Массоперенос при пленочном испарении жидкого кислорода в плоском канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).

МЕХАНИКА

УДК 621.396.6.536.248.2.001

МАССОПЕРЕНОС ПРИ ПЛЕНОЧНОМ ИСПАРЕНИИ ЖИДКОГО КИСЛОРОДА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ1

© 2010 Н.И. Клюев, А.В. Мурыскин? О.Г. Лагно3

В работе представлена математическая модель испарения пленки жидкости, стекающей по плоской вертикальной стенке канала. В исследовании процесс испарения рассматривался как течение со вдувом массы.

Ключевые слова: пленочное испарение, плоский канал, течение со вдувом масс.

Если в качестве окислителя на борту ракеты-носителя используется жидкий кислород, то перед поступлением в камеру сгорания он проходит стадию газификации. Процесс превращения жидкого кислорода в газ может осуществляться через пленочное испарение жидкости на плоской стенке, схема которого показана на (рис. 1). Жидкость через щелевое отверстие 3 подается в пленку, стекающую по плоской вертикальной стенке. При подводе тепла жидкость в пленке испаряется, и газообразный кислород подается в камеру сгорания. Рассмотрим установившееся течение пара в плоском вертикальном канале испарителя при равномерном по длине и симметричном подводе тепла.

Процесс испарения соответствует течению со вдувом массы, тогда краевая задача для вязкой, несжимаемой жидкости будет иметь следующий вид (силой тяжести пренебрегаем за ее малостью):

ду ду 1 др (д2у д2 V \

ду дх р ду \ ду2 дх2) '

дт дт 1 др (д 2т

д2

ду дх р дх \ ду2 дх2 ) '

ду дт . .

ду + дх = 0 (3)

ду

х = 0, т = 0, — = 0, х = Ъ\,т = -ти, V = 0, (4)

дх

1 Работа поддержана грантом Рособразования "Разработка методов исследования гидродинамики жидкого топлива в баках перспективных РН" федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 годы". Государственнй контракт № П888.

2Клюев Николай Ильич (nikolay_klyuev@mail.ru), Мурыскин Антон Вадимович (muryskin@gmail.com), кафедра математического моделирования в механике Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

3Лагно Олег Геннадиевич (lagno.samara@mail.ru), ЦСКБ-Прогресс, 443009, Россия, г. Самара, ул. Земеца, 18.

У

0, v = 0,

где р — давление, р — плотность, V — кинематическая вязкость, — компоненты вектора скорости по оси у и г, — ширина плоского канала, ши — скорость вдува массы на вертикальной стенке.

1 — пар, 2

Рис. 1. Схема плоского испарителя: пленка жидкости, 3 — подача жидкости, 4

тепловой поток

При равномерном тепловом потоке можно считать, что скорость вдува массы зависит только от поперечной координаты г, т. е. ш = ш(г). Последнее условие позволяет свести задачу к дифференциальным уравнениям в полных производных.

д2

Продифференцируем по координате у уравнение (2), тогда получим д>гду = 0, откуда следует, что производная ддр является функцией только координаты г.

Выполним безразмерные преобразования краевой задачи, для чего введем безразмерные переменные и поперечное число Рейнольдса [1]

- У -

У = Т,z: »1

w - v и

—, v = —, Re

Wu Wu

Wubi

- , (6) Ь1 -Ши 'Ши V

где за характерный размер принимается ширина канала Ь1, а за характерную скорость — скорость вдува массы ши.

Тогда из уравнения неразрывности (3) после разделения переменных и интегрирования найдем

dw_

У + C,

dz

(7)

где C = const.

Константу интегрирования определим из граничного условия (5), откуда следует, что C = 0. Обозначим dW = W и, используя полученные соотношения, преобразуем уравнение (1) к виду

. „ (—/2 -/Л RedP

w + Re w — ww ) = —— —,

У dy'

(8)

где p = pWu — безразмерное давление, w//, w" поперечной скорости по координате z.

вторая и третья производные

Как показано ранее, производная Щ зависит только от координаты у, а функция Ш зависит от только от координаты X. Таким образом, чтобы равенство (8) имело место, необходимо левую и правую части уравнения (8) приравнять константе. Тогда можно записать

ш'" + Не (ш'2 — шй>''^ = к, (9)

- = к, (10) у ду

где к — неизвестная пока константа.

Граничные условия задачи (4) в безразмерном виде запишутся следующим образом:

X = 0,Ш = 0,^ = 0,Х = 1,Ш = — 1,ш' = 0. (11)

дх

Поэтому математическая формулировка краевой задачи в безразмерном виде будет включать в себя систему (7), (9)—(11).

Уравнение (9) представляет собой квазилинейное дифференциальное уравнение в полных производных третьего порядка с параметром в виде числа Рейнольдса. Рассмотрим решение уравнения (9) для Не ^ 1. Разделив (8) на число Не, получим сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение с малым параметром е = уе ^ 1 при старшей производной

еш''' + Ш'2 — ШШ'' = к, —1 ^ = к, (12)

У ду

где к — новая константа, а граничные условия по-прежнему имеют вид (11).

Для решения уравнения движения воспользуемся методом интегральных многообразий с выделением медленного движения на интегральном многообразии. Введем следующие обозначения:

Ш = х\, Х2 = х\ , хз = х2 (13)

и запишем систему уравнений с граничными условиями

х\ = Х2, (14)

х2 = хз, (15)

ехз' + Х22 — Х1Х3 = к, (16)

X = 0, х\ =0, хз = 0, X = 1, Х1 = — 1, Х2 = 0. (17)

Воспользуемся методом возмущения и представим Хз в виде бесконечного ряда по степеням малого параметра е

хз = ^ Ьпеп,Нп = Нп (х1,х2,х). (18)

о

Подставляя (18) в (16) и пренебрегая слагаемыми второго и выше порядка малости, найдем для нулевого приближения

х1Н0 — х2 + к = 0 (19)

и для первого приближения

dho + dho dx± + dho dx2 = ^ (20)

dz dxi dz 8x2 dz

С учетом (18) последнее уравнение перепишется

dho . dho . dho 1 , (21)

-^ZT + я— X2 + ^— ho = xihi. (21)

dz 0x1 0x2

Объединим выражения (19) и (21), тогда

xi

и приближенное решение для x3 примет вид

x2 — к 1л — kx2 ho = --,hi = 2 3 2 , (22)

x 1 x i

Перепишем систему уравнений (14)—(17)

x2 — к xо — kx2 / „ n

x3 = —-+ £ 2 3 2 . (23)

xi = x2, (24)

x2 = x3, (25)

x2 — к x3 — kx2 ч

xn = —-+ £ 2 3 2 , (26)

3

x i x i

или с оговоренной выше точностью получим

x/ _ k x/ _ kx/

= ^-к + (27)

i3

xi xi

Нулевое приближение для уравнения (27) может быть записано в виде функции

xi = Ci sinh z (28)

при к = C2, в чем можно удостовериться непосредственной подстановкой. С учетом обозначений (24) и (25) запишем

x2 = Ci cosh z, x3 = Ci sinh~z. (29)

Уточним нулевое приближение с помощью пограничной функции U3. Будем искать решение в виде

x3 = x3 + U3. (30)

Подставим (30) в уравнение (16) и сгруппируем слагаемые, содержащие U3. Тогда получим

dU3 £^=т = xiU3, dz

или с учетом (28)

eU = Ci sinh zU3. (31)

dz

Выполняя интегрирование, найдем

U3 = . (32)

C1 cosh z

i

Пограничные функции Ui и U2, уточняющие решения, определим из условий U3 = = ^ U = ^, тогда

С Ci cosh Z

U2 = C2 dz + C3, (33)

Jo

f f Ci cosh Z

Ui = C2 J J e—г— dzdz + C3dz + C4. (34)

С учетом найденных пограничных функций интегралы уравнения движения примут вид

/Г Ci cosh Z

e г dzdz + C3Z + C4, (35)

_ F C1 ch Z

x2 = Ci cosh z + C2 e г dz + C3, (36)

Jo

Ci cosh Z

x3 = Ci sinh z + C2e г , (37)

где Ci,C2,Cs,C4 — константы интегрирования, которые определяются из граничных условий (17).

1.0

075 0.5 0.25

/

г- у

0 0.25 0.5 0.75 1.0

Рис. 2. Изменение поперечной скорости в паровом потоке испарителя

Рис. 3. Изменение продольной скорости в паровом потоке испарителя y = 1

Запишем систему алгебраических уравнений

0 = C4, (38)

Ci coshZ

0 = C2e—г-, (39)

Ci cosh z

-1 = Ci sinh 1 + CW I e г dzdz + C3 + C4,

I Ci cosh z

0 = Ci cosh 1 + C2 e г dz + C3,

(41)

откуда найдем константы интегрирования = C4 = 0, Ci = 2, 718, C3 = —4,195. Тогда решение краевой задачи примет вид

w(z) = 2, 718 sinh z - 4,195z, v(z,y) = -y(2, 718 cosh z - 4,195).

Tbi

\iwu

dv

= - ~Ä=-\z=i.

dz

(42)

(43)

Перепад давления по длине канала определится выражением Ар = —3, 69у2. Трение на стенке канала вычислим в соответствии с законом Ньютона

Графики поперечной и продольной скоростей представлены на рис. 2 и 3, из которых видно, что область быстрого изменения функции в решениях отсутствует. Полученный результат совпадает с известными данными [2] для больших поперечных чисел Рейнольдса. Таким образом, представленное решение позволяет рассчитать характеристики течения в плоском канале со вдувом массы.

0

0

T=

Литература

[1] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 847 с.

[2] Клюев Н.И., Федечев А.Ф. Течение пара в зоне испарения плоской тепловой трубы при больших поперечных числах Рейнольдса // ИФЖ. 1989. Т. 57. № 2. С. 333.

Поступила в редакцию 15//V/2010; в окончательном варианте — 15//V/2010.

MASS TRANSFER IN FILM EVAPORATION OF LIQUID OXYGEN IN A PLANE CHANNEL

© 2010 N.I. Kluev, A.V. Muryskinf O.G. Lagno5

This paper presents a mathematical model of a film evaporation of a liquid flowing downward on the wall of the vertical plane channel. In this investigation the evaporation process was considered as a flow with mass injection.

Key words: film evaporation, plane channel, flow with mass injection.

Paper received 15//V/2010. Paper accepted 15//V/2010.

4Kluev Nikolay Iliich (nikolay_klyuevamail.ru), Muryskin Anton Vadimovich (muryskinagmail.com), Dept. of Mathematical Modelling of Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

5Lagno Oleg Gennadievich (lagno.samara@mail.ru), Samara Space Centre, Samara, 443009, Russia.