Многокритериальная экономико-математическая модель оценки коммерческой эффективности инвестирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 330.322.54

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КОММЕРЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИРОВАНИЯ *

Ю. В. КИРИЛЛОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры экономической информатики E-mail: kirillov_yu@ngs. ru

Е. Е. ДОСУЖЕВА,

ассистент кафедры экономической информатики E-mail: dosuzheva@gmail. com Новосибирский государственный технический университет

В работе предложена математическая постановка задачи оценки эффективности инвестиционного проекта. Авторами сформирована экономико-математическая модель этой задачи. В статье предложено решение последней как частной задачи многокритериальной оптимизации.

Ключевые слова: инвестиция, эффективность, инвестиционный проект, модель, оценка.

Почти все задачи, с которыми человек встречается в течение всей жизни, имеют несколько вариантов решения, или альтернатив. Не являются исключением и экономические задачи, в том числе связанные с инвестированием. Поскольку оценка эффективности инвестиционного проекта производится для принятия оптимального решения при инвестировании, для нее целесообразно применять методы и подходы, используемые в теории принятия решений.

Необходимость количественного, строго формализованного, как наиболее объективного, обоснования при принятии управленческих решений

* Работа поддержана грантом Минобрнауки России по проекту ТП-8.536.2011.

также определяет непременное использование математических моделей и методов исследования операций.

Среди большого количества альтернативных решений в условиях рыночной экономики существует необходимость находить оптимальные при наличии определенных ограничений, которые налагаются на естественные, финансовые и научно-технические ресурсы. Исходя из этого появилась потребность в применении математических моделей и методов для решения экономических задач различного уровня сложности. Вся эта группа методов, моделей и подходов к решению подобных задач называется математическим программированием.

Методы математического программирования находят применение в разнообразных сферах деятельности, где возникает необходимость выбора одной из альтернатив и принятия оптимального решения, например при решении задач управления и планирования производственной деятельности, проблем проектирования и планирования.

Общая задача математического программирования заключается в определении оптимальной (максимальной или минимальной) величины целевой функции, при этом значения переменных должны

лежать в определенной области допустимых значений или на ее границе.

Математическая модель любой задачи математического программирования в общей форме содержит в себе целевую функцию, управляемые переменные и набор ограничений. Целевая функция - это такая функция множества переменных, которая определяет характер выполнения задачи математического программирования и максимум или минимум которой необходимо определить.

Помимо понятия «целевая функция» в литературе также используются термины «показатель качества», «показатель эффективности» или «критериальная функция» [9]. Переменными называют показатели х1, х2... х, которые описывают какой-либо процесс. Системой ограничений называют систему линейных уравнений или неравенств, описывающих ограниченность каких-либо экономических или материальных ресурсов в поставленной задаче. Область допустимых значений - совокупность допустимых решений, в границах которой происходит выбор оптимального решения (наилучшей альтернативы).

В общем виде математическая модель выглядит следующим образом:

еХг 2 (X),

X е П

где 2(Х) - целевая функция, которая максимизируется или минимизируется в зависимости от условий задачи оптимизации; О - область допустимых значений целевой функции;

X = (х1, х2... хи) - множество управляемых переменных.

Несмотря на многообразие методов и моделей математического программирования, на практике многие задачи планирования и управления в социально-экономических системах зачастую сводятся к задачам линейного программирования, к которым относятся, например, задачи оптимального распределения ресурсов для выпуска продукции, размещения производства, загрузки оборудования и др.

Названные задачи линейного программирования имеют один критерий (показатель) эффективности, по которому проводится решение, т. е. необходимо обратить в минимум или максимум только один критерий. Математические модели описания таких задач называются однокритериальными. Концепция моделирования задач оптимизации с одной целевой функцией и их решения является основным вопросом математического программирования и в достаточной мере полно сформирована.

На практике в большинстве практических экономических и технических задач целевых функций должно быть несколько. Существует немало примеров, когда необходимо отыскать решение, для которого достигались бы оптимальные значения одновременно по многим критериям эффективности. Например, при изготовлении товаров максимизируются показатели, характеризующие их качество, и минимизируются затраты на их производство.

Такие задачи, когда из большого количества допустимых решений нужно подобрать наилучшее с учетом ограничений и многих критериев оптимальности, вытекающих из постановки задачи, называют задачами многокритериальной оптимизации [1]. Под многокритериальной задачей обычно подразумевают не словесную постановку задачи, а ее математически формализованную модель: «Многокритериальная задача - математическая модель принятия оптимального решения одновременно по нескольким критериям» [10]. Математическая модель задачи многокритериальной оптимизации в общем виде выглядит следующим образом: У (X) ^ тах(тт)

X еП ,

где У (X) - векторная функция, при этом У (X) = У(Х),у^... уг (X)}, гдеУl(X),у^... уг (X) -критерии эффективности задачи многокритериальной оптимизации; О - область допустимых решений. Так как в моделях задач многокритериальной оптимизации применяется векторная функция, их, как правило, также называют задачами векторной оптимизации.

Аналогично задачам иных разделов математического программирования задачи многокритериальной оптимизации в зависимости от типа управляемых переменных подразделяются на дискретные или непрерывные и детерминированные или стохастические. Если один из критериев эффективности или ограничений имеет нелинейный вид, задача многокритериальной оптимизации также является нелинейной. Напротив, если все критерии и ограничения линейны, то и задача векторной оптимизации линейна.

Ввиду наличия в данном типе задач нескольких критериев оптимизации они имеют еще два классификатора - равноценность и степень однородности критериев эффективности [3, с. 114-116]. Если критерии эффективности в задаче эквивалентны по значимости, она является равнозначной, иначе,

при установлении приоритета каждому из критериев - неравнозначной. В свою очередь, если все критерии эффективности максимизируются или минимизируются, задача является однородной. В противном случае, если одна часть критериев в многокритериальной задаче оптимизации максимизируется, а другая - минимизируется, задача считается неоднородной.

Очевидно, многокритериальная задача оптимизации по сути заключает в себе задачу определения оптимального плана по нескольким критериям при заданной системе ограничений [4, 11, 13]. Иными словами, в нашем случае, применяя математический аппарат многокритериальной оптимизации, имеется возможность нахождения максимально эффективного варианта (наилучшей альтернативы) инвестиционного проекта и оптимальных параметров его реализации при заданных ограничениях.

Процесс принятия решения состоит из трех основных стадий:

• постановка задачи;

• разработка модели;

• выбор наилучшей альтернативы и принятие оптимального решения.

Таким образом, для поддержки принятия решения при инвестировании на основе оценки эффективности инвестиционного проекта прежде всего необходимо поставить задачу принятия решения.

Постановка задачи. Пусть инвестору необходимо выбрать один из инвестиционных проектов или вариант реализации единственного проекта. Примерная схема финансовой реализации проекта представлена на рисунке.

Основными параметрами инвестиционного проекта являются:

X = {х} - платежи инвестиционной части проекта, а] = 1... » - время их поступления;

У = {у,} - платежи доходной части проекта, а k = » + 1, » + 2... п2 - время их поступления;

/ - ставка дисконтирования (наращения) инвестиционного проекта;

п1 - длительность инвестиционной части, а п2 - длительность доходной части проекта.

Эти параметры могут как выступать в роли ограничений задачи оценки эффективности инвестиционного проекта, так и быть управляемыми переменными.

Требуется на основе этих параметров оценить эффективность инвестиционных проектов или вариантов осуществления проекта для поддержки принятия решения при инвестировании. Очевидно, для этого необходимо перейти ко второй стадии процесса принятия решения и построить экономико-математическую модель оценки эффективности инвестиционного проекта с учетом основных принципов оценки, изложенных в «Методических рекомендациях...» [12].

Формирование экономико-математической модели. Для комплексной оценки эффективности инвестиционного проекта с точки зрения системного подхода экономико-математическая модель должна так или иначе содержать в себе каждый из трех типов показателей эффективности инвестиционного проекта:

• показатели коммерческого эффекта (доходность, рентабельность);

• временные показатели (срок окупаемости);

• показатели внутренней нормы доходности (барьерная величина ставки дисконтирования или наращения).

Очевидно, первостепенной целью реализации коммерческих инвестиционных проектов является получение максимально возможной прибыли от них. На основании этого одним из критериев оптимизации должен стать количественный показатель, представляющий прибыль от осуществления инвестиционного проекта. Ключевым параметром эффективности, отражающим полученную прибыль, является чистая приведенная стоимость NPV, которую можно опре-

0

' х,У у 1 •■• ] •■• п1 »1+1 у п1+к \ у п2+п2

1 х ' х ] х г п1 +1 • • • п1 + k • • • п1 + п2

Схема финансовой реализации проекта

г

делить как функцию названных параметров:

NPV (x, х2... Xn, yn

= I

Ук

'1

--I-

k=n+1 (1 + i) M (1 + i)J

Вместе с тем совершенно естественно желание инвестора получить максимум прибыли от инвестиционного проекта не за произвольный, а за минимальный промежуток времени. Показателями, выражающими количество времени, которое потребуется для покрытия затрат на реализацию проекта, являются срок окупаемости PP и дисконтированный срок окупаемости DPP.

Так как при оценке эффективности инвестиционного проекта согласно «Методическим рекомендациям...» необходимо учитывать временной фактор, вторым критерием в задаче оптимизации будет дисконтированный срок окупаемости DPP.

До недавнего времени одновременное представление NPVи DPP в форме критериев эффективности векторной задачи математического программирования не представлялось возможным, поскольку для вычисления DPP использовался итерационный алгоритм, а не аналитическое выражение. Однако в работе [6, с. 49-54] была разработана аналитическая формула вычисления DPP:

Dpp(x,х2... х ,y +1,y +2...y + „ ,0 =

- - {'- РУк) [1 - (1+i)i

ln(l + i)

Р(Ук ) = Р(Ущ+1, Уч+ 2... УЧ + n ) = I

к=n + 1

Ук (1+i)k

= I

Ук

к=1+1 (1 + IRR)+n j-t (1 + IRR)j

n X

-Ц^Гтт = 0, (2)

j=i

если известны размеры платежей x. и Ук.

7х"

Для использования IRR в математической модели в виде одной из целевых функций этот показатель должен иметь аналитическую форму, но IRR является корнем уравнения (2), левая часть которого в общем случае представляется полиномом степени (n1 + n2) - по количеству расчетных периодов инвестиционного проекта (см. рисунок).

Однако согласно теореме Абеля - Руффини алгебраические уравнения пятой и более высокой степени неразрешимы в радикалах [17]. Таким образом, для инвестиционного проекта, количество расчетных периодов которого больше пяти, невозможно найти значение IRR, выразив его в аналитической форме, и, соответственно, решить многокритериальную задачу оценки эффективности инвестиционного проекта.

Следовательно, математической формой, отражающей ключевые цели реализации инвестиционного проекта, станет векторная задача оптимизации: NPV(xi,x2... \,Уп+i,У%+2... У^,0 =

П +П-2

= I

к=n +1

Ук

'Т

-I

(1 + if j=t (1 + i)

->max

Dpp( x, X2... V Уп+i, Уп (3)

n +2-

ln {1 -

S (Xj)

P( Ук)

[1 - (1 + i)-n ]j

->min

где S(xJ) - сумма инвестиционных платежей, наращенная к моменту ^ = п1:

S (х,) = S (х, Х2... х^) = £ х, (1 + 0" - ^,

,=1

а Р (ук) - дисконтированная стоимость доходных платежей, приведенная к моменту ^ = п1:

Выражение (1) позволяет выполнить расчет DPP, получив при этом более точный результат по сравнению с классическими методами [6].

Еще одним критерием должен был стать показатель внутренней нормы доходности IRR, значение которого является корнем уравнения NPV (i = IRR) =

ln(1 + i)

При этом, хотя IRR не может являться целевой функцией задачи, величина ставки дисконтирования i может стать логическим ограничением задачи. Минимальное значение ставки дисконтирования imln устанавливается в соответствии с условиями бизнес-плана инвестиционного проекта. Максимум этого значения определяется в простейшем случае значением IRR0, вычисленным для инвестиционного проекта с аналогичной финансовой схемой реализации. В более сложных случаях необходимо использовать итерационные алгоритмы численных методов для определения внутренней нормы доходности проекта [15].

Таким образом, получаем ограничение задачи оценки эффективности инвестиционного проекта по ставке дисконтирования с использованием показателя IRR:

imin — i — IRR,.

Ограничениями задачи станут также максимальные и минимальные размеры платежей инвестиционной и доходной частей проекта, которые должны быть обоснованы в бизнес-плане проекта:

Xmin — Xj — Xmax ;

Уmin — Ук — Уmax .

21

X

X

Помимо NPV и DPP целевой функцией многокритериальной задачи оценки эффективности может быть дисконтированный индекс доходности DPI, который имеет аналитическую форму и по сути является показателем коммерческой рентабельности инвестиционного проекта. Однако между показателями NPV и DPI существует очевидная взаимосвязь: если NPV> 0, то DPI > 1; если NPV< 0, то DPI < 1. Таким образом, в составе экономико-математической модели DPI целесообразно представить в виде ограничения задачи, а не целевой функции.

Минимальное значение DPI, при котором проект не будет являться убыточным для инвестора, равно единице. Дисконтированный индекс доходности DPI (x, Х2... Xn, Уп,

2.....n

n+n

^ (1+0* £ (1+¡у

в форме ограничения задачи оптимизации (3) будет представлен неравенством

»1 +»2 у »1 х 1 < Т. у* — х

n

x.

(1 + i)k

/т-jl (1 + i)

< DPI

где величина DPImax будет определяться бизнес-планом проекта.

Исходя из всего сказанного, задача оценки эффективности инвестиционного проекта в общем виде должна быть поставлена в форме следующей экономико-математической модели многокритериальной оптимизации: найти оптимальные значения показателей NPV и DPP

'NPV (Х, , x2 ... Xni , Уп1+1, Уп1 + 2 ... Уп^ + п, , 0 =

n1 + n2

->max

n x

= У Ук У j

k=T+ 1 (1 + i)k (1 + i)j DPP( x, x2... x., y„ +1, y. (4)

-11 - P$ t1 - (1+i)-n ]j

ln(1 + i)

-> min

при ограничениях на параметры проекта

n +«2 y n

1 < У -^T " k=t+i (1+i)k

Ex,-DPI

(1 + i)j max

j=i

x < x. < x

min j max

ymin < yk < ymax

imin < i < IRR

xj^ yk, i ^ 0

(5)

В окончательном виде модель заключает в себе четыре показателя эффективности инвестиционного проекта:

1) NPV (Net Present Value) - чистая приведенная стоимость;

2) DPI (Discounted Profitability Index) - дисконтированный индекс доходности;

3) DPP (Payback Period) - дисконтированный срок окупаемости;

4) IRR (Internal Rate of Return) - внутренняя норма доходности.

Эти показатели являются основными критериями эффективности инвестиционного проекта и, как правило, применяются на практике [12].

Итоговое значение ставки дисконтирования i в модели (4) - (5) формируется на основе кумулятивного подхода [7]. Формула для нахождения ставки дисконтирования на базе этого метода выглядит таким образом:

i = i0 + r + h, где i0 - безрисковая норма дисконта, %;

r - премия за риски инвестирования в проект, %;

h - инфляционная премия на основе ожидаемого уровня инфляции, %.

В качестве безрисковой ставки обычно используется один из следующих инструментов [14]:

• процентные ставки по депозитам Сбербанка России;

• уровень доходности по облигациям федерального займа и государственным краткосрочным бескупонным облигациям Российской Федерации, выраженным в национальной валюте РФ;

• уровень доходности по облигациям внутреннего валютного займа и еврооблигациям, выраженным в зарубежной валюте. Применение экономико-математической модели

(4) - (5) позволяет провести оценку эффективности с учетом основных принципов, таких как оценка проекта за весь расчетный период, учет фактора времени или принцип субоптимизации, который зачастую на практике игнорируется при оценке эффективности инвестиционных проектов.

Частный вид экономико-математической модели оценки эффективности инвестиционного проекта с потоками денежных средств в форме аннуитета пос-тнумерандо с ежегодными платежами (x, yk = const) на основании формулы аналитического определения DPP для случая, приведенного в работе [6], будет выглядеть следующим образом: найти оптимальные

значения показателей NPV и DPP

1 - (1 + i)-

NPV (x j, Ук, i) = Ук

(1 + i)n

-X

1 - (1 + i)-

->max

DPP( x j, Ук, i) =

(6)

ln {1 -

l Ук

[(1 + i)n -1]!

->min

1п(1 + 0

при ограничениях на параметры проекта в форме системы неравенств (5).

Решение задачи многокритериальной оптимизации. Как уже было сказано, на третьей стадии процесса выбора решения с помощью экономико-математической модели находится наилучшая альтернатива и ответственное лицо принимает решение об инвестировании. Основная трудность при этом выражается в возможной противоречивости решения, так как если один из критериев оптимальности достигает желательной величины, другой может быть далек от приемлемого значения. Поэтому наилучшая для принимающего решение альтернатива должна быть Парето-оптимальной.

В 1909 г. итальянский экономист В. Парето на основе теории Ф. Эджворта математически сформулировал критерий оптимальности решения многокритериальной задачи [16]. Оптимальность по Парето означает, что нельзя изменить значение какого-либо из критериев оптимизации, улучшая его, не изменив в худшую сторону при этом значение хотя бы одного из других критериев. Альтернатива, оптимальная по Парето, является решением задачи многокритериальной оптимизации.

Существует множество подходов к решению многокритериальных задач оптимизации. Среди них принято выделять следующие [8, с. 121-129]:

• метод ограничений;

• метод последовательных уступок;

• метод свертки критериев и др.

К недостаткам данных методов можно отнести:

• иногда наилучшее решение X * векторной задачи оптимизации будет являться неэффективной точкой по отношению к первоначальной задаче многокритериальной оптимизации;

• возникают сложности при формировании алгоритма решения практических задач;

• возможны проблемы при неверном назначении приоритетов среди критериев;

• присутствует излишняя степень субъективности при назначении приоритета критериям. Исходя из сказанного, чтобы отыскать точное

решение, рекомендуется решать задачу векторной оптимизации на основе метода гарантированного результата при нормализации критериев (ГРНК) [2, с. 44-47; 3; 5, с. 61-74]. Использование метода ГРНК приводит к исчерпывающему и жесткому доказательству наличия решения многокритериальной задачи оптимизации, при этом сущность действий на каждом шаге алгоритма прозрачна и может быть адекватно воспринята не только специалистами с математическим образованием.

Если обозначить переменные задачи многокритериальной оптимизации (6) с ограничениями (5) как xt, x2, и x3 соответственно, то задача NPV(Xj, Ук,i) = f (x1, x2, x3) ^ max

DPP(Xj, Ук, i) = f2 (xt, x2, x3) ^ mln

1 — DPI(Xj ,Ук ,i) = g(X1, X2, X3) — DPImax

X3min — X3 — IRR,

X — X — x (7)

1min — 1 — 1max v '

X2min — X2 — X2max

Xt > 0

x2 > 0 x3 > 0

является неоднородной векторной задачей оптимизации.

Чтобы найти решение задачи (7) с помощью метода ГРНК, нужно выполнить следующие операции.

1. Решить задачи однокритериальной оптимизации для критериев эффективности f (Xt ,X2 ,X3) и f2 (Xt ,X2 ,X3) в отдельности для нахождения

значений fmax и fmin и fmax и fmin при заданных ограничениях. 2

2. Нормализовать критерии оптимизации:

Л ( ) _ f (X1, X2 ,X3 ) _ f

( , 2, 3 ) —

X 2 ( x1

, X2, X3) —

f max f min f2 _ f2 (X1 ,X2 ,X3 )

f max f min

3. Сформировать скалярную ^-задачу оптимиза-

ции:

7х"

23

1

Х ^ max

Х - Х, (Y , Y2 , Y3 ) < О Х - Х 2 (y , Y2 , x3 ) < О

< g ( xl, x2 , x3) < g m

3min < x3 < IRRq

gmin

x

Yimin < Yi < Yi

(8)

X2min — X2 — X2max

X > 0

x2 > 0 x3 > 0

4. Решение задачи (8) AmaxB точке X = (xt,x2,x3) является Парето-оптимальным решением задачи (6) с ограничениями (5), т. е. наилучшими значениями x,, ук и i при максимальной эффективности и минимально возможном в этих условиях сроке окупаемости инвестиционного проекта.

Применение метода ГРНК для анализа модели оценки эффективности инвестиционного проекта в форме задачи многокритериальной оптимизации дает возможность получить строго обоснованное оптимальное соотношение доходной и инвестиционной частей проекта для достижения максимальной эффективности реализации проекта, что, безусловно, содействует принятию объективных управленческих решений при инвестировании.

Список литературы

1. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. 2-е изд. М.: Наука, 1988. 208 с.

2. Кириллов Ю. В. Использование многокритериальных моделей для информационной поддержки принятия решений // Программные продукты и системы. 2005. № 1.

3. Кириллов Ю. В. Многокритериальное моделирование как основа информационных технологий поддержки принятия решений // Фундаментальные исследования. 2004. № 6. URL: www. rae. ru/fs/?section=content&op=show_article&article_ id=7779715.

4. Кириллов Ю. В. Прикладные методы оптимизации. Ч. 1. Методы решения задач линейного программирования: учеб. пособие / Ю. В. Кириллов, С. О. Веселовская. Новосибирск, НГТУ, 2012. 236 с.

5. Кириллов Ю. В., Иванов Л. Н. К вопросу о Па-рето-оптимальности решений задач векторной оптимизации // Сб. науч. трудов НГТУ. 2003. № 3 (33).

6. Кириллов Ю. В., Назимко Е. Н. Экономико-математический подход к вычислению срока окупаемости инвестиционного проекта // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 45.

7. Кукукина И. Г., Астраханцева И. А. Учет и анализ банкротств. М.: Высшее образование, 2007. 368 с.

8. Логунова О. С., Филиппов Е. Г., Павлов В. В., Павлов И. В. Постановка взаимосвязанных задач многокритериальной оптимизации состава шихты для дуговых электросталеплавильных печей. Вестник НТУ «ХПИ», № 62 (968). Украина, Харьков: На-цюнальний техшчний ушверситет «ХПИ». 2012.

9. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования. M.: БИНОМ, 2005. 416 с.

10. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

11. Мезенцев Ю. А. Экономико-математические методы. Новосибирск: Издательство НГТУ, 2004. 212 с.

12. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов: 3-я ред., испр. и доп. М.: Экономика, 2008. 421 с.

13. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы: пер. с фр. и предисл. А. И. Штерна. М.: Наука, 1990. 488 с.

14. Особенности выбора и использования безрисковой ставки доходности в российской оценочной практике. URL: http://www. ocenchik. ru/ docs/8.html.

15. Четыркин Е. М. Финансовая математика: учебник. М.: Дело, 2004. 400 с.

16. Pareto V. Manuel d^conomie politique. Paris: Giard, 1909.

17. Pesic P. Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability. MIT Press, May 2003. USA: Cambridge. 216 p.