CC BY
51
мощности. Тест-сигнал (рис. 1а) состоит из случайного шума, трех гармонических компонент и свип-сигнала - все одинаковой мощности. Частоты гармонических компонент равны 30, 55 и 72 Гц, свип на интервале анализа пробегает полосу частот 50-100 Гц. На рис.1 б показаны интегральные спектры мощности каждой из этих компонент и суммарного сигнала. Важно еще раз отметить: спектр суммарного сигнала равен сумме интегральных спектров мощности всех его компонент, что хорошо видно по графику. Высота скачков в интегральном спектре равна точно мощностям гармоник. Средняя мощность свип-сигнала определяется по перепаду значений интегрального спектра этой компоненты на его конечной и начальной частоте. Полоса частот шума шире полосы частот графика, и поэтому его спектральная функция продолжает монотонно возрастать на всем частотном интервале.
На рисунке 2 проиллюстрированы спектральные оценки при анализе реального сейсмического сигнала, содержащего шум и гармоническую составляющую.
На рисунке 2а показан короткий фрагмент записи колебаний, полученной на удалении 50 км от мощного сейсмического вибратора. Вибратор работал на постоянной частоте 8 Гц. Для спектрального анализа был взят отрезок продолжительностью 40 с при частоте дискретизации 100 Гц. На рисунке 2б показаны несглаженная и сглаженная по частоте скользящим окном по 10 соседним ординатам периодограмма в логарифмическом масштабе по ординате, поскольку в линейном масштабе первая просто необозрима. На рисунке 2в на одном графике представлены октавный спектр СКО, полученный по сглаженной периодограмме, и спектр амплитуд гармоник. Здесь уже можно сопоставлять СКО случайной составляющей в ок-тавной полосе частот и амплитуду наблюдаемых спектральных линий в спектре гармоник. Все они имеют размерность первичного сигнала код. На рисунке 2г показан интегральный спектр мощно-
0 05 1 15 Время. С 2
1.Е+07
0 3 10 15 20 25 30 35
Рис. 2. Реальный сейсмический сигнал
сти этого сигнала в линейном (что важно!) масштабе. Величина крутого большого скачка точно соответствует мощности гармонического сигнала вибратора. Другие уступы в этой кривой также отображают мощности каких-то сторонних гармонических помех. Максимальное значение равно дисперсии исходного сигнала, в чем мы убедились непосредственно по первичному сигналу.
Список литературы
1. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир. - Т. 1. - 1971.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974.
3. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. - М.: Физматгиз, 3-е изд., 1962.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Л.Н. Иванов, Ю.В. Кириллов
Современный этап развития нашей страны характерен тем, что растущие потребности рынка, достижения науки и техники вызывают появление
новых технологий, которые не столько расширяют, сколько усложняют, интенсифицируют деятельность в сфере производства. Поэтому особую
актуальность приобретает решение задач по повышению эффективности современных систем управления, внедрению современных информационных технологий принятия решений на всех уровнях хозяйственного механизма. Сложность решаемых задач обусловила и появление сложных математических моделей, которые должны адекватно отображать сложность исследуемой системы управления и, прежде всего, ее многоцелевой характер. Отсюда следует, что в основе таких моделей должны лежать многокритериальные задачи оптимизации, и разработка эффективных методов их решения является важнейшей задачей системного анализа. В данной работе предлагаются многокритериальные постановки и соответствующий алгоритм решения актуальных задач, который, как нам кажется, должен стать ядром современных информационных систем бизнес-планирования и управления.
Задача оптимального проектирования и оптимальной комплектации
Цикл жизни любой системы (технической, экономической, информационной) состоит из ряда этапов, важнейшим из которых является этап проектирования. На этом этапе решается задача оптимального выбора состава и структуры создаваемой системы.
Таким образом, содержательная постановка задачи проектирования сложной системы приводит к возможности автоматизации этого процесса с помощью математических моделей векторной оптимизации. Назовем ее задачей оптимальной комплектации и приведем общий вариант ее возможной постановки [1].
Следуя методике функционально-стоимостного анализа, для оценки эффективности производится последовательная декомпозиция состава проектируемой системы на определенное число уровней детализации в соответствии с основными функциями Ж, выполняемыми подсистемами и вариантами V их возможной реализации.
В общем случае иерархическая картина функциональной структуризации системы может выглядеть подобно изображенной на рисунке.
Будем считать заданными следующие характеристики проектируемой системы (способы их определения для конкретной задачи можно найти в [1]): Г j - значимость (вес) ]-й функции 1-го
уровня; у1 j ч - степень эффективности реализации
]-й функции 1-го уровня в д-м варианте; у™" -
минимальное допустимое значение степени эффективности реализации ]-й функции 1-го уровня; ц j ч - затраты на осуществление ]-й функции 1-го уровня в д-м варианте реализации.
Тогда, если в качестве переменной выбора взять булеву переменную:
|1 - апёе аиаебааойу q-e аабешо 5ааёе-x. . = < дабее j-e ooieoee i-ai o5iaiy; 1 j q 10 - a i5ioeaiii пёо^аа;
причем
Z xijq = 1 Vj е Ji'1 е 1'
(1)
то комплексный показатель эффективности функционирования всей системы Y определится как:
Y = ZZr.j • k.j Z y.jq • xijq ' (2)
i j q
где к.. - нормализующий коэффициент, необходимый для приведения разнородных слагаемых в (2) к безразмерному виду. При этом следует гарантировать минимально допустимую степень эффективности реализации отдельных функций, которая определяется техническим заданием:
Z y.jq • Xijq ^ уГЛ Vj е J., 1 е I. (3)
q
Другим важнейшим критерием для выбора окончательного варианта состава проектируемой системы является стоимостная оценка всего проекта С, которая в принятых обозначениях есть
C = ZZZCijq ^ Xijq . (4)
i j q
Таким образом, математическая модель задачи оптимальной комплектации проектируемой сложной системы сводится к поиску наилучшей эффективности
ZZ Г Z kijq • У ijq • Xijq ^ max (5)
i j q
при минимуме затрат
ZZZcijq • Xijq ^ min, (6)
i j q
причем на переменные модели наложены ограничения (1) и (3). Очевидно, что полученная модель является дискретной задачей векторной оптимизации, и ее решение сможет дать гораздо более
Vj Vj, Vjp
Fn!
Использованы следующие обозначения: 1 = 1,п; 1 е I, где I - множество уровней структуризации функций; j = 1,т ; j е ^ , где ^ - множество функций 1-го уровня; д = ; д е д , где Q - множество вариантов реализации ]-й функции г-го уровня; ^ j - выполняемая подсистемой]-я функция г-го уровня; vl j д - Ц-й вариант реализации]-й функции г-го уровня.
q
F
F
n 2
полную «картину проектирования», чем интегрированные показатели «затраты/качество», которые используются сейчас.
Задача оптимального выбора инвестиционного проекта
Пусть в общем случае один из m потенциальных инвесторов выбирает один из n инвестиционных проектов. Пусть также каждый из инвесторов оценивает основные параметры эффективности каждого проекта по своей методике. В качестве таких основных параметров используются четыре показателя инвестиционной эффективности (NPV (net present value) - чистый приведенный доход; PI (profitability index) - индекс рентабельности (доходности); PP (payback period) - срок окупаемости инвестиций; IRR (internal rate of return) - внутренняя норма доходности), методика расчета которых для конкретных схем реализации инвестиционных проектов хорошо известна [2]. Тогда все эти данные могут быть заданы четырьмя квадратными матрицами:
NPV = ( NPVij); PI = ( PIij);
PP = (PPj); IRR = ( IRRij),
где i = 1, m - номер инвестора, а j = 1, n - номер проекта. Ясно, что только одновременный анализ по всем четырем показателям может дать объективную оценку эффективности капиталовложений. Недостатком же существующих методик является отсутствие такого подхода [2,3]. Если каждый проект может быть выбран только одним инвестором и каждый инвестор выбирает только один проект, учитывая все четыре параметра эффективности, то нас интересует такой из них, который бы одновременно удовлетворял условиям:
fi(X) = eE NPjj ^ max, (8)
i j
f2(X) = EE Pjj ^ max, (9)
ij
f3(X) = EE Pjj ^ min, (10)
ij
f4(X) = EE (IRRij - qij k ^ max, (11) i j
где X = (xij ) - матрица булевых переменных выбора, xij =0,1, qij - ставка приведения доходной
части j-го проекта для i-го инвестора. Кроме того, необходимо задать ограничения по строкам и столбцам матрицы X:
E xij=^ E xij=1. (12)
i j
Задача (8)-(12) является многокритериальным аналогом задачи о назначениях и относится к классу задач дискретной векторной оптимизации. Решение даст возможность потенциальному инвестору сделать оптимальный выбор инвестицион-
(13)
ного проекта, учитывая все показатели эффективности.
В данной работе предлагается алгоритм решения векторных задач, основанный на методе гарантированного результата и нормализации критериев (ГРНК) [4]. Он отличается от большинства других методов доказательством существования и единственности получаемого оптимального решения по Парето и тем, что его можно использовать для решения различных векторных задач (как линейных, так нелинейных и дискретных).
Пусть в общем случае поставлена задача векторной оптимизации:
[extr F(X) = {maxfp (X) ,minfqX}
1Gj(X) <Bj, G2(X) >B2, X >0 где X = { xj > 0 , j = 1, n} - вектор переменных; F(X) = {fp (X),p e P = Ц";fq (X),q e Q = lj +1,12} -вектор-функция критериев; G1(X) ={gf(XU=1щ}, G2(X) ={g(2)(X), i = m1 +1,m2} - векторы-функции ограничений; B1 ={b(j),i=1,щ}, B2 ={b(2),i = n^+jm^ - уровни ограничений. Причем, fp ( X) - вогнутые и fq (X) ;gf (X) ;gf2) (X) - выпуклые функции, а область
допустимых решений не является пустым множеством:
S = {Xe Rn, X > 0,Gl(X) < B1, G2(X) > B2}*0 .
Тогда в соответствии с методом ГРНК необходимо следующее.
Шаг 1. Решить 212 задач скалярной оптимизации (известными методами математического max fk (X), Vk e P U Q
программирования):
ОДХ) < B1, G2 (X) > B2 X > 0
min k ,
min fk (X), Vk e P U Q
Gj(X) < Bj, G2(X) > B2 и найти f^ и f, X > 0
Vk e P U Q .
Шаг 2. Выполнить единую нормализацию критериев Vk e P U Q :
fk(X) - ^ или Xk (X)=fmmfX). (15)
v ' «тэт «min v '
X (X) =
fmax pmn k - fk
fmax pmin k - fk
Шаг 3. Построить X - или X -задачу:
max А,
X-X (X) < 0, Vk eP X-Xk (X) < 0, Vk eQ или G1(X) < B1,G2(X) > B2 X > 0
min X
X-Xk (X) > 0, Vk eP X-\ (X) > 0, Vk eQ G1(X) < B1, G2(X) > B2 X>0
и
Шаг 4. Решить Х - или Х -задачу как скалярную задачу оптимизации и найти единственную точку Х0Ч, оптимальную по Парето, в которой гарантируем результат:
Гх(х°) <хк (х°)
[Х(х0ч) <Хк (Х0Ч)
или
1Х(х0ч) > Хк (Х0Ч) [Х(х0ч) >Хк (х0ч)'
Шаг 5. Зная величину нормализованного критерия в точке х0д, по формулам (15) найти значения каждого критерия Г (х0д), Ук е Р и О-
Кроме того, метод ГРНК позволяет решать векторные задачи с приоритетом некоторого критерия, выбранного ЛПР (лицом, принимающим решения) с целью улучшить его значение. При этом уровень приоритета, можно сказать, вычисляется с помощью коэффициентов приоритета, а не назначается ЛПР субъективно, как в подавляющем числе других методов решения векторных задач. Для решения векторной задачи с неравнозначными критериями необходимо в общем случае выполнить следующие шаги.
Шаг 6. Решаем соответствующую векторную задачу с равнозначными критериями. ЛПР проводит анализ результатов решения и по величине 4 (х0д), Ук е Р и О определяет в-критерий, значение которого необходимо улучшить.
Шаг 7. Вычисляются пределы изменения коэффициента приоритета в-критерия по отношению к остальным:
Рк(х0ч) <Рк <Рк(хг), Рк(х;) <Рк <Рк(хГ),
где Рк (х°ч) = " '
Хк (х0„)'
Рк (х;)==
Хэ (хо,)
Х к (хе0о)
Рк (хГ) =
Хк (хш")' 1
ш1" в
Рк ) - ,' Хк (х8 )
Ук, в е Р и О, в * к , а координаты х^ и х; найдены на шаге 1.
Шаг 8. ЛПР выбирает необходимую величину Рк в установленных пределах и, если в е Р , строит Х - или Х -задачу в форме:
шахХ
Х-Х (х)< о
Х-Рк\ (х)< 0,УкеР
Х-Рк Хк (х)<0;УкеО О (х) <Б,, С2(х) >Б, х>о, о<Х<1
или
ш1" Х
Х-Х (х)< о
Х-Р Хк (х)> о,Ук еР Х-РкХк (х) > о,Ук еО
О1 (х) < Б1, С2 (х) > Б2
х > о, о <Х<1
решая которую как скалярную задачу оптимизации, находит точку компромиссного решения хПоп , где достигается результат:
Хв (хПопед )>Хв ( хо, ), Ук е Р
или
Хв (хПопе, )<Хв (хо,), Ук е Р . Если в е О, то, выбрав точно так же Рк, необходимо построить Х - или Х -задачу в форме: штХ шах Х
Х-Х (х)> о
Х-РкХк (х) > о,УкеО
_8_ или
Х-Рк Хк (х)>ЦУкеР
О (х) < Б1, О2 (х) > Б,
х>о, о<Х<1
Х-Х (х)< о Х-Рк Хк (х)< о,Ук еО Х-РкХ (х)< о,Ук еР
О1 (х) < Б1, О2 (х) > Б2
х > о, о <Х<1
решая которую как скалярную задачу оптимизации, можно аналогично найти точку компромиссного решения хоопеч .
Шаг 9. Найти компромиссные значения каждого критерия Г ( х Попед ) и Гк ( хПопе, ) , Ув, к е Р и О .
Таким образом, предлагаемый метод ГРНК, используя существующие способы решения задач скалярной оптимизации, может достаточно легко встраиваться в различные алгоритмы принятия решений и, по нашему мнению, должен стать основой современных информационных систем управления.
Список литературы
1. Мезенцев Ю.А., Кириллов Ю.В. Некоторые аспекты задач оптимального проектирования при нескольких критериях предпочтения. //Сб. науч. тр. НГТУ, 2оо3.- №3. - С. 21-4о.
2. Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. - М.: Дело, 1998.
3. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. - М.: ФиС, 1998.
4. Иванов Л.Н., Кириллов Ю.В. К вопросу о Парето-оптимальности решений задач векторной оптимизации // Сб. науч. тр. НГТУ, 2оо3. - №3. - С. 61-74.
