CC BY
32
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 83-91 = Информатика
У 1К 517.9, 004.9
Использование систем компьютерной математики в научно-исследовательской деятельности студентов в рамках курсов по выбору
Е.В. Андропова, Т.Н. Губина
Аннотация. В статье предлагается один из подходов к развитию информационно-математической культуры студентов в рамках курсов по выбору. Рассматривается пример нахождения собственных функций задачи Бицадзе-Самарского для сильно иррегулярного дифференциального уравнения в частных производных с использованием современных систем компьютерной математики.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, граничные задачи, собственные функции, система компьютерной математики, информационно-математическая культура.
В государственном образовательном стандарте по направлению 050201 — Математика с дополнительной специальностью Информатика [1] отсутствуют основные дисциплины, которые предусматривают изучение вопросов теории граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, не излагаются вопросы, связанные с теорией линейных операторов.
Для ликвидации разрыва в вузовском и послевузовском образовании по рассматриваемому направлению предлагается серия специальных дисциплин — курсов по выбору. К ним относится и предлагаемый авторами курс по выбору «Решение спектральных задач для линейных операторов с использованием систем компьютерной математики», в рамках которого студентами решаются задачи прикладного характера. В настоящее время данный курс читается на физико-математическом факультете Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Его образовательная цель — познакомить студентов с линейными операторами, научить их находить собственные значения и собственные функции операторного уравнения, спектр линейного оператора, используя системы компьютерной математики.
Данный курс по выбору способствует формированию у студентов «стиля научного мышления» [3, с. 22], что является основой сущностного подхода
в педагогике и дидактике высшей школы. Тем самым улучшается система математической, информационной и профессионалытой подготовки. Так как «применительно к учебному процессу и к научным исследованиям основополагающее значение имеют новые информационные технологии» [2, с. 47], то для повышения уровня научно-исследовательской деятельности при решении ряда проблем, возникающих в ходе решения задач в рамках курса по выбору, мы используем современные интегрированные системы компьютерной математики.
Вопросами теории граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных занимались и занимаются многие математики: Гел-лестедт С., Дезип В.К., Корниенко В.В., Лаврентьев М.А., Ромапко A.A., Смирнов М.М., Трикоми Ф., Хасанов А.Б. и др. Существующие публикации и научные труды по данному вопросу, в основном, ориентированы па теоретическое изложение материала и, если и сопровождаются примерами решения соответствующих задач, то в них достаточно нелегко разобраться. Во многих учебных пособиях не отобраны ведущие знания и способы деятельности, методический аппарат учебников и частных методик мало направлен па организацию познавательной деятельности студентов.
Отметим, что вопросами использования систем компьютерной математики в образовательном процессе вуза занимались и занимаются многие ученые: Грамаков Д.А., Дьяконов В.П., Дьяченко С.А., Капустина Т.В., Кузнецова Л.Г., Мартиросян Л.П., Матвеева Т.А., Матросов A.B., Машаров С.И., Розов Н.Х., Саркеева A.H., Титов К.В. и др.; вопросами теории и методики обучения информатике и информатизации образования, в том числе и использованием информационных технологий в учебном процессе, — Антипов И.H., Ваграмепко Я.А., Жданов С.А., Зайпутдипова Л.Х., Кузнецов A.A., Лапчик М.П., Роберт И.В., Софропова Н.В. и др; вопросами использования систем компьютерной математики при решении дифференциальных уравнений — Голоскоков Д.П., Матросов A.B., Рындип Е.А., Abell М.L., Brasel-ton Л.Р., Сар F.F. и др.
Рассмотрим следующий подход к преподаванию в вузах темы «Решение граничной задачи па нахождение собственных функций дифференциального уравнения в частных производных» в рамках специальных дисциплин, ориентированных па последующее обучение студентов физико-математического факультета в магистратуре, используя современные средства информационных технологий.
Постановка задачи. Найти собственные функции задачи Бицадзе-Са-марского для сильно иррегулярного дифференциального уравнения
If п\ - d2u(t< х) du2(t:x)
Ij(D)u = Sgll t-^2--- + ---^2---- =/(M') (1)
в области V = Vf х Vx, где 14 = [^ь ^2]; Ух = [0, 27т], —ос <Т\ < 0 < Т2 < ос.
Здесь D = Dt х Dx, Dt, — операция дифференцирования по переменной t, Dx — операция дифференцирования по переменной х, L : Н —>■ Н,
Н = /^*2 (V ) — гильбертово пространство комплекспозпачпых функций с интегрируемым квадратом па V.
Определим граничные условия для уравнения следующим образом:
р, и(0, ж) + и(Т\, ж) = 0, д € С,
•и(72, ж) = 0, (2)
•и(£, 0) = -и(£, 27г).
Определим решение уравнения следующим образом. Обозначим п = С'(У) ПС» (\/±), где = Ц± и У4, Ц± = Ц+ и Ц", V*- = (7\, 0),
У(+ = (0,72). Под решением задачи (1), (2) будем понимать функцию и € для которой найдется последовательность функций
{•ип(£, ж)}^_, € 12, таких что выполняется условие:
Пт \\ип — и\\г^= Пт II 1;(0)ип — /II= 0. (3)
п—^оо п—> ОС
Определение решения уравнения (1) порождает замкнутый дифференциальный оператор /^ : 2 —^ /^2-
Сведем дифференциальное уравнение в частных производных (1) к обыкновенному дифференциально-операторному уравнению. Для этого будем искать функции «(£, ж) и /(£, ж) в виде:
"('• ж) = ^ /(/. ж) = ^ /Х(1)с,хх. в € А’,
где $ — множество нумерующих индексов 8.
Тогда, вычислив частные производные второго порядка функции «(£, ж) по переменным £ и ж и подставив найденные значения в исходное уравнение, придем к цепочке обыкновенных дифференциальных уравнений
щмЬО^и + /4(а‘)м = А и + /, я = 0, ±1, ±2,. .., А(в) = — в2
с условиями Бицадзе-Самарского (2).
Пусть 0% — операция дифференцирования по переменной £ € У'г, А : И, —¥ И, — линейный замкнутый неограниченный оператор, коммутирующий с 0% и действующий в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве \г. Тогда уравнение можно записать в виде
1га = sgтl Ь02и + Аи = /.
Введем обозначение: р = \/А — А, тогда А — А = р2. При этом будем полагать, что у/~р = \/\р\ егагй ^/2, —7г < ^ р < ж, р = р\ + ър^.
Наше уравнение можно переписать в виде: 1т = sgтl Ю2и = р2и + /. Учитывая, что мы ищем собственные функции задачи (1), (2), берем / = 0.
Воспользуемся системой компьютерной математики для нахождения решения уравнения:
DS olve [ { -ul 1 1 [t] zz рл2 *ul[t] , u2' 1 [t] zz/>A2*u2[t]}, {ul[t], u2[t]}, t] //FullSimplify //PowerExpand
Мы нашли два решения нашего уравнения в области t < 0 и t > 0. Выделим их. Эти решения должны согласовываться при значении t = 0. Сначала воспользуемся условием и(Т2) = 0:
1п[3]:= uG[t_] = First [Part [PowerExpand[u2 [ t ] /. 2]]]
ln[4]:= Solve [uO [0] == 0 , {С [ 3 ] , С [ 4 ] } ]
Таким образом, получили выражение константы (7[3] через константу (7[4]. Введем нормирующую константу С: (7[4] = — (7[3] = — \С. Но сначала сделаем ряд дополнительных выкладок. Для функции ul(t):
Part [First [PowerExpand[ul[ t ] /. expr ] ] , 1]*
Part[First[PowerExpand[ul[t] /. eipr]]f 2]*
Out[5]= ■eit (P1+iP£) T1 (P1+iP£) С [ 1 ] + «"“ (P1 + iP£) + i T1 CP1+iP£) С [ 2 ]
Для функции u2(t):
Part[First[PowerExpand[u2[t] /. expr]], 1]*
Part[First[PowerExpand[u2[t] /. expr]], 2]*
Exp [ -p * T2 ] * Exp [ 2 p * t ] // Expand
Out[6]= Cpl+np2)+TZ (pl+ipZ^ c [3 j + eT2 (-pl-ipZ)+t (pl+ipZ) c [4 j
Теперь воспользуемся нормирующей константой С для функции u2{t)\
1п[7]:= u2[t] = u2[t] /. {С[3] ^ 1/2 *с, С[4] -1/ 2 *с} //
Далее выполним согласование решений при t = 0: iil(0) = ii2(0). Для этого перейдем к системе двух уравнений, выполнив ряд действий:
Gut[8]= -с Cosh[T2 (pi + i р2) ] + i с Sinh [ Т2 (pi +ip2) ]
1п[9]:= eq2 = ul[ 0 ] * й + ul1 [ О ] ip // Expand // FullSimplify
Таким образом, мы пришли к системе уравнений, содержащей константу С[1]. Исключим ее
1п[10]:= Solve [ eql == eq2 , C[l|] //Full S impli £у
Сохраним значение константы под именем dl:
(i Cosh[Т2 (pi + i. р2) ] + Sinh [T2 (pi + i р2 ) ] ) J
Аналогичные действия проделаем с той целью, чтобы выделить и найти значение константы С[2]. Задаем систему уравнений следующим образом
Out[12]= с Cosh[Т2 (pi + i р2 ) ] + i с Sinh [T2 (pi + i p2) ] ln[13]:= eq4 = ul[ 0 ] * й - ul ' [ 0 ] / p if Expand // FullSimplify
Разрешим систему уравнений eq3 и eq4 относительно (7[2]
1п[14]:= Solve [eq3 == eq4 , С[2] ] // FullSimplify
(-¿Cosh[T2 (pi + p2) ] + Sinh [ T2 (pl+ip2)])Jj
Запоминаем значение константы C[2] под именем d2: ln[15]:= d2 = С [ 2 ] /. %
0ut[15]= ( — с ®T1
L 2
(-iCosh[T2 (pl + i/o2)] + Sinh[T2 (pl+ip2)])}
Подставим найденные значения констант в функцию ul(t):
1п[16]:= ul[ t ] = ul[ t] /. {С [2] -> d2, C[l] -> dl} // PowerExpand // FullSimplify
Sinh [ (i t + T2 ) (pi + i ] ) }
Таким образом, нами получено представление собственных функций задачи (1)-(2). Для достоверности полученных результатов выполним проверку найденного решения с помощью системы компьютерной математики
1п[18]:= eql = -и1 1 [t] - joA2*u[t]; eq2 = и 1 1 [t] -jt>A2*u[t];
ln[19]:= {eql /. иul // Simplify, eq2 /. и u2 // Simplify}
Собственные функции задачи представляются в виде:
Воспользуемся графическими возможностями СКМ и построим несколько найденных собственных функций. Для этого зададим конкретные значения концов отрезка Т1 и Т2, а также число р. Найдем интегральные кривые для решений и1(Ь) и и2{Ь) при трех значениях константы с:
; Т2 = 2 ; pl = 3 ; p 2 = 0;
] =ul[t] /■ {t -¥ X, с 7);
] =ul[t] /■ {t с 3};
м С И ft /■ {t с її;
] =u2[t] /■ {t -¥ X, с
] = u2 [ t /■ {t с 3};
и С Ы ft /■ {t с її;
1п[21 ]:= у11[х у12[х у13 [ х
1п[22]:= у21[х_ у22 [ х у23 [ х
Для построения собственных функций воспользуемся командой Plot и Show. Здесь функция Show позволит нам отобразить графики и решения ul(t), и решения u2(t) в одной плоскости:
1п[23]:= si : = Plot [
{у21[х], у22[х], у23[х]}, {х, О, 4}, unction -> Identity] ;
{yll[x], у12[х], у13[х]}, {х, -4, 0}
DisplayFunction-> Identity] s2 : = Plot[
DisplayFunction 4 Identity];
Show [si, s2, DisplayFunction -$■ $DisplayFunc ti on]
В работе со студентами учитываем возможности систем компьютерной математики и стараемся целесообразно применять их при решении математических задач, сводя громоздкие промежуточные выкладки к минимуму. Учитывая, что в развитии личности при обучении важнейшим компонентом является не только усвоение знаний, но и овладение процессом, способами и
средствами деятельности, строим преподавание курса по выбору таким образом, чтобы помочь студентам усовершенствовать способы их мыслительной деятельности и сформировать у них практические умения по использованию систем компьютерной математики.
Идея интеграции математики и информатики является весьма продуктивной, поскольку, с одной стороны, она дает базу для изучения этих предметов, а с другой стороны, позволяет развить информационно-математическую культуру в процессе обучения и привить навыки прикладных исследований.
Таким образом, современные информационные технологии позволяют по-новому решать проблемы организации образовательного процесса в высшей школе.
Список литературы
1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Направление 050201 — Математика с дополнительной специальностью Информатика (квалификация — учитель математики и информатики). М.: Минобрнауки РФ, 2007.
2. Педагогика и психология высшей школы: учебное пособие / Под ред. Булановой-Топорковой. Ростов на Дону: Феникс, 2006. 512 с.
3. Попков В.А., Коржуев A.B. Дидактика высшей школы: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2004. 192 с.
4. Потабенко H.A. Численные методы. Решение задач линейной алгебры и уравнений в частных производных: тексты лекций. М.: Изд-во МАИ, 1997. 88 с.
5. Abell М.L., Braselton J.P. Differential equations with Mathematica. AP PROFESSIONAL, 1993. 641 с.
6. Cap F. F. Mathematical methods in physics and engineering with Mathematica. CRC Press LLC, 2003. 339 c.
7. Gray J. W. Mastering Mathematica: programming methods and applications. AP PROFESSIONAL, 1994. 663 p.
Поступило 21.12.2008
Андропова Плена Васильевна ([email protected]), к.п.п., доцент, кафедра вычислительной математики и информатики, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина.
Губина Татьяна Николаевна ([email protected]), ст.преподаватель, кафедра вычислительной математики и информатики, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина .
Using the system of computer mathematics in scientific-research activity of the students in the context of additional courses
Y.V. Andropova, T.N. Gubina
Abstract. In the article it is posed one of the approaches to the development of the information and mathematics culture of the students in the context of additional courses. It is examined the example of the finding the true functions of the Bit.sadzer-Samarsky sum for the potent irregular differential equation in the private derivatives with the using of the modern systems of computer mathematics.
Keywords: differential equation, marginal sums, true functions, the system of computer mathematics, information and mathematics culture.
Andropova Yelena ([email protected]), candidate of pedagogical sciences, associate professor, department of computer mathematics and informatics, Yelets State University.
Gubina Tatyana ([email protected]), senior teacher, department of computer mathematics and informatics, Yelets State University.
