Алгоритм управления по выходу с компенсацией синусоидального возмущения для линейного объекта с параметрическими и структурными неопределенностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51.015

АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ И СТРУКТУРНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ2

А.А. Бобцов, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин

Рассматривается задача стабилизации по выходу линейного объекта, подверженного влиянию внешнего неизвестного синусоидального возмущения. Решение задачи получено для класса линейных систем, функционирующих в условиях параметрической и структурной неопределенностей.

Ключевые слова: управление по выходу, компенсация возмущений, параметрическая и структурная неопределенность.

Введение

Компенсация синусоидальных возмущающих воздействий является актуальной и популярной задачей современной теории управления (например, [1-15]). Большинство исследований, связанных с разработкой методов компенсации гармонических возмущений, изучают случай, когда амплитуды, фазы и частоты являются неизвестными постоянными параметрами (например, [1-14]). В частности, работы [3, 4] являются одними из первых работ отечественных ученых, где была поставлена и решена задача адаптивной компенсации неизвестных гармонических возмущений. В настоящее время при различных допущениях относительно модели объекта рассматриваются различные случаи задач управления, а именно: линейность или нелинейность динамики, параметрическая определенность или ее отсутствие, доступность измерений всех переменных состояния или только их части и пр. Несмотря на то, что в фундаментальной монографии [2], посвященной методам компенсации возмущений, большинство подходов было изложено, кратко рассмотрим некоторые новые результаты.

В [5] предлагается алгоритм управления линейным устойчивым объектом с известными параметрами и единичной относительной степенью, подверженным влиянию смещенного гармонического возмущения. В отличие от [5], в [8] рассмотрен алгоритм компенсации возмущающего воздействия для случая неминимально фазового линейного объекта с известными параметрами, но любой относительной степени. Работы [9, 10, 14] посвящены парированию синусоидального возмущения в условиях полной параметрической неопределенности объекта управления. Выстроен адаптивный регулятор, базирующийся только на измерениях выходной переменной. В [9, 10] рассмотрен линейный объект, а в [14] - нелинейный. Однако в [9, 10, 14] допускается, что относительная степень известна и равна единице. В [12, 13] данная задача распространена на линейные объекты с известными параметрами, но с запаздыванием в канале управления.

В настоящей работе предлагается новый алгоритм управления по выходу параметрически неопределенным линейным объектом, подверженным влиянию гармонического возмущения 5(t) = д sin(œ t + ф) с неизвестными амплитудой и фазой. Данный подход основан на методе операторного синтеза компенсации возмущения, который был опубликован в [15]. По мнению авторов, несмотря на то, что частота œ известна, решаемая в этой работе задача развивает подходы, опубликованные в [1-15], поскольку допускается, что относительная степень объекта, как и его параметры, может быть неизвестна.

Постановка задачи

Рассмотрим линейный объект управления вида

a( p) y(t ) = b( p)u(t) + c( p)S(t), (1)

где p = d / dt - оператор дифференцирования; параметры полиномов

a(p) = pn + an_lpn_ + an_2pn_2 +... + ao, b(p) = bmpm + bm_,pm_ + bm_2p"-2 +... + b0 и

c(p) = ctp' + cl xpl_1 + ll2pl_2 +... + c0 неизвестные числа, а 5(t) = цsin(rot + ф)- возмущающее воздействие с неизвестными амплитудой д и фазой ф .

Цель управления - найти такой сигнал u = u(y), чтобы было выполнено целевое условие lim y(t ) = 0. (2)

Данную задачу будем решать при следующих допущениях.

Допущение 1. Полином b(p) гурвицев, и коэффициент b0 > 0.

Допущение 2. Известно максимальное значение относительной степени r *, но не размерности полиномов a(p) и b(p), и сама относительная степень r = n _ m .

2

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (государственный контракт № 16.740.11.0553).

Допущение 3. Известна частота ю возмущения 5(/) = ц 8ш(+/ + ф).

Предварительный результат

Следуя [15], представим уравнение (1) в виде

7 (,) = М и (я) + ^ я) + Ж, (3)

а(я) а(я) а(я)

где я - комплексная переменная Лапласа; 7 (я) = Ь{ у(?)}, и (я) = Ь{и (?)} и я) = ¿{8(?)} = + -

я2 ++2

изображения по Лапласу соответствующих сигналов, = ц8т ф и = цсо8 ф; полином Б(я) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия.

Временно предположим, что измеряются все необходимые производные выходного сигнала у(/), а коэффициенты полиномов а(р) и Ь(р) известны. Предполагая, что относительная степень г известна, выберем закон управления и ) следующим образом:

и(0 = -к а(Р)(++21)2 у«, (4)

р2 ++2

где гурвицев полином а(р) степени г * -1 и постоянный коэффициент к > 0 выбираются из соображений строгой вещественной положительности передаточной функции (например, [16, 17]): Ь(я )а(я )(я +1)2

H (s) = ■

a(s)(s2 + ю2) + kb(s)a(s)(s +1)2 Замечание 1. В [16, 17] было показано, что для любого гурвицева полинома а(p) существует в общем случае достаточно большой постоянный коэффициент k > 0 такой, что передаточная функция H (s) удовлетворяет условиям строгой вещественной положительности. Для известных коэффициентов полиномов a(p) и b(p) поиск коэффициента k > 0 является несложной задачей. Тогда, подставляя изображение по Лапласу для (4) в уравнение (3), получаем

Y(s) = _kb(s)a(s2)(s + 1)2 у(s) + ^L + Ж a(s)(s + ю ) a(s) (s + ю ) a(s)

и

W4 , 4c(s) D(s)(s2 + ю2)

Y(s) = (^s + + \ ч-- ,

Y(s) Y(s)

где полином y(s) = a(s)(s2 + ю2) + kb(s)a(s)(s +1)2 - гурвицев в силу строгой вещественной положительности передаточной функции H (s).

Осуществляя обратное преобразование Лапласа для Y (s), имеем lim y (t) = 0 .

Основной результат

Однако производные выходного сигнала y(t) не измеряются, а коэффициенты полиномов a(p) и b( p) неизвестны. В этом случае воспользуемся результатами, опубликованными в [14, 15] и выберем закон управления следующим образом:

и(t)=_k-vli^'r (5)

a( p)( p +1)2(?2 p +1Г (p2 +ю2)(7; p + 1)9

= ,

(6)

5 2 =

.1 г-1 = ст(-к1^1 - к2^2 - ... - К-Лг-1 + к1 У), где число к > 0 и полином а(р) выбираются аналогично (4), число ст > к, а коэффициенты к, рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (6) при нулевом входе у(?), 9 = г * -г0, параметр 7|-1 должен быть больше коэффициента к и много меньше ст, параметр Т2 такой, что

0 < Т2-1 << Т|-1, число г0 соответствует известному минимальному значению относительной степени:

0 < г0 < г < г *.

Замечание 2. Очевидно, что в условиях полной параметрической неопределенности выбор Т1-1, к и ст может вызывать некоторые сложности, поэтому рассмотрим более конструктивное правило расчета этих коэффициентов. Как показано в [17], можно настраивать коэффициент к по линейному закону до тех пор, пока переменная у (/) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы. Параметры Т|-1 и ст можно рассчитывать следующим образом: Т|-1 = к2 и ст = ст0 (Т|-1 )29. Очевидно, что при таком расчете коэффициентов регулятора система может быть неустойчивой, но данная схема обеспечивает сходимость выходной переменной у(0 в некоторую малую область, заданную разработчиком системы.

Подставляя (5) в (1), получаем

у(') =

кЬ( р)а( р)( р +1)2 (Т2 р +1)9

а( р)( р2 + ю2)(Т р + 1)9 +кЬ( р)а( р)( р + 1)2(Т2 р +1)

-е(/) +

Ь( р)( р2 + ю2)(Т р + 1)8

а(р)(р2 + ю2)(Т р + 1)9 +кЬ(р)а(р)(р + 1)2(Т2 р + 1) где в(/) = у(Г) ).

Запишем (7) следующим образом:

-8(0,

у(0 =

кЬ( р)а( р)( р +1)2 (Т2 р +1)9

а( р)( р + ю2)(Т р + 1)9 +кЬ(р)а(р)(р + 1)2(Т2 р + 1)'

■[Е(0 + ^(0],

(7)

(8)

где сигнал м>(г) =

(р2 +ю2)(Т р+1)9

к а( р)( р + 1)2(Т2 р +1)

-8(0 .

Модель близкая к (8), рассматривалась в [18, 19], поэтому воспользуемся результатами [18, 19] и перейдем к форме вход-состояние-выход вида

х = Ах + кЬ(е + м>), (9)

у = сТ х , (10)

где х е Я" - вектор переменных состояния модели (9), (10); А , Ь и с - матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем в силу известной леммы Якубовича-Калмана (например, [16]) можно указать симметрическую положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

АТ Р + РА =0!, РЬ = с, где = 0Т - некоторая положительно определенная матрица. Перепишем (6) в векторно-матричной форме: 4 = ст(Г4 + йу), (11)

Ъ = иТ 4,

" 0 1 0 .. . 0 " " 0"

0 0 1 .. . 0 0

где 4 е Яг 1 - вектор переменных состояния модели (11), Г = 0 0 0 .. . 0 , й = 0

-К -к2 -кз .. . -кг-1 _ к _

причем матрица Г - гурвицева в силу расчета коэффициентов к1 модели (6).

Введем в рассмотрение вектор отклонений

П = Ьу - 4 .

Дифференцируя уравнение (12), получаем: П = Иу - ст(Г(Иу - п) + йу) = Иу + стГп - ст(й + ГИ) у = Иу + стГп,

(12)

И

(15)

(16)

s = y = hTп, где d = _rh .

Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений:

x = Ax + kb(s + w), y = cTx, (13)

П = hy + стГп , s = hT п. (14)

В силу гурвицевости Г существует матрица N = NT, удовлетворяющая уравнению Ляпунова

Гт N + Nr = _Q2, где Q2 = Qt2 - положительно определенная матрица.

В работах [18, 19] была построена функция Ляпунова вида

V = xT Px + пт Nn

и показано, что для системы (13), (14) существует число ст >> k такое, что

V <_XV + k_V, где число X > 0 .

Следуя результатам раздела «Предварительный результат», легко показать, что limw(t) = 0. По-

t ^да

скольку доказательство аналогично приведенным в [18, 19], не будем повторять его здесь. Так как w(t) экспоненциально сходится к нулю, то из неравенства (16) следует, что функция (15) стремится к нулю, что означает выполнение целевого условия (2).

Пример

Рассмотрим числовой пример моделирования предлагаемого алгоритма управления (5), (6) для линейного объекта вида (1) вида

[p3 _ 2p _ 3] y(t) = [p + 2] u(t) + [_4p +1] S(t), y(0) = _2, y(0) = _2, y(0) = 2 .

Будем полагать, что относительная степень r * не превосходит 3, но известно, что относительная степень не меньше 2. Выберем закон управления в соответствии с (5), (6), где а( p) = p +1, T2 = 1, $ = 1, коэффициент k настраивается по линейному закону до тех пор, пока переменная y(t) не попадет в малую область 0,1, параметры Tj1 и ст рассчитываются в соответствии с замечанием 2, т.е. Tj1 = k2 и ст = ст0 (Tj1 )2, где ст0 = 0,8. На рисунке представлены переходные процессы в замкнутой системе с возмущением 5(t) = 6 sin(3t _ 2). На рисунке (а) представлен результат моделирования для выходной переменной y(t), а на рисунке (б) - для адаптивно настраивающихся параметров k, Tj1 и ст .

y(t) 4

2

■ 0

' -2 -4 -6

А

1

j f

100 80

60

% 40

20

I i I

; I

I J I

..=r...

4 6

k - ■ - T1-1

8 t, c "" " ст

0 2 4 6 8 и с

а б

Рисунок. Графики переходных процессов в замкнутой системе: (а) - график функции у(?);

(б) - графики функций к, Т1-1 и ст Заключение

Для класса линейных стационарных параметрически и структурно неопределенных объектов вида (1) получаем алгоритм адаптивного управления (5), (6), полностью парирующий влияние синусоидального возмущающего воздействия 5(/) = ц бш(+/ + ф) с неизвестными амплитудой ц и фазой ф . В качестве недостатка отметим, что в представленной работе задача была решена для случая известной частоты ю возмущающего воздействия 5(/) = ц бш(+/ + ф). Расширение полученного результата на случай неиз-

0

2

вестной частоты возможно посредством введения дополнительного канала ее идентификации. При этом

подстановка получаемых оценок частоты в контур регулирования может происходить итеративно с использованием схемы с переключениями.

Литература

1. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. - 1997. - V. 33. - P. 2213-2221.

2. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб: Наука, 2003. - 282 с.

3. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 2. - С. 103-106.

4. Nikiforov V.O. Adaptive non-linear tracking with complete compensation of unknown disturbances // European Journal of Control. - 1998. - V. 4. - № 2. - Р. 132-139.

5. Marino R., Santosuosso G.L., Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency. - Automatica. - 2003. - V. 39. - P. 1755-1761.

6. Marino R. and Р. Tomei. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exo-system // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2007. - V. 52. - P. 2000-2005.

7. Арановский С.В., Бобцов А.А., Никифоров В.О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 3 (67). - C. 32-38.

8. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Алгоритм компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линейного не минимально фазового объекта // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. -№ 10. - С. 14-17.

9. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 8. - С. 25-32.

10. Бобцов А. А. Адаптивное управление по выходу с компенсацией гармонического смещенного возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 1. - С. 45-48.

11. Бобцов А. А., Пыркин А. А. Компенсация неизвестного синусоидального возмущения для линейного объекта любой относительной степени // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 3. - С. 114-122.

12. Бобцов А.А., Колюбин С.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. -2010. - № 11. - С. 115-122.

13. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic. Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. - Baltimore, 2010. - P. 5688-5693.

14. Бобцов А.А., Кремлев А.С., Пыркин А.А. Компенсация гармонического возмущения для параметрически и функционально неопределенного нелинейного объекта // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 1. - С. 121-129.

15. Лукьянова Г.В., Никифоров В.О. Алгоритм компенсации внешних детерминированных возмущений: операторный метод синтеза // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). - 2003. - Вып. 10. -С. 5-9.

16. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб: Наука, 2000. - 549 с.

17. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. -2005. - № 1. - С. 118-129.

18. Бобцов А. А., Шаветов С.В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. - № 1 (71). - C. 32-38.

19. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 6. - С. 115-122.

Бобцов Алексей Алексеевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-

формационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, [email protected]

Колюбин Сергей Алексеевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-

формационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]

Пыркин Антон Алексеевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-

формационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, [email protected]