CC BY
62
УДК 539.3+539.4
АРМИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ
Ю. В. Немировский1, Н. А. Фёдорова2
1 Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, 630090 Новосибирск, ул. Институтская, 4/1.
2 Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета,
660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.
E-mails: ran@akadem.ru
Для определения предельных деформаций плоских конструкций с криволинейными траекториями армирования в рамках плоской задачи получены 'разрешающие уравнения для линейной ортотропной неоднородной задачи упругости, включая уравнение совместности деформаций, в случаях биполярной, эллиптической, параболической, гиперболической, кардиоидалъной систем координат. Детерми-натным методом исследован тип полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент тензора деформаций.
Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории.
1. Плоская задача армированных сред в криволинейной ортогональной системе координат. Уравнения равновесия в криволинейных координатах и, V запишутся в виде [1]
д(Н2ап) д(Нкт12) дНі дН2
-----------1-----------Ь —<712-------—&22 + піН2Фі = и,
ои ОУ ОУ ои
д{Н2(т 12) д(Нга22) дН2 дНі
-----------1-----------г —<712-------—<^22 + піН2Ф2 = I).
ои ОУ Ои ОУ
В уравнениях (1) а^(и,,у) — компоненты тензора напряжений; Фі, Ф2— кон-травариантные компоненты вектора массовой силы; Н\ = Н\(и,,у), Н2 = = Н2(и, у) —дифференциальные коэффициенты Ламе (в дальнейшем — коэффициенты Ламе), представляющие собой в общей ортогональной системе координат заданные функции координат и, у. Система записана относительно физических компонент тензоров напряжений. Связь между физическими компонентами тензора напряжений а^(и,,у) и физическими компонентами тензора деформаций е^(и,у) формулируется на основе структурной модели армированного материала [2]. В условиях термоупругого ортотропного деформирования в криволинейных ортогональных координатах она представляется такими же формулами, что и структурная модель в декартовых координатах:
2
(Tij — ^<7у ^ — 1 (^1 ("И-) "^) ^2(и, І1)), /2)
к=1
Ікі = сое (у?*;), Ік2 = віп(ірк), ке{ 1,2}.
Юрий Владимирович Немировский (д.ф.-м.н., профессор), главный научный сотрудник, лаб. физики быстропротекающих процессов. Наталья Александровна Фёдорова (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. прикладной математики и компьютерной безопасности.
В (2) напряжения в связующем находятся по формулам
= & {єн + VEjj - ас(1 + v)T), afj = ^£ц, j = 3 - і, і Є {1, 2}. (3)
Здесь ak(u, v) — напряжения в волокнах; u)k(u,v), (рк(u, v) — интенсивность и угол армирования волокон fc-того семейства; Т — температура; Е, is, ac — соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент температурного расширения связующего материала. В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями для констант: rrii = (1 — г/2) 1, т2 = = (l + v)~ , m3 = Errii, ТП4 = Ет2■ Условие постоянства сечений волокон fc-того семейства имеет вид
д д
— (H2ujkcosipk) + — (HiUJkSintpk) = 0. (4)
Если углы армирования совпадают с направлениями координатных линий, то их значения ц)\ = 0, ір2 = 7г/2, и уравнения (4) можно проинтегрировать:
, , H2(u° ,v)w$(v) , , Hi(u,v°)u%(u)
Wl(“' *') = H2(u,v) ' ^V) = '
где uJi(v), Ш2(u) — известные функции, заданные на линиях и = и0 = const, v = v° = const, удовлетворяющие условиям постоянства расхода арматуры. Общие ограничения для интенсивностей армирования задаются в виде
0 < Шк < 0,7. Интенсивность прослоек связующего изменяется в интервале
0 < Q < 1.
После выполнения ковариантного дифференцирования уравнения совместности Сен—Венана [3] и выражения символов Кристоффеля через коэффициенты Ламе получим для любой ортогональной криволинейной системы координат уравнение совместности деформаций относительно физических компонент тензора деформаций:
^ д2є22 д2єц д2є12 дєп дєп дє22 дє22
Ьі 9-----Ь Ь2 0 9---Ь 03 ---h 04—----h 05—-----h ----Ь 07 —---h
OUl OV1 OUOV OU OV OU OV
+ Cs д12 + Cg—^~ + С\оЄц + Сцє22 + С\2є\2 = 0. (5) Ou Ov
Коэффициенты Cs в уравнении (5) связаны с коэффициентами Ламе следующими зависимостями:
Ci = Hl C2 = Hl СЪ = -ШХИЪ С4 = -Н2
fi _ тт2 ( 2 дНі _ 1 дНп і 4 дН-\ \
U5 “ Нх dv Н2 dv "Т" Яі dv J’
= + с7 = -н1Ш,
и * \ Н.2 ou Hi ои 1 Н2 ou J > ' 1 ov >
/ < __ о // II ( 1 дНч _ 1 ( і/ дН.2 і і/ дН\ \
С8 — 2НіН2уН2 dv НіІІ2 уНі dv +Н2 9г) J
С, = 2Я,Я2(і^ - ¿(S.f + Н2Є£
Г — н? 9Н1 дЯ? I К 92 Нэ 9Н?, dm Я1 dH2 ЭНЛ
Ю \Hi du, du ' 1 dv2 Hi du du H2 dv dv J >
r< _ 9 (Hi dm dH2 I TT d2H2 Hi dm dH2 H2 dHi dH2 \
011 — \H2 dv dv +Я2 du2 Я2 St! St! Я1 Sm du J’
r _n( dHi dH2 . dHidH2 ,, d2Hi dHi dH2 dHi dH2
12 ^ ~r qv qv 2 dvdu, du dv dv du
_tt d2H2 , dm (Hi dm , dm\ , dmf^m ,
1 9г)9« dv у H2 du duj du у dv Hi dv j j '
На основе уравнений (1)—(5) строим систему разрешающих уравнений относительно компонент тензора деформаций. В классической плоской задаче теории упругости [4] решение строится через функцию напряжений, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению четвертого порядка. При этом вводятся ограничения на объёмные силы — это либо сила тяжести, либо объёмные силы, обладающие потенциалом. Преимущества постановки задачи в деформациях заключаются в том, что объёмные силы могут быть произвольными, а исходная разрешающая система является системой более низкого порядка (второго вместо четвёртого), что важно в дальнейшем для построения численного алгоритма при аппроксимации дифференциального оператора при построении разностной схемы. Более низкий порядок дифференциального оператора дает возможность надёжного численного счёта при наличии градиентов решений (дырки в пластине). Поэтому в работе выбрана постановка задачи в деформациях. В дальнейшем в работе при присоединении граничных условий (как статических, так и кинематических) будет показана возможность сведения условий на границе к формулировкам в деформациях.
Зададимся некоторыми криволинейными ортогональными системами координат и сформулируем в них полученное выше уравнение (5).
2. Пример биполярной системы координат. Пусть (х,у)—декартовы координаты. Будем рассматривать биполярные координаты (u,v), образующие взаимно ортогональную сетку кривых u = const, v = const. Выразим прямоугольные координаты х и у через биполярные иинс помощью конформного отображения [5]:
Параметр a = const задает координаты точек х = ±а, которые называются полюсами. Координатные линии и = щ = const представляют собой эксцентрические окружности с центрами на оси ОХ:
х + iy = a th —-—. Разделяя действительную и мнимую части, имеем
и + iv
ash-и
asmw
(6)
ch и + cos v
(x — acth-uo)2 + y2 = —g— sh uq
Координатные ЛИНИИ V = Vq = const — дуги окружностей с центрами на оси OY, проходящие через полюсы:
X2 + {у + а ctg v0)2 = —
sm2 vo
Рассматриваемая структура армирования изображена на рис. 1.
Вычислим углы армирования ср\, <р2 в биполярной системе координат. Для этого продифференцируем (7) по х: 2(ж — асЛ-ио) + 2уу'х = 0. Отсюда получим
tg <Pi = Ух = -
(х — acth-uo)
Рис. 1
и после замены по формулам (6):
sh u — cth uo (ch u + cos v)
tgLpi = —
smt)
Дифференцируя (8) по x, получим
x + (у + a ctg Vo)y'x = 0.
С учётом (6) получаем значение тангенса угла армирования второго семейства волокон:
У =
X
ashu
y + a ctg vo asinv + actgvo(chu + cos v)
= tg^2-
В уравнения структурной модели (2) входят значения квадратов синусов и косинусов углов армирования ср\, <р>2 и их произведений, находим их через полученные тангенсы по известным формулам тригонометрии. Подстановка коэффициентов Ламе, соответствующих биполярной системе координат, в (5) и дальнейшие преобразования приводят к следующему виду уравнения совместности относительно физических компонент тензора деформаций:
д2Є22 + д2Єц _ 2д2Єі2 +
sh и дєц
du2
dv2
+
sm v
дє
її
dudv ch u + cos v du ch u + cos v dv
+ 2
Sh U 0Є22
ch u + cos v du sh-u дє\2
sm v
дє22
ch u + cos v dv
-2
smti
дє
12
ch u + cos v du
+
„ 1 + ch u cos v n 1 + ch u cos v + 2—-----------;--------^£ll + 2—----------------------ГТ7Є22 +
ch-u + cosv dv (ch-u + cosv)2
(ch-u + cos v)2 sh-usinv
7T T Y2£l2 = )
(ch u + cos v)z
3. Разрешающая система дифференциальных уравнений плоской задачи армированных сред в деформациях в криволинейной системе координат. Для
формулировки разрешающей системы в деформациях к полученному уравнению совместности деформаций добавляем два уравнения равновесия (1),
сформулированные в деформациях после подстановки в них (2), (3). Деформации в волокне находим по структурной модели [2]:
£ll^kl + £22¿fc2 + 2£i2¿fcl¿fc2 = (Ю)
В формулах (10) использованы следующие обозначения: е^ = a^T, е°к = е^ + ) ak ~ коэффициенты линейного расширения материала fc-того семейства волокон (к € {1,2}). В формулы входит напряжение в волокне, оно вычисляется по закону Гука ak = E^Sk + Е^е^, где — модуль Юнга материала fc-того семейства волокон. После преобразований с учетом условия постоянства сечений волокон (4) имеем следующий вид уравнений равновесия в деформациях:
деп , деп de22 , de22 , de 12 de 12
an —----b Я-12------------b ац—-b аы—,---------------------------b a 15———b
du dv du dv du dv
+ Fi(Hi,H2,Wi,UJ2,Lpi,Lp2,LpitU,LpitV,Lp2tULp2tV) + HiH2<S>i = 0, de 11 de и de22 de22 de 12 de12
0-21^,--b ü22~-----------b 0-23-b CÍ2A—,---------------------b d2b~,— a2&—,-b
du dv du dv du dv
+ F2(H\, H2,U)1,U)2, <pi,<p2, <Pl,u, <Pl,v,<P2,u<f2,v) + Н1Н2Ф2 = 0. (11)
Коэффициенты asr в (11) определяются следующими зависимостями:
an = H2(üm3 + Eiüüi cos4 ipi + Е2ш2 cos4 ip2), a\2 = Hi(EiU}\ sin^i cos3 ip\ + E2oj2 cos3 <p2 sin ip2), ai3 = H2(Q,vrri3 + E\0Ji cos2 ip\ sin2 ip\ + E2oj2 cos2 <p2 sin2 ip2), ai4 = Hi(EiU}\ sin3 ipi cos <p\ + E2oj2 sin3 <p2 cos ip2),
a is = 2H2{E1oj1 cos3 p>\ sint£>i + E2oj2 cos3 <p2 sin tp2),
ai6 = 2Hi(EiU}\ cos2 p>\ sin2 p>\ + E2oj2 cos2 <p2 sin2 <p2 + i/2),
a2i = H2(EiWi sin^i cos3 <pi + E2uj2 sin^2 cos3 <p2), a22 = Hi(unisü + E\Wi sin2 tpi cos2 <p\ + E2oj2 sin2 <p2 cos2 (p2),
«23 = H2(EiWi cos ip i sin3 ip i + E2uj2 cos <p2 sin3 (p2), a24 = Hi(Qm3 + Eiuji sin4 ipi + E2uj2 sin4 ip2), й25 = 2tf2(Qm4/2 + ElUi sin2 p>\ cos2 p>\ + E2oj2 cos2 <p2 sin2 tp2), o>26 = 2Hi(EiU}\ sin3 ipi cos ipi + E2oj2 sin3 ip2 cos ip2).
Найденная совокупность трех уравнений (5), (11) и представляет собой исходную разрешающую систему уравнений относительно трёх компонент тензора деформаций ец, £12, £22■
4. Тип разрешающей системы плоской задачи в деформациях в криволинейной системе координат. Полученная выше система имеет следующую особенность— дифференциальные уравнения, входящие в систему, имеют разный порядок: первое уравнение (5) содержит вторые производные от неизвестных функций, два вторых уравнения — первые производные.
Для установления типа системы и дальнейшей постановки краевой задачи применим детерминантный метод [6, 7], предварительно продифференцировав уравнения (11) по любой из независимых переменных. После дифференцирования порядок системы не меняется (максимальный порядок производной, входящей в систему второй), но система становится системой типа Коши—Ковалевской [8] и, следовательно, возможно построение характеристического определителя. Запишем полученную систему в виде
д2е ди2
д2є | л 22 д2є р = п
дидУ ду2 ’
(12)
где е = (вц, £22)^12)- Вектор Е содержит первые производные искомых неизвестных и правые части уравнений (5), (11). Коэффициентами системы (12) являются квадратные матрицы третьего порядка А11, А22, А12, они имеют такой вид:
2 А12 =
Для анализа типа систем согласно [7] построим характеристическое уравнение вида
Р( А) = ёе1(АпЛ2 + 2А12\ + А22) = 0.
После подстановки матриц А11, А12, А22 найдем корни Л характеристического уравнения
1 { о С і 0
Ап = ац «13 «15
1 \ а2\ «23 Й25
0 0 С3 \ | / с2 0 0
«12 «14 «16 1 , А22 = 0 0 0
«22 Й24 Й26 / 1 1 0 0 0
С2 Сі Л2 С3А
(ацА2 + а\2\) (аізА2 + а^А) (аібА2 + аібА) (агіА2 + а22Х) (а2 3А2 + а2^Х) (а2 5А2 + а2е\)
0.
Очевидно, что Аі = А2 = 0. Далее при анализе характеристического уравнения ограничимся случаем, когда углы армирования совпадают с направлениями координатных линий, т. е. <р\ = 0, <р2 = 7г/2. Заметим, что в каждой точке (и, у) коэффициенты Ламе равны между собой (Н\ = Н2), поскольку ортогональные системы координат вводятся аналитическими функциями комплексного переменного; следовательно, выполняются условия Коши—Ри-мана [5]. Исходный характеристический определитель упрощаем и приравниваем нулю:
1 А2 —2А
А(Отз + Е\Ш\) \Qrri3 От4 = 0. (13)
Ог/тз Ошз + Е2ш2 $1т^\
Соотношение (13) представляет собой неполное алгебраическое уравнение четвёртого порядка (биквадратное уравнение относительно А). Коэффициенты этого уравнения зависят от технических характеристик материалов связующего и арматуры, интенсивностей армирования ш\(и,у), ш2(и,у), для которых справедливо физическое ограничение 0 < и>і(и,у), ш2(и,у) < 0,7. Для широкого класса известных материалов, задавшись значениями коэффициентов Пуассона г/, модулями Юнга связующего и волокон Е, Е\, Е2 и учитывая ограничения для интенсивностей ш\(и,у), ш2(и,у), решаем биквадратное
уравнение путём замены и сведения к квадратному. При этом устанавливаем, что дискриминант квадратного уравнения строго больше нуля, а корни квадратного уравнения отрицательны. Следовательно, биквадратное уравнение (13) имеет четыре чисто мнимых попарно сопряжённых корня. Поэтому исходная система дифференциальных уравнений в частных производных (5), (11) является системой эллиптического типа [7].
Рассмотрим предельный случай: = 0, нет армирующих семейств
волокон. Тогда характеристический определитель примет вид
1-гД Ей
А2
Л Еи
—2А
Е
1-гД 1+и
1_гД 1-г^ 'Ч+и
После преобразований получим уравнение
Л4 + 2Л2 + 1 = 0.
Оно имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня (Л = ±г). Это подтверждает известный в литературе факт об эллиптичности классической задачи теории упругости изотропного тела.
5. Граничные условия на криволинейном контуре в криволинейной системе координат. Полное напряжение на наклонной площадке с ортом V представляется в виде векторной суммы Р„ = аи+ти, где = оуу — нормальное напряжение, Ту — полное касательное напряжение. Разложение Ри в плоской декартовой системе координат с ортами г, у имеет вид Р„ = Хиг + У^.
Если орт нормали V к контуру определен как вектор V = 1г + т], то орт касательной в на этой площадке в = тг —1~]. В скалярной форме напряжения на площадке с ортом V задаются соотношениями
= (Ри,й) = Хи1+ Уит, ти = (Ри,8)=Хит-Уи1. (14)
Величины 1,т — направляющие косинусы углов, которые образует V с ортами осей координат. Значения Хи, выражаем через компоненты напряжений:
Ху = и п1 + аыт, = а 121 + (т22т. (15)
Подставим (15) в (14), получим значение нормального и касательного напряжений на граничном контуре:
сги = ац12 + а22гп2 + 2а121т, ти = (ац - а22)1т + а^т2 - I2). (16)
Если векторная функция описывается в криволинейных координатах и, V, то применяют локальный базис из векторов, касательных к координатным ЛИНИЯМ либо перпендикулярных К НИМ. Функции -^==1^, -^==^1 являются направляющими косинусами орта ¿-той координатной линии по отношению к осям ОХ, ОУ. Поэтому статические граничные условия (16) на контуре Г8 при заданных рп, рТ относительно физических компонент тензора напряжений сгу преобразуем к следующему виду:
1 дх Іду 11 ду
<7п , т;—Уо22—^~—У 2<т\2 —= --------— = рп,
л/дїїди лДтди л/дйлДтду
. .1 1 дх ду / 1 /дх\2 1 /ду\2\ ^ '
(о-Ц ~(Т22)—^—^ — — +0-12 -----(^-)-------(тг) = Рт ■
л/дй л/922 ди ду \gn\duJ д22\ду) )
В (17) дц — компоненты метрического тензора. Для формулировки граничных условий в деформациях в (17) подставим выражения для напряжений через деформации по формулам (2).
Пусть на граничном контуре Гад заданы кинематические условия для перемещений щ, У,2:
иі(Ги) = «?(«), и2(Ги) = «2(5). (18)
В соотношениях (18) ии2(5) — известные функции. Дифференцируем заданные функции по формулам Коши в криволинейных координатах:
1 дщ 1 дН\ 1 ди2 1 дН2
Єи = Ж~дй + ЯіЯ2 ду и2’ = + ЖЩ~дйии
- Еі — (I Я1 9 Єі2 ~ Их ди\Н2) ЯгдгЛЯїУ’
где щ— компоненты вектора смещений. В результате получим значения для компонент тензора деформаций на рассматриваемом контуре. Когда на одной части контура заданы статические граничные условия, а на другой — кинематические, комбинируем описанные выше случаи и устанавливаем формулировку граничных условий в деформациях.
Изложенный выше подход позволил получить разрешающие системы дифференциальных уравнений для структур армирования по ортогональным траекториям, изображенным на рис. 2.
Некоторые численные решения на основе установленных систем для стук-тур армирования по параболическим, эллиптическим, гиперболическим системам координат получены в [9].
Рис. 2
6. Выводы. Для определения предельных деформаций плоских конструкций с криволинейными траекториями армирования в рамках плоской задачи на основе структурной модели в работе получены разрешающие уравнения для линейной ортотропной неоднородной задачи упругости в случаях биполярной, эллиптической, параболической, гиперболической, кардиоидальной
систем координат. Детерминатным методом исследован тип полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент тензора деформаций, поставлена краевая задача. Предложен численный алгоритм решения этой задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.: ОНТИ, 1935. — 674 с.
2. Nemirovsky Yu. V. On the elastic-plastic behaviour of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sei., 1970. — No. 12. — P. 898-903.
3. Демидов С. П. Теория упругости. — М.: Высш. шк., 1979. — 432 с.
4. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. — 560 с.
5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
6. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.
7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. - 448 с.
8. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982. — 336 с.
9. Немировский Ю. В., Кургузое В. Д. Прочность и жёсткость стеновых железобетонных панелей со сложными структурами армирования // Извест. вузов. Строительство, 2003. - №2. - С. 4-11.
Поступила в редакцию 25/VI/2010; в окончательном варианте — 20/IX/2010.
MSC: 74A40, 74K20
REINFORCEMENT OF PLANAR STRUCTURES ALONG ORTHOGONAL CURVILINEAR TRAJECTORIES
Yu. V. Nemirovsky1, N. A. Feodorova2
1 Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics,
Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences,
4/1, Institutskaya str., Novosibirsk, 660041.
2 Institute of Space and Information Technologies, Siberian Federal University,
79, Svobodny pr., Krasnoyarsk, 660074.
E-mails: ran8akadem.ru
The resolving equations for linear orthotropic non-homogeneous elasticity problem, including the deformation compatibility equation, are obtained in cases of bipolar, elliptic, parabolic, hyperbolic and, cardioidal coordinate systems for planar constructions extreme deform a tions detection in the context of planar problem. The type of obtained, partial differential equations system for deform,a,tions tenser components is examined, using the determinantal method.
Key words: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories.
Original article submitted 25/VI/2010; revision submitted 20/IX/2010.
Yuriy N. Nemirovsky (Dr. Sc. (Phys. & Math.)), Chief Scientist, Lab. of Fast Processes Physic. Nataliya A. Feodorova (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Security.
