключов1 слова:розподгл навантаження, хмарнг обчислення, СЗД, мгграцгя даних, моделювання.

1. Вступ

На сьогодшшнш день одтею з основних проблем при оргашзацп мультимедшних ресурав е потреба в яюсному надант послуг кшцевим користувачам. Одним з найбшьш розвинених напрямюв, що використовують широкосму-говий доступ до мультимедшних послуг е оргатзащя дослвджень 1 обчислень в сфер1 наукових дослщжень. Ключовою особлив1стю застосовуваних технологш на вщмшу вщ традицшних мультимедшних серв1с1в е мож-лив1сть надавати р1зш серв1си, використовуючи единий комплекс, що забезпечуе штерактивний зв'язок з корис-тувачем за допомогою шформацшних канал1в зв'язку. Це дозволяе застосовувати ушфжоват ршення в плат побудови архггектури таких серв1с1в. Кр1м того, вщмггною особлив1стю послуг, що входять в таку шформацшну систему, е можлив1сть прогнозувати поведшку користу-вач1в. Це обумовлено специфжою процесу дослщжень, а також регламентом роботи таких систем. Щ та шш1 чинники дозволяють здшснити виб1р оптимального р1шен-ня, здатного забезпечити високу яюсть послуг, а також визначити основы мехашзми управлшня даними сервь сами, враховуючи специфжу предметно! область

2. Анал1з л1тературних даних

Розглянемо основш алгоритми планування, що мо-жуть бути використат для систем з архиектурою хмарних

обчислень. Одним з найпростших методiв планування, що застосовуються для складання розкладу, е алгоритм First Come First Served (FCFS) [1, 2]. У кожному цикт планування, з черги видшяються запити i призначаються на визначенi обчислювальнi вузли. При цьому запити в черзi впорядковаш згiдно часу ix надходження. Крiм описаного алгоритму застосовують i rnmi, що використовують список в якост основного елемента складання плану, включаючи Shortest Job First (найкоротша задача перша), Random Job First (випадкова задача перша) та ш. [2]. 1стотний недолiк спискових алгоритмiв — низька завантаженiсть обчислювальних вузлiв в силу наявностi великоi юлькосп вiкон у створюваних розкладах, що призводить до простоювання та неефективного використання обчислювальних ресурав.

Для виршення цих проблем Аргонською нащональ-ною лабораторiею запропонований агресивний варiант алгоритму Backfill (алгоритму зворотного заповнення). Вш переслщуе двi конфлiктуючi цт — пiдвищення ефек-тивностi використання обчислювальних ресурав шляхом заповнення порожшх вiкон у розкладi та запобкання утримання заявок у черзi на обслуговування обчислю-вальним вузлом за рахунок мехашзму резервування. При цьому запити, що очжують, зберiгаються в черзi i впорядкованi вiдповiдно до прюритепв. У кожному циклi планування обчислювальш ресурси видiляються згiдно встановленим прюритетам. Особливiстю алгоритму е те, що заявка, що надшшла на обслуговування, не

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 5/7(25], 2015, © Мацуева К. А.