Введение в математический аппарат характеристической функции Меллина Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Секция радиотехнических и телекоммуникационных

систем

УДК 621.396

А.М. Макаров, О.Ю. Евдокимов, М.С. Дейнеко

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИИ МЕЛЛИНА

В теории вероятностей и математической статистике случайные величины и процессы описываются тремя вероятностными характеристиками: функцией распределения вероятностей (ФРВ), плотностью распределения вероятностей (ПРВ) и характеристическими функциями (ХФ). По информативности они равноценны, но удобство их использования определяется конкретной решаемой задачей. Напри,

( ).

В случае же анализа произведения (частного) п случайных величин удобный математический аппарат недостаточно развит. Вследствие того, что многие технические системы содержат устройства умножения и деления, возникает задача разработки такого аппарата.

Целью данной работы является рассмотрение основных свойств новой харак-, -

лина (ИПМ) [1].

ИПМ представляет собой интегральное преобразование

М (Х )= | / ()^5-1^, X = 7 + ]и, и е (-~, те),

о

при условии, что функция 1к_1 I(^) е [0, те) в некоторой окрестности (х _7, X + 7) точки ^ = х > 0 имеет ограниченное изменение. Это является необходимым и достаточным условием равномерной сходимости ИПМ.

Для / () обратное ИПМ имеет вид

1 7+]'те

I ()=— \м (х >-<* .

^ 7—jте

Характеристическая функция Меллина ХФМ А( s) может быть определена

£_1

как математическое ожидание случайной величины X . Полагая, что СВ принимает положительные значения и £ - безразмерная комплексная переменная, можем записать

А() = Е[х5—1 ]= (хУ—1ёх ,

где Е [°] - символ статистического усреднения, т.е. ХФ Меллина представляет собой ИМ от плотности распределения вероятности Ж (х). ХФ Меллина в отличие от обычной ХФ Фурье является функцией комплексной переменной. Рассмотрим некоторые свойства данной характеристической функции.

ХФМ для произведения независимых СВ х1 и X 2 может быть записана как

Ахгх2 () = Е [(х1 • х 2 )£_1 ] = Е [х1£_'х 2£_1 ] =

: Е

[х1£_1 ] [х2£_1 ] = Ах, Шх, ()

, -

дение ХФМ сомножителей. В случае п сомножителей ХФМ записывается в виде

А. (*) = ПА,(£).

П х, к =1

к =1

ХФМ частного СВ X! и Х2:

Ах./ х2( 5 ) = Е

Г У—1 х, I

V х 2

= Е [х1£—1х2—(£—1)] =

= Е [х1£—1 ] [х2(2—£И ] = Ах1 ^х, (2 — £) .

,

делимого на ХФМ делителя от аргумента ( — 5).

Частным случаем отношения СВ является обратная СВ —, для которой ХФМ

х

равна

А,„ () = Е[[Г] = Е[х-<5-,)] = Е[х]=А, (2 — 5) .

Так же легко может быть определена и ХФМ для квадрата СВ:

Ах2 () = Е[(х2 У-l ]=Е[х2‘-2]=Е[х ]=Ах (25 — 1) .

В более общем случае возведения СВ в п -ю степень имеем

А , (5) = Е[(хп) ]= Е[хх]=Ах (п( — 1)+1) .

0

Квадратному корню из СВ соответствует ХФМ

р-Г

р-1 р+1 і

=Е х 2 = Е х

а извлечению корня п -й степени -

Л,х () =Е Г

= Е

= Е

((+1)-1

= Лх ,

= ]х ( + 1) •

Из приведенных свойств видно, что мультипликативным преобразованиям СВ соответствуют простейшие арифметические преобразования ХФМ и их аргументов. Это делает удобным использование ХФМ для анализа умножения, деле, , -.

В [2] рассмотрена также возможность применения ХФМ для анализа случайных воздействий на нелинейные устройства.

При использовании традиционных методов в процессе нахождения ПРВ произведения (частного) П случайных величин необходимо вычислить П — 1 интеграл для произведения

Ж (у ) = /Ж,(п Ж

п

Ж (у) = |Ж1( п )Ж 2( пу )| п|йп,

где Ж1 (и) и Ж2 (и) - ПРВ исходных случайных величин.

,

сложная и трудоемкая задача. Использование же ХФМ позволяет свести ее к ал.

Следующим важным свойством ХФМ является ее значение при целочислен. ,

т,

= |хкЖ (х )йх = Лх (к +1),

т.е. к -й начальный момент тк СВ равен ХФМ от аргумента (к +1) .

Это обстоятельство позволяет вычислять моменты распределения на основе алгебраических операций и не требуется выполнять трудоемкие и громоздкие операции интегрирования и дифференцирования.

От ХФМ А(s) можно перейти к плотности распределения вероятности Ж (X ) с помощью обратного преобразования Меллина.

и

о

Сводка некоторых свойств ХФМ приведена в табл. 1.

Таблица 1

Вид преобразования Математическое выражение Характеристическая функция Меллина

Исходная СВ X К ()

Произведение двух СВ *1 • Х 2 АХ1 К 2 (5 )

Произведение п СВ п Пхп к=1 ГГАк() к =1

Частное двух СВ Х 2 АХ1 ( Нх2 (2 - 5 )

Обратная СВ 1 X 1

Возведение СВ в квадрат X 2 7

Возведение СВ в п -ю степень хп Ах -1)+ 1)

Извлечение из СВ квадратного корня 4* Ах )

Извлечение из СВ корня п -й степени п4х Ах( +1)

Практическое нахождение ХФМ может проводиться как прямым вычислением, так и с помощью обширных таблиц [3]. ХФМ для некоторых распространенных распределений СВ приведены в табл. 2.

Таблица 2

№ п/п Вид распределения Характеристическая функция Примечание

1 Релея х 2 —е " Г г2' . 5 —1 г5—г(52+1) х > 0

2 Равномерное Г 1,0<х < 1, [0,0 > х > 1. 1 5

3 Экспоненциальное «в а1"5 Г(5) х > 0, а > 0

4 .2 X — распределение 1 п—1 —х х2 е 2 п 22 Г(п) 2 5—1 —Г( + ^ ) Г(п К 2 0 < х < те

№ п/п Вид распределения Характеристическая функция Примечание

5 Накагами ъ / \т т 2 ( ) " X 2-„ V г(т т +1-5 1 (т ^ 2 г(т ){о*) Х хГ( + 2т-1) т >1, 2 0 < х < га

6 Эрланга А*+1 л Х*е-Кх г( + 1)х е Л!-5 кГ(к )5 )*Г(5) к = 0, 1,2,... Л> 0, (5 )к = 5 (5 +1)5 (5 + 2).. 0 < х < га

7 Вейбулла Сах а-1в-Сха 1-5 с аг(а) С > 0, а > 0, 0 < х < га

8 < Симпсона х, 0 < х < 1, 2 - х, 1 < х < 2, 0, х > 0. 2(25-1) 5 (5 +1)

Из рассмотренных свойств характеристической функции Меллина следует, что ее использование позволяет свести анализ мультипликативных преобразований случайных величин к чисто алгебраическим операциям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Макаров А.М. Характеристическая функция в базисе свертки Меллина //Материалы Всесоюзной научно-технической конференции с международным участием “Компьютерные технологии в инженерной и исследовательской деятельности”. Таганрог, ТРТУ, 1994-1995. С.70-79.

2. Макаров А.М., Евдокимов ОМ. Применение характеристической функции Меллина для

// “ -

терные технологии в инженерной и управленческой деятельности”. Таганрог, ТРТУ, 1999. С.179-181.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований //Т.1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969.

УДК 621.396

В.А. Алехин

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ИМПУЛЬСНО-ДОПЛЕРОВСКИХ

РЛС

Известно [1], что обработка сигналов в импульсно-доплеровских РЛС имеет целью обнаружение сигналов с доплеровским сдвигом частоты и оценку радиальной скорости целей по этому сдвигу. Эта задача может быть решена с помощью набора узкополосных фильтров, перекрывающих диапазон частот (0...0,5)Рп, где расположены гармоники спектра сигнала на выходе когерентного , , -бор максимального выходного напряжения фильтров и определение соответст-