РАДЮЕЛЕКТРОШКА ТА ТЕЛЕКОМУШКАЦН
РАДИОЕЛЕКТРОНИКА И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
ИАБЮ ЕЬЕСТКОШСБ АЫБ ТЕЬЕСОММиШСАТЮШ
УДК 621.37:519.2
Б.Н. Бондарев, Д.М. Пиза
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОТЕХНИКЕ И ЭЛЕКТРОСВЯЗИ
Проведен сравнительный анализ двух методов вычисления плотности вероятностей и моментов произведения и частного независимых случайных величин. Показано, что преобразование Меллина в случае многих случайных переменных упрощает процедуру вычислений по сравнению с другими известными методами.
введение
В статистической радиотехнике и теории связи очень часто возникает задача композиции и преобразования законов распределения случайных величин (процессов). При этом широко известно использование интеграла Фурье (характеристической функции) как мощного аналитического средства для нахождения плотности распределения суммы независимых случайных величин и в качестве производящей функции моментов. Известны также и широко применяются формулы типа интеграла свёртки для определения плотностей вероятностей суммы и разности двух случайных величин.
В современных радиотехнических системах и системах электросвязи всё большее применение находят корреляционные алгоритмы приёма и обработки сигналов, в частности, при оптимизации задачи приёма в сложной помеховой обстановке. В этом случае необходимо знание законов распределения и числовых характеристик произведений и частных случайных величин.
постановка задачи
Если две независимые случайные переменные Х\ и х2 имеют плотности вероятностей /\(х) и /2(х), то для плотности вероятностей произведения у = Х\*Х2 и частного ц = х21хх можно использовать соотношения [1]:
I (у) =
•> х I х I
х | х | '
I(и) = (х)12 (их) I х I йх.
(1)
(2)
Задачу определения закона распределения произведения нескольких случайных независимых величин х = х\ *х2...хп можно решить в несколько последовательных этапов или свести к задаче определения закона распределения случайной переменной у = logx = ,
после чего становится возможным использование преобразования Фурье.
Однако, во многих случаях для решения поставленной задачи более естественным является использование сравнительно мало известного интегрального преобразования Меллина. Непосредственное использование его может в некоторых случаях дать более простой способ решения.
Ниже показана возможность использования преобразования Меллина для решения упомянутых задач.
РАДЮЕЛЕКТРОН1КА ТА ТЕЛЕКОМУН1КАЦ11
свойства преобразования меллина
Преобразование Меллина Г( я), соответствующее функции /(х), для значений x ^ 0 определяется выражением [2,3]
F(s) = jf(x)-
xs 'dx .
(3)
f(x) = — \x-s ■ F(s)ds . 2ж2 •>
(4)
F(s) = xs-' .
(5)
mk = xk = F(k + ') .
(6)
1 s+b ь
tbf(ath) и 1 a~ h FÖ , h h
(7)
где а, Ь, к - произвольные коэффициенты. Это свойство позволяет значительно сократить таблицы преобразования и облегчить пользование последними.
2.Если положительная случайная переменная х имеет преобразование Меллина Г(я) , то для случайной переменной у = ах , а >0 имеем
Gv (s) = (ax)s-1 = as-1Fx (s) .
(8)
При некоторых ограничениях на /(х) функция Г( я) , рассматриваемая как функция комплексной переменной я , является функцией экспоненциального типа, анали-тичной в полосе, параллельной мнимой оси. Ширина полосы определяется видом функции ^х) . Если /(х) при х ^ га уменьшается экспоненциально, то полоса аналитичности оказывается полуплоскостью. Следующее выражение является обратным в преобразовании Меллина и позволяет найти функцию распределения /(х) по преобразованию Г(я) :
3. Преобразование Меллина G (s) положительной
случайной переменной y = xa равно
Gv (s) = xas-a = Fx (as -a+1)
откуда для частного y = 1/x (a = -1) получим
Gy(s) = Fx( - s + 2) .
(9)
(10)
4. Если х^ и х2 - независимые положительные случайные переменные с преобразованиями Меллина я) и Г2(я) , соответственно, то преобразование Меллина от произведения у = х ^ х2 есть
Формулы Меллина можно получить из преобразования Фурье, если в (3) положить у = ех и 5 = с + И.
Тогда функции л/2жесх/(ех) и Е(с +Ы) будут трансформациями Фурье одна от другой.
В частном случае при Дх) = е-х преобразование Мел-лина дает известное интегральное представление гамма-функции.
Котларский [4, 5] ввел слегка видоизмененное определение, заменив в (3) я -1 на я . Однако, в наиболее распространенных таблицах пар преобразований Мелли-на [2, 3] используется определение (3).
В форме, обычной для математической статистики, преобразование Меллина положительной случайной переменной х с непрерывной функцией распределения Д х) можно представить согласно (3) в виде математического ожидания
Gy (s) = (xix2)s-1 = Fi (s)F2 (s) .
(11)
5. В более общем случае преобразование Меллина от случайной переменной y = x11 ■x22^...xnn равно
Gy(s) = Fa-ai +1)X...xFn(ans-an +1) , (12)
откуда для частного y = x2 двух независимых случайных величин получаем
Gy(s) = Fi(s)F2(-s + 2) .
(13)
Замечаем, что оно может быть использовано в качестве производящей функцией моментов, если положить я = к + 1:
Приведем несколько важных для наших целей свойств преобразования Меллина.
1.Если функция /(х) имеет преобразование Меллина, то парой преобразования Меллина являются следующие функции
Свойство (12) показывает на возможность использования преобразования Меллина для нахождения плотности распределения произведения или частного нескольких независимых положительных случайных переменных. Плотность распределения при этом определяется по формуле (4) с использованием таблиц [3] или непосредственным вычислением интеграла с помощью теоремы о вычетах.
Как и в случае характеристических функций, можно доказать, что имеется однозначное соответствие между функцией распределения и ее преобразованием Мелли-на. Следовательно, вычисленная по (11) плотность вероятности произведения двух случайных величин должна совпадать с полученной из выражения (1), а плотность вероятностей (13) частного двух независимых случайных величин - с результатом из выражения (2).
Выше шла речь только о положительных случайных переменных, поскольку теория преобразования Меллина дается для функций, определенных только для положительных значений аргумента. Эпштейн [6] дал способ использования преобразования Меллина для случайных
о
переменных с двусторонними функциями распределения. Этот способ заключается в разбиении плотностей распределения случайных переменных ^ и Х2 на две
/1 (X) = /ц(х) + /12(х) , Г2(Х) = /1х(х) + /22(Х) , (14) где
/11 (х) = 0, х < 0; /21 (х) = 0, х > 0; /21 (х) = 0, х < 0; /22 (х) = 0, х > 0.
и дальнейшем обращении с парами (/ц,/21), (/ц>/22)' (/12'/21)' и (/12,/22) ), по отдельности. Плотность вероятности случайной переменной у = / х2 будет равна сумме
Ь(У) = ^(у) + Й2(У) + ¿а(У) + ¿4(У), (15)
где ¿1 (у) и ¿4 (у) будут относиться к положительным значениям аргумента у , а ^(У) и ¿а (У) - к отрицательным. При этом
Ь\(у) = У\\(у)/2\(х) — , у > 0
•> х х
\(у) = \/\\(У)/22(-х) — , У > 0 хх
Тогда
к2( У) = ¿2(-У)
га с+^
Р(э) = I(х)йх , I(х) = 4- "V(э)йэ .
Выражения (11, 12, 1а) справедливы для независимых случайных величин. Напомним, что характеристическая функция суммы зависимых случайных переменных определяется как математическое ожидание величи-
ния. Котларским [5] введено многомерное преобразование Меллина. С использованием последнего преобразования Меллина случайной величины у = х^1 * х...хПП * х будет определяться выражением
в(8) = ]...](ха •.... ха)э-\I(х\,...,хп)йх\,...,йхп, (20)
0 о
где Дх1,...,хи) - функция распределения зависимых положительных случайных переменных х^ х2, ..., хп .
решение задач
Рассмотрим теперь несколько примеров на определение законов распределения произведения и частного случайных величин. При этом будем использовать преобразование Меллина и известные формулы (1) и (2). Это позволит судить о возможности и целесообразности использования преобразования Меллина.
Пример 1. Найти закон распределения величины У = х ^2 , где х1 и х2 - независимые случайные переменные с плотностями распределения
(16)
и к нему преобразование Меллина может быть применено непосредственно. При вычислении ^(У) преобразование Меллина (условное) может быть применено к выражению
1 —
К х) = м х) = ^= е 2 V 2п
—га < х < га
(21)
(17)
(18)
Аналогично преобразование Меллина применяется для определения ¿4(у) и ¿3(У) , где ¿а(У) = ¿3(—У).
Нетрудно видеть, что в случае двусторонних симметричных распределений преобразование Меллина необходимо вычислять лишь один раз. Далее, используя формулу обращения и удваивая полученный результат, получим искомый закон распределения произведения частного независимых случайных величин. Такая процедура соответствует распространению преобразования Мелли-на на случай симметричных двухсторонних распределений в виде [4, 5]:
1-й способ решения. Разбиваем плотность распределения /(х) согласно (14) на две. Поскольку распределение симметричное, то
Р\\(э) = Р\*2(э) = р*2(э) = р2\(э) = ^(х^х =
= ±2-2(*—3)Г(5), Ке(э) > 0 . <22)
4П 2
Тогда
в\(э) = 0*2(э) = 0**(э) = Ол(э) = —-Г20 . (23)
П 2
Преобразования Меллина соответственно будут равны
23 „9 .5.
¿\ (у) = ¿2* (у) = ¿3* (у) = к4 (у) = с+]га 5 3 \ г 2 5 1
=П ¡у- -ПГ V5=2П ^ , у > 0, (24)
2П
(19)
где К0 (У) - функция Бесселя второго рода мнимого аргумента нулевого порядка. Поскольку последняя -несимметрична, то согласно (18) имеем
¿2(у) = hз(y) = -ПМу|), у < 0 (25)
ны е
М х\ +х +■■■+хп )
по многомерному закону распределе-
2
к
0
0
с
с
РАДЮЕЛЕКТРОШКА ТА ТЕЛЕКОМУН1КАЦП
и окончательно Для частного двух величии из (13) получаем
к(у) =1К о (| у|) , у <га . (26) в(5) ^(^Щ - .
л 7 2 2
2-й способ решения. Обращением формулы Меллина [2, стр.253] для
плотности вероятности находим
2
га га У г х у .
Чу) = ГМх)/2(£)X = 2 [~2~е~ -. к(у) = 2У , У > о . (29)
•> х \х\ 3 2л х уу> п . ,,2 ч2 ^
0
(1 + y
Заменой переменных ~y — e получаем
x 2 2-й способ решения. Используя (13), находим
X 0
h(y) = - [e~ycb20d0 = -K0(\y) , — < y < ra . (27) к J к
1 ra X¿ y¿ X (1+ y2)
h(y) =—- jxe 2—2 xdx = — Jx3e 2—2 dx = -ra < y < ra . (27) 0
2 y
-"TJ , y > 0 . (30)
(1+y2)
Аналогичная задача для общего случая нецентриро-
ванных и коррелированных величин таким способом Пример 4. Найти закон распределения частного
решена в [11]. у = х^ , где х1 и х2 имеют функции распределения
Замечаем, что результат (24) с использованием прео- 2
(X2- распределение)
бразования Меллина достигается более сложным путем,
чем (27). Однако, выражение (23) для вычисления мот х п ,__
ментов распределения получается довольно просто. —1--^ 2а2
Пример 2. Найти закон распределения произведения / (х) = х е_ , /2(х) =-. (31)
двух независимых релеевских величин у = хлх~, .В . т т ,п.
У 12 (2а2)2 Г(т) (2а2)2Г(-)
этом случае 2 2
х Заметим, что такое распределение имеет случайная
х 2&2
/ (х) = —— е ' , величина 2 = ^ Zг2 , где Zi - нормальные случайные
1 величины с нулевыми средними значениями.
а ее преобразование Меллина равно 1-й способ решения. Преобразование Меллина для
— S +1
F1 (s) = (2—2) 2 Г(-) . sl ...
1 1 2 (2—) ^ r(s + -1)
приведенной плотности распределения имеет вид
s-1^ m
F (s) =_2
Для преобразования Меллина от произведения 1 w m
получим Г(^
G(s) = (4——2) 2 Г2(^)
^ s +1 Для частного двух случайных переменных получим
2
Г( + m 1)ГГ( + n +1)
Обращением формулы Меллина по таблицам [3, G(s) = 2 2
форм. 10.5 и 10.60] для распределения произведения m n
находим 2 2
y y По таблицам определяем искомый закон распреде-
h(y) = ——2Ko(——) , (28) ления [1, стр.253] р р р
m --1
! 2
2-й способ решения. Вычислениями, аналогичными р(т +п)
вычислениями в 1-м примере, получаем результат, сов- Ь(у) =_2__у 2 у > о (32)
падающий с (28). Г( т п) т2п
Пример 3. Найти закон распределения частного Г(2)Г(2) (1 + у)
у = х 1/х2 двух независимых релеевских величин с одинаковыми среднеквадратичными значениями.
1-й способ решения. Для релеевского распределения преобразование Меллина приведено во 2-м примере.
2-й способ решения. Используя формулу (2), находим
В.И. Гостев, С.А. Маглюй, В.Н. Яременко: СИНТЕЗ ФАЗЗИ-СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ ПО УГЛУ ТАНГАЖА
h(y) = j-
n-i
V 2 С
2а2
( yx)
m
-1
2
2а2
-xdx =
(2а2)2 Г(2) (2а2)2 Г(у)
y
m
-1
2
m+n i -x(y+1)
2а2
m
-dx.
(33)
Г(Т)Г(2) 0
(2а2)
2) 2
откуда получаем искомый результат (30).
Примеры 2, 3, 4 позволяют сделать выводы, аналогичные выводу по примеру 1.
выводы
Использование преобразования Меллина вместо известных методов статистики при определении законов распределения произведения или частного двух случайных переменных не дает никаких преимуществ. Оно может оказаться полезным для данных целей в случае многих случайных переменных, так как избавляет от необходимости осуществления нескольких последовательных операций типа (12) или (13). Преобразование Меллина оказывается весьма полезным также для определения моментов произведения или частного двух или нескольких случайных величин в случае, когда искомая плотность не может быть определена никаким из методов из-за сложности вычислений.
перечень ссылок
1. Б.Р. Левин. Теоретические основы статической радиотехники. Книга!. - М.: Сов. Радио, 1966. - 728 с.
2. Е. Титчмарш. "Введение в теорию интегралов Фурье".-М.: ОГИЗ, 1948.-480 е..
3. В.А. Диткин, А.П. Прудников. "Интегральные преобразования и операционное иечиеление". Справочная математичеекая библиотека.-М.: Наука, 1974.-542 е.
4. I. Kotlarski. On pairs of independent random variables whose quotients follow some known distribution. "Colloquium mathematicum", vol IX, 1962, pp. 151-162, Warszawa - Wroclaw.
5. I. Kotlarski. On random variables whose quotient follows the Cauchu law. "Colloquium mathematicum", vol. VII, 1960, № 2. pp. 277-284.
6. B. Epstein. Some application of the Mellin transforms in statistics. "Annals of the Mathematical Statistics", 1948, June, vol. 19, pp. 370-379.
7. Bruc. E. Dolan. Применение преобразования Меллина для нахождения моментов и плотноети вероятноети произведения и чаетного елучайных величии. "Proc. IEEE, vol 52, 1964, № 12 (руеекий перевод), е.18-22.
8. W.T. Wells, R.Z. Anderson and John W. Cell. The distribution of the product of the two non-central chi-square variates. "The Annals of mathematical statistics", vol. 33, 1962, September, № 3, pp. 128-132
9. В.М. Золотарев. Преобразование Меллина-Стильтьееа в теории вероятноетей. "Теория вероятноетей и ее применение". Т.2,1957,№ 4, е. 444-469.
10. A. Erdely, etal. "Tables of integral transforms", Bateman Manuscript Project. McCraw-Tlill Book Co., New-York,1954, vol 1, 2. pp.
11. C.C. Craig. On the frequency function of x. y. "The Annals of mathematical statistics", vol VII, 1936, pp.1-15.
Надшшла 03.09.2003 Шсля доробки 17.10.2003
Проведено поргвняльний аналгз двох методгв обчислення щгльностг ймовгрностей i моментгв добутку та частки незалежних випадкових величин. Показано, що використан-ня перетворення Меллта у випадку багатьох випадкових змiнних спрощуе процедуру обчислень в порiвняннi з другими вiдомими методами.
Comparable analysis of two calculation methods of probability densities and moments of product and quotient of independent casual values is accomplished. It is shown, that the Mellin transformation in the case of many casual variables simplifies the calculation procedure in comparison with other known methods.
x
n
m
2
x
e
УДК 62-55: 681.515
В.И. Гостев, С.А. Маглюй, В.Н. Яременко
СИНТЕЗ ФАЗЗИ-СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ ПО УГЛУ ТАНГАЖА
Pозглянутi результати синтеза нечiткого (працюючого на базi нечiтко'i логики) регулятора для системи стабiлi-зацп балiстично'i ракети по куту тангажа. Методом математичного моделювання визначеш процесси в системi i показано, що на основi використання нечШкого регулятора можливо дуже значне полiпшення якостi системи, яке визначаеться похибкою разузгодження при вiдпрацювання програмноЧ траекторИ.
введение
Баллистическая ракета, в которой используется большое число локальных систем автоматического управле-
ния, является существенно нестационарным объектом управления. Передаточные функции, которыми описывают баллистическую ракету как объект управления, отличаются от передаточных функций крылатых летательных аппаратов тем, что имеют неустойчивые звенья, поэтому движение неуправляемой ракеты по программной траектории было бы неустойчивым. Ниже рассматривается система стабилизации баллистической ракеты по углу тангажа (по каналу продольного движения), которая описана в работе [1]. Система состоит из следующих функционально необходимых элементов: элемента сравнения (свободного гироскопа с