CC BY
16
УДК 621.373.8
ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛЕНКИ ЖИДКОГО МЕТАЛЛА, ОБРАЗУЮЩЕЙСЯ ПРИ ИНТЕНСИВНЫХ ЛАЗЕРНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Изучению волновых процессов, сопровождающих течение тонких слоев вязкой жидкости в линейной и нелинейной постановке задачи для случая свободного стекания посвящено много работ (см., например, [1, 2]). Для парогазовой каверны, образующейся при воздействии концентрированных потоков энергии (лазерные и электронные пучки), исследование гидродинамических волновых неустойчивостей значительно усложняется благодаря их взаимосвязи с процессами теплопереноса, испарения и взаимодействия паров металла с внешним потоком.
В данной работе в качестве первого приближения рассматривается волнообразование при течении вдоль фронта плавления плоского слоя расплавленного металла под влиянием сил давления отдачи паров и термокапиллярного эффекта. Уравнение сво бодной поверхности у = Н,(х, Н - толщина расплава; у = 0 - поверхность фазового перехода твердое тело - жидкость. Процесс происходит в вакууме. Поглощение энергии излучения в паровой фазе не учитывается.
В безразмерных переменных уравнения динамики расплава и теплопереноса имеют вид [3, 4]
Ф. X. Мирзоев, Л. А. Шелепин
Исследована нелинейная устойчивость течения пленки расплавленного металла вдоль фронта плавления с учетом испарения со свободной поверхности при интенсивных лазерных воздействиях. Выявлены основные факторы, определяющие формирование нелинейных волновых режимов стекания расплава. Получены оценки амплитуды и периода нелинейных волн.
ux-\-Vy = О,
щ + уиу + иих = (а^г)-1 — рх + (а-йе)-1 Ди, c^2(vt + ууу + иьх) — — ctgOFr~1 — ру + аВ,е~1Ау, Тг + уТу + иТх = (аРе)-1 АТ.
(1) (2)
(3)
(4)
Граничные условия на свободной поверхности у = h(x,t) запишем в виде
q = ctK(v-ht-uhx)Y-\ (5)
q + <73[(AA')2ii]-1 + (Ту - a2hxTx)Y~1 +
+<?2(ГШеК2)"1их( 1 + а2Л2)(1 - a2hl)~x - qL = 0, (6)
р + a2WhxxY~3 - q\\K2)~x + 2aRe~1ux(l + а2Л2)( 1 - а2Л2)"1 = 0, (7)
4a2uxhx - (uy + а2иг)(1 - а2/г2) = 2aMaPr~1(Tx + Tyhx)Y. (8)
Ha границе раздела фаз жидкость - твердое тело (у = 0): u = v = 0, Т = 0.
При записи (1) - (8) в качестве масштабов времени, давления, температуры и плотности потока массы использованы ho/vo, pvq, АТ = Tv — Tm, kAT/ho\v (До - средняя толщина расплава, /о - продольный масштаб волновых возмущений, Vo - характерная скорость при безволновом режиме течения расплава). В качестве параметров - число Рей-нольдса Re = v0h0/v, число Прандтля Pr = v/x, число Пекле Ре = RePr, число Вебера W = а/pV^ho, число Кутателадзе Ки = \V/CPAT, число Фруда Fr = vfi/gho sin в, число Марангони Ма = aTATh0/2pvk, К = RePrKu, F = Re/Fr, Q = 2А Jv2, А = pW/p, где Tv, Tm - соответственно температуры испарения и плавления, а = 2irh0/l0 - волновое число, q - плотность потока массы за счет испарения жидкости; А„ - теплота испарения; к, к^ - соответственно коэффициенты теплопроводности жидкости и пара. 0 -угол наклона плоскости течения, qi = а^/ (/ - интенсивность излучения, аl, - коэффициент поглощения); &т — —da ¡dT > 0 - температурный коэффициент поверхностного натяжения. Заметим, что параметр А'-1 представляет собой отношение вязкостного масштаба времени tv = h^/v к испарительному масштабу времени tß = h^Xy/kAT (¿я - время, необходимое для полного испарения жидкости): = Е = kAT/pvА„; р - давление, р - плотность, v - кинематическая вязкость, g - ускорение свободного падения, Д = а2д2/дх2 + д2/ду2, Y = (1 + с*2Л2)1/2.
Уравнение (5) описывает поток массы (q) и его закон сохранения, уравнения (6) (8) выражают законы сохранения энергии и двух компонент импульса: соответственно нормальной и тангенциальной.
Граничные условия (1) - (8), необходимо дополнить формулой q = N~X(T — 1), N = (kT^2/k0h0p^\l)(2irrg/MWY^2, (k0 - коэффициент аккомодации; rg - универсальная газовая постоянная; Mw - молекулярный вес жидкости), описывающей зависимость плотности потока массы от локальной температуры на свободной поверхности. Параметр N характеризует неравновесность поверхности испаряющейся жидкости.
Краткие сообщения по бизике ФИ А И „ ---—-_____номер 7, 1999 г.
Система уравнений (1) - (4) имеет стационарное решение (Ло.ЗД неустойчивое по отношению к бесконечно малым возмущениям. При этом могут возникать нелинейные волновые режимы конечной амплитуды.
Запишем решение системы (1) - (8) в виде ряда по малому параметру а « 1:
1=0
(9)
где 2 - {и, „>Л д, Т}. Подставляя разложение (9) в (1) - (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а нулю, получаем систему дифференциальных уравнений. Решая ее, выразим поля скоростей и температуры через функцию Л(*,<). Используя далее условие (8) и ограничиваясь учетом членов до порядка а2 включительно, для толщины расплава получаем уравнение
А, = а(А) + 6(А)АХ + с(А)Агх+
+<1{к)Кххх + щ(Л)Л<ж + п2(Л)А4Ах + п3(Л)А2 + П4(Л)АХА1ХХ, (Ю)
где а,ь,с,(1,п1,п2,п3,п4 определяются формулами
Ф) = (1 - + ЛГ), 6(А) = аГ[(5Яе/8К - 1)А2 - - с1ё0/3)Л3].
с(А) = «»АДО^Л - 1)А3/ЗЛ*2(А + ТУ)3 - 2Л6/15 - МаРг"1 ЛГ(А/(Л + ЛГ))2], ¿(Л) = -ЯеЖа4А3/3, щ(А) = -5а2ЛеРА4/2, п2(А) = -5а2ДеРА4/6, п3(А) = -а2(9ДеЛ5/20 + с1§0А2/2), п4(А) = -а2ЯеЖА2.
Первый член в правой части (10) описывает потери массы жидкости вследствие непосредственного испарения и воздействия внешнего потока энергии. Следующие два слагаемых учитывают влияние реактивной силы пара, действующей на поверхность расплава, и термокапиллярного эффекта, четвертый член - влияние поверхностного натяжения. Последующие же слагаемые характеризуют изменение толщины жидкости за счет действия инерсионных сил.
Уравнение (10) для стационарного состояния имеет неоднородное решение Л = Ых) определяемое уравнением 6(А)АХ + а(А) = 0. Исследуем линейную устойчивость .того решения и возможные нелинейные режимы, к которым может приводить развитие неустойчивых возмущений. Будем считать, что длина волны А рассматриваемых периодических возмущений много меньше характерного масштаба изменения основного течения.
Представив решение (10) в виде /г = / + где I - равновесное значение толщины, £ - возмущение свободной поверхности, получаем
Ц = -\<е - (кс+\ке) б - (с^+\с';е) и - (< + +(и)
где Ь = д/д1-\-а\-\-Ьхд/дх+с\д2/дх2 + д.\д4!дх4\ Ь\, Ь", с\,с", ¿\,¿" - значения
а, 6, с, (1 и их производных при /г = 1; в дальнейшем нижний индекс у этих величин опускается).
Исследуем устойчивость решения £ = 0 относительно возмущений вида
£ = г] ехр[г(ж — 7*)] + к.е., (12)
где 7 = ■ут -Н7,- - комплексный инкремент неустойчивости, 7Г - частота неустойчивости, 7/ - инкремент нарастания неустойчивости, т] - амплитуда возмущений.
Подставляя (12) в линеаризованное уравнение — 0, находим: 7 = г(а' — с + ¿) — Ь. Отсюда
/ 5 Яе ( 3\ аёв\
2а2Яе 7, = —
[^2/5 + (1 - Чь)/АК2(1 + Л^)3 + ЗМаАГ/2Рг(Лг + I)2] -
-ЯеУУаЧЪ-^+ \)/К{М+ \)2. (13)
Если 7, > 0, то возмущение нарастает со временем, если 7,- < 0, то безволновое течение устойчиво.
Для максимального инкремента и периода волны из (13) имеем
7,т = /?2Яе/Ж - + 1)/(1 + ^)2, = 2тг/а, = 2*у/]У0-\ (14)
где 0 = А2/5 + £2(1 - ®ь)/Л(1 + Л^)3 + ЗМаЛГ/2Рг(1 + ЛГ)2.
На нелинейной стадии развития неустойчивости введем набор пространственных и временных масштабов: = бпж, = еп£, п — 0,1,2,....
Разложим решение £ и операторы в (11) в ряды по малому параметру с, сохраняя члены 0(б3):
(¿о + еЬг + е2£2)(е6 + е26 + е3&) = -е2М2 - С3М3, (15)
где
? ? ? д д о & , г д д2 д4
Ьо = Ь, ^ = — + 6— + 2с + 4с? , ¿2 = — + с^ + Ы-
т 1 дх\ дхдх\ дх3дхг' д¿2 5гс2 дх2дх\'
Краткие сообщения по физике ФИАН
номер 7, 1999 г.
Nl2 = -а"£2 + Ь'ббх + с'ббхх + ¿'ббхххх + n[£ Íxtlxxxn
Nh = + b'(66x + 66« + 66«) + \b"Í 16« + c'(66xx + 266»,+
+66 XX ) + 2C"^i6xx + d! (ббхххх "Ь ббхххх) + ббхххх-
Рассмотрим пространственно-периодические решения конечной амплитуды со ела бой модуляцией на временах порядка 0(е-т). В качестве параметра е используем поря док амплитуды первой гармоники (12).
Приравнивая коэффициенты при различных степенях е в (15), получаем
¿об = 0, (16)
¿!6+£о6 = М2, (17)
(¿o6 + ¿i6 + ¿26) = M3. (18)
Решение (16) - (17) можно представить в виде различных сумм, составленных из слагаемых типа
6 = >7(®1.*ь*2 )е~ + к.с. (19)
Из (17) с учетом условия разрешимости drj/dti + 2г(с — Ы)дт)¡дх-i = 0, для £2 имеем уравнение: сбхх + ¿бхххх = -(а"/2 + гб' - с7 + d')r¡2e2tx. Отсюда
6 = 5,V, 5 - я + ад, я = 5. = (20)
Из решения (20) и секульярного условия для 0(е3), имеем
= ,21,
где D = Ы - с, Q = 2(с - 4d), U = UT + iU{, Ur = -3b'S¿ + (Ш' - 5c')Sr + (l/2)(á" - c"), Ui = -36'5r + (Ш' - 5c')S, + (1/2)6".
После замены т} — r¡'exp(¿</>xi), ф — e~lQ/2D уравнение (21) принимает вид (штрих опускаем)
где 7i = 7 + Q¡\D.
Уравнение (22) является амплитудным уравнением типа Ландау - Гинзбурга для задачи волнового стекания расплавленного металла по наклонной поверхности. Используя его, можно исследовать нелинейное поведение слоя расплава.
Оно имеет решение, соответствующее переходному режиму, г) = /(i2)exp(^xi) и выходит на конечно-амплитудное решение при t —► ос
г) = б~1(7./^)1/2 ехр (Иехг). (23)
Таким образом, развитие неустойчивых длинноволновых возмущений на поверхности расплава может приводить к формированию стационарно бегущих волновых режимов движения расплава. Анализируя формулы (13 - 15) заметим, что инерционные параметры (число Re) играют дестабилизирующую роль в возникновении неустойчивости, а поверхностное натяжение (число W) оказывает стабилизирующее воздействие. При малых Е фазовые переходы играют стабилизирующую роль, а при больших Е и N ф 0 дестабилизирующая роль числа Е2 и числа Ма становится значительной. Для уравнения (11) получены стационарные пространственно-периодические решения конечной амплитуды.
Из (23) следует, что в результате эволюции волна конечной амплитуды формируется из линейных возмущений, для которых 7> О, U > 0, то есть формирование слабонелинейных волновых режимов происходит в области линейной неустойчивости тривиального решения. Основными факторами, определяющими формирование волнового режима стекания здесь являются число Re и наличие фазового перехода на границе раздела фаз.
Авторы признательны В. С. Голубеву и А. М. Забелину за обсуждение результатов работы. Один из авторов (Ф.Х.М.) благодарит Российский фонд фундаментальных исследований за финансовую поддержку (проект 98-02-16558).
ЛИТЕРАТУРА
[1] X о л п а н о в Л. П., Ш к а д о в В. Я. Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела. М., Наука, 1990.
[2] Trifonov Yu., Т s v е 1 о d u b О. Yu. J. Fluid Mech., 229. 531 (1991).
[3] M и p 3 о e в Ф. X. Панченко В. Я., Шелепин Л. А. УФН, 166, N 1, 3 (1996).
[4] J о о S.W., Davis S. Н., Bankoff S. G. J. Fluid Mech., 230, 117 (1991).
Поступила в редакцию 28 июня 1999 г.
