Исследование критерия максимума проходки при бурении скважин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для реализации алгоритма принят алгоритмический язык программирования Паскаль с использованием графических возможностей для вывода результатов расчетов в виде траекторий и рисунков

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Лагунова Ю.А. Дробимость хрупких материалов при разрушении сжатием//Изв. вузов. Горный журнал.- 1997. -№1.

2. Лагунова Ю.А. Определение комплексной характеристики свойств дробимости горных пород// Изв.вузов Строительство.- 1998. - N 1. - С. 117-119.

3. Масленников В.А Проектирование горных машин (конструирование, моделирование; оптимизация, управление). Алгоритм творческого процесса конструктора: Учеб. пособие - Екатеринбург: Изд-во УГГТА, 1997.

4. Масленников В.А., Лагунова Ю.А. Проектирование конусных дробилок//Совсршснсгвование методов проектирования горных машин, нефтегазопромыслового и дробильно-размольного оборудования: Сб. науч.тр. УГТГА-Уралмаш.- Екатеринбург, 1997. - С. 67-123.

УДК 622.24.05.055

Н.Б.Ситников, В.А.Троп

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТЕРИЯ МАКСИМУМА ПРОХОДКИ ПРИ БУРЕНИИ СКВАЖИН

Проходка на породоразрушающий инструмент (ПРИ) является одним из важнейших и менее всего исследованных показателей процесса бурения скважин различного назначения. Она существенно влияет на основные показатели процесса бурения: рейсовую скорость и стоимость проходки одного метра скважин. Малоизученность этого показателя объясняется сложностью взаимодействия пары "породоразрушающий инструмент - забой скважины", а также своеобразием самого показателя, которое заключается в трудности физического представления его экстремума от времени чистого бурения.

В статье на основании экспериментально-теоретических исследований математической модели процесса бурения общего вида делается попытка показать, что экстремум проходки на породоразрушающий инструмент обусловлен в первую очередь ограничениями, наложенными на процесс бурения глубоких скважин как затупляющимся, так и самозатачивающимся породоразрушающим инструментом.

Текущее значение проходки на породоразрушающий инструмент может быть представлено следующим образом:

t

h(0=Jv(t)dt , (1)

о

где vit) -механическая скорость бурения как функция текущего времени.

Практически на выражение (1) всегда наложены ограничения, которые можно классифицировать следующим образом: ограничения по механической скорости и ограничения по износу породоразрушающего инструмента. Ограничение по механической скорости, если отрабатывается самозатачивающийся ПРИ, когда v(t)=const, следует рассматривать как -зависимость ее от параметров режима бурения, а также свойств породы и ПРИ. В этом случае

132

статическая характеристика объекта уо(Р, со,а) рассматривается как зависимость механической

скорости бурения от режимных параметров Р,\у, () и свойств породы скважины а .которую можно аппроксимировать какой-либо функцией только в определенной (рабочей) зоне изменения режимных параметров. Если механическая скорость в процессе бурения уменьшается по мере затупления ПРИ у(0=уаг, то это снижение следует рассматривать как ограничение по износу вооружения. Ограничение по физическому износу заключается в том, что зависимость механической скорости у(0 может быть аппроксимирована определенной функцией только на строго ограниченном отрезке времени о<3 <Т^ по истечении которого дальнейшее использование б\рового инструмента невозможно из-за потери его полезных свойств (износ опор долота, алмазосодержащего слоя коронки, предельно допустимого значения диаметра ПРИ и т.д.). Таким образом, на выражение проходки наложены ограничения, обусловленные, с одной стороны, функциональной зависимостью механической скорости от режимных параметров и свойств бурового инструмента и горной породы, а с другой - износом породоразрушающего инструмента Эти ограничения позволяют оптимизировать один из основных показателей процесса бурения -проходку на породоразрушающий инструмент.

В связи с изложенным предлагается представить текущее значение проходки на ПРИ произведением двух функций, одна из которых представляет ограничение по скорости бурения, другая - по износу породоразрушающего инструмента:

Ь=уо.н/ , (2)

где у= у0(Р,со, у,а ) - зависимость механической скорости бурения незатупленным ПРИ от режимных параметров р и со свойств пары ПРИ-порода забоя;

ц/=у(Р,а),а, Р, 0 - функция износа, определяемая из выражения [1]:

у=у;'/у(0ск . (3)

о

Конечное значение проходки на ПРИ, когда 1=То:

Н=УЛ, (4)

где ук=\|/(Р,со,а, р, Т^ - конечное значение функции износа;

#

Т=То(Р,о),а, Р) - время отработки породоразрушающего инструмента. Очевидно, что механическая скорость незатупленным ПРИ и время его отработки взаимосвязаны через параметры режима бурения (осевое усилие на забой скважины Р и утловую

скорость вращения инструмента со). Из выражения (3) и (4) следует, что при отработке самозатачивающегося ПРИ в качестве функции износа выступает время чистого бурения, а конечное значение проходки Н зависит только от режимных параметров и свойств пары буровой инструмент - порода забоя скважины;

Ь=>г1; (5)

Н=УТ. (6)

Из выражения (5) и (6) видно, что если на механическую скорость бурения уо и время отработки ПРИ одновременно не наложить ограничения, то проходка на породораз-рушающий инструмент не имеет экстремума.

Необходимые условия экстремума проходки можно представить следующим образом: для затупляющегося ПРИ

дЫР= 0; 1

<)Н/<)со=0; дЪ/дг= 0;

У (д\у/дР) + \у(дуо/дР)= 0; Д

vo (ду/д<й) + ц/(дуоШ)= 0; КО=0 ,

для самозатачивающегося ПРИ

дШР= 0; ^ уо (дТ/дР) + Т(дуо/дР) = 0;

<Ж/дй>=0; | => уо (дТ/да>) + Т(^о/Ло) = 0.| (8)

Из первых двух уравнений системы (7) и из системы (8) можно получить уравнения оптимали:

(д¥о/д?)(д^/да>) =(дуо/дсо) (ду/дР); (9)

(ЩдР) (#Г/д<й) =(дуо/да) (дТ/дР), ' (10)

которые являются пересечением двух ограничений (по механической скорости и износу вооружения породоразрушающего инструмента). Для механической скорости бурения •'(О, выраженной формулой Р.А.Бадалосва [1]:

40= у£ 1 + к(п-1)у-Ч), (11)

уравнение оптимали (9), так же, как и уравнение (10), не зависит от времени чистого

бурения и в плоскости режимных параметров Р,со изображает кривую, в каждой точке которой имеет место локальный оптимум проходки на ПРИ.

Подставив (11) в (1), получим зависимость проходки от времени чистого бурения:

1 +к<п-1) у^1 1)("-1*п,)-1) к"1 (п-2)"1 . (12)

С учетом (11) выражение (12) принимает вид:

Ь(уИиЧ/<У(КР) , (13)

где р=(п-2), к - коэффициент износа, по Р.А.Бадалову, К=соп$1; в дальнейшем будем считать, что К=К(Р, со), т.е. коэффициент износа является функцией режимных параметров Р и со:

К=Рсо Р1 . (14)

Выражения (2) и (6) представляют математическую модель процесса бурения общего вида Если на основании экспериментально-теоретических исследований получить для данного

типоразмера ПРИ конкретные зависимости у(Р,со,а), у(0,к(Р,<о) и То(Р,со,а, р), то их совокупность будет выражать математическую модель процесса бурения частного вида. Математическая модель, используемая для оптимизации процесса бурения, должна быть адекватна, непротиворечива и определять основные показатели с достаточной для практических целей точностью Критерием непротиворечивости математической модели процесса бурения могут служить уравнения оптимали (9) и (10). Действительно, каждой точке оптимали соответствует

локально оптимальное значение проходки; если в плоскости режимных параметров Р, со уравнению оптимали не соответствует ни одна точка, то системы уравнений (7) и (8) не имеют решения, что означает отсутствие экстремума проходки или противоречивость математической модели процесса бурения. В этом случае математическая модель не позволяет оптимизировать показатели процесса бурения, она вообще не пригодна для использования Если в результате

оптимизации процесса бурения будут получены значения режимных параметров, выходящие за кределы допустимых уровней, то применяемая модель является слишком грубой, не учитывающей полном объеме факторов, влияющих на показатели процесса бурения. Такая математическая модель может быть использована только после введения в нее дополнительных членов, уточняющих основные функциональные зависимости показателей процесса бурения от режимных параметров. В случае, когда в результате оптимизации процесса бурения будут получены мальные значения режимных параметров в зоне их допустимых уровней, но несколько ичающисся от реальных значений, математическая модель может быть улучшена за счет лнительных экспериментальных исследований по уточнению ее коэффициентов.

Проиллюстрируем высказанные положения конкретными примерами. Оптимизируем ]есс бурения глубоких скважин по проходке на ПРИ при отработке самозатачивающегося ПРИ. С этой целью примем следующую математическую модель процесса бурения частного вида:

уо=ао+2а, Р+2а,со+2а}Рсо +а4Р:+а,<о]

уТ-АР'©-' . ] (15)

Подставив выражение для у и Т в систему (8), получим:

Рду /д?= V • 1

о о >

(лХХйУл/(й=Уп,

ао+2а/о-а4Р2+а,со2= 0; ао+2а1Р+-а4Р:-а}сог= 0 .

(16)

Решением системы уравнений (16) будет:

;^ = Л/(а:+а,Р1); М<ад-а/УСад-а,') .

Из (16) следует уравнение оптнмали:

Рдуо/дР=<йдуо/(кй или ^Р+аДи^а/о+а/о2 .

(17)

Уравнение (17) в плоскости режимных параметров изображает смещенную гипербол) с

осями, параллельными осям Р и со, что доказывает непротиворечивость математической модели (15). Таким образом, математическая модель процесса бурения глубоких скважин самозатачивающимся ПРИ (15) может быть использована для оптимизации по максимуму проходки на ПРИ.

Если в математической модели (15) время полной отработки ПРИ определять по выражению Т^АР^'со"®2 , где а, и а2 - показатели степени (а,£;а2£), то система (16) не имеет решения в общем виде и определение оптимальных значений режимных параметров может быть произведено численными методами для конкретных значений коэффициентов системы (16) а и

Пример 1. Оптимизируем процесс бурения смозатачивающимся ПРИ по максимуму проходки. Математическая модель процесса бурения описывается уравнениями (6) и (15); коэффициенты модели равны: ао=-30,955; а=10"3; а,=0,5808; а,=0; а4=-10л; а,=-1,32102;

А=2,079Ч06; а1=1;аг=1. В результате решения системы (16) были получены следующие значения режимных параметров и показателей процесса бурения, оптимальных по проходке на ПРИ: Р^-7460 Н; <0^=40,4518 рад/с; у=3,7888 м/ч; Н^=26. Легко убедиться, что оптимальные значения режимных параметров принадлежат оптимали (17).

Достаточные условия экстремума проходки для математической модели процесса бурения, описываемой уравнениями (6) и (15):

аоа5-а2гХ); 0,408606 - 0,337328>0 ;

аоа4-а,?> 0. => 3,0955 1 ОМ0"*>0 .

Очевидно, что достаточные условия экстремума проходки на ПРИ для математической модели процесса бурения самозатачивающимся ПРИ выполняются.

Рассмотрим оптимизацию процесса бурения по максимуму проходки при отработке затупляющегося ПРИ; в этом случае математическая модель процесса бурения может быть представлена уравнениями (11) - (14).

Необходимые условия экстремума проходки, определяемые системой (7), могут быть представлены следующим образом: дШР= 0;

дШ=0.

ус (дуо/дР) - у (дуо/дР) = уДЬ-*) (дК/д?);

у0(ду9/да>) -у (дуо/дсо) = уоп(Ь-*) (дК/да>); у(0=0 .

(18)

Исключая время чистого бурения из первых двух уравнений системы (18), получим:

(у.-у){дуо!дР • дК/да) - дуШ • дК/дР) = 0. Последнее уравнение имеет два решения, первое: у=у^ когда 1=0 и проходка минимальна, Ь=0, второе:

ду /дР • ¿К/дсо =ду/да> ■ дК/дР ,

о о '

которое совместно с выражением (14) дает уравнение оптимали (17). Таким образом, локально

оптимальные по проходке на ПРИ значения режимных параметров Р иш как при отработке самозатачивающегося, так и при отработке затупляющегося ПРИ, принадлежат уравнению оптимали. Обратимся теперь к третьему уравнению системы (18); будем решать его совместно с выражением (11). Очевидно, что оно имеет решение только в случае, когда показатели степени в формуле Р.А.Бадалова 0=<п<1. Тогда

1=у'*/(К(1-п)) ; Н=у 2"/(К(2-п)) .

Из (18) следует, что если принять коэффициент износа независимым от режимных

параметров К(Р,а))=соп$1, то максимум проходки обеспечивается в режиме максимума механической скорости бурения, однако на практике такого соответствия экстремумов никогда не наблюдается.

Подставив третье уравнение системы (18) в первые два с учетом выражения (14), получим:

(2-п)К(дЮдР)1 ( дУо/дР)=Уо ; (2-п)К(дШо)-' (ду0/да)=у0.

(2-п)Р(<*/<)Р)=У ; (2-п)из(ду /д(й)=у

(19)

Решение системы (19) дает значения Р и со, оптимальные по проходке на ПРИ. Подставляя эти значения в выражения у^ ^ Ь, получим значения начальной механической скорости, времени чистого бурения и максимальной проходки на ПРИ. Однако решение системы (19) вызывает значительные математические трудности и возможно только численными методами для конкретного значения показателя степени п.

Таким образом, решением системы (19) при п<1 являются постоянные числа Р^, со^. Легко убедиться, что решению системы (19) также принадлежит уравнение оптимали (17). Используя ЭВМ, можно легко получить решение системы (19) итерационными методами с любой степенью точности. Для этого следует задаться значением осевого усилия Р и по уравнению

136

оптимали (17) определить значение со; для каждой полученной пары значений Р, со, определяются величины К, у и осевое усилие по выражению:

Р1'=(а,(0+а1)/-2а4 + ^Цсо, +а,)/2а4)' + у/(2(2-п)а.)

и так далее; цикл вычисления заканчивается сравнением значений Р( и Р "; если условие Р,-Р4' не выполняется, то принимается новое значение Р.,=Р- АР, и цикл повторяется.

Результаты оптимизации проходки при отработке затупляющегося бурового инструмента

п= 1; В = 210*, А-210«

Р 9460 8460 7460 6460 5460

0) 43,10213 41,62906 40,4518 39,62823 39,21073

V 4,560399 4,288838 3,788812 3,094756 2,236269

К0 0,2038738 0,1760909 0,15088 0,1279992 0,1070453

Н 14,139 15,396 15.873* 15,283 13,20557

п = 2; В = 210*, А-М0»

Р 7460 6460 6380 6360 6340

© 40.4518 39,6282 39,57395 39,56753 39.55589

V 3,788812 3,094756 3,031802 3,015902 2,995938

К0 0,15088 0,1279992 0,1262581 0,1258474 0,12539217

н 7,0439 7,305241 7,0307499 7,307516* 7,3072966

9 п = 3; В = 210'; А=210*

Р 5960 5840 5820 5800 5760

(1) 39,36629 39,31911 39,31184 39,30476 39,29109

V 2,684619 2,580418 2,56284 2,545201 2,509745

К0 0,0234623 0,0229624 0,0228795 0,02279676 0,0226317

Н 15.4078 15.4256 15,4262* 15,425$ 15,4233

Пример 2. Для коэффициентов уравнения уо(Р,со) предыдущего примера и значений

В=10°, п=0 определить оптимальные значения режимных параметров Р,со и максимальную проходку на ПРИ Решением системы (19) для данных условий будет: Р 1=8750 Н; со =42,0285

ор ор|

рад/с; у=4,3926 м/ч; Ь=26,234 м. Если взять другие значения осевого усилия и угловой скорости

вращения ПРИ, принадлежащие оптимали, Р,=9500 Н; со,=43,166 рад/с; то оптимальная проходка равна Ь=25,42 м: при Рг=8000 Н; со;=41,047 рад/с оптимум проходки равен: Ь=25,40 м. Числовой пример подтверждает наличие экстремума проходки при оптимальных и постоянных значениях осевого усилия и угловой скорости вращения в процессе отработки затупляющегося ПРИ, когда имеется ограничение по износу (времени полной отработки ПРИ).

Если третье уравнение системы (3) несправедливо, то это означает, что при бурении механическая скорость не снижается до нуля, т.е. с течением времени проходка все более увеличивается и не достигает экстремума. В этом случае ПРИ будет полностью отработан в момент времени, когда физический износ (по диаметру, высоте зуба или опоре долота) достигает .допустимого значения, и время бурения равно значению времени отработки ПРИ: 1о=То.

Рассмотрим показатель проходки на ПРИ, когда показатель степени п>=1. Если показатель степени п=1, то уравнение (11) примет вид:

w(t)=veto . (20)

Время полной отработки долота То (ограничение по износу) опр-еделяется по уравнению системы (15).

Пример 3. Для данных предыдущего примера определить максимум проходки на ПРИ для показателя степени п>=1. Расчеты производятся следующим образом: задаются значением осевого усилия Р и по уравнению оптимали (17) определяется соответствующее значение угловой

скорости вращения Для каждой пары значений Р, <ю. рассчитывается скорость бурения незатупленным ПРИ vv коэффициент износа к, время отработки Тл, конечное значение скорости бу рения и проходки на буровой инструмент h. В таблице приведены данные по расчету проходки для показателей п=2 и п=3.

Как видно из таблицы, проходка на затупляющийся ПРИ имеет экстремум (максимум) и в том случае, когда показатель степени п=1,2 и 3 и третье уравнение системы (18) не являются справедливыми.

Из выше изложенного межно сделать следующие выводы. Оптимальные по проходке на ПРИ значения режимных параметров как при отработке самозатачивающегося, так и зату пляющегося ПРИ принадлежат уравнению оптимали.

Причинами, обуславливающими наличие экстремума проходки при отработке различных типов ПРИ, являются ограничения по механической скорости и износу ПРИ, причем под ограничениями по износу подразумеваются прекращения процесса бурения в момент времени, когда величина износа достигает предельно допустимого значения. Отсутствие любого из перечисленных ограничений приводит к тому, что оптимизировать процесс бурения на максимум проходки становится невозможно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Балалов P.A. Кривая изменения механической скорости проходки и ее аналитическое выражение/Ж зв. вузов. Нефть и газ. - 1958. - №1. - С.51-55.

2. Снтников Н.Б. Использование функции износа в математической модели процесса бурения скважин //Изв. вузов. Горный журнал - 1989. - №11. - С. 57-59.

УДК 621.928.37

В.А.Ярцев, В.К.Рожнева

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА С ПЕРЕМЕННОЙ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ВИХРЯ

Дая теоретического исследования динамики закрученного потока в аппаратах центробежной классификации материалов в работе [3] предложен метод численного расчета на ЭВМ его течения по уравнению однородного винтового потока. В таком потоке напряженность вихря X постоянна для всего объема, где происходит течение. Однако экспериментальные исследования аэродинамики закрученных потоков при различных способах закрутки и различной организации течений, например в прямоточных и возвратноточных циклонах, показывают, что далеко не всегда напряженность вихря можно считать постоянной для всего объема течения.

138