Использование предикатной алгебры выбора в моделировании микроволновых антенн Текст научной статьи по специальности «Физика»

Якимов А.Н.

Пензенский государственный университет

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕДИКАТНОЙ АЛГЕБРЫ ВЫБОРАВ МОДЕЛИРОВАНИИ МИКРОВОЛНОВЫХ АНТЕНН

В моделировании микроволновых антенн со сложной пространственной конфигурацией, например зеркальных параболических антенн, перспективно использование метода конечных элементов (КЭ) . В связи с этим, появляется возможность численного решения задачи излучения антенны путем деления (декомпозиции) ее поверхности на КЭ [1], в пределах каждого из которых поверхностный ток I (X, у, z) , является функцией координат X , у и z декартовой системы (рисунок 1) .

Рисунок 1 Фрагмент излучающей поверхности антенны

В качестве КЭ разбиения излучающей поверхности целесообразно выбрать плоские треугольные элементы (см. рисунок 1). При этом метод аппроксимации излучающей поверхности можно рассматривать как двумерное обобщение методов кусочно-линейной аппроксимации, а гладкая поверхность заменяется многогранной поверхностью аппроксимации. Применение такого метода позволяет обеспечить непрерывность искомой функции на границах между треугольниками, которая гарантируется равенством значений функции в совпадающих вершинах треугольников, а также сохранить независимость аппроксимации от расположения треугольников по отношению к глобальной системе координат Oxyz . При этом поверхность локально определяется значениями функции в вершинах треугольника и поэтому не изменяется при переопределении осей X , у и z [2].

Приближение дальней зоны позволяет считать, что все направления от начала локальных систем координат конечных элементов на точку наблюдения параллельны. Угловые же координаты точки наблюдения в локальных системах координат КЭ вследствие нелинейности излучающей поверхности оказываются различными. В связи с этим, для определения электрических составляющих электромагнитного поля, создаваемого в точке наблюдения гладкой криволинейной излучающей поверхностью, особое значение следует придавать оценке характеристик рассеяния КЭ и ребер внешних КЭ, образующих кромку излучающей поверхности при их возбуждении плоской электромагнитной волной, падающей под произвольным углом. Следует также обратить внимание и на необходимость оценки пространственной ориентации электрических составляющих поля, создаваемых на идеально проводящих КЭ и ребрах кромки излучающей поверхности тангенциальной Ит составляющей магнитного поля в глобальной системе координат, чтобы обеспечить их векторное сложение в точке наблюдения. Компоненты общего поля получаются простым суммированием сферических компонент поля Efi и Eoi каждого конечного элемента, Ef j и E0j каждого

краевого ребра кромки излучающей поверхности антенны относительно глобальной системы координат

[1] .

Правильность векторного сложения отдельных составляющих поля обеспечивается введением локальных систем координат с началами в центрах КЭ и учетом их ориентации относительно глобальной системы координат Oxyz . Сложность геометрической модели криволинейной излучающей поверхности антенны диктует необходимость совместной обработки геометрической, логической и аналитической информации при решении краевых задач излучения. В связи с этим перспективным оказывается использование в численных расчетах предикатной алгебры выбора [3.6] .

В расчетах характеристик излучения микроволновой антенны по ее дискретной модели используется информация, имеющая специфику для отдельных участков излучающей поверхности. Учесть эту специфику наиболее эффективно можно введением логики предикатов, которая, в отличие от логики высказываний, проникает и в структуру самих предположений в смысле связи того, о чем идет речь (субъект) с тем, что говорится о данном предмете (предикат). Таким образом, язык логики предикатов лучше приспособлен для выражения логических связей между различными понятиями и утверждениями.

Известно [3], что n - местный предикат P(x1, х2, ..., Xn) является двузначной логической функцией, принимающей одно из двух значений — "истинно" (1) или "ложно" (0) в зависимости от конкретных значений, приписываемых ее аргументам — предметным переменным X1, X2, ..., Xn из соответствующих об-

ластей определения, задаваемых множествами Xi, X2, ..., Xn

причем Xi Є Xi, X2 є X2, ..., Xn Є Xn

При заме-

щении аргумента Xk (предметной переменной) его некоторым значением b (предметной постоянной) n -местный предикат P(Xi, X2, ..., Xn) превращается в (n -1) — местный предикат P(Xi, ..., Xk_i, b, Xk+i ..., Xn) ,

который от переменной Xk уже не зависит. Таким образом, задавая численные значения предметных переменных, можно свести предикатную функцию к одноместному виду.

Из изложенных теоретических положений следует, что для составления предикатной функции P(Xi, X2, . .., Xn) и нахождения конкретных значений ее аргументов, обеспечивающих выполнение условия истинности необходимо:

— определить порядок n предикатной функции;

— задать предметные переменные Xi, X2, . .., Xn ;

— задать области определения Xi, X2, . .., Xn предметных переменных;

— обеспечить однозначность выполнения условия истинности, когда предикатная функция принимает значение 1;

— привести n - местную предикатную функцию P(X,, x2, . Xn) к одноместному виду;

— определить значение предметной переменной, при которой выполняется условие истинности. Предикатный подход [3,4] получил свое развитие в работах Л.И. Волгина [5,6] по векторной комплементарной алгебре, частной реализацией которой является предикатная алгебра выбора (ПАВ).

В основе ПАВ лежит положение о том, что расширенный класс функций Z порождается операциями суперпозиции

z = Va(Y) = ЗД + З2У2 + .... + BnYn , (1)

где Va(Y) —символ скалярного произведения векторов A и Y ; A = (а,, З2,..., an) — вектор весовых коэффициентов; Y = (у,, У2,..., Уп) — вектор предметных переменных. При этом обязательным является выполне-

ние условия комплементарности, в соответствии с которым

а, + а2 + ... + an = 1 , а є {0,1} , i = 1, 2, ..., n . (2)

Здесь весовые коэффициенты а/ являются двузначными предикатами, а элементарными функциями, воспроизводящими операции выбора одной из двух переменных, являются предикатные конъюнкция и дизъюнкция.

Таким образом, в соответствии с положениями ПАВ, специфика отдельных участков излучающей по-

верхности антенны может быть задана вектором предметных переменных Y = (у,, У2,..., Уп) , элемент кото-

рого, соответствующий заданному участку поверхности, выбирается двузначным коэффициентом, равным 1), определяемым операциями конъюнкции или дизъюнкции.

Рассмотрим процедуру определения краевых условий возбуждения симметричной тенны, вершина которой совпадает с началом декартовой системы координат (см. мере КЭ, расположенного во втором квадранте (рисунок 2).

предикатом (весовым

параболической ан-рисунок 1), на при-

Рисунок 2 К определению координат точки M

Нормаль n к поверхности КЭ и проекция магнитной составляющей H ,• на эту поверхность ( H jz ) мо-

гут быть получены по координатам характерных точек модели: вершин треугольного КЭ и его центральной точки. Нормаль n к плоскости, проходящей через вершины треугольника pi , p2 и p3 , совместим

с осью z локальной системы координат КЭ и опишем ее пространственную ориентацию в системе Oxyz

известными [7] формулами

Zx = COsA = Ax / Гп , Zy = cosy = Ay / rn

zz = cosaZz = Az / Гп

(3)

где zx , zy , zz —направляющие косинусы оси z локальной системы координат Oxyz в глобальной системе Oxyz ; Гп = ± yjAX; + A2y + A] , причем знак перед корнем определяется знаком вектора нормали, опущенной из точки O на плоскость КЭ;

Ay = ypi Zpi 1 Уp2 Zp2 1 , Ay = Zpi Xpi 1 Zp2 Xp2 1 , Az = Xpi ypi 1 Xp2 Уp2 1

Уp3 Zp3 1 zp3 Xp3 1 Xp3 Уp3 1

Xp1 - Xp3 , yp1 - yp3 , zp1 - zp3 — координаты вершин треугольника pi , p2 и p3 .

Вектор оси y определяется по координатам точек M и pi в системе координат Oxyz :

Ук = cosaX =

у = Ур!

аМ

г

Уу = cosay =

у = ypl yM

yz = cosaz =

y = ^p! M

(4)

Гу = J(xpi - XM)2 + (Урі - Ум )2 + (zpi - zM)2 .

Вектор оси x может быть найден как результат векторного произведения X = [y х z] :

_ X yy yz _ X Уі Ух - У Ух Уу

ху = cosaX = ; xy = cosay, = , x7 = cosaX = . (5)

x xzz y y z z z z

*~y *~7 *-2 *-x *~x *~y

Координаты точки M определяются в результате совместного решения уравнений [8] медиан AD и EB рассматриваемого треугольника (см. рисунок 2) и описываются следующими выражениями

у

у

где

2

xM = (kA + kc ' XB kB ' XA) I (kC kB ) , ( 6)

где kA = (yA - Ув)(xD - xA)(xF - Xb) ; кв = (yD - yA)(xF - Xb) ; kc = (yF - Ув)(XD - xA) .

yM = У A + (xM - Xa )(yD - Уа ) I ( Xd - xA) , (7)

= ^а + (Xm - Xa)(Zd - Za) I (Xd - Xa) . (8)

Координаты точек A , C и F , являющиеся вершинами треугольника (см. рисунок 2), оказываются определенными еще на этапе конечно-элементного разбиения поверхности [1], а для точек B и D они могут быть получены усреднением координат вершин, принадлежащих соответствующей стороне треугольника : Xb = ( Xa + Xc ) I 2 ; Xd = (Xc + Xf ) I 2 и т . д .

Зная направляющие косинусы вектора H ,• и осей локальной системы координат Oxyz относительно

глобальной Oxyz , легко найти его проекции на оси локальной системы Oxyz :

(9)

Модуль тангенциальной составляющей на поверхности КЭ при этом равен (10)

H іх = cosaH 1 = cosaH' ■ cosaX + cosa^' x y ■ cosaX + cosaH' ■ cosaX

Hyy = cosaH 1 = cosaH' ■ cosay + cosa^ x y ■ cosay + cosaH1 ■ cosaj

Hz = cosaH1' = cosaH' ■ cosaf + cosa^ x y ■ cosay + cosaH ■ cosazf

н * = 4н2 + н2

t \' ' IX ' ' iy '

а ее проекции на оси локальной системы могут быть определены по выражениям H t х = cosOHt = н,х I H t , H t y = cosaH = H^ I H-n , H-n Y = cosaH = 0 . (11)

Полученных данных оказывается достаточно, чтобы определить вектор плотности поверхностного тока Js = 2 [ n х H /г] в локальной системе Oxyz , а с использованием формул (3) - (5) и в глобальной

системе координат Oxyz .

Краевые условия возбуждения кромки излучающей поверхности определяются исходя из кусочно-линейной аппроксимации ее геометрии, которая полностью определена координатами вершин крайних КЭ. Зная координаты вершин крайних КЭ, принадлежащих кромке, легко найти пространственную ориентацию ее внешних ребер L и проекции Hі на эти ребра, поэтому задача в рассматриваемом аспекте не

представляет дополнительного интереса и в данной статье не рассматривается. Таким образом, краевые условия возбуждения КЭ можно считать определенными. Однако чтобы воспользоваться полученными формулами для определения краевых условий на КЭ, расположенных в любом из квадрантов декартовой системы координат Oxyz , нужно учитывать особенность ориентации КЭ в каждом из них (см. рисунок 2) . Условия комплементарности а., + &2 + а3 + а4 = 1 здесь могут быть легко выполнены, где а є {0,1} — весовые коэффициенты квадрантов, каждый из которых равен 1 только в своем квадранте, а в других квадрантах равен 0; і= 1,2,..., n ; n = 4.

Коэффициенты для квадрантов декартовой системы координат (см. рисунок 2) формируются c учетом разбиения излучающей поверхности относительно ее центра и сканирования матрицы координат излучающей поверхности слева направо и сверху вниз:

Га. = (m -1 -і < 0) л (K -1 - k > 0), а2 = (/ -1 -і > 0) л (K -1 - k > 0),

[аз = (/ -1 - і > 0) л (n - K - k < 0), а4 = (m - / -і < 0) л (n - K - k < 0),

где і ,k —номера строк и столбцов матрицы координат узловых точек, возникающих при разбиении излучающей поверхности антенны на КЭ взаимно перпендикулярными плоскостями; / , K —номера строк и столбцов, описывающих узловые точки горизонтальной и вертикальной осей симметрии антенны; m ,n — максимальные номера строк и столбцов.

Тогда операция суперпозиции элементов вектора предметных переменных U = U2Un) с этими весовыми коэффициентами позволит подключать их независимо для каждого квадранта и получить результат G :

G = u а., + U2 а2 + ... + Un аn . (13)

В качестве предметных переменных здесь могут выступать геометрические параметры КЭ и ребер, образующих края излучающей поверхности, характерные только для заданных квадрантов. Так, например, для определения по формулам (б) - (8) координат центра КЭ M используется информация матриц координат узловых точек излучающей поверхности, получаемых при ее конечно-элементном разбиении. Чтобы избежать ошибок расчета Хм , необходимо параметрам Xa , Xc и Xf присваивать x с индексами, соответствующими именно анализируемому квадранту. Аналогичные задачи решаются также при расчете yM и zM .

Пространственная диаграмма направленности зеркальной параболической антенны диаметром 1 м с фокусным расстоянием 0,35 м и уровнем поля на краю зеркала -10 дБ относительно максимума, рассчитанная в оболочке МабЬАБс помощью предложенной модели, приведена на рисунок 3.

3

Рисунок 3 Пространственная диаграмма направленности антенны

Близость полученных результатов к типичным для данного класса антенн указывает на перспективность использования предикатной алгебры выбора в проектировании микроволновых антенн со сложной пространственной конфигурацией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Якимов А.Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: монография / А. Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.

2. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков/ П. Сильвестер, Р. Феррари. - М.: Мир, 1986. - 229 с.

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера/ В.П. Сигорский. - Киев: Техника, 1977. -

768 с.

4. Рвачев В.Л. Проблемно-ориентированные языки и системы для инженерных расчетов/ В.Л. Рвачев, А.Н. Шевченко. - Киев: Техника, 1988. - 197 с

5. Волгин Л. И. Векторная комплементарная алгебра и ее применения: Две лекции по курсу "Логические основы и модели нейронных сетей"/ Л.И. Волгин. - Ульяновск: УлГТУ, 1996. - 52 с.

6. Волгин Л.И. Элементарный базис комплементарной алгебры: Комплементарный релятор /

Л.И. Волгин // Проектирование и технология электронных средств. — 2001 - №1. - С. 10 - 11.

7. Корн Г. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн. -М. : Наука, 1974 . - 832 с.

4