CC BY
25
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕИНОИ ВЕРСИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОМПЕНСАТОРА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ И.В. Амоскин, А.А. Бобцов, Н.А. Николаев
Статья представляет собой развернутое замечание, связанное с возможностью использования робастной версии алгоритма управления, опубликованного в [1], для обеспечения полуглобальной асимптотической устойчивости нелинейной системы без секторных ограничений. Для иллюстрации основных положений статьи рассматривается пример.
Введение
В статье [1] были предложены робастный и адаптивный алгоритмы управления по выходу для стабилизации нелинейной системы с неизвестными параметрами и нелинейностью. В статье [1] была рассмотрена нелинейная система вида , = + Ьи + Б((у), у = Я^,, где 2(г) е Я" - вектор переменных состояния; ^,
Ь, Б и Я, - неизвестные постоянные матрицы, соответственно, п хп, п х1, п х1 и п х 1 размерности; ((у) - неизвестная скалярная функция; у(г) е Я - выходная переменная. Относительно неизвестной нелинейной функции ((у) в [1] было сделано следующее допущение: - С0 < ((у) < С0 для любых у Ф 0, где число С0 > 0 предполага-
у
ется неизвестным. В данной статье рассмотрим возможность использования робастной версии алгоритма управления, опубликованного в [1], для обеспечения полуглобальной асимптотической устойчивости нелинейной системы без секторных ограничений. Рассмотрим нелинейную систему в форме вход-выход
у ==Ь-г\иу.'). (1)
а(р) а(р)
где р = Л / Л - оператор дифференцирования; выходная переменная у = у(г) измеряется, но ее производные Ь(р) = Ьтрт +... + Ь1 р + Ь0, с(р) = сгрг + сг-1 рг-1 +... + с1 р + с0 и а( р) = р" + ап-1 р"-1 +... + а1 р + а0 - полиномы с неизвестными коэффициентами; число г < п -1; передаточная функция Ь(р)/ а(р) имеет относительную степень р = п — т; полином Ь(р) гурвицев, параметр Ьт > 0; неизвестная функция ( = ((у, г) такая, что
((у, г )| < С01 у (г )|4 для всех у (г), (2)
где число С0 > 0 неизвестно, а число 4 > 1 - известное целое число.
Пусть для стабилизации системы (1) используется управление вида (см. работу
[1])
и = — а(р)(/ + к)у, (3)
. (4)
£р—1 = е(-Н1 -Ы2 -...- V 1^р—1 + ЬУХ у = 6, (5)
где число л и полином а(р) такие, что передаточная функция
Ж (р) = Ь(р)а(р) (6)
а( р) + /Ь( р)а( р)
является строго вещественно положительной; положительный параметр к использует-
ся для компенсации неопределенности ((у, г) (см. доказательство теоремы, условие (22)); число а > л + к (см. доказательство теоремы, неравенство (20)); параметры к1 вычисляются таким образом, чтобы система (4) была асимптотически устойчивой при нулевом входе у = 0.
Цель данной статьи заключается в том, чтобы доказать правомочность использования управление вида (3)-(5) для обеспечения полуглобальной асимптотической устойчивости положения равновесия у = 0.
Модельные преобразования и основной результат
Для полноты изложения сделаем ряд преобразований, которые можно найти в статье [1]. Подставляя (3) в уравнение (1), получаем:
у = ^ [-а(р)(М + к) у] + ^ ((у, г) = а(р) а(р)
= ^[-а(р)(М + к)у + а(р)(М + к)е] + ^ ((у, г). (7)
а(Р) а(Р)
После простых преобразований для модели (7) имеем:
у = Ь(р)а(р) [-ку + + к)е] +-«¿1-((у, г), (8)
а(Р) + мЪ(р)а(р) а( Р) + ЛЬ( р)а(р)
где передаточная функция Ж (р) является строго вещественно положительной, а ошибка
е = у - у.
Как и в статье [1], представим модель вход-выход (8) в форме вход-состояние-выход
х = Ах + Ь(-ку + (л + к)е) + q(( у, г), (9)
у =стх, (10)
где х е Я" - вектор переменных состояния системы (9), (10); А, Ь , q и с - соответствующие матрицы перехода от модели (8) к модели (9), (10).
Так как передаточная функция Ж (р) строго вещественно положительна, то, в силу известной леммы Якубовича-Калмана (см., например, обзор [2] или монографию [3]), существует симметрическая положительно определенная матрица Р = Р , удовлетворяющая матричным соотношениям
АТР + РА = -а, РЬ = с , (11)
где Q1 = ОТ > 0, параметры матрицы Q1 зависят ¡л и не зависят от к . Перепишем модель (4), (5) в форме $ = а(Г$ + ёку, у = кт$, где Г, й , к - соответствующие матрицы (см. [1]). Введем в рассмотрение вектор
П = ку-$, (12)
который связан с ошибкой е следующим образом
7"1 7"1 7"1 Т
е = у - у = к ку - к $ = к (ку -$) = к п.
Дифференцируя уравнение (12), получаем
П = ку - а(Г(ку - п) + йк1 у) = ку + аГ п - а(йк1 + Г к) у .
Так как йк1 = -Гк (может быть проверено подстановкой), то
П = ку + аГп, е = ктп , (13)
где матрица Г является гурвицевой в силу расчета параметров к системы (4) и
ГТК + ^Г = -е2, (14)
где N = N > 0 и (2 = (¿1 > 0.
Теорема. Рассмотрим нелинейную систему (9), (10), (13) с допущениями на нелинейную функцию (р = у(у, г) вида (2). Пусть положительные числа к и а удовлетворяют следующим условиям
- а(2 + 8_1(ц + к)ННт + (ц + к) №етЬЬт ект N + (ц + к)ккт +
+ 8~1 Шст ААт скт N + КкетддтектN + 8~1кМкстЬЬтектN < -(,
к>^о^о4(к"1 + 8"1)2,
где ( = (т - положительно определенная матрица, числа 0 <8 < 0,5 и > 0 такие, что
- (1 +81 + (8ц + 28к - к) РЬЬтР + 8РддтР < -( < 0, > ^¡1Л1(Г (г0))2'-2, V = хт (^)Рх(^) + Пт (¿0№Ю.
Тогда нелинейная система (9), (10), (13) асимптотически устойчива. Доказательство теоремы. Рассмотрим функцию Ляпунова вида
V = хтРх + пTNп. (15) Дифференцируя (15) в силу уравнений (9), (10) и (13), получаем
V = хт (АтР + РА) х + 2(ц + к) хтРЬктп + 2 хт Рдф( у, г) - 2кхт РЬу + пт а(Гт N + Ж)п +
+ 2цтШстАх + 2(ц + к)пт Шст Ькт п + 2цтШст' qф(у, г) - 2кптШстЬу . (16) Поставляя в (16) уравнения (11), (14) и принимая во внимание неравенства 2хтРЬктп < 8хтРЬЬтРх + 8~1цткктп, 2хтPqф(у, г) <8 хтРддтРх + 8_1[^(у, г)]2, 2птШстЬктп < П^ксTЬЬTcкTNп + Пкктп, 2птМстАх < 8~1птNкcтAATcкTNп + 8хтх, 2пТШсту, г) < кпТ№стддтсктNп + к_1[^(у, г)]2 ,
- 2кптШст Ьу < 8~1кптШсTЬЬTckTNп + 8кхтРЬЬтРх получаем
V < -хт(1х-апт(2п -кхтРЬЬтРх-ку2 + 8 (ц + к)х тРЬЬтРх +
+ 8"1 (ц + к)пт ккт п + 8 хт Рддт Рх + 8_1[^( у, г )]2 + (ц + к)пт NkcTЬЬTckT Nп + + (ц + к)пт ккт п + 8~1пт Nkcт ААтскт Nп + 8 хт х + кпт Шст ддт скт N п + + к_1[^(у, г)]2 +8~хкптNkcTЬЬTckTNп +8кхтРЬЬтРх , (17)
где число 0 <8 < 0,5 такое, что
- (1 +81 + (8ц + 28к - к) РЬЬтР + 8РддтР < -( < 0. (18) Поставляя неравенство (18) в (17), имеем
V <-хт¿х-апт((п-ку2 +8_1(ц + к)пткктп + 8~\ф(у,г)]2 +
+ (ц + к)пт NkcтЬЬтckтNп+ (ц + к)пт кк тп + 8~хп Т ^кст АА тckтNп + + кптNkcTqqTckTNп + к_1[^(у, г)]2 + 8_1кп тШстЬЬтсктNп . (19)
Пусть число а такое, что
-а(2 + 8~1(ц + к)ккт + (ц + к) Мс TЬЬTckTN + (ц + к)ккт + + 8~1ШстААт сктN + кNkcTqqTckTN + 8~1кЫкстЬЬтсктN < -( . (20)
Поставляя выражение (20) в неравенство (19), получаем Г <-xTQx-nTQn -ку2 + + к"1)[^(у,t)]2 < -ЬУ - КУ 2 + (к"1 + ^1)С2 у2 4-1у <
<-ЬУ -ку2 +^С04(к~1 +02 У2 + Щ-1у4 - 2, (21)
где в силу условия (2) [(у, t)]2 < С^y(t)|24, а числа Л0 > 0 и щ0 > 0. Пусть число к такое, что
к>щСо (к-1 + *"1)2. (22)
Тогда
V < -ЬУ + щ-1у4-2 < -ЬУ + у-1Л1(хтРх)2-1 <
<-ЬУ + 2-1 =-У(Ьз -Щ-Ь2-2), (23)
где число Ь > 0 такое, что Ь(хтРх)2-1 > (стх)44-2 = у44-2 . Выбирая число
щ >Ь-ЬУ(tо))2s-2, (24)
для неравенства (23) получаем
V <~ЬУ
( (V(t))2s-2 ^ (V (to))2s - 2
< 0 для любого t > t0. (25)
Из последнего выражения следует асимптотическая устойчивость системы (9), (10), (13), что и требовалось доказать.
Из доказательства теоремы очевидно, что для каждого множества начальных условий функции V(^) найдутся положительные числа к, щ0 и а, для которых нелинейная система (9), (10), (13) будет асимптотически устойчива. Изменение начальных условий функции Vв сторону их увеличения при фиксированных значениях к, щ0 и а может привести к нарушению условия (24), а следовательно к невыполнимости неравенства (25). Таким образом, при фиксированных значениях к, щ0 и а можно говорить лишь о полуглобальной асимптотической устойчивости нелинейной системы (9), (10), (13) и, следовательно, о полуглобальной асимптотической устойчивости положения равновесия у = 0.
Пример
Пусть нелинейная система (1) имеет вид
У = --b-u + 3 ClP2 + Co-<(y, t), (26)
p + a2 p + a1 p + a0 p + a2 p + a1 p + a0
где полиномы а(р) = р3 + а2р2 + а1 р + а0 , Ь(р) = Ь0 и с(р) = с1 р + с0 по условиям задачи имеют неизвестные коэффициенты, а относительная степень передаточной функции
Ь( р)
a( p)
есть р = 3 . Пусть нелинейная функция равна
<(У, t) = С0y3sin y, (27)
где число С0 неизвестно.
Так как относительная степень передаточной функции линейной части равна трем, выбираем полином а(p) второй степени а(p) = p2 + 3p + 2. Выберем значения параметров алгоритма оценки (4), (5) следующим образом: к1 = 25, k2 = 10, тогда алго-
ритм имеет вид
2
u = -(p + 3p + 2)(¡¡ + к)у = - (¡¡ + к)(2y + 3y + y), £ = о&, 4 = а(-25£ -10& + 25 y), y = £.
(28) (29)
Рис. 1. Результаты моделирования замкнутой системы (26)-(29) при <( y, t) ^ 0
Рис. 2. Результаты моделирования замкнутой системы (26)-(29) при <(y, t) ^ 0
Результаты компьютерного моделирования для коэффициентов a0 = -6, a1 = 11, a2 = -6, b0 = 1, c1 = 5, c0 = 2 и C0 = 9 для переменной y(t), представлены на рисунках 1, 2. На рис. 1 представлены результаты моделирования замкнутой системы (26 -29) при ¡ = 7,5, к = 0 и а = 20 , <(y) = 9y3 sin y (рис. 1 а)) и замкнутой системы (26 -29) при ¡ = 7,5, к = 1,5 и а = 20, <(y) = 9y3sin y (рис. 1 б)). Графики компьютерного моделирования при y(0) = 1 и y(0) = 0 демонстрируют неустойчивость замкнутой системы при наличии нелинейности (рис. 1 а)) и асимптотическую сходимость выходной переменной замкнутой системы к нулю при увеличении параметра регулятора к (рис. 1 б)). На рис. 2 представлены результаты компьютерного моделирования замкнутой системы (26 -29) при ¡ = 7,5, к = 1,5 и а = 20 , <(y) = 9y3 sin y (рис. 2 а)) и замкнутой системы (26 - 29) при ¡ = 7,5, к = 10,5 и а = 40, <(y) = 9y3 sin y (рис. 2 б)). Графики компьютерного моделирования демонстрируют неустойчивость замкнутой системы
при изменении начальных условий у(0) = 3 и у(0) = 0 (рис. 2 а)), однако при увеличении параметров регулятора к и а выходная переменная замкнутой системы у(г) асимптотически сходится к нулю (рис.2 б)).
Заключение
В статье показано, что для любой ограниченной области начальных условий существует закон управления, использующий только текущее измерение выхода, обеспечивающий асимптотическую устойчивость нулевого положения равновесия выходной переменной нелинейной системы без секторных ограничений. Приведенные результаты моделирования иллюстрируют основные положения статьи.
Литература
1. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрад-кова // АиТ. 2005. №1.
2. Барабанов Н.Е., Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Лихтарников А.Л., Матвеев А.С., Смирнова В.Б., Фрадков А.Л. Частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана) в теории управления // АиТ. 1996. №10.
3. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
