CC BY
24
16. Прохоров, В. А. Кинетика неоднородных полей деформаций при нерегулярном малоцикловом нагружении : автореф. дис. канд. техн. наук. Якутск : Ин-т физико-технических проблем Севера Якутского филиала СО АН СССР, 1984. 25 с.
17. Расчеты прочности элементов конструкций при малоцикловом нагружении: метод. указания / Н. А. Ма-хутов, А. П. Гусенков, М. М. Гаденин и др. М. : Международный центр научной и технической информации, 1987. 41 с.
18. Рост усталостных трещин в конструкционных сталях при повышенных температурах / О. А. Романов,
А. Н. Ткач, Ю. Н. Ленец и др. // Физ.-хим. механика материалов, 1986. № 2. С. 43-50.
19. Серенсен, С. В. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность / С. В. Серенсен, В. П. Кога-ев, Р. М. Шнейдерович. М. : Машиностроение, 1975. 488 с.
20. Сонина, Л. В. Оценка сопротивления малоцикловому разрушению по результатам испытаний на статическое растяжение / Л. В. Сонина, В. М. Филатов // Машиноведение, 1971. Вып. 15. С. 20-24.
21. Стрижало, В. А. Циклическая прочность и ползучесть металлов при малоцикловом нагружении в условиях низких и высоких температур / В. А. Стрижало. Киев: Наукова думка,1978. 238 с.
N. V. Nikushkin, A. V. Katsura, R. P. Vasilyev
CRITERION OF DESTRUCTION FATIGUE OF METALS AT FEW- AND MULTI-CYCLIC STRESSING
It is considered the use of the criteria equation for calculation of durability at the stage of the fatigue crack formation, based on separate calculation of damages from elastic and plastic components of deformation.
ХЦК 539.3+539.4
Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ, АРМИРОВАННЫХ ДВУМЯ СЕМЕЙСТВАМИ КРИВОЛИНЕЙНЫ1Х ВОЛОКОН
Проанализированы свойства общей системы разрешающих уравнений плоской задачи упругости для среды, армированной двумя семействами волокон, расположенных в направлениях произвольных изогональных траекторий. Предлагаемая методика позволяет исследовать краевые задачи для семейств равнонапряженных и нерастяжимых волокон с различными упругими свойствами и получать зависимости решений от выбора граничных интенсивностей армирования, формы контура, внешней нагрузки, условий равнонапряженности.
В современном авиастроении последнее десятилетие активно внедряются армированные металлокомпозитные плоские конструкции. Цо последнего времени армирование таких конструкций осуществлялось прямолинейными волокнами. Однако такая структура армирования может быть эффективной лишь в частных случаях нагружения, при которых внутренние силовые потоки преимущественно направлены вдоль траекторий армирования. Реальные конструктивные элементы работают в более сложных условиях нагружения, что требует поиска других типов армирования. В данном статье исследуется более общий случай армирования по криволинейным траекториям.
Постановка задачи. Рассмотрим плоскую задачу упругости для среды, армированной двумя семействами волокон, расположенных в направлениях произвольных изогональных траекторий. Пусть армирование выполнено волокнами постоянного поперечного сечения.
Цля описания композита используем структурную модель [1]. Модель описывается совокупностью алгебраических и дифференциальных уравнений относительно интенсивностей армирования ю, (х, у), компонент тен-
зора деформаций ztJ (x, y), деформаций в волокнах первого и второго семейства е, (x, y), напряжений в волокнах первого и второго семейства о, (x, y), осредненных напряжений OiJ (x, y), где x, y - декартовы координаты, ф, (x, y) - углы армирования, равные (i, J = 1,2).
В рамках принятых обозначений при условии постоянства поля температур T исходная система имеет вид:
(<Vk1 ),1 + (®А2 ),2 = 0 (1)
ei1lM +e22l/t2 + 2ei2lMli2 = eir, (2)
е11,22 +^22,11 = 2^12,12', (3)
где 4 = <T, е° = +£T, /и = СОБ(фк х 42 = Sin^k X
a a - коэффициенты линейного расширения материала
к — го семейства волокон (к = 1,2). Символы д , 2 означают частное дифференцирование по координатам x, y соответственно. Правая часть в (2) учитывает как случай равнодеформированных (ek = ranst, = const + ек),
так и случай нерастяжимых (ек = 0, е£ = еТ) семейств волокон и их возможные комбинации (одно семейство волокон равнодеформируемо, другое нерастяжимо).
К задаче (1)-(3) присоединим уравнения для осред-ненных напряжений (х, у). Они имеют вид
2
+ X Скю*У#, ° =1 - (ю1(X у) + ю2(X у)). (4)
к=1
В уравнении (4) напряжения в связующем находим по следующим формулам:
= (ГТ) (Ей+УЕ У-ас (1 + У)Г ^
Е
С =-----Т~ е«,(У = 3 -,,, = 12),
у (1 + у2) 4
где Е, V, ас - соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент температурного расширения связующего материала; Ек - модули Юнга к-го семейства волокон.
Уравнение (4) - это определение силы, действующей на слой композитов как суммы сил, создаваемых связующим материалом, и сил, создаваемых армирующими слоями. Осредненные напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия:
С 4,1 +С,2 = -Ь,, 0 = 1,2). (5)
2
Правые части в (5) Ь, = (Орс + ^юк рк) являются
b12
а
а
, b21
а
21, b3 = EP1, b4 = EP2.
а
а
є11 Ь2ієі2 b4, є22 Ь12єі2 + b3.
(7)
Подстановка (7) в уравнение совместности деформаций (3) дает уравнение для е12
А^12 11 + В^12 22 — 2^12 12 + С^12 2 + ^^12 + = 0, (8)
А = -Ь12, В = Ь21, С = 2Ь212, ^ = -2Ь121,
Е = -Ь12,11 + Ь21,22 , = -Ь4,22 + Ь3,11 •
Построенные уравнения позволяют выписать решения для Юк, e,J во всех четырех случаях укладки арматуры. Рассматриваем случай, когда армирование выполнено по изогональным траекториям [2], поэтому два семейства армирующих волокон задаются следующими зависимостями:
Ф1 (x, y) = a( x, y) + a0, Ф2 (x, y) = a( x, y), (9)
где a0 = const Ф 0. В дальнейшем для простоты записи a(x, y) обозначается как a. Коэффициенты при старших производных в (8) при принятых обозначениях запи-
шутся в виде
A = -
B=
sin 2^ + a,,) - sin 2a + sin 2a0 cos 2a- cos 2(a + a0), sin 2(a + a0) - sin 2a0 - sin 2a
соє(2а) - соє2(а + а )
Вычисление дискриминанта § = АВ — 1 квадратичной формы [3], соответствующей уравнению (8), дает следующий результат
2(1 — соє 2а0)2
б = -
^os 2a- cos^a + a0 ))2
компонентами массовой распределенной нагрузки по направлениям прямоугольной декартовой системы координат; pc, рк - массовые плотности материалов связующего и волокон семейства; F, - компоненты удельной распределенной нагрузки, действующей на единицу массы.
Сформулируем разрешающие системы для названных четырех случаев армирования. Для всех случаев характерен распад системы: выделяются дифференциальные уравнения (1) для определения интенсивностей Юр Ю2; компоненты тензора деформаций еп, е12, е22 удовлетворяют системе двух линейных уравнений (2), что позволяет исключить две компоненты е11, е22 и выразить их через третью е12 :
е11 СОS2(ф1) + е22 sin2(ф1) + 2е12 sin(ф1)cos(ф1) = е0, (6)
е11 cos2 (ф2 ) + е22 sin2 (ф2) + 2е12 sin(ф2) cos^2) = е2.
Введем промежуточные обозначения:
EP1 = е0 cos2 (ф2) - е2 cos2^),
EP2 = е0 sin2 (ф2) - e!J sin2 (ф1), a11 = sin2(ф1)cos2(ф2) - sin^^cos2^). a 21 = sin(2ф1) sin2 (ф2) - sin(2ф2) sin2 (ф1), a12 = sin(2ф1 )cos2 (ф2) - sin(2ф2 )cos2 (ф1),
11 11 11 11 Иснользуя нромежуточные обозначения, нолучим выражение вида
Поскольку 5< 0, уравнение (8) имеет гиперболический тип в случае укладки двух семейств волокон по изогональным траекториям. Для дифференциального уравнения второго порядка (8) находим два действительных характеристических направления, определяемых вектором (dx, dy) удовлетворяющим условию A(dx)2 + 2dxdy + B(dy )2 = 0.
dx
Относительно параметра t = — данное условие при-
dy
водит к квадратному уравнению
At2 + 2t + b = 0.
С учетом приведенных соотношений для A, B квадратное уравнение запишем в виде
(- sin 2(a + a0) cos2 a - sin 2a cos2 (a +
, + a0 ))t2 + 2(cos2 a - cos2 (a + a0 ))t +
+ sin2(a + a0)-sin2(a + a0)cos2 a- sin2a + sin2a cos2(a + a0) = 0.
Его решение дает действительные характеристические направления t1 = tg(a+a0), t2 = tga.
К системе (1)-(8) присоединим следующие граничные условия на контуре. Пусть s - параметр, определяющий контур Г, причем Г = Гp U Ги. На контуре Г задаем статические условия с нормальными и касательными усилиями pn (s), pT(s) соответственно: o11n12 +o22 n^ + 2o12n1n2 =
= Pn (s),(O22 -O11)n1n2 +O12(n12 - n22) = Pt (s). (10)
На другой части контура Гы задаем кинематические условия для перемещений мр и2 :
и1 (Г„) = u0(s),U2(ru) = u0(s). (11)
В (10)-(11) u10(s),u20(s),pn(s),pT(s) - известные функции n1 = cos p, n2 = sin в, в- угол, задающий направление внешней нормали к Г.
Поскольку OiJ находятся по формулам (4), граничные условия (10) принимают вид
k=1
ю1о1 cos2 (ф1 - в) + ю2о2 cos2 (ф2 - в) +
+ Q[a3(en +ve22-LT )cos2 в+ (12)
+a3(e22 +ve11 - L )sin2 в + a4e12 sin в cos в] = pn (s), ю1о1 sin 2(ф1 - в) + ю2о2 sin 2(ф2 - в) +
I + 0a2(е22 -£11 +v(e11 -e22))sinв +
+2Qa3e12 cos 2в = 2 pT (s).
В (12) использованы следующие обозначения для констант:
LT =ac (1 + v)T, a3 = Ea1, a4 = Ea2,
11
a, =----2, a2 =-------.
1 1 -v2 2 1 + v
Интенсивности ю1 , Ю2 задаются только на той части ГЮ контура, где волокна входят в конструкцию [4]
Ю1(Гю ) = Юl*(s), Ю2(Гю ) = Ю0(s). (13)
Общие ограничения для интенсивностей армирования задаем в виде 0 <юк <0.7, 0 = 1 -ю1 -Ю2, 0 <0<1.
Два семейства нерастяжимых волокон. Пусть армирующие волокна нерастяжимы. Тогда в (2) правая часть имеет вид = еТ и о1, 02 - становятся неизвестными
функциями. Соотношения для осредненных напряжений оп = 0a3(e11 +ve22 -LT) + 0^ cos2(ф1) + о2ю2 cos2^2),(14)
о22 = 0a3 (е22 +ve11 - LT) + о1ю1 sin2 (ф1) + о2ю2 sin2 (ф2), о12 =0a4e12 + ою1 cos(ф1)sin(ф1) + о2ю2 cos^2)sin^2), подставим в уравнения равновесия (5). Получим квазилинейную систему двух уравнений в частных производных относительно 01, 02 напряжений в волокнах первого и второго семейства. Систему представим в удобном для анализа виде
A1101,1 + A1202,1 + B1101,2 + B12 02,2 = f1(x, y, 01, 02), (15)
A2101,1 + A2202,1 + B2101,2 + B2202,2 f2 (x, y, 01, 02 ). где A11 = ю1 cos2(ф1), A12 = ю2 cos2(ф2),
B11 =ю1 cos(ф1)sin(ф1), B12 = ю2 cos^2)sin^2),
A21 = ю1 cos(ф1) sin^), A22 = ю2 cos^2) sin(ф2 ),
B21 = ю1 sin2(ф1), B22 = ю2 sin2(ф2),
f = -° (An,1 + B11,^) - 02 (A12,1 + B12,2 ) + b1 --a3 (0(е22 + veu - L )),2 - a4 (Оею )=1.
Систему (15) запишем в матричном виде A*u1 + B*u2 = f.
В (16) использованы матрицы
A* =
A„ A12
A21 A22
/
О]
u=
2о
B =
f =
B11 B12
B9I B^
vf2,
Для исследования типа системы (16) строим определитель вида
det
A
dxI
Bb dyI *
Au A12 Bu B12
A21 A22 B21 B22
dx 0 dy 0
0 dx 0 dy
(A*)-1 B* =
(16)
где / - единичная матрица второго порядка. Уравнение для характеристик системы (16) получим из условия равенства определителя нулю. Если семейства двух армирующих волокон представляют собой изогональные траектории (9), то непосредственное вычисление ёе! А устанавливает, что ёе! А* Ф 0 (ёе! А* = ю1ю2 соб асоБ(а + а°)(-Бш а)) и система (16) может быть переписана в виде
«1 + (А*)-1 В\г = (А*)-1 /. (17)
Ее тип определяют корни А, (/ = 1,2) уравнения ёеОД А*)-1 В* -А/ *) = 0.
Для рассматриваемого случая (9) вычисляем матрицу (А*)-1 В*, после преобразований с использованием формул тригонометрии, она равна
tg (а + а0) 0
0 tgа
Находим характеристические корни для вычисленной матрицы
А1 = tg (а + а0), А2 = tg а.
Они задают наклоны для характеристик, уравнение для
характеристик имеет вид — = А,- (х, у).
ёх '
Корни А1, А 2 вещественны, следовательно, система (16) в случае армирования по изогональным траекториям имеет гиперболический тип. Совокупность уравнений (16), (8), (1) - искомая разрешающая система относительно пяти неизвестных с1, С2, Юр Ю2, е12. Она распадается на уравнения относительно интенсивностей Ю1, Ю2, уравнение относительно е12 и систему относительно С1, С2 .
Например рассмотрим прямоугольную пластину, армированную двумя семействами прямолинейных нерастяжимых волокон. Пусть материал связующего пластины выполнен из алюминиевого сплава, армирование произведено семействами стальных волокон с постоян-
_ П П
ными углами армирования ф1 = —, ф2 = —.
8 4
В расчетах используем разрешающую систему (16), (8), (1) для нахождения с1, а2, е12, Ю1, Ю2 после ее обезраз-меривания. Найдем общие решения для интенсивностей
Ю1(х, у) = ^( у - х), Ю2(х, у) = ^( у + (1 -.Д)х), (18) где ^, ¥2 - произвольные функции граничных условий. На краю пластины, где волокна входят в конструкцию, зададим граничные условия (13). Графики искомых решений для интенсивностей ю1 , Ю2 изображены на рис. 1.
Рис. 1
В рассматриваемом примере уравнение для е12 представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами, его общее решение имеет вид
1,1 = іі - v2) ((£11 +v£22 L ) )1 +°1і®1/11/11),1 +іО2 Ю1/21/21),1,
є 12 = F3І-y +1,632x) + F4іy - 0,367x),
(19)
const,
О12,1 /1 , .v (^є12 )1 + О1і®1/11/12),1 + іО 2 ®2/21/22),1,
І1 -v2) E
°22,2 = ІІ-Т)
(^X^22 + v^"11 L )) 2 +О1 і^1/12/12 ),2 + іО 2 ^2/22/22),2
где Е3, ГА - произвольные из условий: в примере на части граничного контура пластина жестко закреплена Є 11 = 0, Є22 = 0. После нахождения решений (18), (19) вычислим матрицы коэффициентов системы (16). Затем определим исходные напряжения в волокнах как решения (16) с этими коэффициентами. Пусть рп = 0,8, рт = 0 . Решаем систему (16), в результате имеем
01 (х, у) = 2,46^2 (у -1,41х) + 0,27со5(у -- 2,1) - 0.23 єіп(у - 2,58) - 0.01соє(у + 0.37х) +
+0,003 бш(у -1,367) + 0,004 соє(2у -1 ’ -1,73) - 0,003 біп(2у - 2,218) - 0,399х + Е, (у-х),
о2 (х, у) = 0,005соє(2у -1,73) - 0,004єт(2у -:
- 2,22) + 0,38соє(у - 2,1) - 0,278Іп(у-2,59) --0,02со8(у + 0,37) + 0,001х + Е (у - 1,41х). Неизвестные функции ^, ¥г находим после вычисления значений напряжений в волокнах на границе пластины из (12). Строим искомые решения с помощью процедуры, составленной в системе символьной (аналитической) математики Маріє. Полученное решение для напряжений в волокнах о 2,01 представлено на рис. 2.
При вычислениях производных в комбинациях слагаемых встречаются выражения вида (юк1к1 ),1 + (®к1к2 ),2 , которые в силу (1) равны нулю. Поэтому после ввода обозначений дккфк = cosфкфкД + sinфкфк 2, уравнения равновесия (5) запишем в виде O^^cos2 ф2) + 0^^ cos ф2 sin ф2) + о1ш1(- sin ф1)д^ + (20)
E E
+^2^ sin фo)дsoФo + (1-v) (0(е11 +Ve22 - L ) )Д + =-b1’
0^(0^ cosф2 sinф2) + о2 2(ra2 sinф2) + o2ra2 cos ф0дs0ф0 +
E E
+°1ffl1 cos ф^ф + _ v2) (°(е22 +ve11 - L ) )2 + )+^(0е12)Д = -b2.
A*
Систему (20) запишем в матричном виде A u 1 + B u 2 = f.
В (21) использованы матрицы
/2
»2 cos ф2 -01^1 sin ф1 cos ф1 -02®2 sin ф2 cos ф2
ю2 cosф2 sinф2 о2ю2 cos2 ф2 +01ю1 cos2 ф1
r ■ '2 '2
ra2cos ф2 sin ф2 -o1ra1 sin ф1 - o2ra2sin ф2
ю2 sin2 ф2 о2ra2 cos ф2 sin ф2 +о1ю1 cos ф1 sin ф1
(21)
a
V У
Рис. 2
Следует подчеркнуть, что систему для определения напряжений в волокнах о1, 02 получили после вычисления е12, Ю1, Ю2 в аналитическом виде.
Построение аналитических решений для распадающихся систем позволяет поэтапно использовать их в дальнейших вычислениях в качестве известных коэффициентов разрешающих систем.
Первое семейство волокон равнодефорируемо, второе - нерастяжимо. Пусть первое семейство волокон рав-нодеформируемо (е1 = const, о1 = E1e1), второе семейство нерастяжимо (е2 = 0). Напряжение 02 во втором волокне - неизвестная функция. Построим разрешающую систему. Продифференцируем соотношения для осредненных напряжений (4) и подставим в уравнения равновесия (5):
E (1+0'
E
І1+v)
(Оє12 ) 2 + О1 ІЮі/п/2і)д ,
Далее находятся собственные числа матрицы (A* )-1 B*. Решение характеристического уравнения нриво-дит к следующему результату:
Л1 = tga,
. о1ю1 ^in a sin2 іa + a0) + cos a si^a + a0) cos^ +
Л 2 3 2 2
o2a^cos a + sin acosa) + o1ю1іcosacos ^ +
, + a0)) + о2 ю2 іsin3 a + cos a sin3 a)
+ a0) + sin a si^a + a0) cos(a + a0))
Соотношения для Л1, Л 2 ноказывают, что одна из характеристик совнадает с нанравлением армирования волокнами, а другая отклоняется от этого нанравления. Вторая характеристика онределяется не только углом армирования, как нервая, но интенсивностями ю1, Ю2 и значениями нанряжений о1, О2 в волокнах.
Совокунность уравнений (1), (8), (20) является разрешающей системой относительно неизвестных функций є12, Ю1, Ю2, ф1, ф2, О2. Если углы армирования удовлетворяют условию (9), то названная система будет замкнутой системой няти уравнений относительно няти неизвестных є12, ю1, ю2, a , о2. Полученная квазилинейная система уже не будет раснадающейся, все уравнения связаны между собой.
Введение дополнительных условий pавнoнапpяжeн-ности. Для случая армирования двумя семействами нерастяжимых волокон рассмотрим две задачи, в которых вводятся донолнительные условия равнонанряженности.
Задача І. Пусть равнонанряженно нервое из рассматриваемых волокон: о1 = const, є* = 0, єк =є*. Разрешающая система формулируется относительно неизвестных функций о2,ю1,ю2,є12, а нятой неизвестной вводится угол армирования a. Формулировка разрешающей сис-
u=
темы аналогична (1.1), (1.8), (3.1) относительно названных неизвестных функций, с той разницей, что в правой части (1.2) £k = 0 из-за условия нерастяжимости волокон.
Задача 2. Пусть равнонапряженно второе волокно о2 = const, £k = 0, е0 = е[. Разрешающая система в данном случае формулируется относительно неизвестных функций о2, fflj, Ю2, е12, а. Ее формулировка совпадает с системой (1), (8),(20), которая была получена при условии, что правая часть в (1.2) вычисляется при условии нерастяжимости волокон £k = 0.
Два равнодеформируемых семейства волокон. Пусть армирование выполнено двумя равнодеформируемыми волокнами, т. е. е1 = const, и е2 = const. Чтобы получить разрешающую систему уравнений, аналогично предыдущим пунктам, компоненты деформаций е11, е22 выражаются через е12 и уравнение совместности деформаций приводится к виду (8). Интенсивности ю1, Ю2 удовлетворяют уравнениям (2). Если углы армирования ф1, ф2 неизвестные функции, то уравнения равновесия (5) запишутся в виде
о1ю1і-sin Ф1)Э г1ф1 +о2 Ю2І-sin ф2)Э s 2ф2 + E
E
І1+ V)
(Qi
+ Ії-V (ll + V£22 - ^ ) ).1 = Ь1.
E
ных постоянных или П соответствует выбору укладки арматуры (эллипс или гипербола) и учитывается как масштабный множитель. Уравнения для интенсивностей (1) представляются в виде
«1,1 + «1,2^ёФ1 + «1 (ф,2 — Ф1Ф1,1 ) = 0,
«2,1 + «2,2^ёФ2 + «2(Ф2,2 — ^ёФ2Ф2,1^ = 0 В примере рассмотрен частный случай армирования
п
по изогональным траекториям (9): а0 = ^, т. е. случай
ортогональных траекторий. Углы армирования ф1 (х, у), ф2 (х, у) как заданные функции декартовых координат представляются зависимостями
Ф1 (х, у) = Х, ф2 (х, у) = аг^ё —У.
ух
Уравнения для интенсивностей принимают вид
/ ^ \
y
y
- ю12 + ю1
= 0.
12 ),2 + (22)
-2 x
x2 + y2
V ' J
2 2 - x2 + y2
^і x2 + y2)^
= 0..
(23)
(24)
Для (23), (24) выписываются общие решения
Ю1 = F1 (-*2 + У 2X ®2 = F2 (xy)4)~
ly2 + x'.
О1Ю1 cos Ф1Э + O2 Ю cos Ф2 Э s 2 Ф2 + (1^ (^£12 ) +
+ (1 y2) (^(£22 + V£11 — L ) ) 2 = Ь2 .
В (23) предполагалось выполненным условие равно-напряженности (о1,02 = const), если это не так, то в (23) войдут производные от известных функций о1, о2.
Система дифференциальных уравнений (1), (8), (23) содержит пять уравнений относительно пяти неизвестных функций £12, Юр Ю2, ф1, ф2. Если оба или один из углов армирования ф1, ф2 заданы как известные функции, то сформулированная система будет переопределенной и необходимо накладывать ограничения, например, на функции граничных условий, входящих в решение задачи, чтобы выполнялись уравнения равновесия. Заметим, что подробный анализ свойств решений в случае двух равнодеформируемых семейств волокон для постоянных углов армирования рассмотрен в [5].
Пример построения аналитического решения. Рассматривается два семейства равнодеформируемых волокон, выполненных из одинаковых материалов. Для расчетов использована построенная разрешающая система (1),(8),(23).С целью удобства работы в системе производится ее обезразмеривание: декартовы координаты x, у относятся к некоторому характерному линейному размеру, напряжения относятся к характерному модулю Юнга используемых материалов. Пусть волокна арматуры уложены в соответствии с конфигурацией эллиптической системы координат, т. е. представляют собой набор софокусных эллипсов и гипербол. В соответствии со способом введения эллиптической системы координат (^, п), предложенном в [7], угол армирования а как функция декартовых координат х, у находится из соотноше-xy ний tgа = — tg2п либо tgа = — tg2^. Каждый из задан-yx
гд е / , /2 - произ вольны е функции . П ере менные коэффициенты в уравнении (8) относительно компоненты деформации е12 при заданных углах армирования выражаются зависимостями
A = -
2xy
2 2
x - y
В = - A
/
C = 2
2 x
4 xy
x2 - y2 іx2 - y2)2
D = -2
x- - y 24xy 16xy*
4 x2 y
2 -2 іx2 -y2)2
E =___________'_______+_
іx2 - y2)2 іx2 - y2)3
F = 0.
Значение б = -
4 x2 y2
- -1 < 0 подтверждает, что (8)
(х2 - у2)2
при рассматриваемом способе армирования, является уравнением гиперболического типа. Решение линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами (8) представляет достаточно трудоемкую задачу в силу полного набора коэффициентов этого уравнения, зависящих от условий равнодеформируемости и механических характеристик материалов. Приведение (8) к каноническому виду осуществляется по классической схеме [8]. Находим общий интеграл характеристического обыкновенного дифференциального уравнения
а11(ёу)2 - 2а12ёхёу + а22 (ёх)2 = 0, (25)
где а11 =-2ху /(х2 - у2), а22 = 2ху /(х2 - у2), а12 =-1.
Уравнение (25) распадается на два уравнения вида
ёу а12 +л[а ёх <
a
dy
dx a 11
или после подстановки коэффициентов
йу _ - у йу _ х йх х ’ йх у Выписывается общий интеграл уравнения (25) ф(х, у) _ ух _ с, ф(х, у) _ у2 - х2 _ с. Производится замена переменных
г(^ у) _ yx, я(x, у) _ у2 - x2, (26)
где г(х, у), я(х, у) - независимые функции. После пересчета производных в уравнении (8), в новой системе координат оно примет вид
Э 2еп(>,s) 1
drds
2 r + s
9є12іг,s) 4r 9є12іг,s) 4r
dw1 іг , s) + sw1 іг , s) 3rw2 іг , s)
2r
ds
2іг + s2) dw1
r + s dw„
sіг + s ) _ 0,
можно назвать параболической) представляются следующими зависимостями:
Ю1 = F1 (s)4SF- 4Т2", Ю2 = ^2 (г)л/52 - 4г2. Осредненные напряжения вычисляются по формулам
Сі1іг,s) _— 108,396
0.5г2
- +1
- 1пі«) + c2
+ 205,747 +
+400F1 іs)
2 +
л/s2 + 4r2
+ 400F2 іг)
_ 0. (27)
дг 5 Эя 5
\ /
Далее в работе находятся формулы решений дифференциального уравнения в частных производных второго порядка (27), приведенного к каноническому виду. Средством, позволяющим выполнить поиск точного решения, является группа симметрий, преобразующая решения этого дифференциального уравнения в другие ее решения. Чтобы построить определяющие уравнения относительно изовекторов используются внешние формы Картана, множество уравнений преобразуется в эквивалентную систему дифференциальных форм [9].
Затем производится вычисление и проверка замыкания данного множества дифференциальных форм и аннулирование его в определенном списке независимых координат. Отмеченные узлы позволяют исключить части дифференциальных форм, принадлежащие идеалу.
При исполнении этого алгоритма определяются внешние производные и смешанные произведения. К сожалению, полная группа симметрий может не помочь в поиске общего решения уравнений в частных производных. Однако можно использовать группы симметрий, чтобы найти частные типы решений, которые сами являются инвариантными относительно некоторой подгруппы полной группы симметрий.
Уравнение в частных производных сводится к системе уравнений первого порядка:
Эр Эр
- ^1(г, 5) = О,-^12 - ^2(г, 5) = 0 ,
Эг Эг
С12 ІГ, s) _ 54,198c - у +1 у 54,1981nfs) + 54,198c2 + 400F Cs)r - 400F2іг)г,
г s2
C22 іг, s) _ -108,396іc1 І0.5г2----------+1) - 1n>) + c2) + 205,747 +
+400F^sy2 + 400F2 іг)
s Vs2 + 4r2
"2 2”
V
(28)
-----+—1 _ 0.
дя дг
В результате работы описанного выше алгоритма получается частное решение, где с1, с2 - произвольные константы, переменные г, я связаны с декартовыми координатами х, у формулами (26).
Через найденное решение е12(г, я) вычисляются остальные компоненты тензора деформаций Є11(г, я), Є22(г, я) в соответствии с алгебраическими соотношениями (7).
Формулы (4) позволяют найти соотношения для ос-редненных напряжений в новой системе координат-(г, я). предварительно выражаются интенсивности и углы армирования через (г, я).
Например, интенсивности армирования первого и второго семейств волокон в новой системе координат (ее
Расчеты приведены для случая, когда материал связующего - алюминий, армирование выполнено из стальных волокон. Использованы данные для механических характеристик материалов, приведенных в [10].
Осредненные напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия (5), в которых предварительно выполняется пересчет частных производных по декартовым координатам X, у от функций Ojj(r, s), a12(r, s), o22(r, s) через частные производные по r, s . Полученные таким образом два уравнения рассматриваются совместно как система обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно неизвестных функций F1 (s), F2 (r). Решение этой системы (аналитическое или численное) приводит к формулировке ограничений для интенсивностей армирования на заданном контуре с целью обеспечения физичности полученных результатов об армировании двумя семействами равнодеформируемых волокон, уложенных в заданных направлениях.
Библиографический список
1. Nemirovsky, Yu.V. On the elastic-plastic behaviour of the reinforced layer / V. Yu. Nevirovsky // Int.J. Mech. Sci 1970. Vol. 12. P. 898-903.
2. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. М. : ГИТЛ, 1953. 468с.
3. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. М. : Наука, 1981. 447с.
4. Немировский, Ю. В. О некоторых свойствах решений плоских термоупругих задач рационального армирования композитных конструкций / Ю. В. Немировский, А. П. Янковский. // Т. 61. Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 2. С. 312-321.
5. Немировский, Ю. В. Рациональное проектирование армированных конструкций / Ю. В. Немировкий, А. П. Янковский. Новосибирск : Наука, 2002. 487 с.
6. Федорова, Н. А. Решение плоской задачи упругой среды, армированной тремя семействами волокол / Н. А. Федорова. Т. 10. Вычислительные технологии. 2005. С.90-100.
7. Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М. : Наука, 1979. 560 с.
8. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М. : Наука, 1977. 735 с.
9. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М. : Мир, 1989. 635 с.
10. Композиционные материалы: справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др. М. : Машиностроение,1990. 510 с.
11. Nemirovsky, Yu.V. The mathematical analysis of permitting systems of the equations of a flat problem of the reinforsed environments / Yu. V. Nemirovsky // KORUS
- 2002. Proceeding of the 6th International Symposium on Science and Technology. Novosibirsk. NSTU. 2002. P. 195-197.
N. A. Feodorova, Yu. V. Nemirovsky
MODELLING OF DEFORMATION OF THE FLAT AVIATION DESIGNS, REINFORCED BY TWO CURVILINEAR FIBRES FAMILIES
Properties of the general resolving equations of a elasticity flat problem for a material reinforced with two families of fibres are analysed. Families offibres are located in directions of curvilinear trajectories. The offered technique allows to investigate boundary problems for families equally intense and not extensible fibres with various elastic properties. Dependences of solutions on a choice of boundary density of reinforcing, and the form of a contour are received.
УДК 629.735001.851.573
В. А. Пожиленков
РАЗРАБОТКА КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ОБРАБОТКИ ПОЛЕТНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Погрешность определения взлетной массы воздушного судна (ВС) путем обработки данных бортового самописца действующими методиками не превышает 4 %, что по заключению сертификационного комитета государственного научно-исследовательского института гражданской авиации (ГОСНИИ ГА) является приемлемым. Что касается послеполетного определения массы, с этим можно согласиться. При такой точности превышение взлетной массы ВС, угрожающее безопасности полетов, становится явным. Но для полета нужны более точные данные о массе ВС и тяге двигателей. Приемлемой на разбеге можно считать ошибку расчета длины разбега менее 200 м. Для определения массы с точностью два и менее процентов тяга должна быть известна с той же или более высокой точностью. Параметры взаимосвязаны.
Постановка задачи. Для разработки концептуальной модели рассмотрим движение и обработку информации на отдельных этапах работы разрабатываемой системы Предполагается, что система предназначена для прогнозирования полета, идентификации параметров ВС и оптимального управления полетом.
1. Послеполетная обработка. Входная информация -полетная информация на носителе бортового самописца и данные об условиях взлета и взлетной массы из паспорта полета, априорная информация о параметрах ВС и двигателей. Выходная информация - параметры ВС, в данном случае взлетная масса и взлетная тяга. Точное знание взлетной массы позволяет выявить недопустимую загрузку ВС, а также и необходимо для идентификации полета при оценке действий экипажа. Информация о взлетной тяге нужна для идентификации математической модели ВС. Параметр этот применим и для диагностики - снижение взлетной тяги может предшествовать отказу двигателя. Оценка тяги получается при мониторинге полетной информации.
2. Предполетная обработка. Входная информация -взлетная тяга по п. 1, масса ВС по данным о заправке и загрузке, метеорологические и другие условия взлета. Выходная информация - дистанции и скорости на разбе-
ге и взлете. Прогнозирование движения ВС позволит определить максимальный взлетный вес для данных условий взлета.
3. Обработка на разбеге. Входные данные - взлетная тяга по п.1, взлетная масса и условия взлета по п. 2, данные бортовых систем измерения скорости, параметров работы двигателей, температуры и давления наружного воздуха. Выходные данные - уточненная взлетная масса ВС, уточненные параметры взлета, команды для пилотирования или сообщение о невозможности взлета.
Для того, чтобы дистанция разбега не превышала расчетную более чем на 100 м, необходимо знать массу с погрешностью не более 2 % (расчет дистанций разбега и взлетных скоростей для ИЛ-76ТД с максимальной взлетной массой 190 т приведен в таблице). Расчет показывает, что уменьшение тяги на 2% дает приблизительно тот же эффект.
Начальные значения параметров определяют разгонные характеристики ВС, а последующие позволят эффективно управлять полетом. Погрешность определения текущих значений практически равна начальной в течении всего полета. Нетрудно доказать, что погрешности определения тяги и массы зависимы и примерно равны. Если бы разбег был равноускоренным, то по данным борто-
