Течение испаряющейся пленки по плоской вертикальной стенке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.6.536.248.2.001

ТЕЧЕНИЕ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ ПЛЕНКИ ПО ПЛОСКОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКЕ1

© 2011 Н.И. Клюев, А.В. Мурыскин, Х.И. Мингулов2

В работе представлена математическая модель пленочного испарения жидкости, стекающей под действием силы тяжести по плоской вертикальной стенке.

Ключевые слова: пленка, испарение, плоская стенка, сила тяжести.

Современные ракеты-носители в качестве топлива используют жидкий кислород и водород. Перед поступлением в камеру сгорания криогенная жидкость проходит процесс газификации. Превращение жидкости в пар осуществляется через ее испарение. Рассмотрим установившееся течение испаряющейся жидкой пленки под действием силы тяжести по плоской вертикальной стенке (рис. 1).

6 1

"1 /

v ;

/ . V

.Х- '

Рис. 1. Схема течения пленки при испарении: 5 — толщина пленки, и,у — компоненты вектора скорости, уи — скорость испарения массы

хРабота поддержана грантом Министерства образования РФ, НИР "Разработка методов исследования гидродинамики жидкого топлива в баках перспективных РН" Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 годы".

2Клюев Николай Ильич (nikolay_klyuev@mail.ru), Мурыскин Антон Вадимович (muryskin@gmail.com), Мингулов Хамзя Илясович (mmm_mechmat@ssu.samara.ru), кафедра математического моделирования в механике Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Будем рассматривать приближенную модель течения, когда скорость испарения постоянна и перпендикулярна стенке. Уравнения движения в проекции на оси х и у имеют вид

du du 1 др3 (c)2u д 2u

--+ v- = —g —--+ V3 I - + -

р дх у дх2 ду2

дх + ду

ду ду 1 дрз

+ =---я--+ V3

дх ду р ду

д2у д2у

дх2 ду2

уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

дu ду о дх ду

(1) (2)

(3)

ускорение

где р — давление, р — плотность, V — кинематическая вязкость, д свободного падения, индекс "3" — соответствует жидкости.

Очевидно, что толщина пленки 6 значительно меньше высоты стенки I, т. е. I ^ 6. Выполним оценку порядка величин отдельных слагаемых, входящих в дифференциальные уравнения (1)-(3), для чего введем безразмерные величины, учитывающие различные масштабы по координатам х и у:

Р

— х _ у _ u _ v _

х =7- ,у = — ,u = — ,v = — ,р l о uq vq

2 > PuQ

(4)

где uq, vq — масштабы скоростей по оси х и у. Подставим (4) в уравнение неразрывности (3)

uq Эй vq 8v

Тах + Тду = 0- (5)

Чтобы сохранить оба слагаемых уравнения неразрывности, необходимо приравнять их масштабы, откуда vq = |uq и, следовательно, поперечная скорость много меньше продольной vq ^ uq. Анализ масштабов в уравнении (2) показывает, что слагаемое, содержащее градиент давления, на порядок больше остальных слагаемых. Отбрасывая малые величины, получим

эт =0-

ду

С учетом сделанной оценки запишем систему уравнений для стекающей пленки по плоской вертикальной стенке

ду, дu 1 дрз

+ = —g---5--+ V3

дх ду р3 дх

д2u д2u

дх2 ду2

дрз ду

0 д^ы д^и дх ду

0.

(6)

(7)

Будем считать поверхность пленки гладкой при отсутствии межфазного трения. Тогда процесс испарения на вертикальной стенке соответствует течению жидкости с равномерным отсосом массы, и граничные условия задачи будут иметь следующий вид:

х = 0, u = v = 0,

дu

х > 0,у = 0, u = v = 0,у = S,v = vu, —— = 0,

ду

где 0(х) — толщина пленки, vu — скорость отсоса массы.

(8) (9)

Воспользуемся равенством давления в поперечном сечении для пленки жидкости и пара (рз = ), а также давлением столба пара р\ = р\дх и найдем дх = = Р1д, где индекс "1"соответствует пару. Тогда уравнение движения (1) перепишется

ди + ди /1 + р1 \ + / д 2и + д2^ (10)

дх ду \ р3) \ дх2 ду2)

Объединим (10) с уравнением неразрывности

ди2 + д (иу) /1 + рЛ + ( д 2и + д2^

дх ду \ Рз) V дх2 ду2)

и выполним осреднение слагаемых, входящих в уравнение (11), по толщине пленки [1]. Для чего проинтегрируем по у от 0 до 5, используя среднее значение продольной скорости

1 гЙ(х)

< и >= - и(х,у)Су (12)

5 ./ о

и правило Лейбница (производная от интеграла с переменными пределами)

д Г6(х) д5 [6(х) ди

— и(х,у)Су = и(х,ё)—+ -к~&у- (13)

дх о дх о дх

Откуда найдем

г3(х) ди д Г3(х) д5

ТГ^у =я~ и(х,у)с1у - и(х,5) —. (14)

о дх дх о дх

С учетом (14) интеграл от первого слагаемого уравнения (11) запишется в виде

г6(х) ду? д Г6(х) д5

"я—Су = ^ и2 Су - и2(х,5) —. (15)

о дх дх о дх

Поскольку толщина пленки достаточно мала, то вязкостные силы будут играть определяющую роль в формировании течения. В этом случае можно принять для продольной скорости квадратичный закон распределения в поперечном сечении пленки и воспользоваться выражением для скорости пленки постоянной толщины, стекающей по плоской вертикальной стенке

( ) -д(рз + Р1)52 и(у) =-

Мз

где средняя скорость стекания

у _ 1 / у42 5 2 и

3 <и>

у _ 1 / у42 5 2 и

(16)

^ ^ -д(рз + Р1)52 (17)

<и>=-5-. (17)

Для рассматриваемой задачи средняя скорость и толщина пленки являются функциями координаты х. Используя (16), выпишем следующие выражения:

т 3 <и> 2 9и2 / 2 у3 + уМ 2^) 9 <и>2 (18) и(5) = —,и = ^ - 5 + 45р) 'и (5) = -4-' (18)

[6{х) 21 6 „ ди (1 у \

I СУ =5 <и>2 5>ду =3 <и>[~5 - Т2) ^ (19) ди ди 3 < и >

ТТ =0^ = -л-. (19а)

ду у=5 дуу=0 5

С учетом (18), (19) и (19а) формула (15) примет вид

Г3(х) ди2 д (6 2 \ 9 <и>2 д6

I дх1у _ дхи<и> V —~ дХх _ 12 д<и> 21 2 д6

= Т^^<и>6 - 20 <и>2 дХ- (20)

Продолжим интегрирование слагаемых уравнения (11)

Г3{х) д(иг) З ( )й 3УИ < и > (21)

У0 _ (и")о _-2-' (21)

гКх) д (1 + у3) ¿у _ -д (1 + ^ 6' (21«)

Г3(х) д (ди\ (диУ3 3"з <и>

П ду Ш1у = Чо _ —г-■ <22>

Г3 д2и _ Г3 д (диу у _ д Г3 ди (диу д6 _

/о дх2 ,¡0 дх \дх у дх ,] о дх \дх / у=з дх

д ( д , ч дЛ (ди У д6

ю

дх удх У0 у ( )у 3 д^ у=з дх

_ д2 [3 иу д ((и) д6у (диу д6 _ дх2 ]0 дх \ у= дх) \дх) 3 дх

д2 (х ) ( ) д26 2 (ди У д6

_ дх2(6 < и >) - (и)у=3дх2 - Чдх)у=Й дх _

д2(6 < и >) 3 <и>д26 д < и > д6

дх2 2 дх2 дх дх

Используя полученные выражения (21)—(23), уравнение движения перепишется в следующем виде:

12 д<и> г 21 2 д6 3уи <и> ( р! У г

т^<и>6 - 20 <и>2 дх + -д ^ + у6-

3"з <и> + д2(6 < и >) 3"з < и > д2 6 3 д < и > д6 6 3 дх2 2 дх2 3 дх дх

Запишем закон сохранения массы, для чего проинтегрируем уравнение неразрывности (3) по у от 0 до 6. Считаем, что при у = 6 нормальная по отношению к стенке составляющая скорости равна ги, тогда получим

Г3(х) ди 1 Г3(х) , . . ¿6

ги _-10 дх(у _ -Зх]0 и1у + (и)у=3(х- (25)

Используя профиль скорости (16), из последнего уравнения следует

¿(< и > 6) 3 ¿6

и 1х 2 Зх1

или

(1 < и > 1 ¿6

ги _ + 2 <и>1х- (26)

Система уравнений (24) и (26) описывает течение испаряющейся пленки на плоской вертикальной стенке. Для решения системы требуется знать величины и

<> при х = 0. В нашем случае эти начальные условия неизвестны, поэтому будем искать приближенное решение задачи. Оценки слагаемых уравнения движения (1) показывают, что вклад вязкого члена (для 5 ^ х) vз ^хи мал, и этим членом можно пренебречь. Тогда уравнение (24) примет вид

12 С < и > 21 2 сС5 3уи <и> — 5 <и> -----<и>2 — + —

= -д (1 + ^ 5 - (27)

5 Сх 20 Сх 2

5 -

рз 5

Введем безразмерные переменные

где отсутствуют вторые производные и л х>

е = ^{/ .у» х,5 = *Д(е),<и>=(д(1+р1/р3)и(е). (28)

Vз\¡ д (1+ Р1/Рз) Уи \Уи/ 3vз

Для подстановки (28) в (26) и (27) выполним некоторые преобразования. Представим (28) в виде

е = Ах1/3,5 = ВД(е),<и>= си (е), (29)

где

Тогда

А = Уи (/ , 6vзv" ,В = ^, с =( д (1+ Р1/Рз). (30)

Vз у д (1+ Р1/Рз) Уи \Уи/ 3vз

¿е = А3 С5 = С5 се = В А3 сСД С<и> = С<и> Се = СА3 Си Сх 3е2 Сх Се Сх 3е2 Се Сх Се Сх 3е2 Се

и интегральное соотношение (24) примет вид

16Д2иСи - 7Ди2СД + 15е2(Ди + 2Д2 + 2и) = 0. (31)

Се Се

Подстановка безразмерных переменных в уравнение сохранения массы (26) дает второе дифференциальное уравнение

2ДСи - иЩ + 3е2 = °. <32>

В общем случае система уравнений (31) и (32) может быть проинтегрирована численно. Для этого она преобразуется к стандартной форме

Си е2 е2 е2

Се =3Д -15 и - 15Д, (33)

сд е2 е2д е2

СД=9и -30Ц - »Ди, <34)

с начальными условиями

е = 0: и = Д = 0. (35)

Для расчета рассматривалась испаряющаяся водяная пленка при температуре £ = 80°С, стекающая по плоской вертикальной стенке, характеристики жидкости: М3 = 0, 36 • 10~3 м2/с, р3 = 972 кг/м3, р1 = 0, 29 кг/м3, скорость отсоса массы уи = = 10~5 м/с. Была предпринята попытка численного решения уравнений (33)—(34) с использованием пакета прикладных программ МаШса^ Решение задачи оказалось крайне неустойчивым, поэтому необходимо применять другие подходы.

Отметим, что для указанных характеристик жидкости и длины стенки I = 1 м из (28) следует, что в этом случае 0 < £ < 8 • 10~4, т. е. £ ^ 1. Следовательно, решение системы уравнений (31) и (32) можно представить в виде рядов по степеням малого параметра

и = ао£2 + ах£3 + а2£4 + ..., Д = во£ + М2 + М3 + • • •, (36)

в которых коэффициенты ат и вт (т = 0,1, 2,...) определяются подстановкой этих разложений в (31) и (32) и приравниванием нулю коэффициентов при одинаковых степенях £. После очевидных преобразований получаем

и = -£2 - 0,056£3 - 0,013£4 + ..., Д = £ - 0,139£2 - 0,06£3 + .... (37)

Отсюда следует, что трех членов разложения в (37) достаточно для многих практически важных случаев.

Для получения толщины и средней продольной скорости в размерном виде следует задать скорость испарения. Пусть массовый расход жидкости на единицу ширины пленки будет Оз = 0,01 кг/с-м, тогда объемный расход Qз = Оз/рз = = 10~5 м2/с. С другой стороны, Qз = уиI, тогда гии = 10~5 м/с. Используя (36), получим (рис. 2, 3) безразмерные толщину пленки и среднюю продольную скорость в пленке.

О 1 10 4 2 10 4

Рис. 2. Безразмерная толщина пленки

и

■б-ю8-4-40 1 -10 4 2-10 4

Рис. 3. Безразмерная средняя продольная скорость в пленке

5, м

о 0.5 1 Х,М

Рис. 4. Толщина испаряющейся пленки |11|,м/с

0 0.5 1 X, м

Рис. 5. Средняя продольная скорость в пленке

Используя (28), найдем (рис. 4, 5) размерные значения толщины испаряющейся пленки и средней продольной скорости в пленке.

Из графиков следует, что при стекании пленки ее толщина и средняя продольная скорость плавно уменьшаются до нуля. На рис. 4 видно быстрое изменение функции в окрестности нулевой точки, что и объясняет сингулярность уравнений (33) и (34). Полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании гидродинамических процессов пленочного испарения жидкости на плоской стенке.

Литература

[1] Стекание пленки конденсата по плоской вертикальной стенке / Н.И. Клюев [и др.] // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: труды I международного симпозиума. М.: Изд-во РАН, 2010. Т. 1. С. 94-97.

Поступила в редакцию 3/У/2011; в окончательном варианте — 3/У/2011.

FILM EVAPORATION FLOWING ON THE WALL OF THE VERTICAL PLANE CHANNEL

© 2011 N.I. Kluev, A.V. Muryskin, Kh.I. Mingulov3

This paper presents a mathematical model of a film evaporation of a liquid flowing downward by gravity on the wall of the vertical plane channel.

Key words: film, evaporation, plane channel, gravity.

Paper received 3/V/2011. Paper accepted 3/V/2011.

3Kluev Nikolay Iliich (nikolay_klyuevamail.ru), Muriskin Anton Vadimovich (muryskinSgmail.com), Mingulov Hamzya Ilyasovich (mmm_mechmat@ssu.samara.ru), the Dept. of Mathematical Modelling in Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation