CC BY
24
управление неопределенной нелинейной
системой типа лурье с минимально-фазовой
линейной частью А.А. Бобцов, Н.А. Николаев
В работе представлены аналитические условия и предложены практические методы их реализации для решения задачи стабилизации нелинейной неопределенной системы с минимально-фазовой линейной частью. В статье рассматриваются нелинейные объекты типа Лурье, линейная часть которых имеет относительную степень, равную двум и ее параметры неизвестны.
Введение
Данная работа представляет собой развитие схем управления нелинейными системами, представляющими собой композицию линейного динамического и нелинейного статического звеньев [1 - 4]. Как и в статьях [1 - 4] в предлагаемой работе будут рассматриваться нелинейные системы, в которых нарушены условия согласования нелинейных блоков и управляющего сигнала. Следует отметить, что в отличие от результатов, полученных в работах [1-3], в данной статье нелинейное звено является неизвестной характеристикой выходной переменной объекта управления, а вектор переменных состояния системы не измеряется. Также в развитии подхода, представленного в [1-3], рассматривается нелинейная система с параметрически неопределенной линейной частью. В развитии результата представленного в статье [4], в данной работе рассматривается нелинейная система с параметрическими и функциональными неопределенности.
В данной работе предлагается схема управления, обеспечивающая асимптотическую сходимость выходной траектории нелинейной системы к нулю. Регулятор использует информацию только о выходной переменной.
Постановка задачи Рассмотрим нелинейный объект управления вида Ъ(р) ё (р)
У = и + ^-ф(у), (1)
а(р) а(р)
где р = ё/ё - оператор дифференцирования; Ъ(р) = Ътрт + Ът-1 рт— +... + Ъ1 р + Ъ0 -
/ \ П п—1
гурвицев полином степени т ; а(р) = р + ап—1 р +... + а1 р + а0 - полином степени п (может быть неустойчивым); ё(р) = ёгрг + ёг—1 рг—1 +... + ё1 р + ё0 - полином степени г (может быть неустойчивым); коэффициенты Ъ1, а1, ё^ предполагаются неизвестными;
Ъ(р)
относительная степень передаточной функции- р = п — т = 2 ; неизвестная
а( р)
функция ф = ф( у) такая, что: ф(0) = 0,
0 < Е^А < С0 или 0 < \ф(у)\ < С0у2 для всех у ,
У
где С0 > 0 неизвестная постоянная.
В качестве цели управления зададимся решением задачи синтеза закона управления, обеспечивающего
Ч У(0| = 0. (2)
Синтез алгоритма управления
Рассмотрим систему вида (1) при ф(у) = 0, тогда она принимает вид
у = ^и . (3)
а( р)
Предположим, что производные выходного сигнала у(^) подлежат измерению. Выберем закон управления вида [4]
и = а(р)и , (4)
где а(р) - гурвицев полином степени р-1 = п - т -1; и - новое, задачно-ориентированное управление.
Тогда модель (3) примет вид Ь(р)а(р) _
у ^ и, (5)
а( р)
где Ь(р)а(р) - гурвицев полином; относительная степень модели (5) равна единице (р = п - т = 1).
Вследствие того, что относительная степень модели (5) равна единице, ее можно отнести к классу строго минимально фазовых систем [5]. Выберем закон управления вида
и = -(л + к)у, (6)
тогда при определенных значениях коэффициента л становится гурвицевым полином
Кр) = Чр) + лЬь(р)а(р), (7)
а функция к предназначена для компенсации неопределенности р.
Однако закон управления (6) не может быть реализован из-за невозможности измерения производных выходной переменной у(^). Преобразуем закон управления следующим образом
и = -а(р)(л + к) у, (8)
где коэффициент л и полином а(р) выбираются таким образом, чтобы полином у(р) = а(р) + лЬ(р)а(р) был гурвицевым; у - функция, формируемая алгоритмом оценки вида [4]
51 = ^52 ,
4 о , (9) йр-1 = о(-к1£1 - к2£2 - ... - кр-1£р-1 + к1 У)
у = 51, (10)
где функция о > л + к (подробнее о выборе функции о см. теорему); ki -коэффициенты, рассчитываемые из соображения асимптотической устойчивости модели (9) при у = 0.
Закон управления (8) является технически реализуемым, так как содержит только измеряемые и известные сигналы.
При относительной степени объекта управления р = п - т = 2 алгоритм оценки (9), (10) принимает следующий вид
5 = о(у-5), (11)
у = 5. (12)
Подставляя закон управления (8) в (1) получаем
у = [-а( р)(л + к) у] + р( у) = а(р) а(р)
= [-а(р)(л + к)у + а(р)(л + к)е] + ^р(у). (13)
а(р) а(р) где е = у - у - функция отклонения (невязка).
Проведем преобразование модели (13)
а(р)у + /а( р)Ъ(р)у = Ъ(р)а(р)[(/ + к)е — ку ] + ё (р)ф(у), (14)
Принимая обозначения у(р) = а(р) + /иа(р)Ъ(р) и в(р) = а(р)Ъ(р), для системы (14) получаем
у = вр[—Ку + (/ + к)е] + ^ф(у) . (15)
Кр) 7(р)
Теперь представим модель вход-выход (15) в виде модели вход-состояние-выход х = Ах + Ъ(—ку + (/ + к)е) + qф(y), (16)
У = сТх, (17)
где х е Яп - вектор переменных состояния модели (16); А, Ъ и с - соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем в силу гурвицевости полинома у(р) и строгой минимальной фазовости модели (16), можно указать симметрическую положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:
АТР + РА = —Ql, РЪ = с, (18)
где Q1 = Q1T > 0 причем значения матрицы Q1 зависят от параметра / и не зависят от функции к.
Введем в рассмотрение отклонение
п = у(19)
где £ формируется алгоритмом оценки вида (11). Тогда невязка е примет вид
е = У — У = !■ (20)
Для производной от п получим
п = у — а(у — £). (21)
Таким образом, окончательно получаем
П = у — оп. (22)
Условия применимости закона управления (8), (11), (12) для стабилизации системы (1) приведены в следующей теореме.
Теорема. Существует функция о > / + к такая, что все траектории системы (16), (17), (22) ограничены и за счет выбора функции к обеспечивается асимптотическая сходимость выходной переменной к нулю.
Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида
V = хТРх + п2. (23) Дифференцируя (23) по времени с учетом уравнений (16), (17) и (22), получаем
V = хТ (АТР + РА)х + 2(/ + к)хТРЪ п + 2хТPqф(y) —
— 2кхТ РЪу — 2оп2 + 2пст Ах + 2(/ + к)сТЪп2 +
+ 2пcTqф(y) — 2кпстЪу, (24)
где вместо составляющей у модели (22) в уравнении (24) было использовано слагаемое
у = сТ (Ах — кЪу + (к + /)Ъп + qф(y))■ (25) Подставляя в (24) уравнение (18), а также принимая во внимание соотношения
— 2кхт РЪу = —2ку 2, (26) 2(/ + к)хТРЪп = 2(/ + к)уп< у2 + (/ + к)2п2, (27) 2псТАх <3~1сТААТсп2 +5хТх, (28)
2xT Pqç(y) < ôxTPqqTPx + 5- [p(y)]2 - 2кцстЪу < к(стъ)ц2 + ky2, 2цстqç(y) < w(cTq) rf + w_1[p(y)]2,
(30)
(31)
для производной от функции Ляпунова (23) получаем
V < -xTQ1 x - 2ari2 - 2Ky2 + y2 + (р + к)2 rj1 + 5xTPqqTPx +
+ 5_1[p(y)]2 + 2(p + K)cTbn2 +5~1cTAATcn2 +5xTx + K(cTbfn2 +
+ ку2 + w(cTq )2 п2 + [р(у)]2, где число 5 > 0 (возможно малое) удовлетворяет неравенству -Q1 +5I + 5PqqTP <-О <0.
Подставляя выражение (33) в неравенство (32), получаем V < -xTQx - 2оп2 - (к -1)у2 + (л + к)2 п2 + 5-1 [р(у)]2
(32)
(33)
+ 2p + K)cTbrn2 +5~lcTAATcn2 +к(~Tl
-(cTЬ)2п2 + w(cTъfп2 + ^Чр(у)]2. (34)
Пусть функция о = о1 + о2 ; о1 > 0; о2 > 0, где составляющая о1 выбрана таким образом, что выполняется соотношение
- 2ко1 + (л + к)2 + 5~1ст ААТс + к(стЬ) + 2(л + к)стЬ + w(cTq) < в < 0. Подставляя выражение (35) в неравенство (34), получаем
V < -XОх - вп2 - 2о2п2 - (к -1)у2 + 5"1 + w"1 )• [р(у)]2.
(35)
(36)
Учитывая ограничения, налагаемые на нелинейность 0 < |р(у) < С0у2 , для неравенства (36) получаем
V < -xTQx - вщ2 - 2о2п2 - (k -1)y2 +
f C 2 C0
5
■ + ■
C
2
w
• y 4.
Преобразуем выражение (37) следующим образом
V = V + V ,
(37)
(38)
где V1 < -xTQx - вщ2 - 2о2гП < 0 ; V2 < -ky2 +
C2 C2
V
w
y ; k = k -1.
У
Рассмотрим отдельно У2
V2 < -ky2 +
Выбирая
k = k^2,
C2 C2
5w
■y4.
У
(39)
(40)
получаем
~1у2 = ~1 (у-п)2 = ~1 (2 -2уп + п2).
Выберем к1 следующим образом к1 = к2 + к3, тогда для выражения (39) имеем
V2 < -(k2 + k3)y4 + 2k1 yП- ktf2y 2 +
C2 C2
Co + Co V5 w y
■y4.
Выбирая
C 2 -0
5w
k3 >
f с 2 C2^ C0 + C0
V
(41)
(42)
y
получаем для (41)
^ <—к2у4 + 2кУп — кхп2у2, (43)
или для (37) имеем
V < — xTQx — вп2 — 2о2п2 — ~2У4 + 2~УЪп — ~п2У2. (44)
Учитывая соотношение
2~,У п<к у4+2к,гУ. (45)
для (44) получаем
V < — xTQx — вп2 — 2о2п2 — ~2У4 + у У4 + ~У2п2 . (46) Поскольку ~1 = к2 + к3, то V < — xTQx — вп2 — 2о2п2 — к2у4 + у 4 + У4 + ~1 У 2п2,
следовательно, при ~2 > ~3 имеем — ~2у4 + у4 + у4 < 0, тогда для (46) получаем
V <— xTQx — вп2 — 2о2п2 + к У 2п2. (47) Выберем функцию о2 таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение
02 > |У2, (48)
тогда для производной от функции Ляпунова (23) окончательно имеем
V < — xTQx — вп2 . (49) Из выражения (49) следует, что при соответствующем выборе функций к и о,
значение функции V вида (23) является отрицательным. Последнее обеспечивает ограниченность траекторий системы (16), (17), (22) и асимптотическую сходимость выходной переменной к нулю, что и требовалось доказать.
Заключение
В данной работе в развитии методов управления представленных в [1-4], преложена схема стабилизации нелинейной системы типа Лурье, для которой нарушены условия согласования, а линейная часть объекта, имеющеет относительную степень равную р = п — т = 2 . Предполагая, что параметры системы неизвестны, а
нелинейность ограничена соотношением 0 < |ф(у) < С0у2 и неопределенна,
синтезирован робастный регулятор, использующий только текущие измерения выхода, но не его производных.
Работа поддержана грантом на проведение молодыми учеными научных исследований в ведущих научно-педагогических коллективах вузов и научных организаций Минобразования России (шифр гранта: РБ02-2.8-53).
Литература
1. Arcak M., Kokotovic P. Feasibility conditions for circle criterion design // Systems and Control Letters. 2001.
V. 42, N. 5. P. 405-412.
2. Arcak M., Larsen M., Kokotovic P. Circle and Popov criteria as tools for nonlinear feedback design. 15th Triennial World Congress of the IFAC. Barcelona. Spain. 2002.
3. Arcak M., Larsen M., Kokotovic P. Circle and Popov criteria as tools for nonlinear feedback design. // Automatica. 2003. V.39, N. 4. P. 643-650.
4. Бобцов А. А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автоматика и телемеханика, 2002, N11, с. 108-117.
5. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.
