О применении метода продолжения решения по параметру к анализу дисперсионных уравнений в системе Mathematica Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследования выполнены при поддержке РФФИ (грант 11-0100545).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Анофрикова Н. С., Вильде М. В. Низкочастотные длинноволновые приближения трёхмерных динамических уравнений для случая двухслойной вязкоупругой пластины // Вести, Самар, гос. техн. ун-та. Сер, Физ.-мат, науки, 2012, №4(29), С. 115-121.

2, Вильде М. В., Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая многослойной тонкой оболочки // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012. Т. 12, вып. 2. С. 56 - 64.

УДК 519.615

А. А. Барышев, Ю. В. Лысункина

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ К АНАЛИЗУ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ МАТНЕМАТ1СА

Анализ распространения гармонических волн в системах с дисперсией приводит к необходимости определения зависимости между частотой волны ш и волновым числом х. Эта функция задана неявно трансцендентным уравнением, которое в большинстве практически важных случаев имеет вид

Р (х,ш) = 0. (1)

Такое уравнение будем называть дисперсионным. Свойства рассматриваемых в работе систем таковы, что при частоте ш может одновременно распространяться бесконечное число волн. Под решением дисперсионного уравнения (1) будем понимать зависимость х = X (ш), либо ш = ш (х), определяющую волну, распространяющуюся с частотой ш и постоянной групповой скоростью.

Будем считать, что один из аргументов действительный, а другой, вообще говоря, комплексный. Функция Р(х, ш) - непрерывная почти всюду в области изменения своих аргументов. Конкретный вид этой функции даже в простейших задачах динамики сплошной среды является достаточно сложным для аналитического исследования. Поэтому нахождение корней (1), как правило, проводится численно [1]. Однако известные нам алгоритмы имеют существенные недостатки, связанные со значительными затратами машинного времени.

В работе предложен метод построения решения дисперсионного уравнения на основе метода продолжения решения по параметру [2]. Согласно этому методу продифференцируем исходное уравнение now, и получим следующее дифференциальное уравнение, к которому следует добавить начальное условие:

К + FX х'М = 0, хМ = Х0. (2)

Это условие определяется корнем (w0, х0) который удовлетворяет (1) и может быть найден численно в некоторой локальной области, определяемой механическим смыслом исходного уравнения. В частности, в задаче Релея^Лэмба [3] можно в качестве w0 использовать частоты запирания (хо = 0). Реализация предложенного метода решения дисперсионных уравнений достаточно удобна в пакете Wolfram Mathematica [4]. Покажем использование метода на примере дисперсионного уравнения Релея Лэмби для симметричных мод упругого слоя. Оно имеет вид:

4 sinhв 2 2 sinhа поп /ON

Y cosh а—---ах -cosh в = 0. 3

в а

Определим в системе Mathematica функцию:

2

(х2 - т) sinh (Vx2 - w2) cosh (Vx2—k^)

RLS^^ y.=- 2--

ух2 - w2

х2 (х2 — k2w2) cosh (^Vх2 — w2^ sinh (^Vх2 — k2w2^

Vx2 - k2w2

Требуемые в (2) производные подсчитаем с помощью встроенной функции D[RLS[x,w],x], где x - это w, либо х- Определим в системе необходимые функции, как результат дифференцирования командами: RLSu[ш_] = D[RLS[x, w],w]/. {х ^ xM}; RLSx[w_] = = D[RLS[x,^],x]/. {x ^ x[w]}• Начальные условия ¡x>0, xo можно определить графически путем построения графика функции F(x0,w) в случае, когда x0 ^ R либо контурной карты поверхности функции ln |F(x + iy, w0)| в случае, когда x0 £ C. Уточнение найденной графически пары ¡х>0, x0 проводится функцией системы FindRoot. Для рассмотренного уравнения примем

W0 = {0.01, п, 2п, 8.81607, 3п, 4п, 20.5708,8n},x0 = 0 при x0 ^ R, а в случае x0 £ C имеем:

x0 = {1.12537 + 2.10618i, 1.55157 + 5.35626i, 1.77554 + 8.53668i, 2.04685 + 14.8541i, 2.14189 + 18.0049i},^0 = 0,01.

Решение задачи Коши (2) осуществляется функцией М08о1уе: вЯ = ШБоке [{ЯЬЭх[ш]х'[ш] + ИГБш[ш] = 0, х[ш0] = х} , х, {ш, ш0, 27}].

Каждое решение представляет собой ветвь дисперсионной кривой, некоторые из которых представлены на рис. 1. Эти графики построены командой:

рШ = РЬ^Еуак^хМ/. ЙЯ, {ш, ш0, 27},

Рк^ат^е ^ {0,18.5}, Р1о!81у 1е ^ {ТЬкк}].

Рис. 1. Ветви дисперсионных кривых

В некоторых случаях RLSхМ обращается в нуль. Тогда на основании метода продолжения решения по параметру следует поменять параметр продолжения. Так, вторая ветвь дисперсионной кривой приведена на рис. 1,6.

Рис. 2. Графики дисперсионных кривых

Совмещая полученные кривые на одном рисунке, в плоскостях (ш, Rex) и (ш, Imx) функцией Show получаем следующую картину, представленную на рис. 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Березии, В. Л., Харитонова К. Ю. Проемотрщик решений трансцендентных уравнений и его применение в задачах волоконной оптики // Математика. Мехника.: сб. науч. трудов. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2004. Вып. 6. С. 168-170.

2, Григолюк Э. И., Шалашилип В. И. Проблемы нелинейного деформирования : метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела, М,: Наука, 1988, 231 е,

3, Кожанова Т. В., Коссович Л. Ю. Дисперсионные уравнения Релея—Лэмба : учеб, метод, пособие для студентов мех.-мат, ун-та, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1990. 18 с.

4, Wolfram Mathematics. UEL: http://www.wolfram.com/mathematica/ (дата обращения: 12.03.2013).

УДК 539.3

А. В. Иванов, С. П. Шевырёв

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЛИМФЫ В ЛИМФАТИЧЕСКИХ СОСУДАХ С УПРУГИМИ СТЕНКАМИ

В статье приведены результаты численного решения задачи, связанные с течением лимфы в сосуде с упругими стенками. Лимфатическая жидкость предполагается однородной, несжимаемой, вязкой, ньютоновской жидкостью. Решение получено в программно-аппаратном комплексе Ansys, реализующем метод конечных элементов [1]. Течение лимфы описывается системой уравнений Навье - Стокса:

dV 1

— + (V * V) V = F--gradp + pV2V, (4)

где V = JXi + §xJ + da-k? ij'jk - единичные векторы по осям х, у, z, v = (u, v, w) - вектор скорости частиц жидкости, р - плотность лимфы, р _ давление, t - время. Плотность лимфы составляет р=998 кг/м2 , коэффициент динамической вязкости равен р=0.0009Па*с. На боковой поверхности заданы условия прилипания. Основное уравнение движения стенок артерии, называемое уравнением изменения импульса, выглядит следующим образом [1]:

MU4 Си + Ku = F(t), (5)

где M - матрица масс (слагаемое Mu является инерционной составляющей в уравнении) объединяет в себе массу движущегося объема, С -матрица демпфирования (слагаемое Си представляет собой демпфирующую составляющую) - слагаемое, обусловленное трением, К - матрица жесткости, u - вектор ускоре ния, и - вектор скор ости, u - вектор перемещения узлов, F(t) - вектор внешних сил. Матрица жесткости К представляет собой математическую запись физической связи между реакциями