Предикатная алгебра выбора в моделировании микроволновых антенн сложной конфигурации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.391.677: 519.711.3

ПРЕДИКАТНАЯ АЛГЕБРА ВЫБОРА В МОДЕЛИРОВАНИИ МИКРОВОЛНОВЫХ АНТЕНН СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

А. Н. Якимов

У

Введение

При математическом моделировании микроволновых антенн со сложной пространственной конфигурацией, например зеркальных параболических антенн, с использованием метода конечных элементов (КЭ) появляется возможность численного решения задачи излучения антенны путем деления (декомпозиции) ее поверхности на КЭ [1]. В этом случае в пределах каждого из КЭ поверхностный ток I(X, у, 2) является функцией координат X , у и 2 декартовой системы (рис. 1).

В качестве КЭ разбиения излучающей поверхности целесообразно выбрать плоские треугольные элементы (см. рис. 1). При этом метод аппроксимации излучающей поверхности можно рассматривать как двумерное обобщение методов кусочно-линейной аппроксимации, а гладкая поверхность заменяется многогранной поверхностью аппроксимации. Применение такого метода позволяет обеспечить непрерывность искомой функции на границах между треугольниками, которая гарантируется равенством значений функции в совпадающих вершинах треугольников, а также сохранить независимость аппроксимации от расположения треугольников по отношению к глобальной системе координат 0ху2 . При этом поверхность локально определяется значениями функции в вершинах треугольника и поэтому не изменяется при переопределении осей X, у и 2 [2].

Приближение дальней зоны позволяет считать, что все направления от начала локальных систем координат конечных элементов на точку наблюдения параллельны. Угловые же координаты точки наблюдения в локальных системах координат КЭ вследствие нелинейности излучающей поверхности оказываются различными. В связи с этим для определения электрических составляющих электромагнитного поля, создаваемого в точке наблюдения гладкой криволинейной излучающей поверхностью, особое значение следует придавать оценке характеристик рассеяния КЭ и ребер внешних КЭ, образующих кромку излучающей поверхности при их возбуждении плоской электромагнитной волной, падающей под произвольным углом. Следует также обратить внимание и на необходимость оценки пространственной ориентации электрических составляющих поля, создаваемых на идеально проводящих КЭ и ребрах кромки излучающей поверхности тангенциальной Их составляющей магнитного поля в глобальной системе координат, чтобы обеспечить

з +■

Рис. 1. Фрагмент излучающей поверхности антенны

Постановка задачи

их векторное сложение в точке наблюдения. Компоненты общего поля получаются простым суммированием сферических компонент поля Ефи Еш каждого конечного элемента, Е^- и Ев- каждого краевого ребра кромки излучающей поверхности антенны относительно глобальной системы координат [1].

Правильность векторного сложения отдельных составляющих поля обеспечивается введением локальных систем координат с началами в центрах КЭ и учетом их ориентации относительно глобальной системы координат 0ху2 . Сложность геометрической модели криволинейной излучающей поверхности антенны диктует необходимость совместной обработки геометрической, логической и аналитической информации при решении краевых задач излучения. В связи с этим перспективным оказывается использование в численных расчетах предикатной алгебры выбора [3-6].

Решение проблемы

В расчетах характеристик излучения микроволновой антенны по ее дискретной модели используется информация, имеющая специфику для отдельных участков излучающей поверхности. Учесть эту специфику наиболее эффективно можно введением логики предикатов, которая в отличие от логики высказываний проникает и в структуру самих предположений в смысле связи того, о чем идет речь (субъект) с тем, что говорится о данном предмете (предикат). Таким образом, язык логики предикатов лучше приспособлен для выражения логических связей между различными понятиями и утверждениями.

Известно [3], что «-местный предикат Р(х^ Х2,..., хп), который является двузначной логической функцией, принимающей одно из двух значений - «истинно» (1) или «ложно» (0) в зависимости от конкретных значений, приписываемых ее аргументам - предметным переменным х1, х2,..., хп из соответствующих областей определения, задаваемых множествами Х1, X2,..., Хп, причем Х1 е Х1, Х2 6 X2,..., хп е Хп. При замещении аргумента хк (предметной переменной) его некоторым значением Ь (предметной постоянной) п-местный предикат Р(Х1, Х2,..., хп) превращается в (п-1)-местный предикат Р( х1,..., хк _ 1, Ь, хк +1,..., хп), который от переменной хк уже не

зависит. Таким образом, задавая численные значения предметных переменных, можно свести предикатную функцию к одноместному виду.

Из изложенных теоретических положений следует, что для составления предикатной функции Р(Х1, Х2, ..., хп) и нахождения конкретных значений ее аргументов, обеспечивающих выполнение условия истинности необходимо:

- определить порядок п предикатной функции;

- задать предметные переменные х1, х2,..., хп;

- задать области определения Х1, X2,..., Хп предметных переменных;

- обеспечить однозначность выполнения условия истинности, когда предикатная функция принимает значение 1;

- привести п-местную предикатную функцию Р(Х1, Х2,..., хп) к одноместному виду;

- определить значение предметной переменной, при которой выполняется условие истинности.

Предикатный подход [3, 4] получил свое развитие в работах Л. И. Волгина [5, 6] по векторной комплементарной алгебре, частной реализацией которой является предикатная алгебра выбора (ПАВ).

В основе ПАВ лежит положение о том, что расширенный класс функций 2 порождается операциями суперпозиции

2 = ул(у)=а1 у1 +ед +... +апуп, (1)

где Ул (У) - символ скалярного произведения векторов Л и У; Л = (а^ аг,..., ап) - вектор весовых коэффициентов; У = (у1, у2,..., уп) - вектор предметных переменных. При этом обязатель-

ным является выполнение условия комплементарности, в соответствии с которым

а1 + а2 +... + ап = 1, а; е{0,1}, /' = 1,2,..., п . (2)

Здесь весовые коэффициенты а1 являются двузначными предикатами, а элементарными функциями, воспроизводящими операции выбора одной из двух переменных, являются предикатные конъюнкция и дизъюнкция.

Таким образом, в соответствии с положениями ПАВ специфика отдельных участков излучающей поверхности антенны может быть задана вектором предметных переменных У = (У1, у 2,..., Уп ), элемент которого, соответствующий заданному участку поверхности, выбирается двузначным предикатом (весовым коэффициентом, равным 1), определяемым операциями конъюнкции или дизъюнкции.

Рассмотрим процедуру определения краевых условий возбуждения симметричной параболической антенны, вершина которой совпадает с началом декартовой системы координат (см. рис. 1), на примере КЭ, расположенного во втором квадранте (рис. 2).

Уп

Рис. 2. К определению координат точки M

Нормаль n к поверхности КЭ и проекция магнитной составляющей Hi на эту поверхность (HiT) могут быть получены по координатам характерных точек модели: вершин треугольного КЭ и его центральной точки. Нормаль n к плоскости, проходящей через вершины треугольника pl, p2 и p3 , совместима с осью z локальной системы координат КЭ, опишем ее пространственную ориентацию в системе Oxyz известными [7] формулами

zx = cos ax = Ax I rn, zy = cos ay = Ay 1 rn, z2 = cos az = Az I г,, (3)

где !x, 1y, zz - направляющие косинусы оси z локальной системы координат Oxyz в глобаль-

/2 2 2

ной системе Oxyz ; rn = ±JAx + Ay + Az , причем знак перед корнем определяется знаком вектора

нормали, опущенной из точки O на плоскость КЭ:

ypl zpl 1 zpl xpl 1 xpl ypl 1

Ax = 2 p z 2 p , Ay = zp2 xp2 1 , Ax = xp 2 yp 2 1

3 p z 3 p zp3 xp3 1 xp3 yp3 1

xp1- xp3, yp1- yp3, zp1- zp3 - координаты вершин треугольника pl, p2 и p3 .

во

Вектор оси у определяется по координатам точек М и р1 в системе координат 0ху2 :

— y Xpl XM — У ypl yM — У Zpl ZM

yx =cos < =----------------; Уу =cos аУ =---, yz =cos °z =-

r-

У

y

r-

У

(4)

где гу = V(Хр1 -хм )2 + (Урі - Ум )2 + (2р1 -*М )2 •

Вектор оси х может быть найден как результат векторного произведения х = [у х г ]:

X, = cos « =

Уу Jz — „.X Jz Jx Уу

; xy = cos ау = , xz = cos аX =

Zy Zz Zz Zx Zx Zy

(5)

Координаты точки М определяются в результате совместного решения уравнений [8] медиан АО и ЕВ рассматриваемого треугольника (см. рис. 2) и описываются следующими выражениями:

XM = (kA + kc ■ XB кв ■ XA ) 1 (kc кв ) , где к A = (У A - Ув)( Xd - Xa )( Xf -Xb ); кв = (>D - Уа )( Xf - Xb ); kc = ( Jf - У в)( Xd - Xa );

Ум = Уа + (XM - XA )(Jd -Уа )I(xD -XA ) ;

ZM = ZA + (xM -XA)(ZD -ZA)I(xD-xA).

(6)

(7)

(8)

Координаты точек А, С и Р, являющиеся вершинами треугольника (см. рис. 2), оказываются определенными еще на этапе конечно-элементного разбиения поверхности [1], а для точек В и О они могут быть получены усреднением координат вершин, принадлежащих соответствующей стороне треугольника: Хв = (Ха + Хс) / 2; хи = (Хс + хр) / 2 и т.д.

Зная направляющие косинусы вектора Иг- и осей локальной системы координат Оху! относительно глобальной Оху!, легко найти его проекции на оси локальной системы Оху! :

Hx = cos aH = cos аH • cos аX + cos aH • cos axy + cos aH • cos аX ,

Hy = cos aH = cos aH • cos ay + cos aH • cos ay + cos aH • cos ay ,

H;J = cos aHi = cos aH • cos aX + cos aH • cos ay + cos aH • cos a* .

Модуль тангенциальной составляющей на поверхности КЭ при этом равен

(9)

Hlx=, IHX

ну

(l0)

а ее проекции на оси локальной системы могут быть определены по выражениям

Hi, x =cos ат = Hix1 Hi, ; Hi, y =cos «j" = Hiy1 Hi,; Hi, z = cos of* = 0.

(ll)

Полученных данных оказывается достаточно, чтобы определить вектор плотности поверхностного тока J^ = 2 [ п х И;, ] в локальной системе 0ху^ , а с использованием формул (3)-(5) и в глобальной системе координат 0ху2 .

Краевые условия возбуждения кромки излучающей поверхности определяются исходя из кусочно-линейной аппроксимации ее геометрии, которая полностью определена координатами вершин крайних КЭ. Зная координаты вершин крайних КЭ, принадлежащих кромке, легко найти пространственную ориентацию ее внешних ребер Ь и проекции Иг- на эти ребра, поэтому задача в рассматриваемом аспекте не представляет дополнительного интереса и в данной статье не рассматривается. Таким образом, краевые условия возбуждения КЭ можно считать определенными.

Однако чтобы воспользоваться полученными формулами для определения краевых условий на КЭ, расположенных в любом из квадрантов декартовой системы координат 0xyz, нужно учитывать особенность ориентации КЭ в каждом из них (см. рис. 2). Условия комплементарности a1 + a2 + a3 + a4 = 1 здесь могут быть легко выполнены, где ai є {0,1} - весовые коэффициенты

квадрантов, каждый из которых равен 1 только в своем квадранте, а в других квадрантах равен 0; і = 1, 2,..., п ; п = 4.

Коэффициенты для квадрантов декартовой системы координат (см. рис. 2) формируются с учетом разбиения излучающей поверхности относительно ее центра и сканирования матрицы координат излучающей поверхности слева направо и сверху вниз:

[а1 = (т-І-і < 0)л(К-1-k>0), а2 = (I-1 -і > 0)л(К-1-k>0),

|а3 = (I -1 - і > 0) л (п - К - k < 0), а4 = (т-І -і < 0) л (n-K-k < 0), ( )

где і , k - номера строк и столбцов матрицы координат узловых точек, возникающих при разбиении излучающей поверхности антенны на КЭ взаимно перпендикулярными плоскостями; I, К -номера строк и столбцов, описывающих узловые точки горизонтальной и вертикальной осей симметрии антенны; т, п - максимальные номера строк и столбцов.

Тогда операция суперпозиции элементов вектора предметных переменных и = (^, и^,..., ип) с этими весовыми коэффициентами позволит подключать их независимо для каждого квадранта и получить результат О :

G = и1 а1 + и2 а2 + ... + ип ап . (13)

В качестве предметных переменных здесь могут выступать геометрические параметры КЭ и ребер, образующих края излучающей поверхности, характерные только для заданных квадрантов. Так, например, для определения по формулам (6)-(8) координат центра КЭ М используется информация матриц координат узловых точек излучающей поверхности, получаемых при ее конечно-элементном разбиении. Чтобы избежать ошибок расчета Хм , необходимо параметрам Ха , хс и Хр присваивать х с индексами, соответствующими именно анализируемому квадранту. Аналогичные задачи решаются также при расчете уМ и zM.

Анализ результатов

Пространственная диаграмма направленности зеркальной параболической антенны диаметром 1 м с фокусным расстоянием 0,35 м и уровнем поля на краю зеркала - 10 дБ относительно максимума, рассчитанная в оболочке МаїЬЛБ с использованием предикатной алгебры выбора и предложенной методики, приведена на рис. 3.

-15

Рис. 3. Пространственная диаграмма направленности антенны

Расчеты показали высокую точность такой математической модели антенны при разбиении ее излучающей поверхности на плоские треугольные КЭ с равномерным шагом, равным половине длины волны, и целесообразность ее использования в синтезе микроволновых антенн.

Заключение

Близость полученных результатов к типичным для данного класса антенн указывает на перспективность использования предикатной алгебры выбора в проектировании микроволновых антенн со сложной пространственной конфигурацией для совместной обработки геометрической, логической и аналитической информации при решении краевых задач излучения.

Список литературы

1. Якимов, А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий : моногр. / А. Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.

2. Сильвестер, П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестер, Р. Феррари. - М. : Мир, 1986. - 229 с.

3. Сигорский, В. П. Математический аппарат инженера / В. П. Сигорский. - Киев : Техника, 1977. - 768 с.

4. Рвачев, В. Л. Проблемно-ориентированные языки и системы для инженерных расчетов / В. Л. Рвачев, А. Н. Шевченко. - Киев : Техника, 1988. - 197 с.

5. Волгин, Л. И. Векторная комплементарная алгебра и ее применения : две лекции по курсу «Логические основы и модели нейронных сетей» / Л. И. Волгин. - Ульяновск : УлГТУ, 1996. - 52 с.

6. Волгин, Л. И. Элементарный базис комплементарной алгебры: комплементарный релятор / Л. И. Волгин // Проектирование и технология электронных средств. - 2001. - № 1. - С. 10-11.

7. Корн, Г. Справочник по математике: для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. -М. : Наука, 1974. - 832 с.

8. Якимов, А. Н. Использование предикатной алгебры выбора в моделировании микроволновых антенн / А. Н. Якимов // Надежность и качество - 2012 : тр. междунар. симп. : в 2 т. / под ред. Н. К. Юркова. -Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. - Т. 1. - С. 277-280.

УДК 621.391.677: 519.711.3 Якимов, А. Н.

Предикатная алгебра выбора в моделировании микроволновых антенн сложной конфигурации / А. Н. Якимов // Надежность и качество сложных систем. - 2013. - № 1. - С. 78-83.

Якимов Александр Николаевич

доктор технических наук, профессор, кафедра конструирования и производства радиоаппаратуры,

Пензенский государственный университет,

440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

(8412) 56-43-46 E-mail: [email protected]

Аннотация. Показана возможность и перспективность использования предикатной алгебры выбора в моделировании микроволновых антенн, имеющих сложную пространственную конфигурацию. Рассмотрены процедура и результаты такого использования для зеркальной параболической антенны.

Ключевые слова: антенна, моделирование, предикатная алгебра.

A. Yakimov

Doctor of Technical Science, professor, department of construction and the production of radio equipment Penza state university,

440026, Penza, Red street, 40.

(8412) 56-43-46 E-mail: [email protected]

Abstract. Opportunity and prospects of use of predicate algebra of a choice in modeling of the microwave antennas having a difficult spatial configuration is shown. Procedure and results of such use for the mirror parabolic antenna are considered.

Key words: antenna, modeling, predicate algebra.