Использование уравнения оптимали для оптимизации процесса бурения самозатачивающимся породоразрушающим инструментом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.24.05.055

Н. Б. Си Iникои, Е. Е. Борисова

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛИ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА БУРЕНИЯ САМОЗАТАЧИВАЮЩИМСЯ ПОРОДОРАЗРУШАЮЩИМ ИНСТРУМЕНТОМ

Математическая модель процесса бурения самозатачивающимся породоразрушающим инструментом общего вида выражает зависимости основных показателей процесса бурения в функции технологических параметров: осевого усилия на забой скважины Р и угловой скорости вращения а). Основными показателями, характеризующими эффективность процесса бурения, являются: механическая скорость бурения У0, рейсовая скорость бурения Ур, стоимость проходки одного метра скважины </, проходка на породоразрушающнй инструмент // и время отработки породоразру шающего инструмента Т. Математическую модель процесса бурения общего вида при отработке самозатачивающегося долота можно представить следующим образом:

Т = Т(Р,<й,Л);

Н = У0Т; (1)

Кр=// (74/,)-'; Ч=с{Т + 12)Н

-I

)

где а:... а, - эмпирические коэофициенты, зависящие от свойств буримой породы и конструкции долота; А - коэффициент, характеризующий износостойкость долота и абразивность породы; /1 - время вспомогательных операций. 12я Г\+с„-с1\ с„- стоимость поредоразрушающего инструмента: с - стоимость одного часа работы бурового станка.

Введем новые переменные уо, уь у2, у?:

Го =

0

74 0

V —

..у

' 74/

(2)

Очевидно, что всегда выполняется соотношение

0 = уо< У1 < Г2 < Уз =

С учетом переменных у, систему (1) можно представить следующим образом:

Н = У0Ту>.

Если в каждом уравнении системы (2) заменить коэффициенты (уо. уи уг. Уз) на у,, а затем от полученных выражений взять частичную производную по осевому усилию Р и приравнять ее нулю, то будет получено одно и то же выражение

дР~ Ъ 7 0 дР'

Аналогичный результат получится, если взять производную по угловой скорости вращения со

~ 7х 1 г0 - • СО) схо

Поделив одно выражение на другое, получим уравнение оптнмали [I]

Полученное уравнение оптимали в плоскости технологических параметров Р и со представляет некоторую кривую, на которой расположены точки, соответствующие координаты которых оптимальны по механической скорости бурения, рейсовой скорости, стоимости проходки одного *етра скважины. Если же уравнение оптимали (3) в плоскосги технологических параметров Р и гз не изображают никакой кривой, то прсцесс бурения, описываемый системой (1) нельзя опти-V лирова п, ни по одному из перечисленных показателей.

Полученный результат можно представить в более общем виде

^ = 0^ = / = 0,1,2,3; * = 1,2,

дук дук дук

•к г0 - механическая скорость бурения К0; - рейсовая скорость бурения Ур\ ~ стоимость проходки одного метра скважины q\ - проходка Н\ух - осевое усилие Р;у2 - угловая скорость вращения со.

ы дУо Щ

Используя выражения производных —^ и —1можно наити экстремальное значение

сР схо

коэффициента у,

У,--

2-К.

&JL сР

BPJ [ да ;

-У

ОС) J

л. подставляя его в соответствующее \ равнение системы (2), можно получить оптимальное значение исследуемого показателя

Ът* =fV(I-Yo);

Т

У - У •

ртах 0

Я min wf У0

(э/> }(*/>) \ е(о/ [8(0 у \ ÔP ) \дР ) (dû)) {dû) "iifjlâpj'lâp)

(4)

Используя полученные соотношения, можно оптимизировать процесс бурения для любой математической модели частного вида. Примем следующую математическую модель частного вида [2]

У0 =а0 + 2я,/> + 2а2со + 2а,Рсо + д4/>' + я$со:;[ Т = А(Рь)У\

(5)

Из выражений системы (5) находим частные производные от механической скорости бурения У0 и времени отработки долота 7'по осевому усилию и угловой скорости вращения

ЗУ дУ

—7 = 2(в, + а,су + ахР)\ —= 2(а2 + а>Р + а$су); СР СО)

ÊL--L ÊL- L у ] а*

ер

ÔO)

СУ

'Oi

здесь Р„ со, - параметры, оптимальные по /-му показателю; У01= Уо(Р„ со,).

Подставляя полученные выражения производных и коэффициента у, в систему (4), получим:

^Отхх =аО + в|'>«п«К Ятт = Фо + ^т* , )"';

пих = + <*\ ^м» И, + «2Шпих Г, 5

Уз =: = 1 - (а0 + о, Р^ „ + ^со^ н) • И0"' =>

Подставляя полученные значения производных в уравнение оптимали общего вида (3). получим уравнение оптимали частного вида

а.Р + а\Р = аьчсг + я,(о. (6)

В плоскости технологических параметров Р и со уравнение (6) изображает кривую (гиперболу). на которой расположены значения Р и со, оптимальные по основным показателям процесса бурения (Ус, q, //). Ьсли уравнение (6) в плоскости технологических параметров Р и со не изображает никакой кривой, то оптимизировать процесс бурения, используя систему (5), невозможно ни по одному показателю его эффективности. Построить графики оптимали в координатах Р и со можно, воспользовавшись уравнением (6). При этом имеют место три варианта.

Вариант I.

При

\2

£|

«4

< — используете* выражение

со =

(7)

а2 + ^Аиха,Рг + 4а,а}Р + а'2

" 2Й ' Для заданных значений осевого усилия (из области их допустимых значений) определяется величина угловой скорости, при этом будет получен график, представленный на рис. \,а. На рис. 1 оптимальные значения технологических параметров распложены на рабочей части графика, изображенной сплошной линией.

о и)

Вариант 2.

(а)

\

/

8 \ч>

Рис. 1. Графики уравнения оптимали: а - вариант 1; б - вариант 2; в - вариант 3

При

> — используется выражение

Р =

их + у1Аа4а50)2 + 4 а2а.ео + а'

2Ы

(8)

Для заданных значений угловой скорости вращения (из области их допустимых значений) определяется величина осевого усилия, при этом будет получен график, представленный на рис. 1,5.

Для оптимизации процесса бурения, описываемого системой уравнений (5), по любому из рассмотренных его показателей для точки, принадлежащей оптимали, определяются значения показателей Уо\, ИрЬ Н\. Затем берется другая точка на линии оптимали и определяются новые значения всех показателей процесса бурения У02, VЯг и Н2. Новые значения показателей сравниваются со значениями аналогичных показателей предыдущего расчета и так далее. Таким образом можно определить режимы бурения, оптимальные по тому или иному показателю процесса бурения. Способ простой, но весьма громоздкий. Объем расчетов можно сократить в несколько раз, если сузить границы поисков. «Крайними» режимами являются режимы, обеспечивающие максимум проходки на породоразрушающий инструмент и максимум механической скорости бурения. Оптимальные значения технологических параметров, обеспечивающих эти показатели, могут быть определены аналитическим путем с любой степенью точности. Координаты Р и обеспечивающие максимум проходки, определяются из системы уравнений

= <**«>1~н *«2*>«хн)

Решением системы являются значения осевого усилия и угловой скорости вращения, оптимальные по проходке на породоразрушающий инструмент

РщхИ=^ттН'у « =-ГДе 11=)^"°* .

(9)

Координаты Р и <о, обеспечивающие максимум механической скорости, определяются из системы уравнений

У0шт = + г + 2й2а)п»х г + 2 ауР^ кй)^ и + аАР^ у + а,со^ и;

У0иах = <*о + а,Раи, К + О&шшяГ*

а<Р^хУ+а1РтхУ= у +а&^у.

Решением системы являются значения Р и со, оптимальные по механической скорости бурения

(Ю)

ОТ* У ~ 2 '

Проверкой можно убедиться, что полученные значения технологических параметров, оптимальных по проходке на породоразрушающий инструмент и механической скорости бурения удовлетворяют уравнению оптимали (6).

Определим порядок расположения оптимальных значений технологических параметров в плоскости у, г. Предположим, что с ростом технологического параметра у интенсивность износа

дР

увеличивается, т. е. срок отработки инструмента уменьшается: — < 0. Тогда в выражении

ду

все множители положительные и у, > 0, причем у| = 0 для механической скорости бурения, ко-

дУо а дУо л

гда —- = 0. Отсюда следует, что —->0и равно нулю только для показателя механической

дУk ¿У*

скорости бурения. Следовательно, чем больше величина ун тем дальше оптимальный 1-й пара-

метр удален от максимума механической скорости бурения. Самое большое значение у, для показателя проходки на породоразрушающий инструмент, значит Рщ^м является наименьшей величиной из оптимальных значений технологических параметров. Затем следует оптимальное усилие по минимуму стоимости одного метра скважины и, наконец, ближе всего к максимуму механической скорости расположен экстремум рейсовой скорости бурения (рис. 2). Значению Р^у соответствует максимум механической скорости, Р^/р- максимум рейсовой скорости, - минимум стоимости проходки одного метра скважины и Л,*// - максимум проходки на долото. Режимные параметры, оггтимальные по проходке на долото и механической скорости бурения, определяют из выражений (9) и (10). Методом перебора определяют режимные параметры, оптимальные по стоимости проходки одного метра скважины и рейсовой скорости бурения. Задача их отыскания облегчается еще и тем, что известен их порядок расположения и при поиске экстремума одного показателя не требуетсч вычислять значения других.

4» V

Рис. 2. Зависимость механической скорости бурения от осевого усилия

Вариант 3. Если же выполняется соотно-

/ \2

шение

= —, то график уравнения опги-

мали представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см. рис. 1,в) уравнение оптимали принимает вид

<0 = ^/\

(И)

Значения технологических параметров, оптимальных проходке на породоразрушающий инструмент, можно определить по выражению (9) или более просто

Р . во

2а, 2Д2

(12)

Технологические параметры, оптимальные по механической скорости бурения, определяются выражением (10) или по следующим формулам:

(О

а,

- , п » -ОР.К. К- • (13)

«5 + Р^з

Экстремумы стоимости проходки одного метра скважины и рейсовой скорости могут быть определены перебором: задаваясь значением осевого усилия Ри определяют значение С0| по формуле (11). Для полученных значений Л и со, определяют время отработки долота, механическую скорость бурения, проходку, рейсовую скорость и стоимость проходки одного метра скважины, затем осевому усилию придается приращение Р2 = Р\ + &Р и определяется новое значение (о2, значения технологических показателей, отвечающие новым значениям Р и о> и т. д. Из полученных значений выбирается минимальное значение стоимости проходки одногс метра скважины дшп и максимальное значение рейсовой скорости

В заключении приведем расчеты по определению режимов бурения, оптимальных по механической скорости бурения, рейсовой скорости, стоимости проходки одного метра скважины и проходки на породоразрушающий инструмент. Расчет проведем для двух вариантов: первый -

для случая, когда выполняется соотношение

> —, второй - для

аь

Все расчеты сведены в таблицу, в которой указаны исходные условия для обоих вариа1ггов бурения пород.

Таблица оптимальных значений технико-экономических показателей

Вариант 1:во--11.72; о, -8.46 10'*; о, -0.1522; о,--3.35 10*; а4 - -6378 Ю4; а, - -2.6 Ю \ Л - 2.079 10*; с -17; с„ =52; /«-1.2

лн 10081 9674 $193 8485

».С"' 45.55 42.86 39.32 29.84

Ко, м/ч 3.742 3.704 3.549 2.756

V» м/ч 2.958 2.989 2.936 2.405

е.руб'м 8.818 8.488 8337 9.366

Я, м 16.9394 18.5724 204132 22.6299

Вариант 2: оо--11.72; <1,-8.46 КГ4; аг -0.1522; в, - -3.35-КГ4; а4 - -80331 • Ю4; а5--2.6Юо;/1-2.079 Ю*;<г=1700;<г1|-5200;/к- 1.2

лн 8550 8251 7845 6927

о,.с' 47.523 45.884 43.606 38.502

Ко, м/ч 2.74595 2.72883 2.С4788 2.22461

К„ м/ч 2.22431 2.23914 2.21097 1.92785

руб/м 1134.37 1106.09 1092.01 1181.61

Н, м 14.05 14.99 16.09 17.34

Определение оптимальных режимов по первому варианту произведено по выражениям (9) и (10), по второму варианту расчеты можно выполнить по этим же выражениям, но проще -по формулам (12) и (13).

В первых двух строках вышеприведенной таблицы указаны значения технологических параметров, оптимальных по Ко, Кр, <? и Н ^оптимальные значения показателей выделены). Легко проверить, что параметры Р и со оптимальных режимов принадлежат уравнению оптимали. Для этого необходимо использовать уравнение (6) для первого варианта и уравнение (11) - для второго. Режимы, оптимальные по механической скорости бурения и прэходке на ПРИ (для обоих вариантов), являются «крайними»: максимуму проходки на ПРИ соответствуют меньшие значения Р и со, а максимуму механической скорости - наибольшие. Режимы, оптимальные по рейсовой скорости и стоимости проходки одного метра скважины находятся между этими «крайними» в порядке, указанном на рис 2. Таким образом, приведенный числовой пример подтвердил все теоретические выводы статьи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ситников Н. Б. Влияние износа породоразрушающего инструмента на оптимальные значения режимных параметров при алмазном бурении скважин // Известия вузов. Горный журнал. 1990. №9. С. 67-70.

2. Комовский Е. А. Оптимизация процесса разведочного бурения. М.: Недра, 1975. 303 с.

УДК 621.541.1:621.835

Д. Т. Анкудинов, А. П. Золкии

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РАБОЧЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КУЛАЧКА АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВОГО ПНЕВМОМОТОРА

Реверсивный аксиально-поршневой пневмомотор типа ДАР [1] является бесшатунным механизмом, преобразующим возвратно-поступательное движение вс вращательное (рис. 1). В юбке поршня двойного действия 1 перпендикулярно его продольной оси сделан вырез и размещены два подшипника качения 2. Между подшипниками пропущена периферия ротора 3, торцам кото-