Однокритериальнаяминисуммная задача размещения центра обслуживания с лингвистическими переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.176

И.Н. Розенберг

ОДНОКРИТЕРИАЛЬНАЯ МИНИСУММНАЯ ЗАДАЧА РАЗМЕЩЕНИЯ ЦЕНТРА ОБСЛУЖИВАНИЯ С ЛИНГВИСТИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

1. Введение. В некоторых практических пр иложениях возникает необходимость поиска оптимального места размещения центра обслуживания с точки зрения определенного критерия. Иногда на выделенном участке местности, описываемом географической картой требуется расположить центр обслуживания таким

, -

[1].

встречаются на практике: при выборе места расположения телефонной станции в , , , дорог и т.д. Мы остановимся на рассмотрении задачи размещения обслуживающих объектов в сети дорог.

Так как какой-либо параметр (расстояние, время проезда, стоимость перевоз. .), , быть описан качественной характеристикой в виду наличия определенных качест-, -ной. Кроме того, обслуживаемые пункты на карте могут иметь различную важность, может быть оценена стоимость строительства пункта обслуживания и дру, -

.

В дальнейшем будет рассмотрена однокритериальная минисуммная задача размещения центра обслуживания с лингвистическими переменными.

2. Понятие лингвистической переменной. Под лингвиста ческой переменной понимается переменная, которая принимает не численные, а лингвистические значения (так называемые термы).

Лингвистическая переменная характеризуется пятеркой [2]:

(у, T, U, G, M),

где у - имя лингвистической переменной; T - терм-множество лингвистической переменной у; U - базовое множество значений лингвистической переменной; G - синтаксическое правило, генерирующее термы терм-множества; M - семан-, у ,

M(Y) - нечеткое подмножество множества U.

Считается, что значения лингвистической переменной принадлежат ее терм-множеству, термы которого в свою очередь описываются нечеткими числами, т.е. каждому из термов терм-множества T соответствует нечеткое число.

Под нечетким числом A, согласно [2], понимается нечеткое подмножество A универсального множества действительных чисел Y, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности ц~( у), у £ Y .

Функция принадлежности (у)н^ывается нормальной [2], если

sup М~( у) = 1.

у

Функция принадлежности называется выпуклой [2], если

Ц~А (ЛУ1 + -Л)У2) ^ (У1), Цд (У2))’ у1, у 2 е У, Ле [0,1].

Термы лингвистической переменной, как правило, описываются нечеткими .

Под нечетким трапециевидным числом понимается нечеткое число, имеющее форму трапеции. Оно задается четырьмя значениями [3, 4]:

~ , Лт1, Лтг , < ),

где dl - левая граница нулевого уровня достоверности, dr - правая граница

нулевого уровня достоверности, dml, dmr - соответственно левая и правая границы

интервала достоверности, соответствующего уровню принадлежности, равному 1 (рис.1).

Рис.1

В данном случае значения лингвистической переменной у будут следующими: «очень малая», «малая», «небольшая», «большая», «очень большая» (см. рис.1). Значению «большая» соответствует нечеткое трапециевидное число (62, 70, 83, 90).

Лингвистические переменные могут описывать качественные понятия, такие « », « », -, « », « » .

3. Понятие медианы нечеткого графа. Вернемся к задач е поиска оптимального места расположения центра обслуживания.

Пусть на карте местности расположены п объектов, соединенные между со. -де графа, и, тем самым, осуществить переход от карты местности к ее математиче-. , -фа - дороги, соединяющие полигоны.

Оптимальное место расположения центра обслуживания на графе всегда находится в одной из его вершин (принадлежит одному из рассматриваемых объектов) и называется его медианой [5].

В общем случае медиана графа определяется следующим образом. Для каждой вершины х1 е X определим два числа, которые называются передаточными

числами [6]:

<~0( X-) = Е ~}~( х‘, х} ),<~» (х<-) = Е ~}~( X}, х,.).

х^еХ х ^еХ

Здесь й (х1, х}) - длина кратчайшего пути из вершины X, в вершину X ■; й (х}, х1) - длина кратчайшего пути из вершины х^ в вершину х,; V} - значение

лингвистической переменной, характеризующей параметр вершины х у относительно решаемой задачи.

Определим теперь понятие кратчайшего пути в графе, но предварительно дадим определение пути в графе.

Путем (маршрутом) в графе называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей [5].

При рассмотрении пути р в нечетком графе [5], представленного последовательностью дуг (ах, а2,..., ад), за его нечеткую длину принимается нечеткое число 1 (р), равное сумме длин всех дуг, входящих в р , т.е.

С(Р) = £ су ,

(х. ху)е Р

где су - нечеткое число, представляющее собой длину дуги, соединяющей и

вершины х, и ху .

Под кратчайшим путем между вершинами х, и х^ понимается путь рл, для которого

С( р л) = (Рл),

г

где с(рл) - длина кратчайшего пути р,л.

Длины кратчайших путей между вершинами графа могут быть вычислены с помощью алгоритмов Дейкстры, Флойда или каких-либо других алгоритмов нахождения кратчайших путей в графе. Эти алгоритмы для четкого случая описаны, например в [5]. Их можно легко модифицировать для нечеткого случая.

4. Переход к модели и решение минисуммной задачи размещения. При переходе от карты к графу необходимо сначала определить его тип. Тип графа будет определяться наличием параметров, представленных в виде лингвистических , .

Можно выделить три типа лингвистических переменных:

1) , ,

;

2) , ,

;

3) , .

В связи с этим, при оптимизации размещения центров обслуживания будут рассмотрены три ситуации, определяемые тремя видами графов.

4.1. Лингвистические переменные, относящиеся к сетям дорог. В данном разделе будет рассмотрена первая ситуация: лингвистическая переменная, описы-

- , . этом случае для описания модели используется следующий граф. Назовем его нечетким графом первого вида.

Нечетким графом первого вида называется граф 01 = (X, Р), в котором X = {х,},,е I = {1,2,...,п} - множество вершин графа, Р = {< су /(х,, ху) >} -множество ребер графа; СУ /(х1, ху) - значение лингвистической переменной, опи-

сывающей атрибут рассматриваемого критерия для ребра (хі, х.).

Тогда в соответствии с данной ситуацией, получим следующие выражения для вычисления нечетких передаточных чисел.

<~о( х,) = X С(х,-, ху), (х,) = £ 3(ху, х, ),( V} = 1). (1)

хуеХ ху еХ

Рассмотрим теперь задачу размещения пунктов обслуживания с учетом нечетких критериев для случая 1 на следующем примере.

В качестве вершин графа выступают полигоны, ребра графа - это дороги, со, - ,

,

(dl (х,, ху), ёт1 (х1, ху), dmr (х1, ху), (х,, ху)) лингвистической переменной.

Тогда нечеткие внешние и внутренние передаточные числа будут рассчитываться по формулам:

<~0 (х, ) = Е ^1 (х,, ху ^ dm^ (х,, ху X dтг (х,, ху ), dг (х,, ху )) ,

хуЕХ

С (х, ) = Е ^1 (ху , х, ), dml (ху , х, ), dmr (ху , х, ), ^ (ху , х, )) .

хуЕХ

Так как в правых частях равенств присутствуют трапециевидные числа, то и значения внешнего и внутреннего передаточных чисел будут представлять собой трапеции, т.е.

<~0( х, ) = ( *0, ( х, X *0т1 (х, X *0тг ( х, X *0 г ( х, )) ,

С, (х, ) = (*,1 (х, X *,т1 (х, ), *,тг (х, ), *,г (х, )) .

В таком случае, внешняя медиана графа будет определяться следующим об:

С>(х0) = ( *01 (х0), *0 т1 (х0), *0 тг (х0 ), *0 г (х0 )) =

= ШШ {( *01 (х1 ), *0 т1 ( х1 ), *0 тг (х,' X *0 г (х,' ))},

х}еХ

а внутренняя медиана графа будет определяться следующим образом:

С, (х, ) = (*,, (х, ), *,т1 (х, ), *,тг (х, X *,г (х, )) =

= ШШ {( *,1 (х> ), *,т1 (х1 ), *,тг (х1 ), *,г (х1 ))}.

х,еХ

Операции суммирования и сравнения трапециевидных чисел, описывающих значения лингвистической переменной, будут производиться следующим образом. Пусть заданы два нечетких трапециевидных числа d1 = (, dm,1, dmr1, dr1) и

d 2 “ (12 , d т12 , dmг 2 , d г 2 ) .

Тогда их сумма определяется следующим образом [4]:

С + d2 = (( + (,2 , dm11 + dm12, dmг1 + dтг2, dг1 + dг2 И

Для сравнения нечетких трапециевидных чисел будет использоваться сле-, : т (<~) = -

4

То трапециевидное число, для которого индекс т (1) наименьший, и будет считаться минимальным трапециевидным числом из рассматриваемого множества

.

Рассмотрим теперь на примере задачу размещения центра обслуживания с

, .

Пусть граф, изображенный на рис.2, является моделью задачи.

Рис.2

Вершины графа представляют собой рассматриваемые объекты. Параметры, приписанные ребрам графа, представляют собой значения лингвистической переменной «Время проезда от объекта хі к объекту х.». Ее терм-множества представлены на рис.3.

Рис.3

В данном случае значения лингвистической переменной «Время проезда от объекта х, к объекту х .» будут следующими: «очень малое», «малое», «неболь-

», « », « ». следующие нечеткие трапециевидные числа (табл.1):

____________________________________________________________Таблица 1

1 ёт1 ё тг ёг

Очень малое 0 0 2,0 3,0

Малое 1,5 3,0 4,5 5,5

Небольшое 4,5 5,5 6,5 7,5

Большое 6,5 7,5 8,5 9,0

Очень большое 8,5 9,3 10 10

Таблица 2

Х1 Х2 Хз Х4 Х5 Хб

Хі 0 очень большое очень малое большое - очень малое

Х2 очень большое 0 малое - небольшое -

Хз очень малое малое 0 большое небольшое малое

Х4 большое - большое 0 небольшое -

Х5 - небольшое небольшое небольшое 0 малое

Хб очень малое - малое - малое 0

Найдем кратчайшие расстояния между вершинами графа.

Для поиска кратчайших путей будем использовать алгоритм Флойда, а также операции суммирования и сравнения значений лингвистической переменной (тра-).

Результат занесем в матрицу длин кратчайших путей (табл. 3):

3

Хі Х2 Хз Х4 Х5 Хб

Хі 0 (1,5; 3; 6,5; 8,5) (0; 0; 2; 3) (6,5; 7,5; 8,5; 9) (1,5; 3; 6,5; 8,5) (0; 0; 2; 3)

Х2 (1,5; 3; 6,5; 8,5) 0 (1,5; 3; 4,5; 5,5) (8; 10,5; 13; 14,5) (4,5; 5,5; 6,5; 7,5) (6; 8,5; 11; 13)

Хз (0; 0; 2; 3) (1,5; 3; 4,5; 5,5) 0 (6,5; 7,5; 8,5; 9) (4,5; 5,5; 6,5; 7,5) (1,5; 3; 4,5; 5,5)

Х4 (6,5; 7,5; 8,5; 9) (8; 10,5; 13; 14,5) (6,5; 7,5; 8,5; 9) 0 (4,5; 5,5; 6,5; 7,5) (6,5; 7,5; 10,5; 12)

Х5 (1,5; 3; 6,5; 8,5) (4,5; 5,5; 6,5; 7,5) (4,5; 5,5; 6,5; 7,5) (4,5; 5,5; 6,5; 7,5) 0 (1,5; 3; 4,5; 5,5)

Хб (0; 0; 2; 3) (6; 8,5; 11; 13) (1,5; 3; 4,5; 5,5) (6,5; 7,5; 10,5; 12) (1,5; 3; 4,5; 5,5) 0

Так как граф неориентированный, то внешние и внутренние передаточные числа вершин будут равны. В дальнейшем будем называть их передаточными числами вершин. Рассчитаем их. Еще раз отметим, что веса всех вершин графа равны:

~0(х1) = (х1) = (9,5; 13,5; 25,5; 32); <г0(х2) = <г, (х2) = (21,5; 30,5; 41,5; 49);

<г0(х3) = ~ (х3) = (14; 19; 26; 30,5) ; ~0(х4) = а, (х4) = (32; 38,5; 47; 52);

~0(х5) = (х5) = (16,5; 22,5; 30,5; 36,5); ~0(х6) = ~(х6) = (15,5; 22; 32,5; 39).

(1), -ло (9,5; 13,5; 25,5; 32). Таким образом, для данного графа и внешняя и внутренняя

медиана - это вершина х1.

Иногда необходимо найти такой полигон на карте, чтобы общее время проезда транспорта от искомого полигона ко всем другим полигонам и обратно, было бы минимально возможным. Тогда требуемое место нахождения такого полигона

будет отражать вершина графа х0 ,, для которой сумма внешнего и внутреннего

передаточных чисел будет минимальной. Так как для данного примера граф неориентированный, то совершенно очевидно, что и внешне-внутренней медианой графа (см. рис.1), будет являться вершина х1. Сумма внешнего и внутреннего передаточных чисел для вершины х1 будет равно <г0,(х1) = (19; 27; 51; 64).

,

находиться в вершине х1 графа, которая соответствует полигону с номером 1 исходной карты, а минимально возможное суммарное время, проходимое транспортом от данного центра до всех остальных пунктов обслуживания и обратно будет варьироваться в пределах от 19 до 64 часов. Причем наиболее возможное суммарное время проезда от центра, соответствующего пункту 1 до всех остальных пунктов обслуживания и обратно будет варьироваться в пределах от 27 до 51 часов.

4.2. Лингвистические переменные, относящиеся к полигонам. Рассмотрим вторую ситуацию, когда вершинам графа приписаны веса. Пусть эти веса также представляют собой значения лингвистической переменной. Будем считать, что

- , , -шинами х , и х ■ кратчайший путь включает в себя ту ребер, то считается, что расстояние ё = т .

В данном случае в качестве модели решения будет использоваться нечеткий граф второго вида.

Нечетким графом второго вида называется граф <С2 = (х, Е), в котором X = {(С(х1)/х1)}, ге I = {1,2,...,п} - множество вершин графа, Е - множество ребер графа. Здесь V (х,) - значение лингвистической переменной соответствующего атрибута рассматриваемого критерия для вершины х, е X.

Тогда значения передаточных чисел вычисляются следующим образом:

~0(х,-) = Е(х,,ху), а,(х,) = £~ ё(ху,х, ),

х^Х х^Х

где

~. - значение лингвистической переменной у для вершины х,;

~ ё (х, ^) - взвешенные длины кратчайших путей из вершины х, в вершину Xj .

Взвешенные длины кратчайших путей из вершины х, в вершину Xj будут вычисляться по следующей формуле:

~ ё(х,, xj) = {V, •ё(х,, xj); vml ■ё(х,, xj); vmr •ё(х,, xj); V • ё(х,, xj)).

4.3. Лингвистические переменные, относящиеся к сетям дорог и полиго-. ,

виде значений лингвистических переменных. При этом будем использовать нечеткий граф третьего вида.

Нечетким графом третьего вида называется граф <3 = (X, Е), в котором

X = {(С(х,)/х,)}, ,е I = {1,2,..., п} - множество вершин графа, ~(х,) - значение лингвистической переменной уг для вершины х1 е X; Е = {(с у /(х 1,ху))} - множество ребер графа, Су /(х ,, ху) - значение лингвистической переменной у2 для ребра (х,, ху).

Значения передаточных чисел в таком случае будут следующими:

ОХ х{) = X ~у<С( х,, ху), ~(х,) = X ~С( ху, х,).

ху еХ хуеХ

5. Заключение. Постановку рассмотренно й задачи можно усложнить, вводя

дополнительные критерии, значения которых представляют собой также значения лингвистических переменных, либо могут быть представлены нечеткими числами. Также можно определять оптимальные места размещения нескольких центров об.

размещения центров обслуживания на карте местности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розенберг КН. Решение задач размещения на нечетких графах. // Сборник тезисов докладов третьей всероссийской научной конференции молодых ученых и аспирантов “Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения”. Таганрог: Изд-во ТРТУ. 2000. С.109.

2. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory and Its Applications (2nd edition). - Boston/Dordrecht/London: Kluwer Academic Publishers. 1991. 435p.

3. Дюбуа Д.,Прад A. Теория возможностей. / Перевод с франц. M.: Радио и связь. 1990. 328 с.

4. Кофман А.,Хил Алуха X. Введение теории нечетких множеств в управление предпри-

: . . : . . 1992. 352c.

5. Кристофидес Н.Теория графов. М.: Мир, 1978. 432с.

6. Розе нберг ММ. Использование нечеткий представл ений данных при определении меди-

. // . « -- « ». -ганрог: Изд-во ТРТУ. 2001. №4 (22). С.64-72.

7. Розе нберг И.Н.,Дзюба ТА. Размещение центров обслуживания на карте местности при

. // « -». : - . 2000. .79-85.

УДК 681.327

Л.С. Берштейн, АЛ. Целых

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ В ВИДЕ НЕЧЕТКОГО

СТРУКТУРНОГО ГРАФА

Рассмотрим метод построения модели предметной области, основанный на представлении знаний эксперта в виде, отражающем структуру взаимодействия параметров задачи, и представленном нечетким графом G = (X,F).

Все параметры задачи обозначаются вершинами x е X . Множество вершин X представляется в виде двух непересекающихся подмножеств х = P U Q, гДе Q -множество выходных вершин (следствие, решение), a P - исходные вершины (параметры, свойства, входные факты). Каждая из вершин x е X соответствует некоторой лингвистической переменной (температура, плотность, расстояние и т.п.). Значения вершин можно представлять как четко, так и в виде функции принадлежности ^е[0,1] нечеткого множества, задающего значение соответствующей лин.

Под решением понимается определение значений лингвистической переменной, соответствующих каждой из выходных вершин q е Q. Эксперт - человек,

хорошо знающий задачу, указывает в качестве выходных вершин Q параметры,

подлежащие определению. Затем указываются параметры - вершины, влияющие