CC BY
12ВИКОРИСТАННЯ ПАРАДОКС1В ТА СОФ1ЗМ1В У НАВЧАНН1 ТЕОР11 ЙМОВ1РНОСТЕЙ
Я.В.Гончаренко, кандидат фЬ.-мат наук, доцент, Нащональний педагогiчний утверситет м. М.П.Драгоманова,
1.Д. Чепорнюк, старший викладач, Кшвська державна академiя водного транспорту,
м.Кшв, УКРА1НА
Аналгзуеться можливгсть, доцгльнгсть та методичнг особливостг використання парадокс1в та соф1зм1в у навчанн теори ймов1рностей. Розглядаються деяк1 парадокси та соф1зми, пояснюеться !х суть, розкриваеться !х роль, мгсце та основн1 завдання в навчанн певних тем та розд1л1в теори ймов1рностей.
Проблема засвоення студентами рiзних спетальносгей основних понять теори ймовiрностей та математично! статистики остантм часом набувае особливо! акгуаль-носп, оскГльки на сьогоднГ ц галузi математики отримала багаточисельш застосу-вання у рiзних областях науки та виробниц-тва, досягнення яких багато в чому завдя-чують саме швидкому розвитку теори ймо-вiрносгей. Ще в 1812 рощ вщомий фран-цузький математик П'ер Симон Лаплас в робот „АналГтична теорiя ймовГрностей" писав: „Щкаво те, що науцi, яка почалась з розгляду азартних Ггор, судилося стати одним з найважливших об'ектiв людсько-го знания". Сьогодн неможливо вказати науку, яка б в т1ею чи iншою мiрою для свого розвитку не використовувала б мето-ди сучасно! теори ймовiрносгей. Теорiя ймовiрносгей також застосовуеться для обгрунтування математично! та прикладно! статистики, яка в свою чергу використову-еться при плануваннi i оргатзаци вироб-ницгва, аналiзi технолопчних процеав та для багатьох iнших цшей.
Саме поняття ймовiрносгi здаеться нам iнтуiтивно зрозумiлим i простим. Якщо, наприклад, 100 разiв пiдкидаеться звичайна монетка, то ми були б дуже здивоваш, якщо б кГлькГсгь „гербiв", що випали при цьому, сильно вiдрiзиялась вiд 50. Ми
iнтуiтивно робимо i бiльш тоню висновки, наприклад, що шанси появи 45 i 55 „гербГв" при 100 пГдкиданнях монети е однаковими. Наведет мiркування мiстять висновки сго-совно реального свiту, якГ сгверджують, що та чи iнша подiя вiдбудеться з певною ймовiрнiстю, i при цьому грунтуються на звичайному здоровому глуздi. Але в той же час, як колись сказав Чарлз Сандерс Прс, в жоднш шшш галузi математики дослiдник не помиляеться так легко, як в теори ймо-вiрностей. 1снуе величезна кГлькГсгь прик-ладiв, що пГдтверджують дане твердження. В ютори теори ймовiрносгей парадокси вiдiгравали i продовжують вадгравати над-звичайно важливу роль, часто виступаючи поштовхом i мотивом для подальшого розвитку.
В процесi навчання теори ймовiрносгей студенти часто стикаються з тими ж проблемами та допускають тГ ж помилки, що г вГдомГ математики минулого. Тому використання парадокав Г софГзмГв в навчант допомагае розв'язати кГлька важливих зав-дань: пГдвищити мотивацГю навчання, сприяти формуванню та розвитку ймовГр-нГсного мислення, творчому пГдходу до вирГшення поставлених проблем, бГльш глибокому розумГнню та засвоенню теоретичного матерГалу, розумГнню сутГ та особ-ливостей побудови ймовГрнГсних матема-
тичних моделей реальних процесiв i явищ, збагатити виклад матерiалу цгкавими гсто-ричними вгдомостями Парадоксгв та софгз-ми теорг! ймовгрностей представленг в пгдручниках та навчальних посгбниках, якг на сьогоднг е класичними, !м придгляли увагу найвщомгшг науковцг в галузг теорг! ймовгрностей, такг як А.М. Колмогоров [4], Б.ВГнеденко [1,6], АЯХгнчин [6], АВ.Ско-роход [7], використовуючи для того, щоб звернути увагу читача на деякг важливг нюанси та особливостг дослгджуваних понять. Ймовгртст парадокси а софгзми часто зустрАчаються в навчальнАй та науково-популярнАй лАтературА, формулю-ються як задачг пгдвищено! складностг, дослгдницькг задачг або проблеми [3,5].
Метою дано! роботи е показати доцгль-нАсть, можливостА та методичнА особливостА використання парадоксАв та софАзмАв в навчаннг деяких роздглгв теорг! ймовгрнос-тей, в основному зупинившись на перших вступних роздАлах, якА мають вирАшальне значення для подальшого успАшного засвоення теорг! ймовгрностей, математич-но! статистики та теорг! випадкових проце-сгв, а також гнших дисциплгн, що викорис-товують ймовгригсш методи (економетргя, дослгдження операцгй, економгчний ризик та методи його вимгрювання тощо).
Зауважимо, що важливо розргзняти парадокси а софгзми. Парадокси - це правильнА, хоча А неочАкуванА твердження, в той час як софАзми - це хибнА результати, отриманА за допомогою мАркувань, що формально здаються правильними.
Зупинимось детальнАше на деяких роз-дАлах теорА! ймовАрностей, розглянувши особливостг використання парадоксгв та софгзмгв при вивченнг окремих тем.
Класичне означення ймов1рност1
1. Парадокс де Мере.
З цим вгдомим парадоксом зв'язана гсторгя, з якою часто пов'язують момент зародження теорг! ймовгрностей як науки. В цгй гсторг!, яку вперше, як вважаеться, опублгкував Лейбнгц, розповгдаеться про те, що вгдомий французький гравець XVII ст. шевалье де Мере по дорозА в свАй маеток у Пуату зустрАв одного з найвАдомАших
вчених того часу Блеза Паскаля. Де Мере поставив Паскалю двi задач^ обидвi пов'я-зат з азартними iграми. Ц задачi Паскаль в своему листуваннi в 1654 р. обговорював з шшим вiдомим вченим П'ером Ферма. При цьому обидва науковцi прийшли до однакових висновкiв.
Суть одного з парадокав де Мере поля-гае в наступному: при чотирьох тдкидан-нях одного грального кубика ймовiрнiсгь того, що принаймнi один раз випаде 1, бiльша 1/2. В той же час при 24 пщкидан-нях двох кубикiв ймовiрнiсгь принаймнi одного випадання двох 1, менша 1/2. Це здаеться дивним, оскiльки шанси отримати одну 1 в шють разiв бiльшi, чим шанси отримання двох 1, а 24 якраз в 6 разiв бiльше 4.
При вивчент класичного означення ймовiрносгi студентам можна розповiсги iсторiю парадокса та запропонувати „повторит" мiркування вiдомих вчених по його поясненню, а також дати вiдповiдь на питання: скiльки разiв необхщно пщкинути гральний кубик, щоб ймовiрнiсть того, що двi 1 з'являться принаймш 1 раз стала бiльшою тж 1/2.
Пояснення цього парадокса е досить простим. Якщо симетричний гральний кубик тдкинути к разiв, то загальна кшь-юсть можливих (рiвноймовiрних) наслiдкiв
дорiвнюе 6к . В 5к випадках не випаде 1. А отже, ймовiрнiсть поди А, що полягае у випаданш принаймнi однiеi 1 дорiвнюе:
P( A) =
6k
6
51=i - $ 5 #k
1
При k = 4 ймовгрнгсть p(a) > —. З гн-
2
шого боку, ймовгрнгсть поди B - випадання принайми один раз двох 1 одночасно при k пгдкиданнях двох кубикгв доргвнюе:
p( b):
36k -35k 36 k
1 -
35
36
Ця величина менша 1/2 при k = 24 i бгльша 1/2, починаючи з k = 25 . 2. Парадокс розподту ставки. Цей парадокс був вперше опублгкова-ний у Венецг! в 1494 р. у книзг Луки Пачолг
k
„Сума знань з арифметики, геометри, ввдношень та пропорщйносп". Сам ПачолГ не пов'язував цю задачу з теорГею ймовГрносгей, вГн розглядав 11 як задачу про пропорци. 11 намагався розв'язати Н. Тарталья, але його розв' язання виявилось невГрним. ПГсля кГлькох невдалих спроб Паскаль Г Ферма в 1654 р. незалежно один вщ одного знайшли правильне розв'язання. Багато досшдниюв саме з цим ввдкриттям пов'язують народження теори ймовГрнос-тей, вГдносячи вс попереднГ дослГдження до 11 передГсгори.
Суть парадоксу полягае в наступному: двое рГвносильних гравцГв грають у гру. Той, хто першим виграе 6 партГй, отримае весь приз. Припусгимо, що гра зупинилась в той момент, коли перший гравець виграв 5 партш, а другий - 3. Як справедливо розподшити приз?
Зауважимо, що насправдГ ця проблема не е парадоксом, але безустшш спроби багатьох ввдомих вчених розв'язати 11 та суперечливГ вГдповГдГ створили 1й ГмГдж парадоксу. Зпдно одного з розв'язань, приз слщ розподГлити у вщношент 5:3 (по кГль-косп виграних партГй). Тарталья запропо-нував дГлити приз у вГдношеннГ 2:1 (оскГль-ки перший гравець виграв на 2 парти бГльше, що складае третину вГд необхГдних для перемоги 6 партГй, то перший гравець повинен отримати третину призу, а части-ну, що залишилась слГд роздГлити навпГл). НасправдГ ж справедливим е розподш у вщношент 7:1.
Ставлячи перед студентами вказану проблему та розв'язуючи 11, необхГдно особ-ливу увагу звернути на важливГсть вимоги рГвноймовГрносп елементарних подГй в класичному пГдходГ до визначення ймовГр-носп. Нехтування тею вимогою якраз Г призводить до неправильних результатГв.
ЗрозумГло, що справедливим буде розподш, пропорцшний шансам (ймовГрнос-тям) гравцГв виграти приз. Для визначення невщомих ймовГрностей можна скорисга-тись Гдеею Ферма, який запропонував про-довжити гру трьома фГктивними партГями (навГть якщо якГсь Гз них виявляться зайви-ми, тобто перший гравець виграе приз рат-
ше). Таке продовження робить всГ 2 • 2 • 2 = 8 наслщкГв рГвноймовГрними. ОскГльки тшьки в одному з 8 випадкГв другий гравець отримае приз, а в уах шших перемагае перший гравець, то справедливим е розподш у вщношент 7:1.
Геометричне означення ймов1рност1
Парадокс Бертрана.
Вщомий французький математик Жорж Бюффон в роботГ, опублГкованГй в 1777 р. (а написанш в 1733 р.), розв'язуючи задачу, вщому сьогодш як „задача про голку", вперше викорисгав скорГше геометричнГ, а не комбшаторт, як було до цього, мГрку-вання. В задачах такого типу припуска-еться, що випадковГ точки рГвномГрно розподГленГ в деякГй областГ, а ймовГрнГсть попадання в довшьну частину цГе1 областГ пропорцшна 11 площГ (довжинГ або об'ему). Так зват геометричнГ ймовГрностГ приво-дять до ряду парадоксГв. Наприклад, ймо-вГрнГсгь попасти в центр (чи в будь-яку шшу фГксовану точку) мГшенГ дорГвнюе 0. З шшого боку, на практии! попасти в цю точку можна, а отже, треба розрГзняти подГ1, що вщбуваються з ймовГрнГстю 0 Г неможливГ подГ1 (ймовГрнГсть неможливо1 поди дорГвнюе 0, але протилежне невГрно). Один з вГдомих парадоксГв, пов'язаних з геометричними ймовГрностями, опублГку-вав в сво1й книзГ „Числення ймовГрносгей" Ж.Л.Бертран (1889).
Суть парадокса полягае в тому, що р1зт способи випадкового вибору точок, приво-дять до рГзних результатГв, причому кожен споаб вибору виглядае по-своему природно.
Щоб продемонструвати суть парадоксу, студентам можна запропонувати розв'язати наступну задачу: для деякого кола випад-ковим чином вибираеться хорда. Знайти ймовГрнГсть того, що ця хорда мае бшьшу довжину, нГж сторона правильного трикут-ника, вписаного в дане коло.
Перед розв'язанням те1 задачГ погрГбно обговорити питання: як саме випадковим чином вибрати хорду заданого кола. Най-бГльш природними, на перший погляд, е наступт три способи.
I споаб. Вважатимемо, що одним з к1н-тв хорди е довГльна фГксована точка кола
®
(на мал. точка B). Нехай ця точка е однieю з вершин вписаного правильного трикут-ника ABC. Виберемо випадковим чином (з рiвномiрним розподiлом) iнший юнець хорди (точку M ).
Вершини трикутника дiлять коло на три рiвнi дуги. Вибрана випадкова хорда довша сторони трикутника, якщо точка M нале-жить дузi AC . Отже, шукана ймовiрнiсгь дорiвнюе 1/3.
B
II спосгб. Випадковим чином (рвномр-но) в даному крузi вибираеться точка. Ця точка однозначно визначае хорду, серединою яко! вона е. Ця хорда мае бшьшу дов-жину, шж сторона вписаного в коло правильного трикутника, тсда i тшьки тодi, коли 11 середина лежить всерединi круга, вписаного в трикутник.
Радiус вписаного в правильний трикут-ник кола вдвiчi менше радiуса описаного Тому площа вписаного кола в 4 рази менше площi даного, а отже шукана ймовiрнiсгь дорiвнюе 1/4.
В
III спосгб. Виберемо точку довшьним чином рiвномiрно на деякому фшсованому радiусi кола i розглянемо хорду, що перпендикулярна цьому радiусу. Тодi випадкова хорда мае бшьшу довжину, нiж сторона трикутника, якщо випадкова точка лежить на тш половинi радiуса кола, яка ближче до центра.
Враховуючи симетрш, для побудови можна вибрати довшьний радiус, тому шукана ймовiрнiсть дорiвнюе 1/2.
В
/ О \ i
М \J
A Ч ус
Зауважимо, що можна розглянути i iншi способи випадкового вибору хорди, якi можуть привести до шших результапв.
Отримат рiзнi результати здаються парадоксальними, оскшьки кожен з розгля-нутих способiв використовуе рiвномiрний випадковий вiдбiр (в першому випадку на колi, в другому - в круз^ в третьому - на радiусi кола). Який же з описаних способiв дае правильну вiдповiдь? Напевно, думки студенпв роздiляться, причому, як правило, бшьшють вважае правильним перший споаб i вiдповiдь 1/3. Насправдi ж, якщо у нас немае ияко! додатково! шформаци про вибiр випадково'1 хорди, правильною е ввд-поввдь 1/2. Вперше це довiв A^i Пуанкаре в книзi „Числення ймовiрностей" (1912), спираючись на наступний факт: якщо двi множини хорд геометрично конгруентнi, то з рiвними ймовiрностями випадково вибрана хорда належатиме будь-якш з цих множин.
Отримати в результат! 1/2 можна i нас-тупними мркуваннями. Нехай R - радаус даного кола. Положення хорди однозначно визначаеться 11 полярними координатами (г,р), r е [0; r], ре [0;2ж]. Для того, щоб 11 довжина була бшьшою довжини сторони вписаного правильного трикутни-ка необхщно i достатньо, щоб 11 полярш координати задовольняли умову:
r е
R • R
2; r
, р е [0;2п]. Отже, в цьому ви-
падку отримуемо шукану ймов!ршсть 1/2. Незалежш поди. Умовн1 ймов1рност1.
<9D
TeopeMH aoaaBaHHH i mho^hha hmo-BipHoeren
nonapHa ne3anewnicmb ma ne3mew-nicmb e cyKynnocmi.
MareMaranHe BusHaneHHa Hesane^Hocri nogiM, aK npaBHno, ysrog^yeTbca s HarnHMH SBHHHHMH yaBneHHaMH npo Hesa^e^HicTb. OgHaK, TaKa ysrog^eHicib cnocrepiraeTbca He saB^gu. C.M.EepHmTeMH sanponoHyBaB HacrynHuM napagoKc: npunycTHMo, ^o nig-KugaeTbca gBi npaBHnbHi (cHMerpHnrn, ogHo-pigHi) mohcth. HexaM nogia A - „Ha nepmiM MoHeTi BHnaB rep6", nogia B - „Ha gpyriM MoHeTi BHnaB rep6" i nogia C - „Ha ogHiM (i TinbKH ogHiM) MoHeri BHnaB rep6". Togi nogii A i B nonapHo Hesane^rn, ane 6ygb-aKi gBi s hhx ogHosHanHo BusHanaroTb Tperro.
HaBoganu цeM npuKnag, c.mg sBepHyiH yBary crygeHTiB Ha Te, ^o, no-nepme, A i B oneBugHo HeBane^Hi, ocKinbKH pesynbTar nep-moro nigKHgaHHa He sane^rnb. Big pesynbTary gpyroro. 3 iHmoro 6oKy, A i C TaKo« Hesa-ne^Hi (aHanoriHHo B i C ), xona Ha nepmuM nornag Mo^yrb sgaBaTucb sane^HHMH. B ix Hesane^Hocri nepeKoHyeMocb b cuny bhko-HaHHa piBHocreM
P(AC) = P(A) • P(C) = 4 i
p( bc ) = p(b) • p(c ) = 4.
B roM ^e nac npaBunbHHM e i re, ^o 6ygb-aKi gBi nogii BusHanaroTb Tperro, ocKinbKH
A = BC, B = AC, C = AB + AB . Ue
napagoKc inrocrpye HacrynHuM Ba^nuBuM bhchobok: nonapna ne3mewnicmb nodiu ne o3nanae ix ne3anewnocmi e cyKynnocmi; nogii Aj, A2, ..., An e Hesane^HHMH b
cyKynHocri, aK^o Mae мicцe piBHicib:
p(aj • a2 •... • an) = p(aj) • p(a2) •... • p(an) flewi co$i3MU ma adcypdni pesynbmamu Posrnag co^isMiB Ta a6cypgHux pesynb-TaiiB ciBoproe npo6neMHy cmyamro, b aKiM crygeHTH MaroTb sHaMTH noMunKy b npaBgo-nogi6HHx MipKyBaHHax, ^o He saB^gu nerKo i gonoMarae rnu6me sposyMiTH i sacBoiTH TeopeiHHHHM Marepian, cyrTeBicib geaKHx npuny^eHb Ta BHMor, c^epy saciocoBHocri $opMyn Ta TeopeM.
npu BHBneHHi TeMH „OopMyna noBHoi Mмoвipнocтi; OopMynu EaMeca" Mo^Ha pos-rnaHyiH a6cypgHHM pesynbTaT, ony6niKoBa-hhm b KHusi BigoMoro aHrniMcbKoro nucbMeH-HHKa, nro6uTena Ta s6upana a6cypgHux pesynbTariB Ta npuKnagiB b мaтeмaтнцi Ta niiepaiypi Hbroica Keppona „npo6neMH Ha nogymm" (1894).
B MimenKy ne^aib gBi KynbKH, aKi mo-^yib 6yiH a6o nepBoHHMH, a6o 6inuMH. Cnpo6yeMo BigragaTH ix Konip, He sarna-garonu b MimenoK.
Keppon creepg^ye, ^o egHHa npaBunbHa BignoBigb nonarae b ToMy, ^o ogHa s KynboK nepBoHa, a iHma 6ina. BiH noacHroe цe TaK:
aK^o b MimenKy 2 nepBoHi (H) i J 6ina (E) KynbKH, MMoBipHicTb BiarHyiH nepBoHy gopiBHroe 2/3. 3 iHmoro 6oKy, aK^o b MimenKy 3 KynbKH i MMoBipmcrb BHTarayiH nepBoHy 6yna 2/3, to b MimenKy 2 nepBorn i J 6ina KynbKH. Tenep noKnageMo b MimenoK s gBoMa KynbKaMH ^e ogHy nepBoHy. B цboмy BunagKy icHye 4 piBHoMMoBipHi кoм6iнaцii KynboK: HHH, HEH, HHE i HEE. ^k^o Mae мicцe nepma KoM6ma^a, to MMoBipHicib BHTarHyiH nepBoHy KynbKy J, gna gpyroi i Tpeiboi кoм6iнaцii цн MMoBipHicTb 2/3 i gna ocraHHboi кoм6iнaцii - J/4. O™e, MMoBipHicib BHTarHyiH nepBoHy KynbKy gopiBHroe:
1 2 J 2 J J J 2 j •_ +---+---+---.
4343444 3 TaKHM nHHoM, b MimenKy Mae 6yru 2 nepBoHi KynbKH i ogHa 6ina, a or^e, go Toro, aK mh noKnanu b Hboro nepBoHy KynbKy, b HboMy Manu 6ynu 6yru J nepBoHa i J 6ina KynbKH.
TaKuM pesynbTaT oneBugHo e a6cypgHHM. Ane b noMy ^ noMunKoBicib MipKyBaHb? HacnpaBgi, He Mo^Ha ciBepg^yBaTH icHy-BaHHa 4 piBHoMMoBipHux кoм6iнaцiM KynboK nicna goKnagaHHa nepBoHoi KynbKH, ocKinbKH bohh HaBiib He e BHnagKoBHMH nogiaMH.
HacrynHi MipKyBaHHa TaKo^; npuBogaTb go a6cypgHHx pesynbTaTiB. Ua sagana BigoMa aK npo6neMa Tpbox sacyg^eHux. ^Boe s Tpbox sacyg^eHHx A, B i C HacrynHoro paHKy 6ygyib cipaneHi (MMoBipHicib Toro ^o cipaia 6yge npusHaneHa Ha HacrynHuM paHoK ogHaKoBa gna Bcix sacyg^eHux). 3acyg^eHuM A MipKye TaK: „MMoBipHicTb Toro, ^o MeHe
не стратять завтра доргвнюе 1/3. Якщо я попрошу охоронця назвати гм'я (вгдмгнне вгд мого) одного з двох гнших засуджених, яких стратять завтра, то залишиться тАльки двг можливостг. Або гнший, кого стратять, це я, або нА, А тому шанси того, що я виживу збгльшуються до 1/2". Однак ще до того, як A запитае охоронця, вАн знае, що одного з його товаришАв напевно стратять, так що охоронець не повгдомить A нгяко! ново! шформаци. Чому тодг змгнилась ймовгр-нгсть страти?
Насправдг ймовгригсть зовсгм не змгни-лась. A не врахував, що охоронець назве, наприклад, B з ймовгрнгстю 1/2, якщо зби-раються стратити B г С, але ця ймовгр-нгсть доргвнюватиме 1, якщо мають стратити A г B . Отже, ймовгрнгсть того, що A не стратять можна обчислити за формулою 1 1
Байеса:
2 3
1 1 1 1 ---+1 •2 3 3
Пгдсумовуючи вищесказане, хочемо зауважити, що, на нашу думку, викорис-тання парадоксгв та софгзмгв в навчаннг теори ймовгрностей дозволить:
1) активгзувати пгзнавальну дгяльнгсть студентгв;
2) пiдвищити мотивацiю навчання теори ймовiрностей;
3) стимулювати творчу актившсть;
4) краще засвоiти теоретичний мат^ал та виробити навички розв'язання задач;
5) сприяти розвитку лог1чного та тео-ретико-ймовiрнiсного мислення;
6) впровадити елементи iсторизму в навчання теори ймовiрностей.
1. ГнеденкоБ.В. Очерк истории теории вероятностей. - М.: Наука, 1988.
2. Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. - М.: Наука, 1980.
3. Секей Г. Парадоксы теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1989. —240с.
4. Колмогоров АН. Основные понятия теории вероятностей. - М.: Наука, 120с.
5. Мостселлер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - М.: Наука, 1975. - 112с.
6. ГнеденкоБ.В., ХинчинАЯ. Элементарное введение в теорию вероятностей. - М.: Наука, 1979. - 168с.
7. Скороход А.В. Вероятность. Основные понятия. Структура. Методы // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем. пробл. матем. фундам напрет., 1989, 43. — С. 5-145.
8. Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. - М.: Наука, 1972.
Резюме. Гончаренко Я.В., Чепорнюк И.Д. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАРАДОКСОВ И СОФИЗМОВ В ОБЧЕНИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. В работе анализируется возможность, целесообразность и методические особенности использования парадоксов и софизмов в обучении теории вероятностей. Рассматриваются некоторые парадоксы и софизмы, объясняется их суть, раскрывается роль, место и основные задачи в изучении некоторых тем и разделов теории вероятностей.
Summary. Goncharenko Ya., Chepornyuk I. THE USE OF PARADOXES AND SOPHISMS IN THE STUDYING OF PROBABILITY THEORY. In the work we analyse possibilities, methodical characteristics of using paradoxes and sophisms in the studying of probability theory. Some paradoxes and sophisms are considered. Their essence, role, place and basic tasks in the study of some themes and sections of probability theory are explained.
Надшшла доредакцп 23.12.2007р.
®
