Разработка векторно-параметрического бисплайна пятой степени с управляющими точками, инцидентными поверхности Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 05.01.01 Б01: 10.15587/2312-8372.2016.72032

ковтун А. М. разработка вЕкторно-

параметрнческого бнсплайна пятой степени с управляющими точками, инцидентными поверхности

Предлагается способ построения бисплайна (векторно-параметрической поверхности) с управляющими точками, инцидентными поверхности. Был разработан алгоритм получения бикубической поверхности с первым, а потом вторым и третьим, и четвертым порядками гладкости. Приведены тестовые примеры полученных бисплайнов.

ключевые слова: векторно-параметрический сплайн, бисплайн, сплайн с управляющими точками, инцидентными кривой, гладкость.

1. Введение

Для описания поверхностей и линий применяются различные математические алгоритмы, дающие возможность моделировать кривые (а равно и порции поверхности являющиеся «строительными элементами» любого графического примитива) с наперед заданными свойствами. В современных условиях разработчику могут понадобиться кривые с «особыми свойствами», например: с высокой степенью гладкости. При этом зачастую возникает потребность работать в условиях, когда обвод не принадлежит первоначально заданному точечному каркасу. Это особенно актуально при построении объектов и аппаратов, работающих в движущейся среде. Примером могут служить: обводы судов, авиационной техники, детали машин и аппаратов, (например выпускной коллектор авиационного двигателя, лопатки турбин и т. д.).

Актуальность исследования продиктована потребностью дизайнеров, разработчиков промышленности и других пользователей САПР в расширении «инструментария». Что даст пользователю возможность выдавать более адекватный современным требованиям, а значит, более качественный продукт.

2. объект исследования и его технологический аудит

Опыт показывает, что аналитически представленные кривые легче изобразить на рисунке. В промышленном производстве, например, судо-, автомобиле- и авиастроении, окончательная форма в реальном или близком к нему масштабе определяется в процессе доводки.

Автоматизация этого процесса представляла значительный интерес для машинной графики. Для описания пространственных кривых накоплен большой багаж алгоритмов. Это, в частности сплайны (кубические, нормализованные кубические сплайны, кривые Безье, Фергюссона, В-сплайны и др.). Например, форма математического сплайна повторяет контур физического сплайна, т. е. гибкой деревянной или пластмассовой линейки, проходящей

через определенные точки. Для изменения формы сплайна используются свинцовые грузики. Меняя их количество и расположение, получившуюся кривую стараются сделать более гладкой, красивой и «приятной для глаза».

Иногда требуется аналитическое представление кривой, первоначально заданной точками. С математической точки зрения это проблема интерполяции. Для того чтобы провести кривую через все заданные точки, применяется метод кусочной полиномиальной интерполяции.

Но, часто, при построении гладких обводов возникает необходимость работать с управляющими точками инцидентными (принадлежащими) кривой. Неудобство возникает, когда управляющие точки не принадлежат первоначально заданному точечному ряду К тому же, существует опасность волнообразования (осцилляций).

3. Цель и задачи исследования

Цель исследования заключается в облегчении проектирования гладких криволинейных обводов с управляющими точками, принадлежащими кривой. Причем скорость затухания осцилляций будет выше, чем у кубических сплайнов.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить такие задачи:

1. На базе полинома пятой степени построить гладкую кривую с управляющими точками, инцидентными (принадлежащими) кривой.

2. На основании гладкой кривой получить вектор-но-параметрический сплайн пятой степени.

3. Описать бисплайн пятой степени на основе сегмента полинома пятой степени по заданным двум точкам и первым и вторым производным в них.

4. Построить бисплайн с управляющими точками, инцидентными поверхности, со вторым порядком гладкости.

4. Анализ литературных данных

Для описания гладких кривых и поверхностей разработан богатый инструментарий: на основе функций

с

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ISSN 222Б-3780

Ферюсона, Безье, на основании рациональных функций [1-3], на основе кривой в форме Фергюсона и строятся векторно-параметрические кубические сплайны.

На практике не всегда можно определить касательные векторы, а тем более определить их длину, что влияет на форму кривой. Как правило, в машиностроении первичными данными является точечный ряд точек без касательных. Таким образом, актуальным является последующее исследование в разработке других вариантов представления кривых. А именно: с управляющими точками, инцидентными кривой (в форме Лагранжа). Что дает возможность более удобно конструировать реальный объект, руководить кривизной и гладкостью.

5. Материалы и методы исследований

Показана методика получения бисплайна с управляющими точками, инцидентными поверхности, с достижением гладкости вплоть до четвертого порядка. Применен подход получения формулы полинома в форме Лагран-жа. По методу получения векторно-параметрического сплайна они задаются в виде r = r(u), что означает: по каждой координате существуют отдельные кривые, а именно: x = x(u), y = y(u), 2 = z(u).

Методы получения сплайнов высших степеней [1-5] а на их основе и бисплайнов показали, что решение необходимых систем линейных уравнений во многих случаях является устойчивым и однозначным.

6. результаты исследований и их обсуждение

Полином пятой степени определяется по формуле:

y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5. (1)

Очевидно, что полином пятой степени полностью определяется шестью коэффициентами, а значит, шестью геометрическими условиями. Эти условия можно представить в разных вариантах. Предлагается один из наиболее приемлемых на практике способов задания сплайна — это определение сплайна заданными двумя конечными точками, первыми и вторыми производными в них [6].

В этом случае полином будет иметь вид:

y = ao(u)yo +ai(u) y + A[ßo(u)y0 + ßi(u)yi]-

+ h2[j o(u)y0'+Y i(u)yi]

r = r (u), 1:

x = x (u),

У = У (u). 2 = 2 (u).

(3)

(4)

Пусть имеем заданный ряд узловых точек i = 0, 1, ..., N. Назначим для каждой точки параметры щ = Применим варианты, рассмотренные в [6, 7] сплайн-интерполяций по каждой координате. Получим кривые, заданные векторно-параметрическими сплайнами. Рассмотрим их более обстоятельно.

На основании формулы (2) можно записать:

г = а о (щ) го + а1 (щ) г + Ро (и) Го + Р1 (и) г'+ + у о (и)гТ+У 1 (и)гь (5)

где:

ао (и) = 1 -Юи3 + 15и4 - 6и5, а1 (и ) = Юи3 - 15и4 + 6и5, Ро (и ) = 1 - 6и3 + 8и4 - 3и5, Р! (и) = -4и3 + 7и4 - 3и5, уо (и) = о,5и2 -1,5и3 +1,5и4 - о,5и5, у1 (и) = о,5и3 - и4 + о,5и.5

Поскольку в этом варианте уже заданы первые и вторые производные в узловых точках, то сплайн с первым и вторым порядками гладкости задается автоматически по заданным условиям.

6.1. Бисплайн пятой степени на основе сегмента полинома пятой степени по заданным двум точкам и первым и вторым производным в них. На основе сегмента (5) для порции поверхности можно записать:

r = [ao (u )ai (u)ßo (u)ßi (u) Y o (u) Y1 (u)] x

(2)

roo roi roo rovi rovov roiv ao (v)"

rio rii rivo rivi riVV riviv ai (v)

Tu -ru -ruv ^uv -rVVu -rVVu roo roi roo roi roo roi ßo (v)

1-u 1-u vuv ^uv -rVVu -rVVu io 'ii 'io 'ii 'io 'ii ßi( v)

ruu ^uu -ruuvT-uuvT.uuvvT.uuvv roo roi roo roi roo roi Y o (v)

uu uu uuv uuv uuvv uuvv _'io 'ii 'io 'ii 'io 'ii _ [Yi v)

(6)

где хо, уо — координаты начальной точки; х1, у1 — координаты конечной точки; уо', у1 , уо", у1" — первые и вторые производные в начальной и конечной точках; и = (х - хо)/(х1 - хо); а(и), Р;(и), у;(и) — функции от параметра и.

Из полинома (2) предлагается сконструировать век-торно-параметрический сплайн пятой степени на базе полинома по заданным двум точками и первым и вторым производным в них.

Уравнением векторно-параметрической кривой является уравнение типа:

где а;, Р;, у; — рассчитываются по формулам (5).

Для задания такой порции необходимо иметь не только первые и вторые производные, но и смешанные третьи, и четвертые производные.

Пусть имеем две порции: (; - 1)-порция и ;-я порция. Направление «;» совпадает с направлением параметра и. Для сохранения первого порядка гладкости по и вдоль границы по параметру V необходимо придерживаться требования:

r(/ \(u,v) = r((Z) du.о).

u(u-i) V ' / u(u=o) V ' /

(7)

x

Для получения сплайнов с первым, вторым, тре-

Для обеспечения полной гладкости третьего порядка

тьим и четвертым порядками гладкости необходимо необходимо обеспечить также и равенство смешанных

обеспечить условия склеивания (7), (12), (13), (14), производных, то есть: (15), (18) соответственно. Для этого применяются формулы (8) и (9). -(г_1)

6.2. сплайн с третьим порядком гладкости. Можно иш(и=\)

задать системой из [6]:

_ r '"О

u, v)=r

\ 7 / 7.

8r '(i-1) + 8r '(i+1 + r "(i-1) + 6r "(i) + r "(i+1) = = -20 [r(i-1) + 2r(i) + r(i+1)], i = 1,2,..., N -1.

'''(j-1) 'uuv(v=1) V

"'(i-1)

-<)(u, v)= ru

= r'"(j

um = r "'О

(8)

/ i\ (u, v)= r

uvv(u=1) V ' / uvv

■"( j-1)

ivv(v=1)

u, v)=r

=rj

=o) (u,v),

=o)(u v)

=o)(u,v), =o)(u,v)

(14)

6.3. сплайны с четвертым порядком гладкости. Аналогично для векторно-параметрического сплайна можно записать:

Но для полной гладкости четвертого порядка дополнительно необходимо обеспечить еще и равенство смешанных производных, а именно:

A(2i-1)r '(i-1)+ B(2i-1)r "(i-1)+ C(2i-1)r'

+ D

(2i-1)r

-1)r '(i+1) = %-1),

Ащг "(i-1) + B(2i)r '(i) + C(2i)r "(i) + + D(2i)r '(i+1) + E(2i)r "(i+1) = G(2i),

(9)

i =1, 2, ..., N - 1; Д 5, С, Д £, ^ — рассчитываются из (10), (11).

[h(1> ]3 [y0o) - 3y<°> + 3y(°> - yf ] = [h(0) ]3 [y01) - 3y((1) + 3y21) - y31) ],

'(i-1) , r / ,\(u, v

uuuv(u=1)\ '

u, V

v(u=1) l

r''''(j-1) uuuv(v=1)

''''(i-1)

r t Au, v

uuvv(u=1) V 7

''''( j-1) r y , ' Au,v

uuvv(v=1)V ' ''''(i-1)

r / Au,V

uvvv(u=1)V '

''''( j-1) r 'Au,V

uvvv(v=1) V 7

=/"0 uuuv

= r j

UUUÜ

''''(i)

=r

uuvv =r""(

uuvv

= r""(

UUUÜ

= rj

UÜÜÜ

=o)(u, v) =0)(u,v), =0)(u,v), =0)^ v), =1)(u,v), =o)(u,v).

(15)

(10)

На основе сплайна четвертой степени аналогично с [6] можно записать уравнение для векторно-парамет-рической порции поверхности:

[h n-1> ]3 [

y0

(N-2)

- 3y(

(N-2) _

3 y

(N-2) - y(N-2)

' ] =

ri I1))(u,v )= rj(;)=o)|

u(u=1) (u, v)= -u(u=o) (u,v), rvii,=1) (u,v) = rv j!=0) (u,v),

ruuW1)^,v) = ruSu-1) (u,v), ^(Д (u, v) = ^=0) (u,v)

.''(i-1)

)= r "(i)

, • v)= r , „■,

(u=1) V 7 ! uv(u=0)

r = [a0 (u )a1 (u)a 2 (u )a 3 (u )a4 (u )] x

=[h(N-2) ]3 [ y0N-1) - 3 y(N-1)+3 y2N-1) - y3N-1) ]. (11)

Имеем систему из 2^ - 1) линейных уравнений с пятидиагональной матрицей и 2^ + 1) неизвестных г/(), г"('), _/ = 0, 1, ..., N. Таким образом, для определения сплайна с четвертым порядком гладкости необходимо доказать четыре краевых условия. Типы условий определены в [6].

Для получения гладкости второго порядка нужно аналогично конструировать бисплайн со вторым порядком гладкости в обоих и-о-направлениях, то есть обеспечить вместе с (13) такие уравнения:

r00 r01 r02 r03 r04 ao v)

r10 ГЦ r12 r13 r14 a1 v)

x r20 Г21 Г22 Г23 Г24 a2 v)

Г30 Г31 Г32 Г33 Г34 a3 v)

Г40 Г41 Г42 Г43 Г44 _ a4 v)

(16)

где а;(и) рассчитывается аналогично векторно-парамет-рическому сплайну четвертой степени с управляющими точками, инцидентными кривой.

Для обеспечения полной гладкости третьего порядка необходимо обеспечить также и равенство смешанных производных, то есть:

(12)

'''(i-1) '''( r , Au,v)=r x

uuv(u=1) uuv

r (j,-1).i(u,v) = r (j

uuv(v=1) u

Но, чтобы достичь полной гладкости второго порядка (т. е. обеспечить непрерывность второй квадратичной формы по всей поверхности), необходимо еще обеспечить по линии склеивания и равные смешанные производные, то есть:

(i 1) (u v)= r (

;v(u=1) V ' / uvv

v)=j

=o)(u v), =0)(u,v), =o)(u,v), =0)(u,v).

(17)

(v), r2ОД(u,v)=r^do)^v). (13)

Для этого следует применить формулы описания сплайна с первым, вторым и третьим порядками гладкости, например из [2-6].

Но для полной гладкости четвертого порядка дополнительно необходимо обеспечить еще и равенство смешанных производных, а именно:

v

v

-(¿-I) i

г..} - -J=1)(M, О

v=1)(u,v «=1)(u,0 *=i)(u,0 »=1)(u,0

1)(u,0

г "1 j uuuv

г""0

uuuu

г "Ij

uuuu

''''(г

uvvv

г ""(j

uvvv

=г ""(-)

uuuv(u=0)

= г""( j)( 0)l

uuuv(v=0)

= г nAu, v),

uuvv(u=0)V ' /'

u,v), u, v),

=г""( j)

UUVü{

=Л

uvvv

=г ""( j) uvvv(v=0)

(v=0) (u,v),

.(v=1)(u,v), u, v).

(18)

На рис. 1 приведен тестовый пример бисплайна с управляющими точками, инцидентными поверхности, со вторым порядком гладкости, который реализован на языке AutoLISP в среде AutoCAD.

б

Рис. 1. Тестовый пример. Бисплайн с управляющими течками, инцидентными поверхности, со вторым порядком гладкости: а — порции поверхности (обеспечено равенство соответствующих и смешанных производных); б — результат действия команды AutoCAD 3DMESH

С рис. 1, а видно, что управляющие точки инцидентны (принадлежат) кривой. При конструировании гладкого обвода это дает дополнительные удобства в решении технической задачи. Ведь равенство и закон изменения производных влияет на гладкость кривой, что важно при проектировании объектов и аппаратов, работающих в движущейся среде. Произведена «склейка» порций поверхности, при условии равенства первых и вторых производных. Данные исследования могут быть полезны разработчикам программного обеспечения, пользователям САПР, дизайнерам, конструкторам и т. д. На рис. 1, б показана работа команды AutoCAD 3DMESH, поверхность выглядит более гладкой, красивой и «приятной для глаза».

Работа является логическим продолжением исследований [4-15]. Автор статьи планирует продолжить данные исследования, ввиду их очевидной полезности потребителям.

7. Выводы

В результате исследований:

1. На базе полинома пятой степени построена гладкая кривая с управляющими точками, инцидентными (принадлежащими) кривой.

2. Показана способность сплайнов пятой степени давать векторно-параметрические сплайны. Свойства вектор-но-параметрических сплайнов пятой степени адекватны свойствам полиномиальных сплайнов пятой степени.

3. Из векторно-параметрических сегментов соответствующей степени гладкости получены порции поверхности. Исследованные векторно-параметрические порции поверхностей дают возможность получать бисплайны полной (вплоть до четвертой) степени гладкости.

4. В работе предложен алгоритм построения би-сплайна пятой степени с управляющими точками, инцидентными поверхности.

Результат исследования заключается в облегчении проектирования гладких криволинейных обводов с управляющими точками, принадлежащими кривой. Причем скорость затухания осцилляций будет выше, чем у кубических сплайнов.

Литература

1. Фокс, А. Вычислительная геометрия [Текст]: пер. с англ. / А. Фокс, М. Пратт. — Москва: Мир, 1982. — 304 с.

2. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн функций [Текст] / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — Москва: Наука, 1982. — 352 с.

3. Jaklii, G. Lagrange geometric interpolation by rational spatial cubic Bézier curves [Text] / G. Jaklii, J. Kozak, V. Vitrih, E. Zagar // Computer Aided Geometric Design. — 2012. — Vol. 29, № 3-4. — P. 175-188. doi:10.1016/j.cagd.2012.01.002

4. Ковтун, О. М. Полшо1шальна крива третього степеня ¡з ке-руючими точками, що належать кривш [Текст] / О. М. Ковтун // Сучасш проблеми моделювання. — 2015. — № 4. — С. 63-67.

5. Jaklii, G. Geometric Lagrange interpolation by planar cubic Pythagorean-hodograph curves [Text] / G. Jaklii, J. Kozak, M. Krajnc, V. Vitrih, E. Zagar // Computer Aided Geometric Design. — 2008. — Vol. 25, № 9. — P. 720-728. doi:10.1016/ j.cagd.2008.07.006

6. Бадаев, Ю. И. Специальные сплайны из полиномов третей, четвертой и пятой степеней в геометрическом моделировании [Текст]: монография / Ю. И. Бадаев, А. М. Ковтун. — Одесса: Феникс, 2011. — 315 с.

7. Ковтун, О. М. Полiномiальна крива третього степеня ¡з ке-руючими точками, що належать кривш [Текст] / О. М. Ковтун // Водний транспорт. — 2015. — Вип. 1. — С. 166-170.

8. Бадаев, Ю. I. Апроксимащя сплайнами на основi кривих з шцидентними точками [Текст]: матерiали Мiжнародноï науково-практично1 конференци; пращ Национального ушвер-ситету «Льв!вська полгтехшка» (спецвипуск) / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Сучасш проблеми геометричного моделювання. — Львiв: Нацюнальний ушверситет «Львiвська полгтехшка», 2003. — С. 75-77.

9. Бадаев, Ю. I. Векторно-параметричш сегменти, поверхш та тша за шцидентними з ними точками [Текст] / Ю. I. Бадаев, О. М. Ковтун // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. — 2003. — № 4(18). — С. 37-40.

10. Baye, D. The Lagrange-mesh method [Text] / D. Baye // Physics Reports. — 2015. — № 565. — P. 1-107. doi:10.1016/ j.physrep.2014.11.006

11. Chudinov, A. V Interpolational and smoothing cubic spline for mass spectrometry data analysis [Text] / A. V. Chudinov, W. Gao, Z. Huang, W. Cai, Z. Zhou, V. V. Raznikov, I. V. Su-limenkov // International Journal of Mass Spectrometry. — 2016. — № 396. — P. 42-47. doi:10.1016/j.ijms.2015.11.008

12. Kvasov, B. I. (2000). Methods of Shape-Preserving Spline Approximation [Text]: monograph / B. I. Kvasov. — World Scientific, 2000. — 356 p. doi:10.1142/9789812813381

13. Matt, M. A. Trivariate Local Lagrange Interpolation and Macro Elements of Arbitrary Smoothness [Text] / M. A. Matt. — Vieweg+Teubner Verlag, 2012. — 370 p. doi:10.1007/978-3-8348-2384-7

14. Jiwari, R. Lagrange interpolation and modified cubic B-spline differential quadrature methods for solving hyperbolic partial differential equations with Dirichlet and Neumann boundary conditions [Text] / R. Jiwari // Computer Physics Communications. — 2015. — № 193. — P. 55-65. doi:10.1016/ j.cpc.2015.03.021

15. Moore, P. Efficient energy evaluations for active B-Spline/ NURBS surfaces [Text] / P. Moore, D. Molloy // Computer-Aided Design. — 2014. — № 47. — P. 12-31. doi:10.1016/ j.cad.2013.08.011

розробка векторно-параметричного бгсплайиа п ятого степеня з керуючими точками, що шцндеитш поверхш

Дослщжено споаб отримання бюплайна (векторно-пара-метричио! поверхш) за допомогою сплайна п'ятого степеня з керуючими точками, що шцидентш поверхш. Було розробле-но алгоритми для отримання бiкубiчноi поверхш з першим, а поим другим та тре^м, i четвертим порядками гладкость Наведено тестовi приклади отриманих бюплайшв.

Kлючовi слова: векторно-параметричний сплайн, бюплайн, сплайн з керуючими точками, що шцидентш кривш, гладкють.

Ковтун Александр Михайлович, кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин, Дунайский институт Национального университета «Одесская морская академия», Измаил, Одесская обл., Украина, e-mail: ikra55@list.ru.

Ковтун Олександр Михайлович, кандидат техтчних наук, доцент, кафедра загальнотженерних дисциплт, Дунайський iHcmumym Нащонального утверситету «Одеська морська ака-демiя», 1зма1л, Одеська обл., Украта.

Kovtun Alexander, Danube Institute of National University «Odessa Maritime Academy», Izmail, Odessa Region, Ukraine, e-mail: ikra55@list.ru

УДК 664.144

001: 10.15587/2312-8372.2016.72035

соколовська о. о. моделювання рецептури

пастильних виробш 13 використанням нетраднщйно! сировини в1дпов1дно заданнх показникш якост

Враховуючи проблему сьогодення, пов'язану з порушеннямроботи ендокринног системи через вживання простих цукргв та дефщиту йоду, запропоновано розробку рецептури пастильних виробгв 1з використанням нетрадицшног сировини шляхом моделювання рецептури з повною або частковою замтою цукру бшого з одночасним фортифгкацгею виробгв йодом.

Ключов1 слова: моделювання рецептури, пастильнг вироби, пастила, цукор бглий, тдсолод-жувач, стевгя, еламт.

1. Вступ

В умовах попршення еколопчно! ситуацп та зни-ження ф1зично! активност структура харчування на-селення не вщповвдае сучасним вимогам нутрицюлогп, що пов'язано з надлишком вживання простих цукр1в. В зв'язку з цим захворювання на цукровий д1абет набуло етдемюлопчного характеру, на ряду з яким нагального виршення потребуе проблема йододифщиту. На сьогодт, завданням харчово! промисловосп, особливо кондитер-сько! галуз1, е пошук шлях1в зменшення вуглеводного навантаження цукристих кондитерських вироб1в, а саме зниження масово! частки цукру з одночасною форти-фжащею мшеральними речовинами, зокрема йодом.

Доцшьшсть такого тдходу викладено в наукових роботах [1-3].

Серед асортименту цукристих кондитерських ви-роб1в, особливе м1сце займають пастильш вироби, як мають збиту драглепод1бну консистенщю, що надзви-чайно приваблюе споживач1в. Однак, в !х рецептур1 достатньо висока масова частка цукру б1лого до 48,0 %, що призводить до суттево! надлишково! калоршносп вироб1в та незбалансованосп х1м1чного складу. У заданих концентращях цукор б1лий приймае участь у форму-ванш каркасу тнно! структури та притаманного смаку вироб1в. Саме тому значне його зменшення в рецепту-р1 вимагае одночасне застосування тдсолоджувача та структуроутворюючо! речовини для збереження прита-манних властивостей, як е нетрадицшною сировиною для пастильних вироб1в.

Ураховуючи особливост формування якост пастильних вироб1в в процеа виробництва та властивостей