Многокритериальные задачи оптимизации в экономике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 416-421

УДК 519.6

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ © 2014 г. М.В. Маркина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

markinamv6213 @yandex.ru

Поступбла в редаоцбю 03.04.2014

Демонстрируется численный метод решения двухкритериальных многоэкстремальных задач с ограничениями, который аппроксимирует множество Парето с заданной точностью. Метод основан на информационно-статистическом подходе к глобальной оптимизации. Обсуждаются ситуации, когда математическая модель экономической проблемы является задачей многокритериальной оптимизации.

Ключевые слова: многокритериальные задачи, оптимальность по Парето, информационно-статистический подход, аппроксимация множества Парето.

Введение

Многокритериальные задачи возникают при множественности поставленных целей. В качестве критериев принимают степень достижения каждой цели. Рассмотрим некоторые примеры типичных постановок многокритериальных задач оптимизации в экономике.

• Определить необходимое количество ресурса (средств) и рациональный способ его использования. Примером такой постановки служит задача проектирования оборудования для изготовления товара, характеризуемого стоимостью производства (первый критерий) и максимальным сроком службы (второй критерий).

• Оценить эффективность сложной экономической системы, функционирующей в различных условиях. В этом случае частным критерием является эффективность системы, работающей при г-м варианте условия.

• Оценить эффективность экономической системы по нескольким показателям. При необходимости принятия решения по инвестиционному проекту его следует оценивать по всем показателям (NPV, IRR, рентабельности и др.).

В работе [1] рассматривается задача построения математической модели для оценки оптимальной стратегии развития субъекта экономики. Объектом исследования статьи являются инвестиционные проекты в регионе. Рассматривается ситуация, когда объявлен конкурс на создание новых предприятий на территории региона. Потенциальные инвесторы предлагают проекты, опираясь на собственные средства и возможные кредиты. Ставится задача выбора лучшего проекта с учетом следующих факторов: время реализации проекта, увеличение дохода региона, появ-

ление новых рабочих мест, изменение демографической ситуации и ситуации на рынке труда, возможные экологические последствия. Предложенная в [1] математическая модель является многокритериальной задачей с нелинейными критериями и линейными ограничениями.

• Оценить доходность инвестиционного портфеля и его риск. В этом случае математическая модель управления инвестиционным портфелем с учетом риска будет бикритериальной задачей оптимизации [2].

• Выбрать наилучший вариант организации поставок сырья, например, из нескольких доступных анализируемых вариантов. При этом в качестве частных критериев могут выступать следующие: минимизация ожидаемых годовых издержек, обусловливаемых соответствующими расстояниями и затратами на перевозки; минимизация ожидаемых годовых издержек, обусловливаемых форс-мажорными ситуациями у поставщика (учет влияния факторов надежности); минимизация оценки годовых издержек, обусловливаемых возможными срывами поставок из-за погодных условий и т.д. Данная задача является примером задачи логистики. В работе [3] рассматриваются различные постановки задач в логистике, решение которых сводится к решению многокритериальных задач оптимизации.

Математическая модель бикритериальной задачи оптимизации

Рассмотрим одномерную задачу векторной оптимизации

(/1(х\ Л( х)) ^ ИШ!

хеБ (1)

Б = {х е [а,Ь], gj (х) < 0, 1 < } < т}.

Функции (х), 1 < 7 < 2, gj (х), 1 < у < т,

должны удовлетворять условию Липшица и могут быть многоэкстремальными.

В качестве решения задачи принимается множество эффективных по Парето точек.

Допустимая точка х является оптимальной по Парето, если среди всех точек, принадлежащих области допустимых решений О, нет ни одной точки х, которая доминировала бы над точкой х , т.е. для критериев выполняются неравенства

(х*) < ^(х), 7=1,2, и как минимум одно из неравенств является строгим.

Точки из множества Парето не могут сравниваться по векторному критерию эффективности. Для любых двух Парето-оптимальных точек х и х нельзя улучшить ни одного из частных скалярных критериев, не ухудшая значение хотя бы одного из оставшихся критериев.

Множество Парето является подмножеством множества слабо эффективных точек (множества Слейтера).

Допустимая точка х является оптимальной по Слейтеру, если не существует решения х е О, такого, что

^(х) < ^(х*), 7 = 1, 2.

Множество Парето, отображенное в пространство критериев эффективности, называется областью компромиссов.

Выбор единственного решения из множества Парето осуществляется лицом, принимающим решение (ЛПР). С точки зрения ЛПР возможны три подхода к решению многокритериальной задачи:

• соглашение о компромиссе принимается ЛПР до решения задачи (например, задание весовых коэффициентов свертки критериев);

• соглашение о компромиссе принимается ЛПР в процессе решения задачи (человеко-машинная процедура принятия решения) (например, задание уступок в методе последовательных уступок);

• соглашение о компромиссе принимается ЛПР после решения задачи. При таком подходе в процессе решения строится большое число точек Парето, как можно более равномерно распределенных в пространстве критериев эффективности. ЛПР выбирает одну из полученных Парето-точек, имея полную информацию.

Предлагается алгоритм решения многокритериальных задач, основанный на третьем подходе.

Известно, что задача (1) может быть заменена задачей

тт{/2 (х): х е О; / (х) < д},

д е[ш1пЩх),+<»).

В [4] приведено доказательство того, что решение задачи (2) при некотором фиксированном q является слабо эффективным решением задачи (1). Для получения множества слабо эффективных решений необходимо решить задачи с различными значениями q. Традиционные методы для получения какой-либо Парето-точки каждый раз решают новую задачу.

В работе предлагается решать несколько различных задач вида (2) одновременно, используя информационно-статистический подход к решению многокритериальных задач оптимизации [5-8].

Одномерный алгоритм оценки множества эффективных решений

бикритериальных многоэкстремальных задач с невыпуклыми ограничениями

В представленном ниже алгоритме одновременно решается сразу несколько задач с разными параметрами q. Множество предельных точек алгоритма аппроксимирует множество Слейтера. Точность аппроксимации задаётся шагом h, который рекомендуется выбирать из

_____ 7, , / /"max /"min\ /"max /"min ____

условия h < (fi - fi ), где f и f соответственно наибольшее и наименьшее значение 1-го критерия. Вариант формирования набора параметров q может быть следующим:

4i = q-- + h, i = 1,2,..., q0 = /1min. (3)

Каждая итерация алгоритма включает определение индекса 1 <v( xi) < m +1 точки xt, 1 < i < k, равного номеру первого нарушенного ограничения. Если v(xi) < m +1, то точке испытания x соответствует значение z i = gv (xi). Если v(xi) = m +1 (т.е. все ограничения вида gi ( x) < 0 выполняются), то в точке испытания xi вычисляются значения критериев zß = fj (xi), 1 < j < 2.

Граничным точкам присваиваются нулевые индексы, значения функций в них не вычисляются. Выбор точки xk+1, k > 2, любой следующей итерации определяется правилами:

1 \ 1 k "

1) точки x ,...,x предшествующих итераций

перенумеровываются нижними индексами в порядке возрастания координаты, т.е.

a = x0 < x1 <... <xt < xk < xk+1 = Ъ ; (4)

2) определяются множества

10 = {0, k +1}, Iv= {i: 1 < i < k, v = v(x-)}, (5)

содержащие номера всех точек, индекс которых равен V; множества

{/, и... и 1 т +1, (6)

содержащие номера всех точек, индексы которых меньше V; множества

Тч= {Д+1 и... и /т+\}, 1 т +1, (7) содержащие номера всех точек, индексы которых больше V;

3) вычисляются максимальные абсолютные значения относительных первых разностей: если /т+1 = 0 , то

ц' = max{- zj/(х,. - хр), i, p еIv, ' > p}, 1 < v < m;

(8)

(9)

R(i) =

^v

v( xi-1) = v( xi),

2(х.. - х..-i) - 4(zi - z*)/ гц',

v(xi-i) <v(xiX 2(xi - xi-1) - 4(Zi-1 - zV)/ , v( xi) <v( xi-1).

В противном случае

max-x.. - xi-1 + 2

(zß -z,i-i)2

если Im+1 Ф 0 , то вычисляются как ц' так и ц ,

где

ц, = max{zß - z,p\/(x - xp), ', p е 4+1, ' > p}, 1 < j < 2;

причём в случаях, когда cardIv <2, 1 <v<m +1, или когда ц' (ц,) оказываются равными нулю, то принимается, что ц' = 1 (ц, = 1);

4) для всех непустых множеств Iv, 1 < v < m,

определяются величины

Г0, Tv Ф 0;

' (10) [min(zi :. е I'}, Tv = 0;

5) каждой точке xi, 1 < i < k , индекс которой v(x..) > m, сопоставляется вектор q' = (q1, q2), где

qj = E[(Zji - Zjmin ) / hj ]hj + Zjmin, j = 1, (11) q' =<»;

6) для каждого интервала (xi-1, xt), 1 < i < k +1, вычисляется характеристика R(i) (г > 1 - параметр метода), причём если max{v( xt-1),

v(xt)} < m , то

(x - x ) +_(z' - Z'-1)__

(ц' ) (xi - xi-1) 2(Zi + Zi-1 - 2zV)

Ц/ (Х,- - Х,-1) 1(1 Л + -1 - 2тахд., ^тп}) "I

г^л Г

1< Л < 2, v(x,.-1) = v(x); (13) ^(х, -х,,)- ^ -^,^|

1 < Л < 2, v(x-1) ^); тах^2(х, -хн) - 4Л -тах^,4шш})|

1 < Л < 2, v(x) ^(х,.-,); ц. = тшЦ, ц'71}, z, 1 = ГтпК. :1 < , < к},Л =1; (14)

Лт1п [тт^2, : zu < ц + Ь, 1 <, < к},Л = 2;

7) определяется интервал (х(-1, хг), имеющий максимальную характеристику, т.е.

Я(/) = тах{Я(,):1 <, < к +1}; (15)

8) очередная итерация осуществляется в точке

(х + х-1)/2, Чхч) );

xk+1 =

(x + x-1)/2 - (z, - zM)/2rX

v(x,_1) = '(x) < m + 1; (16)

(x + x-1)/2 - (z,, - ,)/2г,ц

(12)

(Чх,.,) = v(x) = т +1)& (Щ) = Ял (/)), где за ЯЛ ) обозначена характеристика, использующая значения .-го критерия.

Алгоритм можно дополнить условием остановки (по заданной точности в > 0), прекращающим итерации при выполнении неравенства

х{ - х1-1 <в. (17)

Достаточные условия сходимости алгоритма

Теорема. Пусть

1) множество S(q) есть множество решений задачи (2) при некотором наборе параметров ц;

2) функции g¡ (х), х е [а,, Ь1 ], г = 1, т, допускают липшицевые с соответствующими константами К^ продолжения 01 (х), х е [а,,Ь1 ], т.е.

g¡ (х) = G¡ (хХ х е [а,,^], 1 <, < т ;

3)У1(х), У2(х), определенные в непустой допустимой области Б, также допускают липшице-вые с соответствующими константами К1, К2 продолжения ¥ (х), х е [а, Ь];

X

Точки испытаний алгоритма

. ..iLI.HUllJ..|UJ..J......■LI....L..LJJJ.I.HI!.J

О 0.25 0.5 0.7S 1

Точки, оптимальные го Парето

I.III.. J ..ill

О 0.2S 0_5 1

Рис. 1

4) начиная с некоторого шага для величин

, Vj из (8) (9), параметра r алгоритма и констант Липшица Kg , Kj, 1 < j < 2, справедливо r|v'v > 2Kg, 1 < i < m ; rvj > 2Kj, 1 < j< 2.(18)

Тогда множество предельных точек последовательности {xk}, порождаемой алгоритмом при точности s=0 в условии остановки (17), содержит в себе множество Sq.

Доказательство теоремы приведено в [9].

Тестовый пример работы одномерного алгоритма

Программная реализация метода выполнена на языке С++ в среде Microsoft Visual Studio.

Постановка задачи:

(f1(xX f2(x)) ^ min

f1 (x) = -(20*x+12*sin(16*x)),

f2( x) = 20*x+12*sin(6*rc*(x+0.1)). Шаг аппроксимации h=8; точность в условии остановки s=0.0001.

На рис. 1 представлены графики функций, точки испытаний и отобранные из них эффективные по Парето точки. Общее число испытаний - 92. Число отобранных из них эффективных точек, оптимальных по Парето, - 31.

На рис. 2 представлено распределение паре-товских точек в плоскости критериев.

Редукция размерности пространства

Возможный подход к численному анализу многомерных задач вида (2) состоит в сведении их к эквивалентным задачам с помощью однозначных непрерывных отображений отрезка [0,1] вещественной оси на и-мерный гиперинтервал О. Подробное исследование свойств таких отображений и алгоритмов их построения содержится в [4].

Указанная схема редукции сопоставляет многомерной липшицевой с константой Ь функции /(у), у е О, одномерную функцию Г(х) = /(у(х)), х е [0,1], удовлетворяющую равномерному условию Гельдера |Г(х') - Г(х2)| < К(|х' - х2|)1/и, х1, х2 е [0,1], (19)

с коэффициентом К < 4Ьи12.

Тестовый пример работы многомерного алгоритма

Постановка задачи:

(/(хХ У2(х)) ^ ш1п

4 2 2

/(х,, х2) = ^ - + ъ. + 1 1 2 4 2 10 2

5.1

1

/2(*1,x2) = (x2 - — x -6) +10(1 - — )cos(xJ + 20 4л 8л

-2.5 < х, < 2.5, i = 1,2.

Шаг аппроксимации h=1.

Точки, оптимальные гэ Парето в пространстве критериев

мм Рис. 2

Распределение точек испытаний в пространстве критериев

■ ■

? *

■ ■ ■ " : ■ a

■ . ' ' * ' • ■

Wr'Aift '■:

fi

Область возможных значений критериев

-1 а 1 ? з 4 5 а

f1

Рис. 3

На рис. 3 (верхний рисунок) представлены точки испытаний в пространстве критериев. Рисунок показывает сходимость метода к паре-товской границе. Условие остановки выбрано по количеству испытаний. Количество испытаний - 300. Количество эффективных оптимальных по Парето точек - 32.

На рис. 3 (нижний рисунок) представлено множество возможных значений критериев (всё множество векторных оценок).

Список литературы

1. Жуков А.В. Модель многокритериальной оценки оптимальной стратегии развития субъекта экономики // Вестник ТвГУ. Серия прикладная математика. 2011. С. 105-124.

2. Мищенко А.В., Попов А.А. Двухкритериальная задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях ограничения на финансовые ресурсы // Менеджмент в России и за рубежом. 2001. Вып. 1.

3. Бродецкий Г. Л. Экономико-математические методы и модели в логистике. Процедуры оптимизации. М.: Академия, 2011. 272 с.

4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 155 с.

5. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука, 1978.

6. Маркина М.В. Аппроксимация множества Па-рето в бикритериальных задачах оптимального проектирования механических конструкций // В межвуз. сб.: Проблемы прочности и пластичности. 2011. Вып. 73. С. 167-179.

7. Malkov V.P., Markina M.V. Step-by-step para-metrical optimization. Manual. Nizhni Novgorod: Nizhni Novgorod University Press, 2001. 106 p.

8. Strongin R.G., Markin D.L., Markina M.V. Reduction of multi-extremum multi-criterion problems with constrants to unconstrained optimization problems: theory and algorithms // Computational and mathematical modeling. 1995. Vol. 6. № 4. Р. 242-248. Plenum publishing corporation.

9. Маркина М.В. Решение бикритериальных задач многоэкстремальной многомерной условной оптимизации // Краевые задачи и математическое моделирование. Тематич. сб. научн. ст. в 3 т. Т. 2 / НФИ ГОУ ВПО «КемГУ». Под общ. ред. В.О. Каледина. Новокузнецк, 2010. С. 178-188.

MULTICRITERIA OPTIMIZATION PROBLEMS IN ECONOMICS

M. V. Markina

The article demonstrates a numerical technique to solve two-criteria multiextremal problems with constraints which approximates a Pareto set with a given accuracy. The technique is based on the information-statistical approach to global optimization. Some cases are discussed when a mathematical model of an economic problem is the problem of mul-ticriteria optimization.

Keywords: multicriteria problems, Pareto optimal solutions, information-statistical approach, Pareto set approximation.

МногокритериcmbHblе 3cèmw onmwuma^u e экономике

421

References

1. Zhukov A.V. Model' mnogokriterial'noj ocenki optimal'noj strategii razvitiya sub"ekta ehkonomiki // Vestnik TvGU. Seriya prikladnaya matematika. 2011. S. 105-124.

2. Mishchenko A.V., Popov A.A. Dvuhkriterial'naya zadacha optimizacii investicionnogo portfelya v uslovi-yah ogranicheniya na finansovye resursy // Menedzhment v Rossii i za rubezhom. 2001. Vyp. 1.

3. Brodeckij G.L. Ehkonomiko-matematicheskie metody i modeli v logistike. Procedury optimizacii. M.: Akademiya, 2011. 272 s.

4. Podinovskij V.V., Nogin V.D. Pareto-optima-l'nye resheniya mnogokriterial'nyh zadach. M.: Nauka, 1982. 155 s.

5. Strongin R.G. Chislennye metody v mnog-oehkstremal'nyh zadachah. M.: Nauka, 1978.

6. Markina M.V. Approksimaciya mnozhestva Pareto v bikriterial'nyh zadachah optimal'nogo proektirovaniya mekhanicheskih konstrukcij // V mezhvuz. sb. : Problemy prochnosti i plastichnosti. 2011. Vyp. 73. S. 167-179.

7. Malkov V.P., Markina M.V. Step-by-step para-metrical optimization. Manual. Nizhni Novgorod: Nizhni Novgorod University Press, 2001. 106 p.

8. Strongin R.G., Markin D.L., Markina M.V. Reduction of multi-extremum multi-criterion problems with constrants to unconstrained optimization problems: theory and algorithms // Computational and mathematical modeling. 1995. Vol. 6. № 4.1995. R. 242-248. Plenum publishing corporation.

9. Markina M.V. Reshenie bikriterial'nyh zadach mnogoehkstremal'noj mnogomernoj uslovnoj optimizacii // Kraevye zadachi i matematicheskoe modelirovanie. Tematich. sb. nauchn. st. v3 t. T.2/NFI GOU VPO «KemGU». Pod obshch. red. V.O. Kaledina. Novokuzneck, 2010. 235. S. 178-188.