ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИЕМОВ СОЗДАНИЯ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ В КУРСЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

© БпЬап V.

ВИКОРИСТАННЯ ДЕЯКИХ ПРИЙОМ1В СТВОРЕННЯ ПРОБЛЕМНИХ СИТУАЦ1Й В КУРС1 ТЕОРП ЙМОВ1РНОСТЕЙ

В.М.Дрибан, доцент,

Донецький нащональний ушверситет економжи i торгiвлi

iм. М. Туган - Барановського, м. Донецьк, УКРА1НА

Розглянуто деяп прийоми створення проблемних ситуагрй г конструювання на Их основ! проблемных ситуацш в кура теори ймовгрностей.

Створення проблемних ситуацш е одним з центральних i в той же час одним iз скрутних для викладача моменпв у практичнш реалiзацГi проблемного навчання. Достатньо сказати, що в знач-нiй бiльшостi методичних розробок i статей наводяться лише одиночнi прикла-ди створення проблемних ситуацiй з вищо! математики. Отже, актуальним е питання розробки конкретних прийомiв створення проблемних ситуацш з вищо! математики та методики реашзацп цих прийомiв у навчальному процесi.

Мета стат - конструювання проблемних ситуацш при викладенш теорп ймо-вiрностей на основi спецiальних прийомiв та опис тактики викладача й результалв шзнавально! дiяльностi студентiв у про-цесi постановки навчальних проблем.

В [1; 3] розглянуто у загальнодидак-тичному плат основт способи створення проблемних ситуацш. Навчальна практика показуе, що одним з найбшьш ефективних способiв створення проблемних ситуацш е розгляд парадокав або софiзмiв, пред'явлення тому, хто вчить-ся, суперечливих, на перший погляд, суджень або судження, в якому припус-каеться завуальована помилка, завдяки чому помилковий, по суп, висновок здаеться правильним. У цих випадках суперечносп, на основi яких виникають проблемнi ситуацп, завжди вираженi в яскравш формi i тому легко вщчувають-ся студентами. Це, в свою чергу, створюе високий емоцшний настрiй, виникае осо-

биста защкавлешсть у розв'язаннi задач1. Знання, як здобутi у результатi розв'язан-ня таких проблемних ситуацiй, студенти пам'ятають мiцно i довго.

Проблемна ситуащя може виникну-ти як тод^ коли студенти самостiйно приходять до суперечливих результапв, так i тод^ коли суперечливi результати навмисно одержуе викладач.

Наведемо деяк прийоми, як ми ви-користовуемо для створення проблем-них ситуацiй в курсах вищо! математики та теорп ймовiрностей.

1. Розширення границь застосовност деяких понять.

2. Вiдкидання з теореми тих чи ш-ших суттевих умов.

3. Створення ситуацш, в яких студен-пв може пiдвести штушдя.

4. Використання того, що студенти часто не усвщомлюють важливост ви-конання умов юнування того чи iншого поняття.

5. Використання школи неправильного трактування студентами понять, теорем та шшо! шформацп.

6. Використання помилок та недоль кiв, як зустрiчаються у навчальних по-абниках.

Зауважимо, що цi прийоми часто ви-користовуються у тiсному сполучент.

Наведемо конкретнi проблемн1 ситуацп при викладаннi теорп ймовiрностей, як можна сконструювати на основi вищеви-кладених прийомiв (з досвiду роботи).

1. Розширення границь застосов-

ност деяких понять

Поняття класично! ймовiрностi може бути застосоване лише до рiвноможли-вих та едино можливих подш. Пору-шення цих умов може призвести до проблемно! ситуацп.

Ситуацгя 1. Студенти безпосередньо пiдраховують, що ймовiрнiсть випадан-ня парного числа очок при кидант одного грального кубика дорiвнюе 1/2. Пiсля цього викладач пропонуе шший спосiб розв'язання задач! Можливi два випадки (випадання парного i непарного числа очок), з яких сприятливим е один, тобто р = 1/2. Вщповвд збшлися.

Пiсля цього студентам пропонують пiдрахувати ймовiрнiсть того, що при кидант одного грального кубика випа-де число очок, яке дщиться на 4. Вщпо-вiдь р = 1/6. Але викладач пропонуе т ж самi мiркування, що i в першому випад-ку, i знов одержуе вiдповiдь р =1/2. Ви-никае проблемна ситуащя.

Викладач запевнюе, що у першому випадку обидва способи розв' язання правильнi, але чому ж тодi у другому випадку одержанi рiзнi вiдповiдi? Вини-кае ще одна проблемна ситуащя.

Ситуацгя 2. Студентам пропонують розв'язати таку задачу: "Гральний кубик кинули два рази. Знайти ймовiрнiсть того, що сума очок, що випали, дорiвнюе 7".

Правшьт мiркування такi. Можливi п = 6 • 6 =36 випадюв. З них сприятли-вими е 6 випадюв: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3). Отже, р = 6/36 =1/6.

Але студенти можуть запропонувати такий природний шлях "розв'язання" задач! Можливi випадки: "сума очок дорiвнюе 2", "сума очок дорiвнюе 3" i так далi до "сума очок дорiвнюе 12". Всього 11 випадкiв, з них лише один випадок е сприятливим, тобто р= 1/11.

Рiзнi вщповщ створюють проблемну ситуащю. Суть помилки та ж сама, що i в ситуацп 1: випадки: "сума очок доршнюе 2", "сума очок дорiвнюе 3" i так дат не рiвноможливi. Дйсно, наприклад, сума 2 виникае в одному варiантi (2=1+1), а сума 4 - у трьох варiантах (4=1+3, 4=3+1, 4=2+2).

Зауважимо, що якщо студенти за-

пропонують лише один шлях розв'язання задач^ то для створення проблемно! ситуацп шший шлях повинен запро-понувати викладач.

Ситуащя 3. Шсля того, як студенти вивчили формулу повно! ймовiрностi, можна виршити, наприклад, таку задачу: "Маемо два ящики. У першому 5 деталей, з яких 3 стандартт, у другому 6 деталей, з яких 5 стандартна Навмання обираемо ящик i навмання беремо деталь. Яка ймовiрнiсть того, що деталь буде стандартною?"

Формула повно! ймовiрностi приво-

1 3 1 5 43 дить до вщповвд: р =----1----= —

2 5 2 6 60

Пюля цього викладач пропонуе таю мiркування (часто це роблять самi студенти). Уявимо, що ящики стоять поряд i усу-немо перегородки. Тод фактично маемо один ящик, що мгстить 11 деталей, серед яких 8 стандартт, тобто ймовiрнiсть вий-няти стандартну деталь дорiвнюе 8/11.

Якщо студенти не можуть знайти помилку, викладач звертае увагу на те, що фактично треба дати вщповщь на наступне запитання: чи рiвнозначнi з позицп теорп ймовiрностей ситуацп, коли деталi знаходяться в окремих ящиках (ящики А i В) або в одному (ящик С). Студенти самостшно або з допомо-гою викладача роблять висновок, що вищевикладет способи розв'язання - це розв'язання двох рiзних задач, хоч рiз-ниця мiж ними не зовам помина. Дшс-но, щоб мати можливiсть використову-вати класичне означення ймовiрностi, деталi в ящику С при другому способi "розв'язання" задачi повиннi бути ретель-но перемшат. Але у задачi маеться на уваз^ що ретельно перемiшанi деталi лише у кожному з двох ящиюв А i В.

Математичний аналiз розв'язкiв цих двох задач з метою виявлення умов, коли вiдповiдi будуть збiгатися, наведено в [1].

Ситуащя 4. Шсля введення поняття геометрично! ймовiрностi студентам пропонуеться задача: "В обласй В дана лiнiя Ь. Знайти ймовiрнiсть того, що точка, яка навмання кинута в область В, попаде на лшш П'.

За означенням p = mesLy

= 0.

mesD

"Але тодi виходить, - каже викладач, - що точка не може попасти на лшш L. Це суперечить здоровому розуму".

Виникае проблемна ситуащя.

Ситуащя 5. При вивчент властиво-стей штегрально'1 функцп розподiлу лектор доводить, що для неперервно'1 ви-падково'1 величини ймовiрнiсть того, що вона прийме конкретне фшсоване значения, дорiвнюе нулю. Проте зрозумiло, що вона може прийняти це значення.

Проблемна ситуащя аналопчна ситуацп 4. Студенти, як правило, не можуть самостшно ïï розв'язати, i i^i лектор за-дае питання: "А звщки випливае, що коли ймовiрнiсть поди дорiвнюе нулю, то вона не може вщбутися?" Звичайно студенти дають вiдповiдь, що Р(А)=т/п, тобто коли р=0, то m=0, i подоя вiдбутися не може. Питання: "Чи можливо у даному випадку користуватися класичним означенням ймовiрностi?" Пiсля цього з'ясовуеться, що протирiччя в ситуацп 5(як i в ситуацп 4) уявне. Воно виникло тому, що викладач навмисно розширив границ застосу-вання класичного означення ймовiрностi.

У даному випадку бажано пояснити студентам суть питання на прикладi статистично'1 ймовiрностi. Слiд нагада-ти, що вщносна частота при досить великому чи^ випробувань не дорiвнюе класичнш ймовiрностi, а лише наближа-еться до не'1. Отже, коли ймовiрнiсть подй' дорiвнюе нулю, то з цього випливае лише те, що при необмеженому повто-рент випробувань вщносна частота (тобто i число появ подй") не дорiвнюе нулю, а лише наближаеться до нуля, що свщчить про те, що подiя буде вщбува-тися як завгодно рщко.

2. В1дкидання з теореми тих чи шших суттевих умов

Ситуащя 6. Перед вивченням теореми складання ймовiрностей двох сумiсних подш лектор, не називаючи теми лекцп, пропонуе студентам розв'язати, наприклад, таку задачу. Двi електричш лампочки по-слщовно ввiмкиенi в ланцюг. Ймовiрнiсть того, що лампочки перегорять, якщо на-

пруга мережi перевищить номiнальну, дорiвнюють 0,6 i 0,3. Знайти ймовiрнiсть того, що при пщвищенш напруги струму у ланцюгу не буде.

Студенти, як правило, мiркують таким чином: струму у ланцюгу не буде, якщо перегорить чи перша, чи друга лампочка, отже, за теоремою складання ймовiрностей, шукана ймовiрнiсть дорiв-нюе р=0,6+0,3=0,9.

Пiсля цього лектор мiркуе так: струму у ланцюгу не буде, якщо перегорить хоч би одна лампочка, отже

р = 1 - qiq2 = 1 - 0,4-0,7 = 0,72.

Якщо ймовiрностi дорiвнюють, на-приклад, 0,7 i 0,6, то проблемна ситуа-щя виникае вщразу тсля того, як засто-сована теорема складання:

р = 0,7 + 0,6 = 1,3 > 1.

Проблемна ситуащя виникае через те, що до вивчення теореми складання ймовiрностей сумюних подш студенти, як правило, пам'ятають теорему складання

f ( ö) =

0,

aö-0,

ïôè ■2, ïôè ïôè

ö < 0, 0 < ö < 2, ö > 2.

у виглядо: ймовiрнiсть суми подш дорiв-нюе суш ймовiрностей подш, а та суттева обставина, що подй' повиииi бути несумгс-ними, часто випадае з поля зору студенлв.

Зауважимо, що з дидактичних мiр-кувань до ще'1 задачi слiд повернутися тсля вивчення теореми складання ймо-вiрностей сумiсних подш.

3. Створення ситуацш, в яких сту-дент1в може пвдвести ттущт

Ситуащя 7. На вступнш лекцй' з теорй' ймовiрностей лектор пропонуе студентам iти на пар! Вш стверджуе, що в аудиторп знайдуться хоч би два студенти, як наро-дилися в один i той же день одного i того ж мгсяця. Таке ствердження iнтуïтивно здаеться студентам надто малоймовiрним. Однак, як правило, лектор виграе це парi (звичайно, можливi винятки). Можна ще раз запропонувати iти на це пар^ виклю-чив двох, або бшьше студентiв, у яких сп1впали дт та мiсяцi народження. Знову, як правило, виграе лектор. Цей факт зда-

еться дивовижним.

Зрозумгло, що на вступнш лекцп ви-кладач не може провести вiдповiднi ма-тематичнi розрахунки. Вiн повiдомляe, що теорiя ймовiрностей, яку починають вивчати студенти, дае можливiсть роз-в'язати цю проблемну ситуацiю. Вияв-ляеться, що коли в аудиторп' лише 23 чоловгки, то вже шанс виграти парi бгль-ше, нгж 0,5, при 30 чоловiках вгн доргв-нюе 0,7, а при 40 - 0,9. Це означае, що коли в аудиторп тгльки 40 студентгв, то при багаторазовому повторюваннг ще! "гри", у середньому викладач буде ви-гравати 9 разiв з 10.

Потiм викладач гнформуе студентiв, що багато якг "ггри", що пропонують на-селенню державнi та комерцiйнi структу-ри, розрахованг на аналогiчний ефект. Завдяки вiдповiднiй рекламi людинi, яка не володге теорiею ймовiрностей, здаеть-ся, що 1й пропонують вигiднi умови, тодi як 11 виграш надто малоймовiрний.

Такi "ггри" вже на першому етапi за-безпечать гнтерес до вивчення теорп' ймовiрностей.

Ситуацгя 8. Викладач каже студентам: "Уявимо собг, що ми кинули монету 1000 разгв i всi 1000 разш випав герб (це дуже малоймовiрно, але можливо). Вам пропонують гти на парi: якщо у 1001-й раз знову випаде герб, ви виграете, а якщо решка -програете. Ви будете гги на парi?"

Студенти упевненг, що таке парг не на 1х користь. I знову студентгв пгдводе шту'щгя.

Проблемна ситуацгя виникае пгсля таких мгркувань викладача: монета не мае пам'ятг, тому ймовгрнгсть того, що у 1001-й раз з'явиться орел чи решка, така ж, як i у перший раз, тобто 1/2.

Розглянутг проблемнг ситуацп спри-яють виробленню у студентгв ймовгрно-сно1 штущп.

4. Використання того, що студенти часто не усввдомлюють важливост виконання умов кнування того чи 1ншого поняття

Ситуацгя 9. Студентам пропонують знайти гнтегральну функцгю розподглу F(x), якщо дана диференцгальна функцгя

f (

где где где

о < 0, 0 < о < 1. о > 1.

Розрахунки показують, що при х>1 ^(х)=1/3, тодi як за властивостями ^(х) повинно бути ^(х)=1.

Шсля аналiзу такого прикладу студенти з'ясовують, що Дх) не може бути довшьною, а саме: повинш виконувати-ся всi Н властивост! У даному випадку

не виконуеться властивють |у(хух = 1,

так що не юнуе неперервно! випадково! величини з такою диференщальною функцiею.

Ситуацгя 10. Неперервна випадкова величина мае диференщальну функщю розподiлу

Треба знайти коефщент а i Р(1 < X < 2).

Якщо виконати умову |/ (х )х = 1,

то знайдемо, що а = 5 / 2. Тепер

2

Р(1 < X < 2) = |(5х/2 - 2) = 7/4 > 1.

1

У даному випадку порушуеться влас-тивгсть невщ'емносп функцп / (х). Ще одна проблемна ситуацш виникае, якщо обчислити дисперсдо. Вона буде вщ'емною.

5. Використання iнколи неправильного трактування студентами понять, теорем та шшо'1 iнформацГí

СитуаЦя 11. Розв'язуемо задачу: "Знайти ймовiрнiсть того, що при кидант моне-ти 12000 разiв герб випаде 6019 разiв".

Локальна теорема Лапласа дае вщпо-

вщь р ~ 0,007, тобто ця подя практично неможлива. Проте вона здшснилася (екс-перимент Пирсона). Викладач нагадуе студентам про експерименти Бюффона, Кер-риха та шших учених, в яких також вщбу-лися практично неможливi подл. Створю-еться враження, що багаторазово i в анало-гiчних ситуацiях порушуеться принцип практично! неможливостi зд1йснення ма-лоймов1рно! поди'.

Проблемна ситуацiя розв'язуеться,

0

©

коли студенти правильно сформулюють цей принцип. ПДсля цього з'ясовуеться, що нДякого протирiччя немае. Розгляну-тий приклад свДдчить лише про те, що повторення результату Пирсона (появи герба рiвно 6019 разiв, якщо монету ки-дати 12000 разiв) - практично неможлива поддя. Це повнiстю вДдповДдае iнтуïцiï.

6. Використання помилок та недолив, якi зустрiчаються у навчальних поыбниках

Ситуащя 12. Пiсля вивчення формул Байеса викладач пропонуе студентам задачу, яка розглянута в [4]: "Маемо три урни. У першДй урнД 2 бДлД i 4 чорнД кулi, у другДй 4 бiлi i 2 чорт кулД, у третДй 3 бДлД i 3 чорнi кулi. Навмання вибираемо урну i навмання беремо кулю. Вона ви-явилася бДлою. Найти ймовДрнДсть того, що куля вийнята з першо'1 урни".

Викладач знайомить студентДв з мДрку-ванням авторiв книги. Нехай поддя А - куля, яку вийняли, бДла, поддя В - куля вийнята з першо'1 урни. МожливД 3*6=18 випа-дкДв (по юлькосл куль у всДх трьох урнах). З них подл А сприяють 9 випадкДв, а подй' В - 2. Таким чином, РА(В)=2/9.

Питання до студенев: "Чи можна за-пропонувати шший спосДб розв'язання за-дачi?" ОскДльки це типова задача на фор-мули Байеса, то студенти використовують цд формули i одержують таку ж саму вддпо-вддь. Однак, якщо розв'язати цими двома способами аналогДчну задачу, в якДй кДль-костД куль в урнах рДзнД, вДдповддд не будуть збДгатися. В чому справа?

Виявимо умови збДгання вДдповщей при двох способах розв'язання у разД двох урн. Нехай в першш урнД a бДлих i b чорних куль, у другш урнД c бДлих i d чорних куль.

За формулами Байеса a

Pa (B)

a + b

a

+

а + Ь с + ё При другому способi мiркувань

РА (В) = . а + с

Проси алгебрашт перетворення по-казують, що умова рiвностi числа куль в урнах (а + Ь = с + ё) е необхщною i дос-татньою для збiгу вiдповiдей.

Вщзначимо, що виявлення помилко-вих мiркувань у класичнiй книзi справ-ляе великий емоцюнальний ефект.

Використання проблемних ситуацш у навчальному процесi активiзуе розу-мову дiяльнiсть студентiв, сприяе мщ-ному засвоенню знань, тдвищуе iнтерес до матерiалу, який вивчаеться, i до самого процесу навчання.

На жаль, у тдручниках з вищо! математики та теорп ймовiрностей проблемнi си-туацл практично вiдсутнi. Сдиний вiдомий нам виняток - навчальний посiбник [2]. Давно назрша необхiднiсть створення ев-ристичних пiдручникiв, в яких проблемш ситуацИ' повиннi зайняти належне мюце.

1.Дрибан В.М., Активизация обучения в высшей школе: аспект проблемного обучения. - Донецк: ДонГУЭТ, 2002. - 145 с.

2.Дрибан В.М., Пешна Г.Г. Теоргя ймо-. - : , 2005. -

493 с.

3.. .. ..

реалгзацИ проблемного навчання у вузг //Вкник ДонДУЕТ. -1999. - №3. - С.161-166.

4. Ягчом А.М., Яглом КМ. Вероятность и информация. - М.: Физматгиз, 1960. - 315с.

Резюме. Дрибан В.М. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИЕМОВ СОЗДАНИЯ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ В КУРСЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Рассмотрены некоторые приемы создания проблемных ситуаций и конструирование на их основе проблемных ситуаций в курсе теории вероятностей

Summarry. Driban V. SOME APPROACHES USING TO CREATING PROBLEM SITUATIONS IN THE THEORY OF PROBABILITY. Some ways of creating problem solving situations are considered in the article and in terms of these approaches are designed the problem solving situations in Theory of Probability.

Надшшла до редакци 21.11.2008р.