CC BY
66
УДК 621.396.6.536.248.2.001
ТЕЧЕНИЕ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ ПЛЕНКИ ПО ПЛОСКОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКЕ1
© 2011 Н.И. Клюев, А.В. Мурыскин, Х.И. Мингулов2
В работе представлена математическая модель пленочного испарения жидкости, стекающей под действием силы тяжести по плоской вертикальной стенке.
Ключевые слова: пленка, испарение, плоская стенка, сила тяжести.
Современные ракеты-носители в качестве топлива используют жидкий кислород и водород. Перед поступлением в камеру сгорания криогенная жидкость проходит процесс газификации. Превращение жидкости в пар осуществляется через ее испарение. Рассмотрим установившееся течение испаряющейся жидкой пленки под действием силы тяжести по плоской вертикальной стенке (рис. 1).
6 1
"1 /
v ;
/ . V
.Х- '
Рис. 1. Схема течения пленки при испарении: 5 — толщина пленки, и,у — компоненты вектора скорости, уи — скорость испарения массы
хРабота поддержана грантом Министерства образования РФ, НИР "Разработка методов исследования гидродинамики жидкого топлива в баках перспективных РН" Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 годы".
2Клюев Николай Ильич ([email protected]), Мурыскин Антон Вадимович ([email protected]), Мингулов Хамзя Илясович ([email protected]), кафедра математического моделирования в механике Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Будем рассматривать приближенную модель течения, когда скорость испарения постоянна и перпендикулярна стенке. Уравнения движения в проекции на оси х и у имеют вид
du du 1 др3 (c)2u д 2u
--+ v- = —g —--+ V3 I - + -
р дх у дх2 ду2
дх + ду
ду ду 1 дрз
+ =---я--+ V3
дх ду р ду
д2у д2у
дх2 ду2
уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
дu ду о дх ду
(1) (2)
(3)
ускорение
где р — давление, р — плотность, V — кинематическая вязкость, д свободного падения, индекс "3" — соответствует жидкости.
Очевидно, что толщина пленки 6 значительно меньше высоты стенки I, т. е. I ^ 6. Выполним оценку порядка величин отдельных слагаемых, входящих в дифференциальные уравнения (1)-(3), для чего введем безразмерные величины, учитывающие различные масштабы по координатам х и у:
Р
— х _ у _ u _ v _
х =7- ,у = — ,u = — ,v = — ,р l о uq vq
2 > PuQ
(4)
где uq, vq — масштабы скоростей по оси х и у. Подставим (4) в уравнение неразрывности (3)
uq Эй vq 8v
Тах + Тду = 0- (5)
Чтобы сохранить оба слагаемых уравнения неразрывности, необходимо приравнять их масштабы, откуда vq = |uq и, следовательно, поперечная скорость много меньше продольной vq ^ uq. Анализ масштабов в уравнении (2) показывает, что слагаемое, содержащее градиент давления, на порядок больше остальных слагаемых. Отбрасывая малые величины, получим
эт =0-
ду
С учетом сделанной оценки запишем систему уравнений для стекающей пленки по плоской вертикальной стенке
ду, дu 1 дрз
+ = —g---5--+ V3
дх ду р3 дх
д2u д2u
дх2 ду2
дрз ду
0 д^ы д^и дх ду
0.
(6)
(7)
Будем считать поверхность пленки гладкой при отсутствии межфазного трения. Тогда процесс испарения на вертикальной стенке соответствует течению жидкости с равномерным отсосом массы, и граничные условия задачи будут иметь следующий вид:
х = 0, u = v = 0,
дu
х > 0,у = 0, u = v = 0,у = S,v = vu, —— = 0,
ду
где 0(х) — толщина пленки, vu — скорость отсоса массы.
(8) (9)
Воспользуемся равенством давления в поперечном сечении для пленки жидкости и пара (рз = ), а также давлением столба пара р\ = р\дх и найдем дх = = Р1д, где индекс "1"соответствует пару. Тогда уравнение движения (1) перепишется
ди + ди /1 + р1 \ + / д 2и + д2^ (10)
дх ду \ р3) \ дх2 ду2)
Объединим (10) с уравнением неразрывности
ди2 + д (иу) /1 + рЛ + ( д 2и + д2^
дх ду \ Рз) V дх2 ду2)
и выполним осреднение слагаемых, входящих в уравнение (11), по толщине пленки [1]. Для чего проинтегрируем по у от 0 до 5, используя среднее значение продольной скорости
1 гЙ(х)
< и >= - и(х,у)Су (12)
5 ./ о
и правило Лейбница (производная от интеграла с переменными пределами)
д Г6(х) д5 [6(х) ди
— и(х,у)Су = и(х,ё)—+ -к~&у- (13)
дх о дх о дх
Откуда найдем
г3(х) ди д Г3(х) д5
ТГ^у =я~ и(х,у)с1у - и(х,5) —. (14)
о дх дх о дх
С учетом (14) интеграл от первого слагаемого уравнения (11) запишется в виде
г6(х) ду? д Г6(х) д5
"я—Су = ^ и2 Су - и2(х,5) —. (15)
о дх дх о дх
Поскольку толщина пленки достаточно мала, то вязкостные силы будут играть определяющую роль в формировании течения. В этом случае можно принять для продольной скорости квадратичный закон распределения в поперечном сечении пленки и воспользоваться выражением для скорости пленки постоянной толщины, стекающей по плоской вертикальной стенке
( ) -д(рз + Р1)52 и(у) =-
Мз
где средняя скорость стекания
у _ 1 / у42 5 2 и
3 <и>
у _ 1 / у42 5 2 и
(16)
^ ^ -д(рз + Р1)52 (17)
<и>=-5-. (17)
Для рассматриваемой задачи средняя скорость и толщина пленки являются функциями координаты х. Используя (16), выпишем следующие выражения:
т 3 <и> 2 9и2 / 2 у3 + уМ 2^) 9 <и>2 (18) и(5) = —,и = ^ - 5 + 45р) 'и (5) = -4-' (18)
[6{х) 21 6 „ ди (1 у \
I СУ =5 <и>2 5>ду =3 <и>[~5 - Т2) ^ (19) ди ди 3 < и >
ТТ =0^ = -л-. (19а)
ду у=5 дуу=0 5
С учетом (18), (19) и (19а) формула (15) примет вид
Г3(х) ди2 д (6 2 \ 9 <и>2 д6
I дх1у _ дхи<и> V —~ дХх _ 12 д<и> 21 2 д6
= Т^^<и>6 - 20 <и>2 дХ- (20)
Продолжим интегрирование слагаемых уравнения (11)
Г3{х) д(иг) З ( )й 3УИ < и > (21)
У0 _ (и")о _-2-' (21)
гКх) д (1 + у3) ¿у _ -д (1 + ^ 6' (21«)
Г3(х) д (ди\ (диУ3 3"з <и>
П ду Ш1у = Чо _ —г-■ <22>
Г3 д2и _ Г3 д (диу у _ д Г3 ди (диу д6 _
/о дх2 ,¡0 дх \дх у дх ,] о дх \дх / у=з дх
д ( д , ч дЛ (ди У д6
ю
дх удх У0 у ( )у 3 д^ у=з дх
_ д2 [3 иу д ((и) д6у (диу д6 _ дх2 ]0 дх \ у= дх) \дх) 3 дх
д2 (х ) ( ) д26 2 (ди У д6
_ дх2(6 < и >) - (и)у=3дх2 - Чдх)у=Й дх _
д2(6 < и >) 3 <и>д26 д < и > д6
дх2 2 дх2 дх дх
Используя полученные выражения (21)—(23), уравнение движения перепишется в следующем виде:
12 д<и> г 21 2 д6 3уи <и> ( р! У г
т^<и>6 - 20 <и>2 дх + -д ^ + у6-
3"з <и> + д2(6 < и >) 3"з < и > д2 6 3 д < и > д6 6 3 дх2 2 дх2 3 дх дх
Запишем закон сохранения массы, для чего проинтегрируем уравнение неразрывности (3) по у от 0 до 6. Считаем, что при у = 6 нормальная по отношению к стенке составляющая скорости равна ги, тогда получим
Г3(х) ди 1 Г3(х) , . . ¿6
ги _-10 дх(у _ -Зх]0 и1у + (и)у=3(х- (25)
Используя профиль скорости (16), из последнего уравнения следует
¿(< и > 6) 3 ¿6
и 1х 2 Зх1
или
(1 < и > 1 ¿6
ги _ + 2 <и>1х- (26)
Система уравнений (24) и (26) описывает течение испаряющейся пленки на плоской вертикальной стенке. Для решения системы требуется знать величины и
<> при х = 0. В нашем случае эти начальные условия неизвестны, поэтому будем искать приближенное решение задачи. Оценки слагаемых уравнения движения (1) показывают, что вклад вязкого члена (для 5 ^ х) vз ^хи мал, и этим членом можно пренебречь. Тогда уравнение (24) примет вид
12 С < и > 21 2 сС5 3уи <и> — 5 <и> -----<и>2 — + —
= -д (1 + ^ 5 - (27)
5 Сх 20 Сх 2
5 -
рз 5
Введем безразмерные переменные
где отсутствуют вторые производные и л х>
е = ^{/ .у» х,5 = *Д(е),<и>=(д(1+р1/р3)и(е). (28)
Vз\¡ д (1+ Р1/Рз) Уи \Уи/ 3vз
Для подстановки (28) в (26) и (27) выполним некоторые преобразования. Представим (28) в виде
е = Ах1/3,5 = ВД(е),<и>= си (е), (29)
где
Тогда
А = Уи (/ , 6vзv" ,В = ^, с =( д (1+ Р1/Рз). (30)
Vз у д (1+ Р1/Рз) Уи \Уи/ 3vз
¿е = А3 С5 = С5 се = В А3 сСД С<и> = С<и> Се = СА3 Си Сх 3е2 Сх Се Сх 3е2 Се Сх Се Сх 3е2 Се
и интегральное соотношение (24) примет вид
16Д2иСи - 7Ди2СД + 15е2(Ди + 2Д2 + 2и) = 0. (31)
Се Се
Подстановка безразмерных переменных в уравнение сохранения массы (26) дает второе дифференциальное уравнение
2ДСи - иЩ + 3е2 = °. <32>
В общем случае система уравнений (31) и (32) может быть проинтегрирована численно. Для этого она преобразуется к стандартной форме
Си е2 е2 е2
Се =3Д -15 и - 15Д, (33)
сд е2 е2д е2
СД=9и -30Ц - »Ди, <34)
с начальными условиями
е = 0: и = Д = 0. (35)
Для расчета рассматривалась испаряющаяся водяная пленка при температуре £ = 80°С, стекающая по плоской вертикальной стенке, характеристики жидкости: М3 = 0, 36 • 10~3 м2/с, р3 = 972 кг/м3, р1 = 0, 29 кг/м3, скорость отсоса массы уи = = 10~5 м/с. Была предпринята попытка численного решения уравнений (33)—(34) с использованием пакета прикладных программ МаШса^ Решение задачи оказалось крайне неустойчивым, поэтому необходимо применять другие подходы.
Отметим, что для указанных характеристик жидкости и длины стенки I = 1 м из (28) следует, что в этом случае 0 < £ < 8 • 10~4, т. е. £ ^ 1. Следовательно, решение системы уравнений (31) и (32) можно представить в виде рядов по степеням малого параметра
и = ао£2 + ах£3 + а2£4 + ..., Д = во£ + М2 + М3 + • • •, (36)
в которых коэффициенты ат и вт (т = 0,1, 2,...) определяются подстановкой этих разложений в (31) и (32) и приравниванием нулю коэффициентов при одинаковых степенях £. После очевидных преобразований получаем
и = -£2 - 0,056£3 - 0,013£4 + ..., Д = £ - 0,139£2 - 0,06£3 + .... (37)
Отсюда следует, что трех членов разложения в (37) достаточно для многих практически важных случаев.
Для получения толщины и средней продольной скорости в размерном виде следует задать скорость испарения. Пусть массовый расход жидкости на единицу ширины пленки будет Оз = 0,01 кг/с-м, тогда объемный расход Qз = Оз/рз = = 10~5 м2/с. С другой стороны, Qз = уиI, тогда гии = 10~5 м/с. Используя (36), получим (рис. 2, 3) безразмерные толщину пленки и среднюю продольную скорость в пленке.
О 1 10 4 2 10 4
Рис. 2. Безразмерная толщина пленки
и
■б-ю8-4-40 1 -10 4 2-10 4
Рис. 3. Безразмерная средняя продольная скорость в пленке
5, м
о 0.5 1 Х,М
Рис. 4. Толщина испаряющейся пленки |11|,м/с
0 0.5 1 X, м
Рис. 5. Средняя продольная скорость в пленке
Используя (28), найдем (рис. 4, 5) размерные значения толщины испаряющейся пленки и средней продольной скорости в пленке.
Из графиков следует, что при стекании пленки ее толщина и средняя продольная скорость плавно уменьшаются до нуля. На рис. 4 видно быстрое изменение функции в окрестности нулевой точки, что и объясняет сингулярность уравнений (33) и (34). Полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании гидродинамических процессов пленочного испарения жидкости на плоской стенке.
Литература
[1] Стекание пленки конденсата по плоской вертикальной стенке / Н.И. Клюев [и др.] // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: труды I международного симпозиума. М.: Изд-во РАН, 2010. Т. 1. С. 94-97.
Поступила в редакцию 3/У/2011; в окончательном варианте — 3/У/2011.
FILM EVAPORATION FLOWING ON THE WALL OF THE VERTICAL PLANE CHANNEL
© 2011 N.I. Kluev, A.V. Muryskin, Kh.I. Mingulov3
This paper presents a mathematical model of a film evaporation of a liquid flowing downward by gravity on the wall of the vertical plane channel.
Key words: film, evaporation, plane channel, gravity.
Paper received 3/V/2011. Paper accepted 3/V/2011.
3Kluev Nikolay Iliich (nikolay_klyuevamail.ru), Muriskin Anton Vadimovich (muryskinSgmail.com), Mingulov Hamzya Ilyasovich ([email protected]), the Dept. of Mathematical Modelling in Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation
