К вопросу об упрощении двух задач оптимизации инвестиций Текст научной статьи по специальности «Математика»

46 (184) - 2013

Инвестиционная политика

УДК 330.46: 658.155

к вопросу об упрощении двух задач

оптимизации инвестиций

А. А. НАУМОВ,

кандидат технических наук, доцент E-mail: [email protected] Центр прикладных математических исследований, г. Новосибирск

В работе приведены результаты исследований двух оптимизационных задач: одна из них относится к классу задач оптимизации инвестиционных проектов, а вторая - оптимизации структуры капитала, вкладываемого в производство. Показано, что обе задачи можно существенно упростить, причем до такой степени, что решение каждой из них можно найти аналитически без использования специального программного обеспечения для компьютеров. При использовании в качестве элементов в оптимизационных задачах (в критериях или в ограничениях) «родственных» (зависимых) показателей (например, таких как NPV, DPI и др.) удается существенно упростить эти задачи за счет сокращения числа переменных и критериев.

Ключевые слова: инвестиции, структура, капитал, многокритериальная задача, оптимизация, упрощение.

Задача оптимизации инвестиционных проектов и ее аналитическое решение

В работе [1] рассмотрена задача оптимизации инвестиционных проектов на основе показателей NPV (чистого приведенного дохода), DPP (дисконтированного срока окупаемости), DPI (рентабельности). Как будет показано, эта задача может быть существенно упрощена и найдено ее точное решение.

Итак, следуя обозначениям, предложенным в работе [1], допустим, что известны потоки инвестиционного проекта:

- х1, х2, х3,..., х- входной поток (инвестиций) проекта;

- п1 - длительность этапа инвестирования в проект;

- Уп+1, Уп+2—Уп1+п2 - элементы вых°дтго потша (доходов) проекта;

- п2 - длительность этапа получения доходов от проекта;

- / - ставка дисконтирования или наращивания потоков проекта.

Тогда для проекта можно оценить следующие показатели (см. [1]):

- чистый приведенный доход по формуле

ЫРУ = (х , х2 , хз ^^ хп ,Ущ+1,Ущ + 2 — Ущ+П2 ,О =

n+П

= I

k=n + 1

Ук

n X

--I- Xj

(1+i)k j=1 (1+i)j"

дисконтированный срок окупаемости

DPP = (X1, X2 , X3 X ,Уп+1 ,Уn + 2 У^ + n ,i) =

= -ln{1 - *X/> 1 P(yk)

[1 - (1 + i)-"2 ]j /ln(1 + i),

где ¿Ц) - сумма инвестиций, приведенная к моменту времени ^ = п1,

п1

5 (х}.) = 5 (х, Х2, Х3,..., Хп1) = £ х}. (1 +О

3 =1

Р(Ук) - дисконтированная стоимость доходов, приведенная к моменту ^ = п1,

n -j .

" + "2

P(yk) = P( У"+1, У^+2,..., У^+"2) = I

Ук

к=" +1

(1 + j j

к

Инвестиционная политика

46 (184) - 2013

- дисконтированный индекс доходности (рентабельность проекта)

DPP = (X . Х2 . Х3 ..... Xn . Уи,+1. Уп+2 ..... Ущ+п, S =

4.

I

Ук

(i+ок / £ (i+i)j

А+ 1 V-1 1 • / / ]=

Таким образом, оптимизация проекта может быть сведена к решению задачи (см. [1]):

Ыру = (Х1,х2, хзхп,у^+,у^+2уП1+Иг,г) ^ max,

DPP = (X,. x2, хз,..., Хп. Уп+i,

Уп, +П2 .

Уп, + 2.....Уъ +п .0 ^ min.

(1)

при ог]

эаничениях:

п, +п2

1<I

к=п + 1

Ук

(п+i)7 j=f (i+i)j

< DP/

(2)

X < x. < X

mm j max Уmin < Ук < Уmax i'min < i <

xj. Ук.i > 0

где IRR0 - верхняя граница для ставки i.

Отметим некоторые особенности модели (задачи оптимизации) (1).

1. Хорошо известно. что показатели NPV, DPI (в критерии и ограничении) являются зависимыми. Отсюда следует. что можно было оставить один из показателей. например NPV. а другой из задачи исключить.

2. Решение этой оптимизационной задачи может быть найдено легко вручную (оно является тривиальным). Для этой задачи оно имеет вид: х. = x . . j = 1. 2..... п.. V, = У . k = n. + 1.

j j, min'J ' ' ' 1 ' J к J к max 1 '

п 1 + 2... п 1 + п2. i = imin. Заметим. что в модели авторов работы [1] следовало бы для большей общности для каждой из переменных х. и Ук ввести свои нижние и верхние границы. как это было сделано в ограничениях (2).

3. Задача (1) содержит выражение для показателя DPP. которое. фактически. не позволяет найти срока окупаемости данного проекта. Можно показать. что используемая в данном случае формула для этого показателя оценивает его значение для совершенно другого проекта. поскольку при ее выводе был использован прием замены исходного выходного потока (потока доходов) проекта на другой поток доходов. который к исходному проекту никакого отношения не имеет.

7х"

5.

6.

7.

Задача (1) поставлена некорректно. поскольку в общем случае выходной поток (доходов) проекта

(переменные задачи Уп+1. Уп+2.... Уп+%) зависит от входного потока (затрат. инвестиций. переменные задачи х1. х2. х3..... хщ). а это означает. что в ограничения задачи необходимо было дополнительно ввести ограничения. связывающие переменные х1. х2. хз ..... х,1 и Уп+1. Уп1 +2 ..... Уп+п, . В силу того. что решение этой задачи находится тривиально (см. п. 2). то остается открытым вопрос: за счет чего будут снижены затраты (издержки. инвестиции) проекта (до оптимальных значений х. = х, min. j = 1. 2,..., n1) и увеличена его доходная часть (до значений Ук = yk max. k = n1 +1. п1 + 2... п1 + п2). Обычно сначала решают вопрос о снижении издержек (затрат) и увеличении доходов. а уже потом пересчитывают в соответствии с этими изменениями показатели. Как правило. снижение затрат х. связано с выбором новых источников финансирования. новых схем расчета по кредитам и т. д. Следовательно. задача оптимизации становится дискретной. а алгоритм ее решения сводится к перебору вариантов инвестиционных схем. Аналогично обстоит дело и с проблемой увеличения доходов Ук. Это можно осуществить. например. за счет повышения цен на производимую продукцию. Ограничение сверху на значение рентабельности проекта (дисконтированного индекса доходности DP/) представляется излишним. его можно заменить на эквивалентное ограничение на показатель NPV > 0.

Поскольку очевидно. что. исходя из экономического смысла. выполняются неравенства:

1. 2,., П1 и Ук, max > 0 для

п1 + п2. то ограниче-

х], min >0 для всех j

всех к = n1 +1. п1 + 2

ния вида х. > 0. j

п1 + 2.

1, 2,..., п1, и ук > 0, k = п1 +1, , п1 + п2, являются лишними. Аналогично обстоит дело и с ограничением для ставки дисконтирования г.

Учитывая приведенные замечания, вид оптимизационной задачи (1) может быть упрощен. Требуется максимизировать критерий

ЫРУ = (х, Х2, Х3,..., Хп, Уп^ +1 , уп1 +2,... , уп1+п2 при ограничениях:

ЫРУ (х, Х2, Хз,..., Хп, Уп +1 , уп1 + 2 , ... , уп1 +п

^ Х] ^ Х,,max, ] = и— П1 Ук,тт ^ Ук ^ Ук,тах , к = П + 1 П1 + 2,...,П + П2

. i) ^ max i) > 0

imin < i

min

27

х

х

46 (184) - 2013

Инвестиционная политика

Решение упрощенной задачи совпадает с решением исходной задачи и находится без использования средств вычислительной техники: x, = x,

■ , j = 1, 2,..., n., y, = y, , к = n. + 1, n. + 2,..., n.

mm'^ ' ' ' 1' •'к •'к max' 1 ' 1 ' ' 1

+ n, i = i ■ .

2 min

Задача оптимизации структуры капитала

В работах [2-3] рассмотрена задача оптимизации структуры капитала К, инвестируемого в производство. В качестве переменных задачи были выбраны:

- СК - объем собственных средств;

- ЗК - объем заемных средств.

Очевидно, при этом должно выполняться равенство СК + ЗК = К, а в качестве критериев этой задачи выступают рентабельность собственного капитала ^СК и время оборота Тоб капитала К. Ограничения задачи - это ограничения на значения коэффициентов (К1 - коэффициент автономии, К2 - коэффициент обеспеченности собственными оборотными средствами, К3 - коэффициент маневренности собственного капитала, К4 - коэффициент долгосрочного привлечения заемных средств, К5 - коэффициент финансовой устойчивости).

Приведем вид оптимизационной задачи в обозначениях работ [2, 3]:

Rcк (СК, ЗК) =

п.

СК + ЗК { СК

Тоб(СК, ЗК) =

Г]

ЗК ) СК СК + ЗК

(1 - N) ^ max;

(Пэ - гЗК)(1 - N)

-> min,

(3)

при ограничениях:

kmm < K1 (CK, ЗК) =

CK

CK + ЗК

< kmax

CK — BA

k2min < K2 (CK, 3K) =-< k2max

2 2 OA 2

CK — BA

k3min < K3 (CK, 3K) = ,, < k3max

k4min < K4 (C#, 3Ä") =

CK ДП

(4)

ДП + CA"

< k4max

k5min < K5 (C#, 3Ä") = c*r + 55 ^ k5max

C^ + 3Ä"

СК + 3^ = # Переменными задачи (3) служат объемы собственных СК и заемных ЗК средств. Значения ве-

личин капитала К, экономической прибыли ПЭ, средневзвешенной стоимости заемного капитала г, ставки налога на прибыль N стоимости внеоборотных 5А и оборотных ОА активов, суммы долгосрочных обязательств (пассивов) ДП известны и определяются на следующий временной цикл. Числовые границы интервалов [к™, к1тах] (/ = 1, 2,..., 5) для каждого из коэффициентов К1, К2,..., К5 тоже известны и выбираются исходя из особенностей производства.

Отметим особенности оптимизационной задачи (3) при ограничениях (4).

1. Авторы рассматривают построенную модель как модель для оценки эффективности и прогнозирования финансово-хозяйственной деятельности организации (см. [2, 3]). Однако, если говорить более точно, то модель представляет собою оптимизационную задачу для нахождения наилучшего соотношения частей капитала (собственного и заемного капитала) для следующего временного периода, которая не решает задачи прогнозирования (в принятом смысле).

2. Использование в качестве одного из показателей рентабельности собственного капитала ^СК (СК, ЗК) представляется нелогичным, так как прибыль предприятия будет получена от вложения всех средств (собственных и заемных). Было бы лучше оценивать рентабельность от вложений всего капитала К. Ведь показатель Тоб (СК, ЗК) из второго критерия оценивается относительно общего объема капитала, а не только собственного. Получилось так, что один показатель оценивает эффективность вложения всего объема капитала, а другой - только его части.

3. Особое отношение в таких задачах должно быть проявлено к их динамическим особенностям. Так, например, время оборота капитала Тоб (СК, ЗК), найденное для некоторого временного интервала, будет распространяться, в общем случае, и на временные интервалы, следующие за ним. Однако на следующем временном интервале будет решена новая задача (3) и найдено новое значение времени оборота капитала. Таким образом, было бы лучше задачу оптимизации структуры капитала ставить и решать как задачу динамического программирования.

4. В реальных условиях для реальных производств чаще всего известен объем собственного

Инвестиционная политика

46 (184) - 2013

капитала СК, который будет иметься в наличии (будет в распоряжении) на предстоящий период. А задача состоит в том, чтобы определить, какую его часть следует вкладывать в данное производство, а какую привлечь в качестве заемного капитала ЗК. Однако в этом случае следует рассматривать еще и характеристики альтернативного проекта (производства), куда будут вложены остатки СК, не вкладываемые в данное производство. Конечно, это будет уже совсем другая задача, и она потребует новой постановки и отдельного исследования. С учетом этих особенностей упростим модель (3). Для этого сначала проведем преобразование выражения для первого критерия задачи. Получим цепочку равенств:

Rcк (СК, ЗК) =

Яч

Пэ _г1ЗК СК + ЗК ) СК

СК + ЗК

Пэ - г (СК + ЗК)) ЗК

(1 - N) =

СК + ЗК у СК + ЗК ) СК ПЭСК + (Пэ - г (СК + ЗК )ЗК

(1 - N) =

(СК + ЗК )СК

ПЭСК + Пэ ЗК - г (СК + ЗК)ЗК (СК + ЗК )СК

' Пэ (СК + ЗК) - г(СК + ЗК)ЗК'

(1 - N) =

(1 - N) =

(1 - N) =

Пэ- гЗК

(СК + ЗК )СК

(Пэ - г ЗК)(1 - N)

)(1" N )=■

Rcк (СК) =•

СК

_ [ Пэ - г (К - СК )](1 - N)

СК '

Аналогичным образом преобразуем второй критерий задачи (3):

Т ) =-СК + ЗК-=

о [ ПЭ - г (К - СК )](1 - N)

ЗК К

[ ПЭ - г (К - СК )](1 - N)

7х"

Заметим, что выражения для критериев ЛСК (СК) и Тоб (СК) связаны между собой соотношением

Rcк (СК) =---.

тоб (СК) СК

Перепишем оптимизационную задачу (3) в преобразованном и упрощенном виде:

Rcк (СК) =

(Пэ - г (К - СК)(1 - N)

СК

к

Тоб (СК) СК

->тах;

Т об(СК) =

К

[ПЭ - г(К - СК)](1 - N)

-> тт,

при ограничениях:

СК

¿г™ < К1 (СК) = — < Ц™ СК — ял

£2тт < К2 (СК) =-< £2тах

2 2 ол 2

СК — ял

^тт < К3 (СК) = ,, < £3тах

^4т1П < К4 (СК) =

СК ДП

ДП + С к

< £4тах

£5тт < К5 (СК) = ( /{ *< £5тах

— -"-5

0 < СК < к

к

\ СК р СК

В таком виде (в отличие от первоначального) смысл критерия ЛСК (СК, ЗК) становится более понятен: рентабельность собственного капитала ЛСК находится как отношение средств, оставшихся после расчета за заемный капитал и уплаты налогов (ПЭ - гЗК) (1 - Щ, к объему собственных средств СК. А поскольку выполняется равенство СК + ЗК = К или ЗК = К - СК, где К - известно, то сведем критерий к виду функции от одной переменной СК (Пэ - г ЗК)(1 - N) _

Осталось согласовать между собой критерии ЯСК(СК) и Тоб(СК). Дело в том, что, как было отмечено, ЛСК (СК), построен на предположении, что прибыль будет получена от вложения в развитие производства в предстоящем (планируемом) периоде только собственного капитала СК, а другой (Тоб(СК)) оценивает время оборота всего капитала К. Это согласование можно провести, например, оценивая рентабельность общего капитала по формуле

Rк (СК) =

[Пэ - г(К - СК)](1 - N)

К '

Но тогда будет выполняться соотношение между двумя критериями: Rк (СК) =-1-, и оптими-

тоб (СК)

зационная задача с двумя критериями преобразуется в задачу с одним критерием, например таким:

Rк (СК) =

[ Пэ - г (К - СК )](1 - N) К

->тах.

Окончательно, после упрощений и преобразований критериев и ограничений исходной задачи, получим однокритериальную задачу от одной переменной

29

46 (184) - 2013

Инвестиционная политика

СК ^ max,

(5)

при ограничениях:

СК

kmm < К (СК) < k1max

СК — BA

k2mm < К2 (СК) = < k2max

2 2 OA 2

СК — BA

k3mm < К3 (СК) = ,, < k3max

kr < к4 (с#) =

k5mm < К5(С^) =

CK ДП

(6)

ДП + CA"

ск^дп_ к

< k4max

< km

0 < с^ < ^

Отметим некоторые особенности полученной оптимизационной задачи (5).

Во-первых, она представляет собой упрощенную (в смысле записи целевой функции и числа целевых функций) и улучшенную (в смысле согласования ее критериев) задачу оптимизации, зависящую от одной переменной.

Во-вторых, при совместности ее ограничений (6) решение этой задачи находится аналитически без использования вычислительной техники, и оно имеет вид

СК * = шт^ К, £2тах 0А + ВА, ВА / (1 - £3тах), ДП / £4тах - ДП Л5тах К - ДП,К}.

Эту запись следует понимать так, что среди перечисленных во множестве величин необходимо выбрать наименьшую. Она и будет представлять собой наилучшее решение относительно собственных средств, вкладываемых в производство на очередном временном этапе. Остальные значения переменных, коэффициентов и критериев находятся с использованием значения СК* очевидным образом. Так, например, можно найти: ЗК* = К - СК*, (Пэ - г(К - СК*)(1 - N)

RK (CK *) =

Тоб(СК *) =

К

К

min,

[ пэ - г (К - СК *)](1 - N)

СК * СК * - ВА

K (СК*) = , K2(СК*) = —-—,

a к , 2\ 0А

*) =-и т. д.

3 СК

Выводы

1. В работе рассмотрены две оптимизационные задачи: оптимизации инвестиционных проектов и оптимизации структуры капитала предприятия. Показано, как можно упростить вид этих задач и найти для них точные решения без использования специального программного обеспечения для вычислительной техники (сравни с [3]).

2. Продемонстрировано, что использование в качестве критериев оптимизационных задач функционально зависимых критериев (таких как NPV DPI и др. для первой задачи, RCK (СК, ЗК) и Тоб (СК, ЗК) для второй задачи) приводит к тому, что задачи из многокритериальных путем несложных преобразований превращаются в задачи с меньшим числом критериев, ограничений и переменных.

3. Показано, что усложнение вида задач за счет усложнения, например, вида критериев (как это сделано во второй задаче для критерия RCK (СК, ЗК) может привести к сложностям при нахождении решений этих задач. И, наоборот, упрощение их вида может снизить размерность задач, количество критериев, дать возможность найти точное решение задач без использования специального программного обеспечения.

Список литературы

1. Кириллов Ю. В., Досужева Е. Е. Многокритериальная экономико-математическая модель оценки коммерческой эффективности инвестирования // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2013. № 32. С. 18-24.

2. Кириллов Ю. В., Назимко Е. Н. Многокритериальная модель оптимизации структуры капитала // Экономический анализ: теория и практика. 2011. № 32. С. 57-63.

3. Кириллов Ю. В. , Назимко Е. Н. Многокритериальная задача оптимизации структуры капитала и ее решение в системе Maple // Экономика и менеджмент систем управления. 2013. Т. 8. № 2. 1. С. 149-160.