Варианты проектирования нечетких регуляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

14. Ропий А.Н., Старик A.M., Шутов К.К. Сверхвысокочастотные защитные устройства. - M.: Радио и связь, 1993. - С. 128.

Анотации:

Проведено аналiз шляхов i механiзмiв впли-ву потужного електромагнгтного випромiнювання на радiоелектроннi засоби i !хню елементну базу. Виявлено вiдмiнностi м1ж СВЧ- випромiнюванням i EMI НКД iз погляду впливу на РЕА.

Проведен анализ путей и механизмов воздействия мощного электромагнитного излучения на радиоэлектронные средства и их элементную базу. Выявлены отличия между СВЧ- излучением и ЭМИ УКД с точки зрения воздействия на РЭА.

The analysis of ways and mechanisms of influence of powerful electromagnetic radiation on radio-electronic means and their element base is carried out. Differences between microwave radiation and EMI OSD from the point of view of influence on REA are revealed.

УДК 62-55:681.515

ГОСТЕВ В.И. д.т.н, професор (Государственный университет информационно-коммуникационных технологий);

ТКАЛЕНКО О.Н., к.т.н (Государственный университет информационно-коммуникационных технологий);

НЕВДАЧИНА О.В. (Государственный университет информационно-коммуникационных технологий).

Варианты проектирования нечетких регуляторов

Введение

В настоящее время проектирование нечетких регуляторов осуществляется на основе пакета нечеткой логики Fuzzy Logic Toolbox с использованием мощного средства моделирования и исследования систем управления с обратной связью Simulink интерактивной системы MATLAB. Метод проектирования на основе пакета нечеткой логики системы MATLAB достаточно подробно изложен, например, в работах [1,2]. В работе [3]

предложен новый метод проектирования одного класса нечетких регуляторов, основанный на полученных аналитических выражениях для управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при симметричных треугольных, возведенных в степень треугольных, экспоненциальных, колоколообразных и гауссовых функциях принадлежности с двумя термами. Представлена функциональная схема нечеткого регулятора, на базе которой возможна реализация нечетких регуляторов программным или аппаратным способом. При проектировании нечетких регу-

ляторов предложенным методом нет необходимости в использовании пакета нечеткой логики системы МАТЬАВ и процедура проектирования нечетких регуляторов упрощается. Нечеткий регулятор представляется в виде последовательного соединения трех блоков (см. рис.1): 1 - формирователя величин А^) и В^), 2 -блока сравнения величин А^) и В^) и расчета ис (ис - ненормированное управляющее воздействие на выходе нечеткого регулятора на оси универсального множества и = [0,1]), 3 - блока нормировки выходной величины. Блочное построение регуляторов позволяет выбирать и использовать различные блоки формирователей величин А(1) и В^) и блоки сравнения величин А(^ и В^) и расчета ис и оптимизировать процессы в системах управления.

Рис.1. Блочная схема нечеткого регулятора

Ниже изложим четыре варианта проектирования нечетких регуляторов: а) при идентичных входных и выходных функциях принадлежности точным мето-

дом, б) при идентичных входных и выходных функциях принадлежности модифицированным методом, в) при выходных, отличных от входных, функциях принадлежности точным методом, г) при выходных, отличных от входных, функциях принадлежности модифицированным методом. При этом рассмотрим использование наиболее простых треугольных функций принадлежности.

Решение задачи

Получим аналитические выражения для управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях принадлежности точным методом. Рассмотрим нечеткий регулятор, на вход которого поступают ошибка системы в, скорость изменения (первая производная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки в. Нечеткий регулятор практически реализуется на микроЭВМ (или микропроцессоре) и работает в дискретном режиме, поэтому на входе регулятора включается аналого-цифровой преобразователь АЦП, а на выходе - цифроаналоговый преобразователь ЦАП. АЦП квантует непрерывную ошибку системы управления в(г) = ы^) - л^) с шагом квантования h. В качестве первой и второй производных от ошибки обычно вычисляют первую и вторую разность по формулам:

в(к) = [в(к) -в(к -1)]/ ^ в(к) = [в(к) - в(к -1)]/ h = [в(к) - 2в(к -1) + в(к - 2)]/ h2

(1)

где в(к) - квантованная ошибка на выходе АЦП. ЦАП представляет собой, как правило, фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией

Н(s) = (1 - е^)/ s .

На универсальном множестве и = [0,1] заданы два нечетких подмножества, функции принадлежностей (ФП) ко-

торых для каждой лингвистической величины определяются по формулам (см. рис.2):

[1(ы) = 1 -ы, ы е[0,1];

[2 (ы) = ы, ы е [0,1].

При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то фиксированный момент

времени значении входных переменных

в*, и и в* с шагом квантования h осуществляется пересчет входных перемен* * *

ных в переменные щ , и2 , и3 на универсальном множестве и = [0,1] и расчет значении ФП для этих переменных (см. рис.2). Точками на универсальном множестве отмечены возможные для какого-то

(т* = ас ) ,/ = 1,2,

(3)

момента времени значения переменных

3

* * * и , и-> , и

2

Ц! = 1-и

Ц2=и

Ц1 = 1-и

ц2 = и

0 I 3 1- А 1

1-В

а)

б)

Рис.2. Функции принадлежностей (ФП) и получение "результирующей фигуры"

Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в значения элементов единого универсального множества) диапазоны изменения входных сигналов (параметров нечеткого регулятора) принимаем симметричными: А = в = —в

ш втах втт >

в _в __в С _в __в

£>ш = втах = втт > ^ ш = втах = втт •

Тогда формулы для нормировки (пересчета) принимают вид

щ* = (в* + Ат )/(2 Ат );

«2* = (в*+ Вт )/(2Вт );

из*= (в*+ Ст )/(2Ст ).

(2)

Лингвистическое правило управления нечеткого регулятора формулируется виде:

где а/, а2 и а/ - лингвистические оценки ошибки, первой производной ошибки и второй производной ошибки, рассматриваемые как нечеткие терм-множества, определенные на универсальном множестве,у = 1,2; а3с - лингвистические оценки управляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества переменной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-множеств лингвистических переменных

в*, в*, в* и т*:

а3 е {отрицательная (1), положительная (2)}.

Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистические переменные) характеризуются как отрицательные (/ = 1) или положительные ( / = 2).

Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому множеству "отрицательный" определяется из системы нечетких логических уравнений:

Итх (х1, x2, хз) = "1(х1) Л " (х2 ) Л "1(хз). (4)

Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому множеству "положительный" определяется из системы нечетких логических уравнений:

(Х1, х2,Хз) = Ц2(Х1) Л /"2(х2) Л "2(х3) . (5)

Результирующая функция принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с рабочим правилом НР записывается в виде

"т (х 1, Х2, Х3)" 1, Х2, Х3) V

"т2(^ Х2 , Х3) (6)

Если (в* = а/ ) и (в* = а2) и (в* = а/), то В выражениях (4)-(6) л - логическое

и, V - логическое или.

В соответствии с лингвистическими правилами управления функция принадлежности управляющего воздействия

[с(ы) нечеткому множеству "отрицательный" ограничена сверху значением:

| ы[(ы )ёы

ыc = 1

(11)

| [(ы)ёы

А = (ыС), [1(ы 2), [1 (ыз)]; (7)

функция принадлежности управляющего воздействия [ (ы) нечеткому

множеству "положительный" ограничена сверху значением:

в = ), [2(ы2 ), [2(ы3 )]. (8)

Результирующая функция принадлежности для управляющего воздействия на основании выражения (6) определяет-

ся как

[с (ы) = [^(ы) ^ [с (ы)> (9)

Абсцисса "центра тяжести результирующей фигуры" при А < В определяется по формуле

А | ыёы + | ы 2 ёы + В | ыёы

ыс = -—

с А В

В

при А < В.

(12)

А | ёы + | ыёы + В | ёы

0 А В

После несложных вычислений нахо-

дим:

т.е. получается формированием максимума

[с (ы) =тал[(ы), [(ы)]. (10)

Для определения конкретного значения управляющего воздействия т формируется "результирующая фигура", ограниченная результирующей ФП и производится поиск абсциссы "центра тяжести результирующей фигуры" ыс.

Отметим весьма существенный факт. Какие бы значения не принимали

2 2 2 переменные ы1 , ы2 , ыз на универсальном множестве и = [0,1] в зависимости от соотношений величин А и В "результирующая фигура" может принимать только две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на рис.2,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.2,б.

Общая формула для определения абсциссы "центра тяжести результирующей фигуры " записывается в виде:

В/2 + (А3 - В3)/6 ыс =-^-тт^— при А < В. (13)

В + (А2 - В2)/2

Абсцисса "центра тяжести результирующей фигуры" при А > В определяется по формуле

1-А 1-В

А | ыёы + | (1 - м)мём + В | ыёы

0 1-А

1-В

1-А 1-

при А > В.

(14)

А | ёы + | (1 - ы)ёы + В | ёы

0 1-А

1-В

После несложных вычислений нахо-

дим:

(А - А2 + В2)/2 + (А3 - В3)/6 „ „ ыс = ±--2->_ при А > В.

А - (А2 - В2)/2

(15)

Полученное значение ыс затем преобразуется в значение управляющего воздействия на объект управления (при симметричном диапазоне изменения выходного сигнала

^т = ттах = -тшт ) т = тшт(1 - 2ыс ) = 2°тыс - °т . (16)

и„ =

с

1

Теперь получим аналитические выражения для управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях принадлежности модифицированным методом. Общая формула для определения абсциссы "центра тяжести результирующей фигуры" модифицированным методом записывается в виде:

| uj(u)du

0_

1

| /j(u)du

A 2 В ,, 2 ч

X x + — х (1- x2 )

2

2

(17)

A х x + B х (1- x2)

где х-| и Х2 - абсциссы точек пересечения прямых А и В с соответствующими функциями принадлежности.

Абсцисса "центра тяжести результирующей фигуры" при А < В определяется по формуле

B/2 + (A -B )/2 . D (18) uc =--^— при A < B. (18)

c B + A2 - B2

Абсцисса "центра тяжести результирующей фигуры" при А > В определяется по формуле

A/2 - A2 + B2 + (A3 - B )/2 „ л (1Q)

uc =-^^--— при A > B. (19)

c A-A2 + B2

Выполненная с использованием интерактивной системы MATLAB принципиальная схема нечеткого регулятора с идентичными треугольными функциями принадлежности, полученная на основании точного метода, представлена на рис.3.

Формирователь величин A(t) и B(t) реализован на основе формул (1), (2), (7) и (8). Элементами ограничения (Saturation) моделируем универсальное множество U = [0,1], на которое поступают переменные Ui, i = 1,2,3. В блоках Fcn, Fcnl, Fcn2 записываем аналитические выражения для функций принадлежности j (u), а в блоках Fcn3, Fcn4, Fcn5 - аналитические выражения для функций принадлежности ju2(u). На выходе блоков Fcn, Fcn1, Fcn2 получаем переменные J1(ui) (соответственно j1(u1), j(u 2), j1(u3)), а на выходе блоков Fcn3, Fcn4, Fcn5 получаем переменные j (ui) (соответственно

J2 (u1) , J2(u2) , J2(u3)).

Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета uc реализован на основе формул (13) и (15). На выходе верхнего сумматора формируется числитель, а на выходе нижнего сумматора формируется знаменатель выражения (13) и на выходе делителя Product4 формируется величина uc при

A < B. Аналогичным способом на выходе верхнего сумматора формируется числитель, а на выходе нижнего сумматора формируется знаменатель выражения (15) и на выходе делителя Product5 формируется величина uc при A > B. Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии A < B (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке Switch параметр Threshold=0.000001). При условии A > B, когда на среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, переключатель замыкает нижний контакт. На выходе переключателя Switch получаем величину uc.

c

Рис.3. Принципиальная схема нечеткого регулятора, полученная на основании

точного метода

Функции принадлежности в формирователе величин A(t) и B(t) называются входными, а функции принадлежности в блоке сравнения величин A(t) и B(t) и расчета uc называются выходными. Для

данного регулятора эти функции идентичны.

Блок нормировки выходной переменной реализован на основе формулы (16).

Логика работы нечеткого регулятора (см. рис.3) для фиксированного момента времени отображена на рис.4.

В формирователе величин A(t) и B(t) на входе нечеткого регулятора ошибка

системы (Error) в* квантуется АЦП (Zero-Older Hold), вычисляются первая (1-st drv)

в* и вторая (2-nd drv) в* разности от ошибки с шагом квантования h, и значения входных переменных в*, в* и в*

* *

пересчитываются в переменные u , u 2 , U3* по формулам (2). Производится рас-

чет значений входных функций принадлежности (см. рис.4,а,б)

"1 (и) = 1 — и; "2 (и) = и; 0 < и < 1,

* * *

для переменных и^ , и2 , и3 и на выходе блоков МтМах и МтМах1 на основе алгоритма Мамдани определяются соответственно величины А и В по формулам (7), (8).

Величины А и В поступают на блок сравнения величин А(1) и В^) и расчета ис, в котором производится расчет ненормированного выхода регулятора по формулам (13) и (15). Следует отметить, что блок сравнения реализует вычисление ненормированного выхода регулятора ис для выходных функций принадлежности, которые идентичны входным (см. рис.4,в,г), на основе формулы (11), вычисление которой при выходных функциях принадлежности, которые идентичны входным, приводит к окончательным формулам (13) и (15).

Далее полученное значение

uc

в

блоке нормировки выходной переменной пересчитывается в выходное напряжение регулятора по формуле

m = mmin (1 - 2uc ).

В динамике на выходе блоков Product, Product1, Product2 структурной схемы формирователя величин A(t) и B(t) получаем переменные ut (соответственно u1, u2, u3). Выражения (7) и (8) на каждом шаге h вычисляются в блоках MinMax и MinMax1, на выходе которых получаются значения переменных A(t) и B(t) и в блоке сравнения по формулам (13) и (15) вычисляются значения переменной uc (t),

которые преобразуется блоком нормировки выходной переменной в значение управляющего воздействия на объект управления m(t).

В схеме формирователя величин A(t) и B(t) при настройке нечеткого регулятора перестраиваются граничные значения диапазо-

нов Am = 9max

= —9 B = 9 = —9

= 9min > "m = 9max = 9mm ■

m=l-u

ц2 = и

щ=1-и

ц2 = и

\

\

А В

в)

б)

1-B

г)

Рис.4. Логика работы нечеткого регулятора с идентичными входными и выходными функциями принадлежности

Ст — в-сшк = ^гшп . В блоке нормировки выходной переменной перестраиваются граничные значения диапазона

Ит — тшах — —тшш

Блок сравнения величин А^) и В(t) и расчета ис, реализованный на основе формул (18) и (19), показан на рис.5. Выполненная с использованием интерактивной системы МА^АВ принципиальная схема нечеткого регулятора с идентичными треугольными функциями принадлежности, полученная на основании модифицированного метода, будет отличаться от схемы на рис.3 только этим блоком.

Рис.5. Принципиальная схема блока сравнения величин А(1) и В^) и расчета ис, нечеткого регулятора, полученная на основании модифицированного метода

Рассмотрим нечеткий регулятор, в котором используются входные функции принадлежности

^1(и) — 1 - и, и е [0,1]; Ц2 (и) — и, и е [0,1] (в формирователе величин А^) и В^) ) и отличные от входных выходные разъединенные функции принадлежности цх(и) — 1 -2и, 0 <и < 1/2;

/л2(и) — 2и -1, 1/2 < и < 1

( в блоке сравнения величин А^) и В^) и расчета ис ). Логика работы такого регулятора приведена на рис.6.

С выхода формирователя величин

А^) и В(^ в нечетком регуляторе на блок сравнения величин А(^ и В(^ и расчета ис с такими функциями принадлежности в фиксированный момент времени поступают величины А и В, как показано на рис.6.

Абсцисса "центра тяжести результирующей фигуры" определяется при А > В и при А < В и при любом значении с по одной и той же формуле:

Блок сравнения величин А(^ и В^) и расчета ис, реализованный на основе формулы (20), показан на рис.7. Выполненная с использованием интерактивной системы МА^АВ принципиальная схема нечеткого регулятора с идентичными треугольными функциями принадлежности, полученная на основании точного метода, будет отличаться от схемы на рис.3 только этим блоком.

(1-A)/2 1/2 (1+B)/ 2 1 -1)udu +B J udu a

A J udu + J (1- 2u)udu+ J(2u A CD-

0 (1-A)/ 2 1/2 (1+B)/ 2 =

(1-A)/2 1/2 (1+B)/ 2 1 CO

A Jdu + J (1 - 2u)du + J (2u -1)du +B J du в

0 (1-A)/ 2 1/2 (1+B)/2

_ (A + 3B)/8 - (A2 + B2)/8 + (A3 -B3)/24 . (20)

(A + B)/2 - (A2 + B2)/4

В качестве примера приведем следующие результаты расчетов:

А=0,4, В=0,2 ^ ис = 0,4093; А=0,2,

В=0,4 ^ ис = 0,5907 .

Ц] = 1-и Ц2 = и Ц, = 1-2и fJ.2 = 2u-l

LU

0

В 1_А ф(1-А) г |(1+В)

a)

в)

ц,=1-и Ц2 = и И-1=1-2и Ц2= 2U—1

\ LU

0

1-А

б) г)

Рис.6. Логика работы нечеткого регулятора с входными и отличными от входных выходными функциями принадлежности

(и-ил2)/8+илЗ/24

Sumí

(3*u-uA2)/8-uA3/24

~Ul

u/2-uA2/4

u/2-uA2/4

Uc

hKD

Product

Sum2

Рис.7 Принципиальная схема блока сравнения величин А(t) и В(t) и расчета ис, нечеткого регулятора, полученная на основании точного метода

Для нечеткого регулятора с выходными разъединенными треугольными функциями принадлежности на основании формулы (17) можно определить, что абсцисса "центра тяжести результирующей фигуры" при А > В и при А < В определяется по формуле:

(A + 3B) / 4 - (A2 + B2) / 2 + (A3 - B3) / 4

uc =-;-;-

c A + B - A2 - B2

при A > B и при A < B.

(21)

В качестве примера приведем следующие результаты расчетов по этой формуле:

А=0,4, В=0,2 ^ ис = 0,41; А=0,2, В=0,4 ^ ис = 0,59.

Формула (21), полученная модифицированным методом, немного проще, чем формула (20). И блок сравнения величин А(^ и В(^ и расчета ис в регуляторе

на рис.3 теперь будет представлен схемой, приведенной на рис.8.

u

c

Рис.8. Принципиальная схема блока сравнения величин А(1) и В(^ и расчета ис, нечеткого регулятора, полученная на основании модифицированного метода

Вывод

Таким образом, даже для конкретных функций принадлежности ФП (рассмотрены только треугольные ФП) получаем четыре варианта нечетких регуляторов, которые отличаются только блоками сравнения величин А(^ и В(^ и расчета ис. Если рассматривать, кроме треугольных, например, возведенные в степень треугольные, экспоненциальные, колоко-лообразные, гауссовые функции принадлежности и комбинации этих входных и выходных функций, то получаем значительное количество вариантов схем нечетких регуляторов. Поэтому выбор варианта схемы нечеткого регулятора для конкретной фаззи-системы автоматического управления представляет собой достаточно сложную задачу и может быть выполнен, например, путем моделирования этой фаззи-системы с различными регуляторами. Этот вопрос будет рассмотрен особо.

3. Гостев В.И. Новый метод проектирования одного класса нечетких цифровых регуляторов // Проблемы управления и информатики. - 2007. - №6.-С.73-84.

4. Гостев В.И. Проектирование простейших нечетких регуляторов для систем автоматического управления // Проблемы управления и информатики. - 2010. - №1.-С.117-130.

Анотацн:

Ключовi слова: нечггкий регулятор, функщя приналежносп, точний метод, модифшований метод.

Розглянуп чотири варiанти проектування нечетких регуляторiв: точним та модифжованим методами при вдентичних вхвдних та вихвдних функциях приналежностц при вихiдних, вiдмiнних ввд вхвдних, функцiях приналежностi.

Ключевые слова: нечёткий регулятор, функции принадлежности, точный метод, модифицированный метод.

Рассмотрены четыре варианта проектирования нечетких регуляторов: точным и модифицированным методами при идентичных входных и выходных функциях принадлежности; при выходных, отличных от входных, функциях принадлежности.

Keywords: fuzzy controller, membership functions, the exact method, the modified method

We consider four options for the design of fuzzy controllers: the exact and modified methods with identical input and output membership function, with output other than the input, membership function..

Литература

1. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения МАТЬАВ. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. - 480 с.

2. Гостев В.И. Синтез нечетких регуляторов систем автоматического управления. - К.: Издательство "Радюаматор", 2005.-708 с.