CC BY
46
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЯ И ЗАПАЗДЫВАНИЯ
А.А. Бобцов, А.Г. Наговицина
В статье рассматривается задача управления по выходу линейными нестационарными объектами с неизвестными параметрами в условиях возмущений и запаздывания. В предположении, что параметры и внешнее возмущения - ограниченные функции времени, представлен подход, обеспечивающий решение задачи слежения выхода за командным сигналом с заданной точностью.
Введение
Данная работа посвящена проблеме анализа и синтеза алгоритмов адаптивного управления неопределенными нестационарными линейными объектами по выходу (т.е. без измерения производных выходной переменной или вектора переменных состояния). Среди методов управления в условиях неопределенности, как правило, преобладают алгоритмы, обеспечивающие заданное поведение системы для класса математических моделей определенной структуры. К таким подходам, в частности, можно отнести схемы адаптивного и робастного управления, позволяющие решать задачи стабилизации и слежения для нестационарных объектов, в которых неопределенность согласована с управляющим входом [1]. В 80-90 годах в зарубежных изданиях появилась серия публикаций, посвященных разработке адаптивных регуляторов для линейных нестационарных систем. Эти результаты были основаны на предположении, что параметры объекта управления медленно изменяются и действуют на систему как внешнее возмущение. Позднее анализ моделей изменения параметров и наличие некоторой априорной информации об изменение параметров привели к разработке новых алгоритмов адаптации, позволяющих управлять системами с быстрыми изменениями параметров. Однако эти алгоритмы не смогли гарантировать хорошее качество переходных процессов и в общем случае не могут быть расширены на нелинейные системы с переменными параметрами. В [2] указанные проблемы были решены с использованием итеративной процедуры синтеза закона управления. Однако процедура синтеза закона управления, предложенная в [2], отличается достаточной сложностью, а сам регулятор обладает высокой размерностью. Также следует заметить, что особую сложность представляют задачи управления, в которых объект управления подвержен влиянию неизвестных возмущений. Проблема управления нестационарным объектом в условиях действия возмущений не рассматривалась авторами [2]. В данной статье будет рассмотрен подход, позволяющий решать задачу управления по выходу линейными нестационарными системами с неизвестными ограниченными параметрами. Усиливая результат, представленный в [2], будем полагать, что объект управления функционирует в условиях неизвестных возмущения и запаздывания. Также следует отметить, что данная схема управления позволяет синтезировать адаптивный регулятор фиксированной размерности, которая в свою очередь, не зависит от числа неизвестных параметров, как в [2]. Подход, предлагаемый в рамках данной статьи, будет базироваться на результатах, опубликованных в [3], что, в свою очередь, показывает возможность распространения результатов как на нелинейные (в работе [3] рассматривалась проблема стабилизации нелинейной системы), так и на линейные нестационарные системы.
Постановка задачи
Рассмотрим линейную нестационарную систему
г = Ег + 1(и + w) + 00)у0 -т), (1)
У = >$2, (2)
где г(г) е Яп - вектор переменных состояния модели (1), (2); ¥, Ь и Б - п х п, п х 1 и 1 х п неизвестные постоянные матрицы; в(г) е Я" - вектор неизвестных переменных параметров; у(г) е Я - выходная переменная; н(г) е Я - ограниченное неизвестное возмущение; т - неизвестное постоянное число.
Будем полагать, что измеряется только выходная переменная системы (1), (2), параметры вектора в(г) - гладкие и ограниченные функции, а передаточная функция
Н(р) = Б(р1 -¥)-1 Ь = Ь(р) минимально фазовая, т.е. полином Ь(р) - гурвицев.
а( р)
Наряду с объектом управления рассмотрим командный сигнал у *, доступный измерению и удовлетворяющий условию
а1 у *
йг1
< С <Ю, (3)
где 1 = 0, р, а число р - относительная степень передаточной функции Н(р) .
Целью управления является решение задачи синтеза регулятора, обеспечивающего для любых начальных условий выполнение целевого условия
Кг) <А (4)
для некоторого г > г1, где е = у - у * - ошибка слежения, А - некоторое число, которое может быть уменьшено за счет выбора закона управления.
Синтез алгоритма управления
Запишем систему (1), (2) следующим образом:
Г = ¥г+Ь(и+н) + (г )у(г - т), (5)
1=1
У = Б2, (6)
где Д =[1 0 0 ■■■ 0]т, Б2 =[0 1 0 ■■■ 0]т, ..., Бп = [0 0 — 0 1]т - векторы размерности (пх 1); 0Х, в2, ..., дп - компоненты вектора неизвестных переменных параметров в(г) = [ в2 — вп-1 вп ]т.
Перепишем модель вход-состояние-выход (5), (6) в виде вход-выход:
у = (и + Н + Сст\ №) у(г-т)+^ ^) У(г-т) +... а(р) а(р) а(р)
+^ °п (г)у(г-т) = (и+Н) + вг(г) у (г-т) , (7)
а(р) а(р) 1=1 а(р)
где р = —, передаточная функция С (р) = Б(р1 - ¥)-1 . йг а(р)
Прежде, чем приступать к синтезу управления, сформулируем вспомогательный результат, опубликованный в работе [3]. Рассмотрим линейную стационарную систему х' = А'х' + В'и', (8)
у ' = С X ', (9)
где х ' е Яп, у' е Я, и' е Я , а матрицы А', В' и С' имеют соответствующие размерности. Передаточная функция системы (8), (9) от и' к у' определяется выражением Х(р) = С '(р1 - А')-1 В'.
Лемма. Пусть %(p) = , где b'(p) = b'n-1 pn 1 +... + b0
и
Пусть система (8), (9) замкнута линейной обратной связью по выходу u' = -ky'. (10)
где число k > 0 .
Поставим вопрос о существовании положительно определенной матрицы M = MT и числа k, удовлетворяющих соотношениям
M(A' + kB'C') + (A' + kB'C')TM <-G, (11)
MB' = (C' )T (12)
для некоторой положительно определенной матрицы G = GT .
b X Р) ___ Ь ' = U' „n-1
a'( p)
a'(p) = a'npn +... + a'0 - соответственно, числитель и знаменатель передаточной функции х(р). Пусть полином b'(p) гурвицев и b'n-1 > 0, тогда существует такое число k0 > 0, для которого соотношения (11), (12) разрешимы для любого k > k0 . Выберем управление следующим образом
u = -4(p)(k + Я)ё, (13)
где число k > 0 ; положительный параметр Я предназначен для компенсации неопреде-
n
ленностей t D^i(t )y(t -т) и w(t); ф( p) выбирается так, чтобы полином
¿=1
в(p) = ф(p)b(p) был гурвицев и имел n -1 порядок; функция ё(t) является оценкой сигнала e(t) = y(t) - y *(t), которая формируется алгоритмом вида
« ... (14)
ip-1 = а(-М - k2^2 - ... - kp-1^p-1 + kiё),
ё =£, (15)
где число а > k + Я, а коэффициенты kt рассчитываются из соображений асимптотической устойчивости модели (14) при нулевом входе e.
Подставляя (13) в уравнение e(t) = y(t) - y *(t), получаем
e = ^(p)(k + Я)) + w] + 9г (t) y(t - т) - У* =
a(p) i=1 a(p)
= [-ф(p)(k + Я)е + ф^ + Я)е + w] +tCH Ъ (t) y(t - т) - У *, (16)
a(p) 1=1 a( p)
где функция отклонений e(t) равна
е = e - ё . (17)
Преобразуем уравнение (16) следующим образом: a( p)e + kф( p)b( p)e = b( p)[(k + Я)е - Яе] +
+ b(p)w +ttci(pWi(t)e(t-т) +ttci(pn(t)y*(t-т) -a(p)y*, i=1 i=1 где, в силу определения сигнала ошибки как e(t) = y(t) - y *(t), было использовано уравнение y(t - т) = e(t - т) + y *(t - т). Введем следующее обозначение:
f = w(t) - ^ y * +t дг (t) y *(t - т), J w b(p) ¿=1 b(p) v
где в силу гурвицевости Ь(р), ограниченности и гладкости параметров О1 (г), а также ограниченности сигнала у * и его производных с первой по р -ю включительно функция / ограничена.
Тогда для уравнения (16) имеем
в(р) г^,^,^-., Ъ(р) С (р)
е = •
-[-Ле + (к + Л)в] + -
а( р) + кв( р) а( р) + кв( р)
Примем следующее обозначение:
Г( р) = а( р) + кв( р), / = /,
/ + 1
"1 а( р) + кв( р)
О (г )е(г -т).
Ф( ру
тогда для (16) получаем
е = [-Ле + (к + Л)в + / ] + ¿-О1 (г )е(г - т),
. - V ,,, ^ V (18)
Г(р) 1=1 г(р)
где в силу гурвицевости полинома ф(р) и ограниченности / (г) функция / (г) ограничена.
Перепишем модель вход-выход (18) в виде модели вход-состояние-выход
х =
Ах + Ъ(-Ле + (к + Л)в + /) + ^ qiОi (г )е(г - т),
1=1
т
е = с х.
(19)
(20)
где х е Яп - неизмеряемый вектор переменных состояния модели (19); А, Ъ , qi и с -
соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход.
Так как /3(р) - гурвицев полином степени п -1, то в силу представленной выше
леммы существует число к0 такое, что можно указать число к > к0 и симметрическую
положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:
АтР + РА = -&, РЪ = с,
(21)
где = Q1 положительно определенная матрица.
Заметим, что значения матрицы Q1 зависят от параметра к и не зависят от Л . Перепишем модель (14), (15) в векторно-матричной форме: 4 = с(Г4 + йк1е),
е = Нт 4,
(22) (23)
" 0 1 .. . 0 " "0" "1"
где Г = 0 0 .. . 0 , — = 0 и Н = 0
- кх - к2 .. . - кр-1 _ 1 0
Введем в рассмотрение новую переменную
П = Не - 4,
тогда в силу структуры матрицы Н невязка в примет вид
) т т т т
в = е - е = Н Не - Н 4 = Н (Не -4) = Н п.
Для производной от п получим
П = Не - <с(Г(Не - п) + —к1е) = Не + сГ п - с(—к1 + ГН)е.
Так как йк1 = -ГН (проверяется подстановкой), то
п = Не + сГп,
(24)
(25)
(26)
г = Ътц, (27)
где матрица Г, в силу расчета коэффициентов к1 модели (14), имеет собственные числа с отрицательной вещественной частью и удовлетворяет уравнению Ляпунова:
Г ТК + Ж = -02, (28)
где N = N и 02 = 02-, - положительно определенные матрицы.
Теорема. Существуют числа а > к + Л и Л> 0 такие, что все траектории системы (19), (20), (26), (27) ограничены и цель управления (4) выполнена.
При доказательстве теоремы следует использовать функцию Ляпунова вида
V = хтРх + v¡TNn + Л е
¡г-т
Замечание. Возможным вариантом настройки коэффициентов к,Л,а является их увеличение до тех пор, пока не будет выполнено целевое условие (4). Для реализации этой идеи воспользуемся алгоритмом настройки вида
к (г) = |^(т)й?т,
г0
~ , ^ ч при \е(г) > А,
где к = к + Л, а функция и(г) = < ,' .1 , чу * у | 0 при \е(г)\ < А,
Параметр а может быть настроен следующим образом: а = а0 к2, где число а0 > 0.
число и0 > 0.
(29)
(30)
Пример
Рассмотрим пример управления нестационарным объектом вида [2] {¿1 = г 2 +01 (г) ¿1 (г - т), г 2 = и + w + 02 (г) ¿1 (г - т),
У = ¿ь
Выберем закон управления в силу уравнений (13)—(15) и = -ф(р)(к + Л)е = -(р + 1)к^1 = -(к^1 + к|1) - к ^,
£ = а(-к1^1 + к1е) = а(-£ + е), где полином а(р) = р +1 и коэффициент к1 = 1.
(31)
(32)
(33)
(34)
Рис. 1. Переходные процессы в системе управления (31)-(34)
Для настройки параметров к и а будем использовать подход, предложенный в данном разделе. Задавшись точностью А = 0,05 и приняв командный сигнал y *(t) = sint, промоделируем систему при /и0 = 15 и а0 = 2. Результаты моделирования для 01(t) = 2 + sin0,1t + sin10t, 02(t) = 2cost (значения параметров взяты из статьи [2]), w(t) = 2 + cos3t и т = 2 по переменным e(t) и u(t) представлены на рис. 1. Графики компьютерного моделирования при y(0) = 0, e (0) = 0 и к (0) = 5 демонстрируют достижение заданной цели управления.
Заключение
В работе была рассмотрена задача синтеза закона управления по выходу нестационарной системой вида (1), (2). Был синтезирован алгоритм адаптации вида (13)-(15), (29), (30), обеспечивающий выполнение цели управления (4). Основные отличия представленного подхода от представленных ранее аналогов состоят в следующем:
• рассматривается более общий, по сравнению с работой [1], вид нестационарной системы, а не частный случай структур матриц описания нестационарных моделей, когда нестационарная часть согласована с управляющим входом, как в [1];
• в отличие от работы [1], синтез алгоритма адаптивного управления произведен по выходу, а не по состоянию;
• усиливая результат, представленный в [2], было выдвинуто предположение о том, что объект управления подвержен влиянию внешнего неизвестного ограниченного возмущения и запаздывания;
• в отличие от алгоритма управления, представленного в [2], данная схема управления является проще в реализации, не требует использования дополнительных 5n - m фильтров и позволяет синтезировать адаптивный регулятор фиксированной размерности р, которая, в свою очередь, зависит только от относительной степени
передаточной функции H (p) = S(pI - F)-1L = b(p) , но не от числа неизвестных
а( p)
параметров, как в работе [2].
Литература
1. Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными объектами // АиТ. 1996. № 2.
2. Zhang Y., Fidan B., Ioannou P.A. Backstepping control of linear time-varying systems with known and unknown parameters // IEEE Trans. Automat. Contr. 2003. V. 48. № 11. Р. 1908-1925.
3. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрад-кова // АиТ. 2005. №1.
