CC BY
42
h(y) = j-
n-i
V2 с
2a2
(yx)
m --1
2
2a2
-xdx =
(2a1)2 Г(2) (2a1)2 Г(у)
y
m
-1
2
m+n i -x(y+1)
2a2
m
-dx.
(33)
Г(Т)Г(2) 0
(2a2)
2 ) 2
откуда получаем искомый результат (30).
Примеры 2, 3, 4 позволяют сделать выводы, аналогичные выводу по примеру 1.
ВЫВОДЫ
Использование преобразования Меллина вместо известных методов статистики при определении законов распределения произведения или частного двух случайных переменных не дает никаких преимуществ. Оно может оказаться полезным для данных целей в случае многих случайных переменных, так как избавляет от необходимости осуществления нескольких последовательных операций типа (12) или (13). Преобразование Меллина оказывается весьма полезным также для определения моментов произведения или частного двух или нескольких случайных величин в случае, когда искомая плотность не может быть определена никаким из методов из-за сложности вычислений.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Б.Р. Левин. Теоретические основы статической радиотехники. Книга!. - М.: Сов. Радио, 1966. - 728 с.
2. Е. Титчмарш. "Введение в теорию интегралов Фурье".-М.: ОГИЗ, 1948.-480 е..
3. В.А. Диткин, А.П. Прудников. "Интегральные преобразования и операционное иечиеление". Справочная математичеекая библиотека.-М.: Наука, 1974.-542 е.
4. I. Kotlarski. On pairs of independent random variables whose quotients follow some known distribution. "Colloquium mathematicum", vol IX, 1962, pp. 151-162, Warszawa - Wroclaw.
5. I. Kotlarski. On random variables whose quotient follows the Cauchu law. "Colloquium mathematicum", vol. VII, 1960, № 2. pp. 277-284.
6. B. Epstein. Some application of the Mellin transforms in statistics. "Annals of the Mathematical Statistics", 1948, June, vol. 19, pp. 370-379.
7. Bruc. E. Dolan. Применение преобразования Меллина для нахождения моментов и плотноети вероятноети произведения и чаетного елучайных величии. "Proc. IEEE, vol 52, 1964, № 12 (руеекий перевод), е.18-22.
8. W.T. Wells, R.Z. Anderson and John W. Cell. The distribution of the product of the two non-central chi-square variates. "The Annals of mathematical statistics", vol. 33, 1962, September, № 3, pp. 128-132
9. В.М. Золотарев. Преобразование Меллина-Стильтьееа в теории вероятноетей. "Теория вероятноетей и ее применение". Т.2,1957,№ 4, е. 444-469.
10. A. Erdely, etal. "Tables of integral transforms", Bateman Manuscript Project. McCraw-Tlill Book Co., New-York,1954, vol 1, 2. pp.
11. C.C. Craig. On the frequency function of x. y. "The Annals of mathematical statistics", vol VII, 1936, pp.1-15.
Надшшла 03.09.2003 Шсля доробки 17.10.2003
Проведено поргвняльний аналгз двох методгв обчислення щгльностг ймовгрностей i моментгв добутку та частки незалежних випадкових величин. Показано, що використан-ня перетворення Меллта у випадку багатьох випадкових змiнних спрощуе процедуру обчислень в порiвняннi з другими вiдомими методами.
Comparable analysis of two calculation methods of probability densities and moments of product and quotient of independent casual values is accomplished. It is shown, that the Mellin transformation in the case of many casual variables simplifies the calculation procedure in comparison with other known methods.
x
n
m
2
x
e
УДК 62-55: 681.515
В.И. Гостев, С.А. Маглюй, В.Н. Яременко
СИНТЕЗ ФАЗЗИ-СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ ПО УГЛУ ТАНГАЖА
Pозглянyтi результати синтеза нечiткого (працюючого на базi нечiтко'i логики) регулятора для системи стабiлi-зацп балiстично'i ракети по куту тангажа. Методом математичного моделювання визначеш процесси в системi i показано, що на основi використання нечШкого регулятора можливо дуже значне полiпшення якостi системи, яке визначаеться похибкою разузгодження при вiдпрацювання програмноЧ траекторИ.
ВВЕДЕНИЕ
Баллистическая ракета, в которой используется большое число локальных систем автоматического управле-
ния, является существенно нестационарным объектом управления. Передаточные функции, которыми описывают баллистическую ракету как объект управления, отличаются от передаточных функций крылатых летательных аппаратов тем, что имеют неустойчивые звенья, поэтому движение неуправляемой ракеты по программной траектории было бы неустойчивым. Ниже рассматривается система стабилизации баллистической ракеты по углу тангажа (по каналу продольного движения), которая описана в работе [1]. Система состоит из следующих функционально необходимых элементов: элемента сравнения (свободного гироскопа с
потенциометрическим датчиком, характеризуемым коэффициентом Кп ), усилителя с коэффициентом усиления Ку , и гидравлического рулевого механизма. В работах [1-3] система стабилизации баллистической ракеты выполнялась с использованием аналоговых корректирующих устройств и адаптивного регулятора. В данной работе рассмотрены результаты синтеза цифрового нечеткого (работающего на базе нечеткой логики) регулятора и методом математического моделирования определены процессы в системе стабилизации баллистической ракеты по углу тангажа. Показано, что на основе применения нечеткого регулятора возможно весьма значительное улучшение качества системы, характеризуемое величиной текущей ошибки при отработке программной траектории.
Математически их можно определить следующими полиномами:
b(t) = 1,386 - 0,2375; + 2,025 • 10-212 - 6,869 • 10-413 + + 9,988 • 10-614 - 5,245 • 10-815;
a(t) = -29,58 +11,274; -1,484;2 + 8,8 • 10-213 - 2,37 • 10-314 + + 2,91 • 10-515 -1,33 • 10-716;
a(t) = 1,132 - 0,45t + 3,86 • 10-212 - 2,45 • 10-313 + 7,7 • 10-514 -
-1,08• 10-615 + 5,47 • 10-916;
r(t) = 0,3688 - 3,8031 • 10-21 + 2,1216 • 10-312 -
- 3,9037 • 10-513 + 2,2437 • 10-714;
c(t) = -0,317 + 3,22 • 10-21 -1,455 • 10-312 + 3,318 • 10-513 -
- 3,693 • 10-714 + 1,592 • 10-915.
СИНТЕЗ ЦИФРОВОГО НЕЧЕТКОГО РЕГУЛЯТОРА.
Приняв за выходную координату ракеты угол тангажа х(/) = Ф2 (?) , а за входную координату угол поворота руля тх (?) = 8(0 , определим передаточную функцию ракеты в виде [1-3]
G (s) = 4(S)
K £ (Txs + 1)
5(s) (T2 s2 + 2qTs + 1)(т2 s + 1)
(1)
где К ^ — коэффициент преобразования ракеты, Т,Т1, Т2 — постоянные времени соответственно колебательного и неминимально-фазового ( Т2 — отрицательная величина) форсирующего звеньев, коэффциент демпфирования. Зависимости указанных параметров ракеты от времени ее полета приведены в работе [1].
Для упрощения расчетов рулевой механизм опишем передаточной функцией интегрирующего звена:
Орм (5) = КРМ / 5 = 1/ 5 . В этом случае вход системы и(0 = - заданный угол тангажа, выход системы
х(0 = (?) - отработанный ракетой угол тангажа, т(?) - управляющий сигнал на выходе регулятора, а объект управления описывается общей передаточной функцией:
Зависимости параметров передаточной функции О (я) от времени полета ракеты приведены на рис.1. Время полета ракеты составляет примерно 60 с. Шестая секунда полета ракеты принята за начало отсчета времени полета.
Математическая модель нестационарного колебательного звена описывается дифференциальным уравнением
й2+ Ъ(0^ + а(г)х() = а(/)т1(/> . (3)
Ж2 & 1
Математическая модель нестационарного форсирующего звена описывается дифференциальным уравнением
x(t) + dt)x(t) = ^ + r(t)x()
dt
dt
(4)
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная схема системы управления ракетой по углу тангажа с цифровым нечетким регулятором представлена на рис.2.
Ошибка рассогласования Err, поступающая на вход нечеткого регулятора (Controller), представляет собой разность между заданным напряжением требуемым
углом тангажа (t) и преобразованным в напряжение отработанным ракетой углом тангажа (t) :
e(t> = ®j(t> - ®2 (t) = u(t) - x(t).
G(s) = ®(s)
a(s + r)
m(s) s(s2 + bs + a)(s + c)
(2)
(В объект управления включены аналоговые рулевой механизм и ракета). Параметры передаточной функции О (я ) определяются:
Ъ = 2^/Т; а = 1/Т 2; г = 1/Т1;
Т
а = КпКУКрмКа ж/г = КрмКа 2— •
Т2 Т 2
При этом параметры передаточной функции О(я) , также будут функциями, зависящими от времени.
с 0 а 50' Г • 0.35 о!|)
-0.02 -0.5 40 0.3 0.8
-0.06 -1 -1.5 30 0.25 0.7 0.6
-0.1 -2 20 0.2 0.5
-0.14 -2.5 -3 10 0.15 0.4 0.3
0.18 -3.5 0 0.1 0.2
Рисунок 1
Л
V
\
b
/"а "alf V
t г
Unit Delay2
Рисунок 2
Предположим, что закон изменения входного воздействия (программная траектория) следующий: u(t) = 1 + 0,5 sin(nt / 30).
Математическая модель ракеты в интерактивной системе MATLAB составлена таким образом. На вход модели поступает сигнал ml(t) c выхода блока Intega-tor. На вход блока Polinoms (см. рис.3) поступает текущее время t с выхода блока Ramp. На выходе блока Polinoms формируются сигналы а(t) , a(t) , b(t) , c(t) , r(t), которые в блоках перемножения Dot Product умножаются на соответствующие сигналы согласно записанным выше дифференциальным уравнениям нестационарных колебательного и форсирующего звеньев.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регулятором (см. рис.2) квантуется аналого-цифровым преобразователем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 0,01с. Ошибка на выходе АЦП еШ, ее первая 0(£) = [0(£) - e(k - 1)]/ h и
вторая е(£) = [еда — е(& — 1)]/ h разности подаются на вход нечеткого регулятора (Controller). Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка Zero-Order Hold1 с передаточной
функцией H(s) = (1 — e~hs )/ s ) и далее на вход объекта управления.
Функциональная схемы нечеткого регулятора с многоканальной настройкой приведена на рис.4. Блоки настройки регулятора (adjustment of fuzzy-controller), бло-
ки нормировки входных (normin) и выходного (nor-out) сигналов приведены соответственно на рис.5,6 и 7.
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
Рисунок 6
С выхода 1 блока нормировки выходного сигнала поступают дискретные текущие значения сигнала управления m(k).
Синтез каждого канала нечеткого регулятора выполняем по формулам (3.12)-(3.27) из работы [4] для треугольных функций принадлежности.
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в значения элементов единого универсального множества) диапазоны изменения входных и выходного сигналов (параметров каждого канала нечеткого регулятора) принимаем симметричными:
А = —А • й = —й •
max min' "max _ °min >
Amax = -Amin • mmax = -mmin .
Тогда формулы для нормировки (пересчета) принимают вид
Рисунок 7
Блок настройки регулятора (adjustment of fuzzy-controller) имеет фиксатор (Zero-older hold) с шагом квантования 0,01с, квантователь по уровню (Quantizer) c шагом квантования 20c, усилитель (Gain) c коэффициентом 0,05 и четыре переключателя каналов. При поступлении текущего времени t с выхода блока Ramp на вход блока настройки регулятора до десятой секунды времени полета ракеты работает первый канал, от десятой до тридцатой секунды работает второй канал, от тридцатой до пятидесятой секунды работает третий канал и после пятидесятой секунды работает четвертый канал. Сигналы с выходов 1-4 блока настройки регулятора поступают на соответствующие входы 4,5,6 блока нормировки входных (normin) и на вход 2 блока нормировки выходного (normout) сигналов (см. рис.5-7). На 1-3 входы блока нормировки входных сигналов поступают дискретные текущие значения 0(k), 9(&), 0(k).
= -(0* - 9min)/(29min); = -(9 - 0min)/(20min);
= -(0* - 0min)/(20min);
* i
= mmin(l - 2м! ).
(5)
Первый канал настраивается на параметры объекта, соответствующие шестой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения входных переменных [0шт, 0шах],
[0ш;п, 0шах], [0шт, 0шах] , после настройки этого канала следующие: [-0,2, 0,2], [-0,3, 0,3], [-0,5, 0,5].
Второй канал настраивается на параметры объекта, соответствующие двадцатой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения входных переменных [0шт, 0шах] ,
[0шш, 0шах] , [0шт, 0шах] после настройки этого канала следующие: [-0,15, 0,15], [-0,3, 0,3], [-1, 1].
Третий канал настраивается на параметры объекта, соответствующие сороковой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения входных переменных [0ш;п, 0шах ] ,
[0ш;п, 0шах] , [0шт, 0шах] после настройки этого канала следующие: [-0,07, 0,07], [-0,5, 0,5], [-1, 1].
м
м
2
м
3
*
m
Четвертый канал настраивается на параметры объекта, соответствующие шестидесятой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения входных переменных
[9тт,9шах], [9тт, 9тах] , [^тт^тах] после настройки этого канала следующие: [-0,05, 0,05], [-0,3, 0,3], [-0,3, 0,3].
Диапазоны изменения выходного параметра [»¡Ш1п,^пах1 выбраны для всех каналов равными [-70, 70].
Настройка регуляторов произведена с целью получения минимальной текущей ошибки рассогласования и апериодического переходного процесса.
Отметим, что при настройке нечеткого регулятора в
интерактивной системе MATLAB целесообразно использовать блок NCD (Nonlinear Control Design), который реализует метод динамической оптимизации для проектирования систем управления. Этот инструмент, разработанный для использования с Simulink, автоматически настраивает системные параметры (в системе на рис.2 настраиваются параметры регулятора), основываясь на определенных ограничениях на временные характеристики (например, время регулирования и перерегулирование для реакции на ступенчатое воздействие или пределы для текущей ошибки рассогласования).
Процессы в системе управления с многоканальным нечетким регулятором
Процессы в системе управления с одноканальным нечетким регулятором
1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
/мо \
N(t) ^
1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
\(t) \
. . . . . t,c
0 10 20 30 40 50 60
0 10 20 30 40 50 60
а)
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
1 вмах = 0.015
y(t)
; t,c
10 20 30 40 50 60
б)
5 0
-5
-10
-15
-20
-25
1.
^m(t) . t,c
1.2 0.8 0.4 0
-0.4
I вмах = 0.02
yrn llUiu.
IT . . . . t,c
10 20 30 40 50 60
10 0 -10 -20
10 20 30 40 50 60
10 20 30 40 50 60
в)
Рисунок 8
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
На рис.8, слева, представлены процессы в системе управления с настроенным цифровым многоканальным нечетким регулятором.
Анализируя процессы в системе управления ракетой можно заключить, что цифровой многоканальный нечеткий регулятор обеспечивает быструю отработку ступенчатого воздействия без перерегулирования, с временем регулирования не более 5с и устойчивое слежение по заданному углу тангажа с достаточно малой ошибкой рассогласования (emax не более 3 % от амплитуды входного воздействия). Еще большего уменьшения ошибки рассогласования можно добиться путем увеличения числа каналов в нечетком регуляторе и путем выбора временных интервалов для подключения каждого канала. При этом незначительно усложняется блок настройки регулятора (adjustment of fuzzy-controller) -см. рис.5.
При использовании только одного канала (обычного нечеткого регулятора) в системе управления ракетой по углу тангажа в течении всего полета ракеты не удается получить такого качества системы, как при использовании многоканального регулятора. В качестве примера на рис.8, справа, представлены процессы в системе управления с настроенным цифровым одноканальным нечетким регулятором. Хотя устойчивое слежение по заданному углу тангажа этот регулятор обеспечивает ( emax составляет 4 % от амплитуды входного воздействия), но переходной процесс - колебательный, с перерегулированием более 50 %, временем регулирования более 20с и медленным затуханием.
ВЫВОД
Наличие многоканального нечеткого регулятора позволяет проектировать систему управления таким существенно нестационарным объектом как баллистическая ракета с весьма высоким качеством управления (характеризуемое апериодическим переходным процессом с малым временем регулирования и малой ошибкой рассогласования при отработке программной траектории полета ракеты). Поэтому применение нечеткого регулятора для такого объекта управления является целесообразным и перспективным.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Лебедев А.А., Карабанов В.А. Динамика систем управления беспилотными летательными аппаратами.- М.: Машиностроение, 1965.-225 с.
2. Гостев В.И., Стеклов В.К. Системы автоматического управления с цифровыми регуляторами: Справочник. -К.: "Радюаматор", 1998.-704 с.
3. Гостев В.И., Худолий Д.А., Баранов А.А. Синтез цифровых регуляторов систем автоматического управления. -К.: Радюаматор, 2000.- 400 с.
4. Гостев В.И. Синтез нечетких регуляторов систем автоматического управления. - К.: Издательство "Радюаматор", 2003.-512 с.
Надшшла 19.09.2003 Шсля доробки 26.10.2003
Рассмотрены результаты синтеза нечеткого (работающего на базе нечеткой логики) регулятора для системы стабилизации баллистической ракеты по углу тангажа. Методом математического моделирования определены процессы в системе и показано, что на основе применения нечеткого регулятора возможно весьма значительное улучшение качества системы, характеризуемое величиной ошибки рассогласования при отработке программной траектории.
The outcomes of synthesis of a fuzzy-controller for the system of stabilization of a ballistic rocket on a pitch angle. The method of mathematical simulation defines processes in the system and is shown, that on the basis of application of a fuzzy-controller the rather considerable improvement of quality of the system characterized by the value of an error of a mismatch is possible at improvement of a program trajectory.
УДК 539.2
В.И. Грядун, В.П. Шаповалов
ВОЗДЕЙСТВИЕ АТОМАРНОГО ВОДОРОДА НА ЭНЕРГИЮ СВЯЗИ В ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЯХ ГЕРМАНИЯ
Рассматривается механико-молекулярное моделирование поведения атомарного водорода в кристаллическом германии методом ММ+. Получена геометрически оптимизированная структура и найдены минимальные значения потенциала ван дер Ваальса 6-12 для неё. Квантовые энергетические свойства модели рассчитываются и анализируются в рамках полуэмпирического расширенного метода Хюкеля.
ВВЕДЕНИЕ
Современное состояние развития микроэлектроники характеризуется активным вхождением в наноэлектро-нику, что характеризуется уменьшением размеров эле-
ментной базы и повышением степени интеграции интегральных схем. Это предусматривает поиск физических явлений, которые бы обеспечивали одноэлектронные процессы на моноатомном уровне. Сказанное требует совершенствования и разработки новых способов управляемого воспроизводимого влияния на поверхностные слои полупроводниковых кристаллов. Одним из таких методов является воздействие атомарным водородом на поверхность и приповерхностные слои твёрдых тел с целью исследования их характеристик и модификации электрофизических параметров [1]. Ранее исследовались
