Научная статья на тему 'Армирование плоских конструкций по криволинейным ортогональным траекториям'

Армирование плоских конструкций по криволинейным ортогональным траекториям Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
158
63
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АРМИРОВАНИЕ / СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ / КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТРАЕКТОРИИ / REINFORCEMENT / STRUCTURAL MODEL / CURVILINEAR TRAJECTORIES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Немировский Юрий Владимирович, Фёдорова Наталья Александровна

Для определения предельных деформаций плоских конструкций с криволинейными траекториями армирования в рамках плоской задачи получены разрешающие уравнения для линейной ортотропной неоднородной задачи упругости, включая уравнение совместности деформаций, в случаях биполярной, эллиптической, параболической, гиперболической, кардиоидалъной систем координат. Детерми-натным методом исследован тип полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент тензора деформаций.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Reinforcement of planar structures along orthogonal curvilinear trajectories

The resolving equations for linear orthotropic non-homogeneous elasticity problem, including the deformation compatibility equation, are obtained in cases of bipolar, elliptic, parabolic, hyperbolic and cardioidal coordinate systems for planar constructions extreme deformations detection in the context of planar problem. The type of obtained partial differential equations system for deformations tenser components is examined using the determinantal method.

Текст научной работы на тему «Армирование плоских конструкций по криволинейным ортогональным траекториям»

УДК 539.3+539.4

АРМИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ

Ю. В. Немировский1, Н. А. Фёдорова2

1 Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, 630090 Новосибирск, ул. Институтская, 4/1.

2 Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета,

660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

E-mails: [email protected]

Для определения предельных деформаций плоских конструкций с криволинейными траекториями армирования в рамках плоской задачи получены 'разрешающие уравнения для линейной ортотропной неоднородной задачи упругости, включая уравнение совместности деформаций, в случаях биполярной, эллиптической, параболической, гиперболической, кардиоидалъной систем координат. Детерми-натным методом исследован тип полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент тензора деформаций.

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории.

1. Плоская задача армированных сред в криволинейной ортогональной системе координат. Уравнения равновесия в криволинейных координатах и, V запишутся в виде [1]

д(Н2ап) д(Нкт12) дНі дН2

-----------1-----------Ь —<712-------—&22 + піН2Фі = и,

ои ОУ ОУ ои

д{Н2(т 12) д(Нга22) дН2 дНі

-----------1-----------г —<712-------—<^22 + піН2Ф2 = I).

ои ОУ Ои ОУ

В уравнениях (1) а^(и,,у) — компоненты тензора напряжений; Фі, Ф2— кон-травариантные компоненты вектора массовой силы; Н\ = Н\(и,,у), Н2 = = Н2(и, у) —дифференциальные коэффициенты Ламе (в дальнейшем — коэффициенты Ламе), представляющие собой в общей ортогональной системе координат заданные функции координат и, у. Система записана относительно физических компонент тензоров напряжений. Связь между физическими компонентами тензора напряжений а^(и,,у) и физическими компонентами тензора деформаций е^(и,у) формулируется на основе структурной модели армированного материала [2]. В условиях термоупругого ортотропного деформирования в криволинейных ортогональных координатах она представляется такими же формулами, что и структурная модель в декартовых координатах:

2

(Tij — ^<7у ^ — 1 (^1 ("И-) "^) ^2(и, І1)), /2)

к=1

Ікі = сое (у?*;), Ік2 = віп(ірк), ке{ 1,2}.

Юрий Владимирович Немировский (д.ф.-м.н., профессор), главный научный сотрудник, лаб. физики быстропротекающих процессов. Наталья Александровна Фёдорова (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. прикладной математики и компьютерной безопасности.

В (2) напряжения в связующем находятся по формулам

= & {єн + VEjj - ас(1 + v)T), afj = ^£ц, j = 3 - і, і Є {1, 2}. (3)

Здесь ak(u, v) — напряжения в волокнах; u)k(u,v), (рк(u, v) — интенсивность и угол армирования волокон fc-того семейства; Т — температура; Е, is, ac — соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент температурного расширения связующего материала. В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями для констант: rrii = (1 — г/2) 1, т2 = = (l + v)~ , m3 = Errii, ТП4 = Ет2■ Условие постоянства сечений волокон fc-того семейства имеет вид

д д

— (H2ujkcosipk) + — (HiUJkSintpk) = 0. (4)

Если углы армирования совпадают с направлениями координатных линий, то их значения ц)\ = 0, ір2 = 7г/2, и уравнения (4) можно проинтегрировать:

, , H2(u° ,v)w$(v) , , Hi(u,v°)u%(u)

Wl(“' *') = H2(u,v) ' ^V) = '

где uJi(v), Ш2(u) — известные функции, заданные на линиях и = и0 = const, v = v° = const, удовлетворяющие условиям постоянства расхода арматуры. Общие ограничения для интенсивностей армирования задаются в виде

0 < Шк < 0,7. Интенсивность прослоек связующего изменяется в интервале

0 < Q < 1.

После выполнения ковариантного дифференцирования уравнения совместности Сен—Венана [3] и выражения символов Кристоффеля через коэффициенты Ламе получим для любой ортогональной криволинейной системы координат уравнение совместности деформаций относительно физических компонент тензора деформаций:

^ д2є22 д2єц д2є12 дєп дєп дє22 дє22

Ьі 9-----Ь Ь2 0 9---Ь 03 ---h 04—----h 05—-----h ----Ь 07 —---h

OUl OV1 OUOV OU OV OU OV

+ Cs д12 + Cg—^~ + С\оЄц + Сцє22 + С\2є\2 = 0. (5) Ou Ov

Коэффициенты Cs в уравнении (5) связаны с коэффициентами Ламе следующими зависимостями:

Ci = Hl C2 = Hl СЪ = -ШХИЪ С4 = -Н2

fi _ тт2 ( 2 дНі _ 1 дНп і 4 дН-\ \

U5 “ Нх dv Н2 dv "Т" Яі dv J’

= + с7 = -н1Ш,

и * \ Н.2 ou Hi ои 1 Н2 ou J > ' 1 ov >

/ < __ о // II ( 1 дНч _ 1 ( і/ дН.2 і і/ дН\ \

С8 — 2НіН2уН2 dv НіІІ2 уНі dv +Н2 9г) J

С, = 2Я,Я2(і^ - ¿(S.f + Н2Є£

Г — н? 9Н1 дЯ? I К 92 Нэ 9Н?, dm Я1 dH2 ЭНЛ

Ю \Hi du, du ' 1 dv2 Hi du du H2 dv dv J >

r< _ 9 (Hi dm dH2 I TT d2H2 Hi dm dH2 H2 dHi dH2 \

011 — \H2 dv dv +Я2 du2 Я2 St! St! Я1 Sm du J’

r _n( dHi dH2 . dHidH2 ,, d2Hi dHi dH2 dHi dH2

12 ^ ~r qv qv 2 dvdu, du dv dv du

_tt d2H2 , dm (Hi dm , dm\ , dmf^m ,

1 9г)9« dv у H2 du duj du у dv Hi dv j j '

На основе уравнений (1)—(5) строим систему разрешающих уравнений относительно компонент тензора деформаций. В классической плоской задаче теории упругости [4] решение строится через функцию напряжений, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению четвертого порядка. При этом вводятся ограничения на объёмные силы — это либо сила тяжести, либо объёмные силы, обладающие потенциалом. Преимущества постановки задачи в деформациях заключаются в том, что объёмные силы могут быть произвольными, а исходная разрешающая система является системой более низкого порядка (второго вместо четвёртого), что важно в дальнейшем для построения численного алгоритма при аппроксимации дифференциального оператора при построении разностной схемы. Более низкий порядок дифференциального оператора дает возможность надёжного численного счёта при наличии градиентов решений (дырки в пластине). Поэтому в работе выбрана постановка задачи в деформациях. В дальнейшем в работе при присоединении граничных условий (как статических, так и кинематических) будет показана возможность сведения условий на границе к формулировкам в деформациях.

Зададимся некоторыми криволинейными ортогональными системами координат и сформулируем в них полученное выше уравнение (5).

2. Пример биполярной системы координат. Пусть (х,у)—декартовы координаты. Будем рассматривать биполярные координаты (u,v), образующие взаимно ортогональную сетку кривых u = const, v = const. Выразим прямоугольные координаты х и у через биполярные иинс помощью конформного отображения [5]:

Параметр a = const задает координаты точек х = ±а, которые называются полюсами. Координатные линии и = щ = const представляют собой эксцентрические окружности с центрами на оси ОХ:

х + iy = a th —-—. Разделяя действительную и мнимую части, имеем

и + iv

ash-и

asmw

(6)

ch и + cos v

(x — acth-uo)2 + y2 = —g— sh uq

Координатные ЛИНИИ V = Vq = const — дуги окружностей с центрами на оси OY, проходящие через полюсы:

X2 + {у + а ctg v0)2 = —

sm2 vo

Рассматриваемая структура армирования изображена на рис. 1.

Вычислим углы армирования ср\, <р2 в биполярной системе координат. Для этого продифференцируем (7) по х: 2(ж — асЛ-ио) + 2уу'х = 0. Отсюда получим

tg <Pi = Ух = -

(х — acth-uo)

Рис. 1

и после замены по формулам (6):

sh u — cth uo (ch u + cos v)

tgLpi = —

smt)

Дифференцируя (8) по x, получим

x + (у + a ctg Vo)y'x = 0.

С учётом (6) получаем значение тангенса угла армирования второго семейства волокон:

У =

X

ashu

y + a ctg vo asinv + actgvo(chu + cos v)

= tg^2-

В уравнения структурной модели (2) входят значения квадратов синусов и косинусов углов армирования ср\, <р>2 и их произведений, находим их через полученные тангенсы по известным формулам тригонометрии. Подстановка коэффициентов Ламе, соответствующих биполярной системе координат, в (5) и дальнейшие преобразования приводят к следующему виду уравнения совместности относительно физических компонент тензора деформаций:

д2Є22 + д2Єц _ 2д2Єі2 +

sh и дєц

du2

dv2

+

sm v

дє

її

dudv ch u + cos v du ch u + cos v dv

+ 2

Sh U 0Є22

ch u + cos v du sh-u дє\2

sm v

дє22

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ch u + cos v dv

-2

smti

дє

12

ch u + cos v du

+

„ 1 + ch u cos v n 1 + ch u cos v + 2—-----------;--------^£ll + 2—----------------------ГТ7Є22 +

ch-u + cosv dv (ch-u + cosv)2

(ch-u + cos v)2 sh-usinv

7T T Y2£l2 = )

(ch u + cos v)z

3. Разрешающая система дифференциальных уравнений плоской задачи армированных сред в деформациях в криволинейной системе координат. Для

формулировки разрешающей системы в деформациях к полученному уравнению совместности деформаций добавляем два уравнения равновесия (1),

сформулированные в деформациях после подстановки в них (2), (3). Деформации в волокне находим по структурной модели [2]:

£ll^kl + £22¿fc2 + 2£i2¿fcl¿fc2 = (Ю)

В формулах (10) использованы следующие обозначения: е^ = a^T, е°к = е^ + ) ak ~ коэффициенты линейного расширения материала fc-того семейства волокон (к € {1,2}). В формулы входит напряжение в волокне, оно вычисляется по закону Гука ak = E^Sk + Е^е^, где — модуль Юнга материала fc-того семейства волокон. После преобразований с учетом условия постоянства сечений волокон (4) имеем следующий вид уравнений равновесия в деформациях:

деп , деп de22 , de22 , de 12 de 12

an —----b Я-12------------b ац—-b аы—,---------------------------b a 15———b

du dv du dv du dv

+ Fi(Hi,H2,Wi,UJ2,Lpi,Lp2,LpitU,LpitV,Lp2tULp2tV) + HiH2<S>i = 0, de 11 de и de22 de22 de 12 de12

0-21^,--b ü22~-----------b 0-23-b CÍ2A—,---------------------b d2b~,— a2&—,-b

du dv du dv du dv

+ F2(H\, H2,U)1,U)2, <pi,<p2, <Pl,u, <Pl,v,<P2,u<f2,v) + Н1Н2Ф2 = 0. (11)

Коэффициенты asr в (11) определяются следующими зависимостями:

an = H2(üm3 + Eiüüi cos4 ipi + Е2ш2 cos4 ip2), a\2 = Hi(EiU}\ sin^i cos3 ip\ + E2oj2 cos3 <p2 sin ip2), ai3 = H2(Q,vrri3 + E\0Ji cos2 ip\ sin2 ip\ + E2oj2 cos2 <p2 sin2 ip2), ai4 = Hi(EiU}\ sin3 ipi cos <p\ + E2oj2 sin3 <p2 cos ip2),

a is = 2H2{E1oj1 cos3 p>\ sint£>i + E2oj2 cos3 <p2 sin tp2),

ai6 = 2Hi(EiU}\ cos2 p>\ sin2 p>\ + E2oj2 cos2 <p2 sin2 <p2 + i/2),

a2i = H2(EiWi sin^i cos3 <pi + E2uj2 sin^2 cos3 <p2), a22 = Hi(unisü + E\Wi sin2 tpi cos2 <p\ + E2oj2 sin2 <p2 cos2 (p2),

«23 = H2(EiWi cos ip i sin3 ip i + E2uj2 cos <p2 sin3 (p2), a24 = Hi(Qm3 + Eiuji sin4 ipi + E2uj2 sin4 ip2), й25 = 2tf2(Qm4/2 + ElUi sin2 p>\ cos2 p>\ + E2oj2 cos2 <p2 sin2 tp2), o>26 = 2Hi(EiU}\ sin3 ipi cos ipi + E2oj2 sin3 ip2 cos ip2).

Найденная совокупность трех уравнений (5), (11) и представляет собой исходную разрешающую систему уравнений относительно трёх компонент тензора деформаций ец, £12, £22■

4. Тип разрешающей системы плоской задачи в деформациях в криволинейной системе координат. Полученная выше система имеет следующую особенность— дифференциальные уравнения, входящие в систему, имеют разный порядок: первое уравнение (5) содержит вторые производные от неизвестных функций, два вторых уравнения — первые производные.

Для установления типа системы и дальнейшей постановки краевой задачи применим детерминантный метод [6, 7], предварительно продифференцировав уравнения (11) по любой из независимых переменных. После дифференцирования порядок системы не меняется (максимальный порядок производной, входящей в систему второй), но система становится системой типа Коши—Ковалевской [8] и, следовательно, возможно построение характеристического определителя. Запишем полученную систему в виде

д2е ди2

д2є | л 22 д2є р = п

дидУ ду2 ’

(12)

где е = (вц, £22)^12)- Вектор Е содержит первые производные искомых неизвестных и правые части уравнений (5), (11). Коэффициентами системы (12) являются квадратные матрицы третьего порядка А11, А22, А12, они имеют такой вид:

2 А12 =

Для анализа типа систем согласно [7] построим характеристическое уравнение вида

Р( А) = ёе1(АпЛ2 + 2А12\ + А22) = 0.

После подстановки матриц А11, А12, А22 найдем корни Л характеристического уравнения

1 { о С і 0

Ап = ац «13 «15

1 \ а2\ «23 Й25

0 0 С3 \ | / с2 0 0

«12 «14 «16 1 , А22 = 0 0 0

«22 Й24 Й26 / 1 1 0 0 0

С2 Сі Л2 С3А

(ацА2 + а\2\) (аізА2 + а^А) (аібА2 + аібА) (агіА2 + а22Х) (а2 3А2 + а2^Х) (а2 5А2 + а2е\)

0.

Очевидно, что Аі = А2 = 0. Далее при анализе характеристического уравнения ограничимся случаем, когда углы армирования совпадают с направлениями координатных линий, т. е. <р\ = 0, <р2 = 7г/2. Заметим, что в каждой точке (и, у) коэффициенты Ламе равны между собой (Н\ = Н2), поскольку ортогональные системы координат вводятся аналитическими функциями комплексного переменного; следовательно, выполняются условия Коши—Ри-мана [5]. Исходный характеристический определитель упрощаем и приравниваем нулю:

1 А2 —2А

А(Отз + Е\Ш\) \Qrri3 От4 = 0. (13)

Ог/тз Ошз + Е2ш2 $1т^\

Соотношение (13) представляет собой неполное алгебраическое уравнение четвёртого порядка (биквадратное уравнение относительно А). Коэффициенты этого уравнения зависят от технических характеристик материалов связующего и арматуры, интенсивностей армирования ш\(и,у), ш2(и,у), для которых справедливо физическое ограничение 0 < и>і(и,у), ш2(и,у) < 0,7. Для широкого класса известных материалов, задавшись значениями коэффициентов Пуассона г/, модулями Юнга связующего и волокон Е, Е\, Е2 и учитывая ограничения для интенсивностей ш\(и,у), ш2(и,у), решаем биквадратное

уравнение путём замены и сведения к квадратному. При этом устанавливаем, что дискриминант квадратного уравнения строго больше нуля, а корни квадратного уравнения отрицательны. Следовательно, биквадратное уравнение (13) имеет четыре чисто мнимых попарно сопряжённых корня. Поэтому исходная система дифференциальных уравнений в частных производных (5), (11) является системой эллиптического типа [7].

Рассмотрим предельный случай: = 0, нет армирующих семейств

волокон. Тогда характеристический определитель примет вид

1-гД Ей

А2

Л Еи

—2А

Е

1-гД 1+и

1_гД 1-г^ 'Ч+и

После преобразований получим уравнение

Л4 + 2Л2 + 1 = 0.

Оно имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня (Л = ±г). Это подтверждает известный в литературе факт об эллиптичности классической задачи теории упругости изотропного тела.

5. Граничные условия на криволинейном контуре в криволинейной системе координат. Полное напряжение на наклонной площадке с ортом V представляется в виде векторной суммы Р„ = аи+ти, где = оуу — нормальное напряжение, Ту — полное касательное напряжение. Разложение Ри в плоской декартовой системе координат с ортами г, у имеет вид Р„ = Хиг + У^.

Если орт нормали V к контуру определен как вектор V = 1г + т], то орт касательной в на этой площадке в = тг —1~]. В скалярной форме напряжения на площадке с ортом V задаются соотношениями

= (Ри,й) = Хи1+ Уит, ти = (Ри,8)=Хит-Уи1. (14)

Величины 1,т — направляющие косинусы углов, которые образует V с ортами осей координат. Значения Хи, выражаем через компоненты напряжений:

Ху = и п1 + аыт, = а 121 + (т22т. (15)

Подставим (15) в (14), получим значение нормального и касательного напряжений на граничном контуре:

сги = ац12 + а22гп2 + 2а121т, ти = (ац - а22)1т + а^т2 - I2). (16)

Если векторная функция описывается в криволинейных координатах и, V, то применяют локальный базис из векторов, касательных к координатным ЛИНИЯМ либо перпендикулярных К НИМ. Функции -^==1^, -^==^1 являются направляющими косинусами орта ¿-той координатной линии по отношению к осям ОХ, ОУ. Поэтому статические граничные условия (16) на контуре Г8 при заданных рп, рТ относительно физических компонент тензора напряжений сгу преобразуем к следующему виду:

1 дх Іду 11 ду

<7п , т;—Уо22—^~—У 2<т\2 —= --------— = рп,

л/дїїди лДтди л/дйлДтду

. .1 1 дх ду / 1 /дх\2 1 /ду\2\ ^ '

(о-Ц ~(Т22)—^—^ — — +0-12 -----(^-)-------(тг) = Рт ■

л/дй л/922 ди ду \gn\duJ д22\ду) )

В (17) дц — компоненты метрического тензора. Для формулировки граничных условий в деформациях в (17) подставим выражения для напряжений через деформации по формулам (2).

Пусть на граничном контуре Гад заданы кинематические условия для перемещений щ, У,2:

иі(Ги) = «?(«), и2(Ги) = «2(5). (18)

В соотношениях (18) ии2(5) — известные функции. Дифференцируем заданные функции по формулам Коши в криволинейных координатах:

1 дщ 1 дН\ 1 ди2 1 дН2

Єи = Ж~дй + ЯіЯ2 ду и2’ = + ЖЩ~дйии

- Еі — (I Я1 9 Єі2 ~ Их ди\Н2) ЯгдгЛЯїУ’

где щ— компоненты вектора смещений. В результате получим значения для компонент тензора деформаций на рассматриваемом контуре. Когда на одной части контура заданы статические граничные условия, а на другой — кинематические, комбинируем описанные выше случаи и устанавливаем формулировку граничных условий в деформациях.

Изложенный выше подход позволил получить разрешающие системы дифференциальных уравнений для структур армирования по ортогональным траекториям, изображенным на рис. 2.

Некоторые численные решения на основе установленных систем для стук-тур армирования по параболическим, эллиптическим, гиперболическим системам координат получены в [9].

Рис. 2

6. Выводы. Для определения предельных деформаций плоских конструкций с криволинейными траекториями армирования в рамках плоской задачи на основе структурной модели в работе получены разрешающие уравнения для линейной ортотропной неоднородной задачи упругости в случаях биполярной, эллиптической, параболической, гиперболической, кардиоидальной

систем координат. Детерминатным методом исследован тип полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент тензора деформаций, поставлена краевая задача. Предложен численный алгоритм решения этой задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.: ОНТИ, 1935. — 674 с.

2. Nemirovsky Yu. V. On the elastic-plastic behaviour of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sei., 1970. — No. 12. — P. 898-903.

3. Демидов С. П. Теория упругости. — М.: Высш. шк., 1979. — 432 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. — 560 с.

5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.

6. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. - 448 с.

8. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982. — 336 с.

9. Немировский Ю. В., Кургузое В. Д. Прочность и жёсткость стеновых железобетонных панелей со сложными структурами армирования // Извест. вузов. Строительство, 2003. - №2. - С. 4-11.

Поступила в редакцию 25/VI/2010; в окончательном варианте — 20/IX/2010.

MSC: 74A40, 74K20

REINFORCEMENT OF PLANAR STRUCTURES ALONG ORTHOGONAL CURVILINEAR TRAJECTORIES

Yu. V. Nemirovsky1, N. A. Feodorova2

1 Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics,

Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences,

4/1, Institutskaya str., Novosibirsk, 660041.

2 Institute of Space and Information Technologies, Siberian Federal University,

79, Svobodny pr., Krasnoyarsk, 660074.

E-mails: ran8akadem.ru

The resolving equations for linear orthotropic non-homogeneous elasticity problem, including the deformation compatibility equation, are obtained in cases of bipolar, elliptic, parabolic, hyperbolic and, cardioidal coordinate systems for planar constructions extreme deform a tions detection in the context of planar problem. The type of obtained, partial differential equations system for deform,a,tions tenser components is examined, using the determinantal method.

Key words: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories.

Original article submitted 25/VI/2010; revision submitted 20/IX/2010.

Yuriy N. Nemirovsky (Dr. Sc. (Phys. & Math.)), Chief Scientist, Lab. of Fast Processes Physic. Nataliya A. Feodorova (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Security.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.