Исследование течения жидкой пленки на поверхности пластины при щелевом вдуве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ т ом ХХ11 199 1

№3

удк 629.7.015.3.062.4 + 532.526.011.6 : 533.6901/.72

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ ПРИ ЩЕЛЕВОМ ВДУВЕ

П. Е. Вабиков, Ю. Н. Ермак, М. А. Найда

Исследовано течение пленки жидкости, эжектируемой через щель на поверхность пластины, которая обтекается сверхзвуковым потоком вязкого теплопроводного газа. Определено влияние начальных и граничных условий на длину и форму пленки. Выполнено численное решение поставленной начально-краевой задачи.

В настоящее время особо актуальна задача защиты поверхности ЛА от тепловых потоков при полетах с большими сверхзвуковыми скоростями. Данная работа посвящена исследованию метода активной тепловой защиты, основанного на уменьшении теплового потока к поверхности пластины при испарении с этой поверхности в набегающий поток какого-либо вещества. В качестве испаряющегося вещества удобно использовать вязкую жидкость, подавая ее на поверхность пластины либо через пористую вставку, либо просто через единичную щель. Набегающий поток за счет, в общем случае, сил вязкого трения и градиента давления «размазывает» жидкость по поверхности, создавая испаряющееся теплозащитное покрытие. Из-за того, что с поверхности жидкой пленки испаряется газ (пар), отличный от газа в набегающем потоке, создается тройной теплозащитный эффект: уменьшение теплового потока вследствие испарения как вдува; вследствие отрицательного теплового потока, связанного с диффузией пара от поверхности тела; вследствие испарения как фазового превращения, требующего затрат энергии.

Перейдем теперь к конкретной физической постановке задачи. Для этого, прежде всего, скажем о двух основных требованиях, которые будут определЯТЬ масштабы характерных областей течения.

1. Поток массы испаряющегося вещества по порядку величины равен поперечному потоку массы в пограничном слое при отсутствии вдува или испарения с поверхности тела. Это требование диктуется тем, что такая интенсивность испарения позволяет уменьшить тепловой поток в своем порядке. Вдув (испарение) меньшей интенсивности не дает желаемого теплозащитного эффекта, а вдув большей интенсивности приводит к отсоединению пограничного слоя от тела и превращению его .в слой смешения между двумя невязкими потоками.

2. Длина испаряющейся пленки жидкости по порядку величины равна характерной длине пластины. Другими словами, испаряющаяся пленка должна не только уменьшать тепловой поток, но и защищать поверхность пластины на значительном расстоянии.

Выполнение этих требований достигается надлежащим подбором физических свойств испаряющейся жидкости и заданием соответствующего массового расхода жидкости через щель в пластине. Асимптотический анализ полных уравнений Навье — Стокса с учетом граничных условий и приведенных выше требований позволяет выделить две характерные области течения. Первая область — это малая окрестность точки появления жидкой пленки. Краевая задача, описывающая течение вблизи щели для случая, когда в пограничный слой вдувается тот же самый газ, что и в набегающем потоке, подробно изучалась в работах [1—3]. Поскольку теперь на поверхность пластины подается жидкость, пары которой отличны от внешней газовой среды, физическая картина течения обогащается такими процессами как испарение и диффузия. Таким образом, в настоящей работе рассматривается течение вдали от места щелевого вдува и носка пластины (вторая характерная область) с учетом указанных дополнительных эффектов. Исследуемую область оказывается удобным разделить на две подобласти, первую из которых занимает жидкая пленка, вторую — газовый пограничный слой. В дальнейшем все физические величины, определяющие течение жидкости будем обозначать индексом 1, газа — индексом 2.

Принимая во внимание требования к длине пленки и к интенсивности испарения, а также условия на границе раздела фаз (непрерывность поТоков массы, количества движения и энергии), легко сделать оценки масштабов и значений параметров течения в обеих подобластях:

Х! = х2 = х = хЛ , у1 = у1 (.2!.)'/21 Rе-]/2 , и! = й{() 1/00,

^1 = 'и-,-Е. V00Re-I|2, Т 1 = 7\Гсе,

Р1

У 2-------- У2 ^ и1------ ^2 К», ^2 —’ ^2 ^"оо Кб 7"* 2 — ^2 ^00» р2 ------------------------------------------------------------------ Р2 Роо

14 = 1*2 Р'оо , Ив :

Здесь 1 — расстояние от носка пластины до щели. Черточками сверху обозначены безразмерные переменные. Зная теперь порядки функций и независимых переменных, сформируем краевую задачу для первой подобласти. С этой целью запишем уравнения Навье — Стокса, неразрывности энергии для несжимаемой жидкости в безразмерном виде. Подставив затем в систему уравнений асимптотические представления неизвестных и сделав основанный на физических свойствах жидкости предельный переход [4],

Re -+00, -+00, (.[МЛ1'2 рг1 — 0(1), -+О,

Н-2 Р2 \ Р2 } ' ' \1'-2 Р2 / Яе ’

получим для главных членов разложения следующую систему уравнений (черта сверху над безразмерными переменными для- простоты изложения далее опускается):

д2и, "дУГ

О"

дц1 + .! = 0;

дх

ду,

* -дТ!_

1 дх

д^1 ________________________________( (1-1 Р! )

ду! \ (1-2 Р2 /

1/2 Рг-1 д27\

Рг> ТУ дух

с граничными условиями

у = 0, ^1 = 0, = 0, Г, = Тте(х) или

У1

: 8 (х), -д“!_ = "С12(£1

4 ду! (1-2

дТ!

с)у!

Т\ — Т\г {х).

Здесь — температура пластины, Т12(х) и Т1а(х) —касательное напряжение трения и температура на границе раздела фаз, 6 (х) —толщина жидкой пленки, а Рг1 — число Прандтля жидкости. Все эти параметры (за исключением температуры пластины и числа Прандтля) заранее неизвестны и определяются в процессе решения. В начальном сечении х = 1, кроме того, следует задать профиль температуры Т( 1, У1) =<р (У1), Простой вид уравнения движения позволяет получить его аналитическое решение

\1-2

^12 (*) йх

Зная скорость течения жидкости в пленке, можно получить выражение для потока массы на границе раздела фаз

(X)

;=----И ------

В дальнейшем еще потребуется связь между интегральным массовым потоком (т. е. количеством жидкости, вытекающим в единицу времени из щели) и начальной толщиной пленки. Для ее установления достаточно проинтегрировать начальный профиль скорости по поперечной координате

П- "'!2 (1) 52 (Р

4 — '12 2 ’

где Р — безразмерный массовый расход жидкости. Перейдем теперь ко второй подобласти. Из сделанных для этой подобласти оценок следует, что течение в ней описывается системой уравнений газового пограничного слоя с учетом бинарности потока:

др2 Цг + др2 (2 = о. ' дх ‘ "т- дУ2 ’

Р2 мг

дЦ2

дх

Р2 »2

дЦ2

ду2

д

Р2 «2

С+ 1

Срз

д«2). дУ2 1 '

:)т,]

“-[-(с—+1 -с) —]+»Ек (—)2 + д Т (-^7-0

Су7 + >

Ср 2

.ас

дС д / їх дС \ _

~<Ь>2 ~ дУъ ( вс ~ду7) '

Р2---------

Индекс 3 относится к парам жидкости, Ек — число Эккерта, т — молярная масса, а С — весовая доля пара.

Чтобы полностью замкнуть краевую задачу, необходимо определить переносные коэффициенты, а также начальные и граничные условия. Закон зависимости вязкости от температуры и весовых долей компонентов довольно сложен. Поэтому на практике часто пользуются эмпирическими соотношениями различной степени точности. В данном случае-применялось соотношение, предлагаемое в монографии [5]:

доля 1-го компонента. Все сказанное выше о вязкости многокомпонентной смеси относится и к вязкости каждого отдельного компонента. Так,, для воздуха использовалось степенное соотношение

где —тт-наклон прямой ^'(Т), который принимается постоянным для

данного вещества и не зависит от температуры. В данной системе уравнений не присутствуют ни коэффициент теплопроводности, ни коэффициент бинарной диффузии. Они выражаются через динамическую вязкость и соответствущие числа подобия — Рг и Sc.

Граничные условия имеют вид:

В приведенных граничных условиях функция / (х) является неизвестной. Для ее определения придется привлечь условия на границе раздела фаз [6] с учетом конкретного вида краевых задач, описывающих течение в обеих подобластях. Так, условие непрерывности потока массы при переходе через поверхность пленки дает:

Проекция на нормаль к пленке уравнения сохранения количества движения дает равенство давлений при переходе через поверхность раздела фаз, а проекция этого же уравнения на касательную — условие непрерывности касательных напряжений. Последнее соотношение уже-использовалось при постановке граничных условий для краевой задачи в первой подобласти. Система уравнений газового пограничного слоя

Здесь ц — суммарная вязкость, а ^ и С = -у--------вязкость и весовая

а для пара — линейное [4]:

У2-О, «2-О, р2^2=/(х), Р2-02 0-С)=-^-

У2 ->-00 , И = 1, Т2— 1, С — 0.

/(х)=Дх).

состоит из трех уравнений второго и одного уравнения первого порядка. Таким образом, для корректной постановки начально-краевой задачи необходимо задать семь граничных условий. Недостающее условие' выражает собой непрерывность потока энергии:

У, =0

Л^Л’/2ргГ1 дТ\ _ С1 т Срз\Н4Р2/ 1

у,=5

В приведенной системе уравнений и граничных условиях фигурируют три теплоемкости: ср з — теплоемкость пара, ср 2 — теплоемкость газа из набегающего потока и С( — теплоемкость жидкости. Теплоемкость пара, вообще говоря, неизвестна. Она определяется по теплоемкости жидкости и теплоте парообразования. При предположении,.' что в диапазоне температур от Т' до Т" теплоемкость пара остается постоянной, в [7] было получено

г" — г'

С Ср з = т'_____ т" ’

где г'— теплота парообразования при температуре Т', г" — при температуре Т". Теперь в граничных условиях осталась последняя неопределенная величина — поток массы на границе раздела фаз. Этот поток должен определяться как физическими характеристиками жидкости, так и параметрами течения в пограничном слое: тепловым потоком, температурой на поверхности пленки и т. д. В свою очередь, сам поток массы с границы раздела фаз влияет на все эти величины. Решение такой задачи можно найти в работе (8]. Выражение, полученное в этой работе, представляет собой сумму трех слагаемых, первое из которых аналогично формуле Герца — Кнудсена, а два других учитывают влияние теплового и диффузионного потоков. В безразмерном виде оно выглядит' следующим образом:

= уС =

Рз —Рз

'1.1/2Моо /2*7-1,

Ие1/2 + <х

1 дто

дС

Рг '1.-

+ В

1 2*7^ ду2 ^ Sc ду2

В этом выражении а — коэффициент испарения (вероятность того, что падающая молекула пара снова поглощается поверхностью жидкости),. рЗ — давление насыщенного пара при температуре поверхности пленки, рз — парциальное давление пара в гидродинамическом решении ос % — отношение удельных теплоемкостей газа. Конкретный вид безразмерных комплексов А и В можно найти в цитируемой работе. Здесь. важно то, что если отношение соответствующих физических параметров' газа и пара порядка единицы, то А и В имеют тот же порядок. Учитывая требование к интенсивности испарения положим (Х ~ Re-1|2 и ограничимся первым из трех слагаемых.

Для удобства численного решения поставленных краевых задач, в них был сделан ряд замен. Известно, что пограничный слой на пластине в процессе своего развития нарастает как 1х. Поэтому в системе' уравнений газового пограничного слоя (вторая подобласть) была сделана следующая замена независимых переменных:

е = Х, [А =

Константа у подбиралась таким образом, чтобы в новых переменных поместить внешнюю границу пограничного слоя (которая теперь постоянна) в единицу: у = 7,5. Такая замена позволяет избежать увеличения поперечного размера расчетной области в процессе решения. По1 .мимо этого, была сделана замена поперечной компоненты скорости:

V = «2/Г ’

.Далее, параболическая система из 4 уравнений была сведена к системе 7 уравнений первого порядка, С учетом сделанных замен она имеет свид

Р2

*■ ди2 , (,, 1 ) UD 1

И Е + Р2 [У2 - "2 гпъ) --; = 1

Р2

дц

дС

а?

Sc7 ду ’

С + 1 - с) Т2] + Р2 ■ ( V, -- + ^и2

(1)

(2)

(3)

(4)

Х

X

рг-ГО+ Ъ-СО^с. (£ _l)(l_Le)]^-

(6)

а«2 , 1 \дУ2

I 45 а? ^ т

Т7)

ии

С^+ 1

щ

дТ2 , "Ж" "Г

X

X

/Из

С /Из +1~С Р^га_Т2('!£1_1')С£)>+Гг 5с со^ _1

2

1

т3

:0; (7)

Р2 —

(с й + 1-С) Т,

Перейдем теперь к первой подобласти. Так как уравнение движения допускает аналитическое решение, то численно решалось только уравнение энергии

I

р.

" (х) V дТ 6'!:13 (х) *

1. (х)У ~дГ ■

6х

дТ^ 1 = ( (1-1 Р1 дУ1 ] \^2 Р2)

1/2 рг_1 д2 Г, .

ду(

" (х\ _ ^(6. 0)

"12 (х) - Уё ■

(8)

Решение в этой подобласти должно сшиваться на границе раздела фаз <с решением в газовом пограничном слое. Поэтому возникает необходимость совместного решения уравнения энергии (8), определяющего

распределение температуры в пленке жидкости, и системы уравнений газового пограничного слоя (1) — (7). С этой целью в уравнении (8) делается замена независимых переменных 6 = х, у = у|/6 и вводится новая функция S==T1•

Сведем теперь уравнение второго порядка (8) к двум уравнениям первого порядка

(9)

(10)

В итоге имеем систему из девяти уравнений с десятью неизвестными. Однако толщину пленки можно связать с потоком массы и напряжением трения на границе раздела фаз, а значит, получить десятое уравнение

1

Приведем, наконец, граничные условия

0.

У\ — 0, и,2 — О, Р2 V

,1/2 Л1

«“р[*£(1-т

т3

(И)

X

с

тз

С

х ■

Т12

-СО,

Р2 У2 (1 — С) = — Сй, S = Тто или SD = 0,

(г°-Р2 + 1 - ф = ((£1Р1)1'2РгГ £ да-Р2 V Т

Причем Sп в последнем выражении должно вычисляться при ^ = 1

^=1, «2=1, ^2=1, С=0, S = Гl2•

Таким образом, для девяти неизвестных задано пять граничных условий внизу и четыре вверху. Для уравнения (11) следует определить

02 (5)

комплекс ий (6, О) • при 6= 1. Сделать это легко, так как при

постановке краевой задачи в первой подобласти уже говорилось, что данный комплекс представляет собой расход жидкости через щель в пластине:

Q = +UD(1, о). .

Начальные профили неизвестных функций (при 6= 1) аппроксимируются путем решения системы девяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, полученных из общей системы в предположении, что маршевые производные в начальном сечении малы и ими можно пренебречь.

Численное решение задачи осуществлялось с помощью программы, которая предусматривала решение системы дифференциальных уравнений параболического типа. Поперечные производные аппроксимировались по схеме Келлера второго порядка, для аппроксимации продольных (маршевых) производных использовалась неявная двухслойная

т

схема Эйлера первого порядка. Шаг по поперечной координате был выбран равным 0,025; по продольной — 0,1. Чтобы точнее отследить структуру течения в малой окрестности точки полного испарения пленки, шаг по | уменьшался там в двадцать раз. Было произведено два расчета при условии изотермичности пластины и два расчета при условии ее адиабатичности. Числа подобия задачи брались такими:

Рг = О,7 * = 1,4, МОО = 5, Sc = 0,8 (--У'2 Рг-1 = 0,5, Ье = — . Прочие параметры имеют значения

С = °’2’ — = 4’ -^ = 7’ « = 0.75. ,

Результаты расчетов представлены на рис. 1—4. На рис. 1 изображена зависимость толщины пленки от продольной координаты. Кривые 1, 2 соответствуют изотермической стенке, кривые 3, 4 — адиабатической. В первом случае температура пластины равна 0,6 (кривая 1), во втором — 0,7 (кривая 2). На рис. 2 представлены те же кривые, но в окрестности точки исчезновения пленки. В качестве независимой переменной они имеют некую искусственныю величину, начинающуюся с нуля. Это объясняется тем, что данные зависимости не могут быть построены в естественной переменной вследствие резкого уменьшения шага в двадцать раз. Для адиабатической пластины характерно почти постоянное значение потока массы испаряющегося вещества с поверхности пленки, что объясняется условием непрерывности потока энергии при переходе через границу раздела фаз. Вследствие этого происходит более быстрое, по сравнению с изотермической пластиной, уменьшение толщины пленки.

Таким образом, при условии адиабатичности пластины, имеет место сильное влияние условий вверх по потоку на всю дальнейшую картину течения. Помимо этого, можно отметить практически постоянную (фактически слабоубывающую) температуру той части пластины, которая находится под защитой пленки. Данное утверждение иллюстрирует рис. 4, на котором представлена температура пластины в окрестности точки исчезновения пленки. Наконец, на рис. 3 представлено распределение тепловых потоков к пленке, а после ее полного испарения — к пластине при условии изотермичности. В данном случае речь идет не о физических тепловых потоках, а о функции Ю (|, О). В отличие от предыдущей ситуации, здесь имеет место стремление потока массы испаряющегося вещества к нулю по мере уменьшения толщины пленки. Существующие, однако, разрывы объясняются тем, что толщина пленки стремится к нулю быстрее, чем поток массы и, по причине конечного значения шага маршевой переменной, всегда будет иметь место ситуация, когда пленка исчезает, а поток массы еще нет. Однако, при уменьшении в начальном сечении потока массы испаряющегося вещества. разрывы функций стремятся к нулю. После полного испарения пленки, тепловой поток стремится к своему автомодельному значению. При Т = 0,6 (кривая 1) оно равно 1,69; при Т = 0,7 (кривая 2) — 1,66.

Экспериментальные наблюдения за такого рода пленочными течениями показывают, что при увеличении массового расхода жидкости через щель, на поверхности пленки появляются волнообразования. Характерным параметром, отвечающим за устойчивость пленки, является число Рейнольдса, построенное по массовому расходу и динамической

Рис. 4

вязкости жидкости. Если данное число много меньше единицы, то пленка является устойчивой и волн на ее поверхности не возникает. В данном случае это условие имеет вид:

^ ЯвЧ2 « 1.

1-'-1

Очевидно, оно не противоречит сделанным ранее предельным переходам. Кроме того, настоящий анализ несправедлив, если возникает явление пленочного кипения. Поэтому полученные результаты имеют смысл только тогда, когда температура на границе раздела фаз не превышает температуру кипения жидкости при данном давлении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пе т у х о в И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. — В сб.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы.—М.: Наука, 1964.

2. Л и п а т о в И. И. Теплозащита участка поверхности конечной длины при интенсивном локализованном вдуве. — Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2080.

3. S т i t h F. Т., S t е w a r t s о n К On slot injection into a supersonic laminar boundary layer. — Ргос. Roy. Soc. A, 332, London, 1973.

4. В а р т а ф т и к Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.—М.: Физматгиз, 1963.

5. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита. — М.: Энергия, 1955.

6. Ч е р н ы й Г. Г. Ламинарные движения газа и жидкости в пограничном слое с поверхностью разрыва. — Изв. АН СССР, 1954, № 12.

7. С и в у х и н Д. В. Общий курс физики. Т. 11. — М.: Наука, 1975.

8. М а к а ш е в Н. Кнудсеновский слой на телах с химическими реакциями на поверхности при наличии компонента газовой смеси, не участвующего в реакции. —Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 6.

Рукопись поступила 7/ V/ 1989 г.