Использование нечетких представлений данных при определении медиан графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

b*

А

1

0

1 a

Рис.5. Зависгшость между параметрами управления на основе нечеткого правила

modusponens

Выводы. В работе рассмотрены подходы к реализации нечеткого вывода в системах управления на основе максиминной композиции и нечеткой дедуктивной схемы вывода. Показано, что подход на основе нечеткой дедуктивной схемы вывода свободен от ряда недостатков, которые присущи подходу на основе максимин-.

1. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 165с.

2. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. М.: Мир, 1993.

3. Лохин В.М., Макаров И.М., Манько С.В, Романов М/7. Методические основы аналитического конструирования регуляторов нечеткого управления // Известия Академии наук ТиСУ. 2000, №1. С.56-69.

4. ПойаДж. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. 464с.

5. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. 288с.

6. . ., . ., . . в САПР. М.: Энергоатом издат, 1991. 136с.

7. . ., . . -

лекта. // Известия Академии наук ТиСУ. 2000, №5. С.107-119.

УДК 519.176

И.Н. Розенберг

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДАННЫХ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ МЕДИАН ГРАФА

В некоторых случаях возникает необходимость решать различные оптимизационные задачи на местности, описываемой географической картой. Одной из них является задача размещения пунктов обслуживания на карте местности. Пункты необходимо расположить таким образом, чтобы минимизировать суммарное расстояние или время проезда от них до всех остальных обслуживаемых пунктов. Так как время проезда из одного пункта в другой может варьироваться в определенных

ЛИТЕРАТУРА

368с.

пределах из-за наличия светофоров, уклонов, пробок на дорогах и других факторов, то время проезда может быть представлено как нечеткое число. Кроме того, обслуживаемые пункты на карте могут иметь различную важность, может быть оценена стоимость строительства пункта обслуживания и другие параметры, которые описываются также нечетко. Тогда при решении таких задач можно осуществить переход от исходной карты к нечеткому графу, в котором множество его вершин будет представлять полигоны, а множество дуг графа будет соответствовать . ,

движением, то нечеткий граф будет ориентированным.

При переходе от карты к графу необходимо сначала определить его тип. Тип нечеткого графа будет определяться наличием различных нечетких критериев. Существует три типа нечетких критериев, подлежащих оптимизации:

♦ нечеткие критерии, относящиеся к сетям дорог;

♦ нечеткие критерии, относящиеся к полигонам;

♦ нечеткие критерии, относящиеся к полигонам и сетям дорог.

В связи с этим будут рассмотрены три ситуации, определяемые тремя видами , .

Ситуация 1.

Между полигонами на карте определяются нечеткие расстояния. При этом используются нечеткие графы первого вида.

Нечетким графом первого вида называется граф 01 = (X, Р ) , в котором

X = [х{}, Iе I = {1,2,...,п} - множество вершин графа;

Р = {< Ц~~ < х {, х ^ > / < х {, х ^ >>} , х{, х . е X - нечеткое множество ребер

графа; Ц~ < х1, х ■ > - значение функции принадлежности Ц~ для ребра

< х{,х} > и Ц~ : X2 ^ [0,1] [1].

Ситуация 2.

Объекты на карте определяются нечетко. При этом используются нечеткие графы второго вида.

Нечетким графом второго вида называется граф G2 = (X, Р ), в котором

X = {<М(хI)/х 1 >}, /е I = {1,2,..., п} - ;

р - множество ребер графа; /и(х1) - значение функции принадлежности /Л для вершины хе X, ц :X ^ [0,1].

Ситуация 3.

Объекты на карте и расстояния между ними определяются нечетко. При этом используются нечеткие графы третьего вида.

Нечетким графом третьего вида называется граф Оз = (X, Р) , в котором X = {< Ц(х{)/х; >}, I е I = {1,2,..., п } - нечеткое множество вершин графа, и( х1) - значение функции принадлежности Ц для вершины х 1 е X ,

ß:X ^ [0,1].; F = {<ß~ < xt,x] > / < xt,x] >>}, xi,xj e X - нечеткое множество ребер графа, < xt, x ■ > - значение функции принадлежности

Для ребра < x j,x j > и ß~: X2 ^ [0,1] [1].

Дадим ряд определений и понятий нечетких графов, нечетких чисел и операций над ними, необходимых для дальнейшего изложения.

Путем (маршрутом) в графе называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей [2].

При рассмотрении пути p в нечетком графе [2], представленном последовательностью дуг (a1, a2,..., aq), за его нечеткую длину принимается нечеткое число l (p), равное сумме длин всех дуг, ВХОДЯЩИХ В p , т.е.

~ (p) = Е ~,

(xi,x j)ep

где Cj - нечеткое число, представляющее собой длину дуги, соединяющей вершины xj И x j .

Под кратчайшим нечетким путем между вершинами xj и x k e X понимается путь pjk , ДЛЯ которого l (pik ) = min lr (pik ) , где pjk - путь между

вершинами xj, xk e X ; r = 1,2,..., s , s - число различных путей между вершинами x i , x k e X графа G .

Под различными путями между вершинами понимаются такие пути, которые отличаются друг от друга хотя бы одним ребром, входящим в путь.

Из предыдущих определений видно, что при поиске кратчайшего пути в нечетком графе необходимо выполнять операции сложения и нахождения минимума .

При рассмотрении операций над нечеткими числами необходимо учитывать

, xi

xj .

Обычно под нечетким числом A, согласно [3], понимается нечеткое подмножество A универсального множества действительных чисел Y, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности ß( у ЬУeY.

Функция принадлежности ß~(у)н^ывается нормальной [3], если

sup 1( У)=ь

У

Функция принадлежности называется выпуклой [3], если 1 Л + (1 -Л)у2) > min(1A (y!),1 (y2)),yь y2 е Y, Ле [0,1].

Нечеткое число в общем случае может быть представлено сегментами, соответствующими определенным уровням - значениям функции принадлежности.

Пусть заданы два нечетких числа A и B , функции принадлежности ¡1^ (y) и 1в~ (у) которых представлены в виде набора сегментов, соответствующих определенным уровням ak, k=1, ..., n, т. е.

1a(у) = {[If, r"k ]}, 15(y) = {[If, rf ]},

где lf, rf ; fk, rfk - соответственно левая и правая границы интервала

достоверности уровня ak чисел A и B.

Тогда сложение двух нечетких чисел будет осуществляться следующим образом:

A + B = {[ lak + lf, rak + rak ]}.

u A B ’ A B

При выполнении умножения нечеткого числа на коэффициент получим сле-:

A ■ v = {[v • lak, v ■ rfk ] } .

AA

Операция сравнения нечетких чисел осуществляется следующим образом. Для каждого числа вычисляется индекс ранжирования. Затем сравниваются полученные индексы ранжирования. Тогда меньшим из двух чисел будет то число, индекс ранжирования которого меньше.

Существует множество индексов ранжирования для определения минимального из двух нечетких чисел. Самый простой из них - это индекс, соответствующий значению максимальной достоверности, т.е.

/l( A) = l A=1 = rA='.

Этот индекс требует небольшого числа вычислений, но не учитывает форму функции принадлежности нечеткого числа. Этих недостатков лишены индексы, приведенные в [4, 5, 6]. Другие индексы даны также в [7, 8]. Обычно индексы ранжирования для сравнения нечетких чисел выбираются в зависимости от специ.

Нечеткие треугольные числа - это частный случай нечетких чисел. Их особенность заключается в том, что каждое нечеткое треугольное число определяется

тремя величинами: первой ( ds ), меньше которой не может быть, второй ( di ), больше которой не может быть, и, наконец, третьей ( dm ), определяющей максимальный уровень принадлежности [9].

Рассмотрим теперь некоторые операции над нечеткими треугольными числа.

Пусть заданы два нечетких треугольных числа A = (ds1, dm1, dl1 ) и

B ( 2 , dm 2 , dl 2 И .

Их сумма определяется следующим образом [9]:

A + B = (1 + ds2, dm1 + dm2, dl1 + dl2 И

При умножении коэффициента v на нечеткое треугольное число A = (ds1, dm1, dn ) используется формула

A • v = (v • ^ v • dm ^ v • dl ! И.

Для сравнения нечетких треугольных чисел в последующем изложении будет , . учитывает расположение числа на действительной оси, а также вид функции принадлежности и определяется следующим образом.

C ( A) = —1 + dm1 + dl1

3

Теперь определим для каждой вершины х{ е X два числа, которые назовем

нечеткими передаточными числами.

Тогда, в соответствии с каждой из вышеописанных ситуаций, получим следующие выражения для вычисления нечетких передаточных чисел.

Для ситуации 1:

ОА ) = X ~(х,, х; ), ° (х, ) = X ~(х7 , х, ), ( V/ = 1).

XjеX XjеX

Для ситуации 2:

8о(х,) = Е ~,^(х„ х,), 0, (х,) = X vjd(х,, х,).

xjеX ■' ■' XjеX

Для ситуации 3:

0о( х, ) = X ~/~( х,, х/ ), 0( х, ) = X ~/~( х/, х, ).

х / еX х/е^К

В этих формулах Vj - нечеткий вес вершины xj, характеризующий значимость вершины относительно решаемой задачи (Vj e [0,1] ); Vj d(xt, xj ) -

взвешенные длины путей из вершины xi в вершину xj .

Числа Я0 (xi) и öt (xi) назовем соответственно нечетким внешним и

xi .

Вершина x0 , для которой

Я0( x 0) = min[<~0( xi)],

xi eX

называется внешней медианой графа G , а вершина xt, для которой

Я,(x,) = min [Я,(x,)],

xie X

называется внутренней медианой графа G .

Вершина графа x0,, , для которой сумма внешнего и внутреннего передаточных чисел минимальна

Я, (x0,t) = min (Я (^) + at (x,)),

i

- .

Рассмотрим теперь задачу размещения пунктов обслуживания с учетом нечетких критериев для случая 1 на следующем примере.

В качестве вершин графа выступают полигоны, ребра графа - это дороги, со, - -ми, соединенными дорогами, заданные в виде нечетких треугольных чисел (ds ( xi , xj X dm ( xi , xj ), dl ( xi , xj ) ) . ЗдеСЬ ds (xt, xj ), dm (xt, xj ) И dt (xi, xj ) - соответственно минимально возможное, наиболее возможное и максимально возможное время проезда из пункта xi в пункт x j .

Тогда внешние и внутренние передаточные числа будут рассчитываться по формулам:

Я0 (x, ) = Z (ds (x, , xj ), dm (x, , xj ), dl (x, , xj )),

xjeX

Я, (xi ) = Z (ds (xj , xi ), dm (xj , xi ), dl (xj , xi )).

xj eX

,

чисел будут представлять собой нечеткие треугольные числа, т.е.

Я0 (xi ) = (.Я0s (xi X Я0m (xi ), Я0 l (xi ))

И

Я (xi ) = (Я (xi ),ЯГт (xi ),Я,1 (xi )).

В таком случае, внешняя медиана графа будет определяться следующим образом:

Я0(x0 ) = (Я) s (x0Х Я0 m (x0Х Я0 l (x0 ))= min {(Я) s (xt ), Я0 m (xt ), Я0 l (xt ) )},

xteX

а внутренняя медиана графа будет определяться так:

Я (xt) = (Я s (xt), Я m (xt), Я l (xt)) = min {(Я s(xi ), Я m (xi ), Я l (xi))}.

xieX

Теперь рассмотрим граф, изображенный на рисунке.

Найдем кратчайшие нечеткие пути между вершинами данного графа и результат занесем в матрицу.

Таблица 1

Хі Х2 Хз Х4 Х5 а0( х,)

Х1 0 (2, 5, 8) (6, 15, 20) (9, 15, 23) (8, 12, 14) (25, 47, 65)

Х2 (2, 5, 8) 0 (4, 10, 12) (7, 10, 15) (4, 7, 9) (17, 32, 44)

Хз (6, 15, 20) (4, 10, 12) 0 (6, 8, 10) (9, 12, 16) (25, 45, 58)

Х4 (11, 16, 20) (10, 18, 22) (6, 8, 10) 0 (3, 4, 6) (30, 46, 58)

Х5 (8, 12, 14) (10, 17, 22) (9, 12, 16) (3, 4, 6) 0 (30, 45, 58)

а, (х,.) (27, 48, 62) (26, 50, 64) (25, 45, 58) (25, 37, 54) (24, 35, 45)

Нечеткие внешние и внутренние передаточные числа вершин занесены в матрицу (таблица 1) и расположены в последнем столбце и в последней строке матри-

цы соответственно. Таким образом, для данного графа внешняя медиана - это

вершина x 2 , а внутренняя медиана - вершина x 5 .

Иногда необходимо найти такой полигон на карте, чтобы общее время, проходимое транспортом от искомого полигона ко всем другим полигонам и обратно, было бы минимально возможным. Тогда требуемое место нахождения такого полигона будет отражать вершина графа xo, t, для которой сумма внешнего и внутреннего передаточных чисел будет минимальной.

Рассчитаем для вышеописанного примера суммы внешних и внутренних нечетких передаточных чисел для каждой из вершин исходного графа:

ao,t (xt) = (52, 95,127); ^o,t (x2) = (43, 82,108); ^,t (x3) = (50, 90,116); O0,t(X4) = (55,83,112); ^,t (x5) = (54, 80,103).

Минимальное значение равно (43,82,108), а вершина x2 - внешневнутренняя медиана графа, представленного на рисунке.

,

x 2 , 2 -

, , транспорт от данного пункта до всех остальных обслуживаемых пунктов и обратно, будет варьироваться в пределах от 43 до 108 единиц, причем наиболее вероят-

82 .

Рассмотрим теперь случай, когда веса вершин и веса ребер графа заданы нечетко. Рассмотрим также граф, представленный на рисунке. Пусть вершинам приписаны нечеткие веса vi е [0,1], i = 1, 2,..., 5 , представляющие степень важности полигонов на карте: v1 = 0.8; v2 = 0.6; v3 = 0.2; v4 = 0.9 ; v5 = 0.5 .

Тогда, в соответствии с формулами, матрица времен проезда из вершины X{ в вершину х ] будет следующей (табл. 2).

Таблица 2

Х1 Х2 Хз Х4 Х5 а0( xi)

Х1 0 (1.2, 3, 4.8) (1.2, 3, 4) (8.1, 13.5, 20.7) (4, 6, 7) (14.5, 25.5, 36.5)

Х2 (1.6, 4, 6.4) 0 (0.8, 2, 2.4) (6.3, 9, 13.5) (2, 3.5, 4.5) (10.7, 18.5, 26.8)

Х3 (4.8, 12, 16) (2.4, 6, 7.2) 0 (5.4, 7.2, 9) (4.5, 6, 8) (17.1, 31.2, 40.2)

Х4 (8.8, 12.8, 16) (6, 10.8, 13.2) (1.2, 1.6, 2) 0 (1.5, 2, 3) (17.5, 27.2, 34.2)

Х5 (6.4, 9.6, 11.2) (6, 10.2, 13.2) (1.8, 2.4, 3.2) (2.7, 3.6, 5.4) 0 (16.9, 25.8, 33)

а,(xi) (21.6, 38.4, 49.6) (15.6, 30, 38.4) (5, 9, 11.6) (22.5, 33.3, 48.6) (12, 17.5, 22.5)

Для данного случая внешняя медиана - это вершина x 2 , а внутренняя медиана - вершина X з .

Рассчитаем теперь суммы внешних и внутренних нечетких передаточных чисел для каждой из вершин исходного графа:

а0t(Xj) = (36.1, 63.9, 86.1); а0t(x2) = (26.3, 48.5, 65.2); ст0,t(x3) = (22.1, 40.2,51.8); ^0, t ( x4) = (40,60.5,82.8); ст0, t ( x5) = (28.9,43.3,55.5).

Минимальное значение равно (22.1,40.2,51.8), a вершина x3 - внешневнутренняя медиана графа, представленного на рисунке для случая, когда заданы также веса вершин.

Для случаев, когда времена проезда представлены в виде других (не тре) , .

В некоторых случаях необходимо разместить несколько пунктов обслуживания на карте местности, описываемой нечетким графом, причем сумма кратчайших расстояний от вершин графа до ближайших к ним пунктов обслуживания должна принимать минимально возможное значение. При этом число пунктов обслуживания, которые необходимо разместить, может быть задано, либо необходимо найти наименьшее число пунктов обслуживания и такое их размещение, чтобы расстояние от каждого обслуживаемого пункта до ближайшего к нему пункта обслуживания не превышало заданной величины. Кроме того, вершинам и ребрам графа может быть приписано несколько четких или нечетких критериев. Отсюда вытекают новые задачи нахождения пунктов обслуживания на основе геоинформационных .

ЛИТЕРАТУРА

1. Мелихов АЛ., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 272с.

2. Кристофидес Н. Теория графов. М.: Мир, 1978. 432с.

3. Zimmermann H.J. Fuzzy Set Theory and Its Applications (2nd ed.). Bos-

ton/Dordrecht/London: Kluwer Academic Publishers, 1991. 435p.

4. Bershtein L.S., Dziouba T.A. Construction of a spanning subgraph with the ordered degrees in the fuzzy bipartite graph. // Proceedings of EUFIT’98, Aachen, Germany, 1998. p.47-51.

5. . / . . , . .

Алексеев, О А. Крумберг и др. Рига: Зинатне, 1982. 256с.

6. . . -

лами. // Тезисы докладов Всесоюз. науч. семинара «Модели выбора альтернатив в не-

четкой среде». Рига: Риж. политехи. ин-т, 1980. С.14-15.

7. Wang X., Kerre E.E. On Robustness and Sensitivity of an Ordering Index. // Proceedings of EUFIT’97, Aachen, Germany, 1997. Vol. 1. p. 20-23.

8. . ., . . . решений. М.: Радио и связь, 1989. 304с.

9. ., . -

ятиями: пер. с испанского. Минск: Выш. шк., 1992. 352с.