Использование последовательного компенсатора в задаче слежения неопределенным линейным объектом в условиях ВОЗ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОМПЕНСАТОРА В ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЯ А.А. Бобцов, С.А. Холунин

В данной статье для линейной системы с неизвестными параметрами рассмотрена проблема синтеза закона управления, обеспечивающего решение задачи слежения за эталонным сигналом с заданной точностью при наличии внешнего ограниченного гладкого возмущения. Предполагая, что объект управления задан в форме вход - выход и его числитель гурвицев, в классе алгоритмов робастного управления предложен подход, позволяющий решать комплексную задачу слежения и стабилизации линейной неопределенной системы только по измерениям выходной переменной объекта без измерения и расчета ее производных.

Введение

Данная статья является продолжением работы [1], которая была посвящена решению задачи слежения линейного параметрически неопределенного объекта за эталонным сигналом с некоторой точностью, которая, в свою очередь, может быть увеличена. В отличие от статьи [1], данные результаты устанавливают возможность использования схемы управления (последовательного компенсатора), полученной в [1] для решения задачи слежения в условиях влияния возмущающего воздействия. Задача управления будет решена с использованием методов робастного управления, которые в свою очередь, позволяют, как понизить размерность регуляторов, так и получить возможность строить инвариантные к влиянию помех системы управления. На сегодняшний день имеется ряд интересных результатов, посвященных решению задач слежения выхода линейного объекта с неизвестными параметрами за эталонным сигналом при наличии возмущения [2,3]. Однако регуляторы, представленные в монографиях [2,3] обладают существенной нелинейностью, высокой размерностью и сложностью их построения. Например, для объекта управления 3-го порядка с относительной степенью 3, робастный регулятор построенный с использованием известной идеи "обхода интегратора", требует больших вычислительных затрат для расчета частных производных по регулируемой переменной. Что же касается его размерности, то для указанного выше примера он может быть сокращен до 6-го порядка.

В данной статье, предполагая, что объект управления является минимально фазовым, в классе алгоритмов робастного управления предлагается подход и указываются аналитические условия его применимости для решения задачи слежения линейного параметрически неопределенного объекта за эталонным сигналом с заданной точностью, которая, в свою очередь, может быть увеличена за счет соответствующего выбора коэффициентов регулятора. В работе проводится синтез закона управления, не предусматривающего измерения производных регулируемой переменной и являющегося инвариантным к влиянию внешнего ограниченного возмущения. В сравнении с известными аналогами [2,3] полученный регулятор мал по размерности, является линейным и прост в реализации.

Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему в форме вход - выход

,=Ши(1)

а(р) а(р)

где р - оператор дифференцирования; выходная переменная у = у^) подлежит измерению, но не ее производные; Ъ(р) = Ьтрт + Ът-1 рт-1 +... + Ъ1 р + Ъ0,

ё(р) = й8р!5 + ё3-1р3~ +... + ^р + ёо и а(р) = рп + ап-1рп~ +... + щр + ао - полиномы с неизвестными параметрами; относительная степень модели (1) р = п - т предполагается известной; полином Ъ(р) гурвицев и коэффициент Ът > 0 ; число ^ < п ; w(t) - неизвестное гладкое ограниченное возмущение; и - сигнал управления.

Наряду с объектом управления рассмотрим эталонный сигнал задания у *, доступный измерению и удовлетворяющий условию ё'у *

< С0 < ю, (2)

где ' = 1, р .

Иными словами, условие (2) гарантирует ограниченность производных сигнала у * с первой по р -ю включительно.

Требуется найти закон управления или синтезировать регулятор, обеспечивающий для любых начальных условий ограниченность всех сигналов системы, а также выполнение целевого условия

)| < А для некоторого t > ^, (3)

где е = у - у * - ошибка слежения, А - некоторое, в общем случае малое число, которое может быть уменьшено за счет выбора закона управления.

Представленная постановка проблемы является типовой для данного класса задач. Решение указанной задачи будем проводить в два этапа. Сначала, предполагая, что производные выходного сигнала модели (1) измеряются и возмущение = 0, рассмотрим решение задачи стабилизации. Далее, используя результаты первого этапа, будем решать комплексную задачу слежения и стабилизации объекта управления (1) без измерения производных от функции у^) и наличии возмущения w(t) .

Синтез алгоритма стабилизации в случае измеримости производных выходного

сигнала

Сначала предположим, что система (1) - строго минимально фазовая. Тогда используя подход представленный в работе [1], выберем закон управления следующего вида

и = -лу, (4)

где параметр / выбирается (достаточно большим) больше некоторого положительного числа /0 в целях обеспечения устойчивости полинома замкнутой системы

а *(р) = а( р)+лЪ( р).

Теперь предположим, что относительная степень модели (1) р> 1, но производные выходного сигнала у^) подлежат измерению. Выберем следующий закон управления:

и = а(р)и , (5)

где а(р) - гурвицев полином степени р-1, и - новое, задачно ориентированное управление.

Тогда модель (1) примет вид Ъ( р)а(р) _

у = УГ, УГ, и , (6)

а( р)

где полином b(p)a(p) гурвицев и относительная степень р системы (6) равна единице, а, следовательно, системы (6) можно отнести к классу строго минимально фазовых.

Выберем закон управления и в соответствии с уравнением (4) и = -лу. (7)

Тогда при некоторых достаточно больших л достигается гурвицевость полинома

y(p) = a(p) + /jb(p)a(p) . (8)

Однако в силу постановки задачи закон управления (5), (7) не приемлем, так как содержит производные переменной y(t). Алгоритм управления, использующий уравнения вида (5), (7), обеспечивающий выполнение целевого условия (3) и не предусматривающий измерение производных выходного сигнала объекта, представлен в следующем разделе.

Синтез алгоритма робастного управления

Выберем закон управления в следующем виде

и = -a(p)(/ + к)ё, (9)

где достаточно большой параметр л и любой гурвицев полином a(p) степени р-1 выбираются из соображений гурвицевости y(p) = a(p) + лb(p)a(p) (см. уравнения (5) - (8)), коэффициент к предназначен для повышения точности слежения за эталонным сигналом y * и парирование влияния возмущения w(t), а функция ё формируется алгоритмом оценки вида

= а£2,

6 ~а€ъ, (10)

£р-1 =0(-k£i - k2£2 - ... - кр-1£р-1 + k1ё),

ё = £1, (11)

где число а > л + к, а коэффициенты ki рассчитываются из соображений

асимптотической устойчивости системы (10).

Очевидно, что закон управления (9) является технически реализуемым, так как содержит известные или измеряемые переменные.

Подставляя (9) в уравнение (1), получаем

y = -(л + к) ^ a(p)e + w(t). (12)

a(p) a(p) Рассмотрим модель отклонений

ё = У - y * = -(л + к)^a(p)e + ^w(t) - y *. (13)

a(p) a(p) Введем следующее обозначение

f = ^ w(t) - y *,

7 b(p) W b( p) '

где в силу гурвицевости b(p), гладкости w(t) и ограниченности производных сигнала y * с первой по р -ю включительно функция f также ограничена. Тогда уравнение (13) примет вид:

ё = -(л + к) ^ a( p)s + ^ f = ap- [-(л + K)a(p^ + f ] = a(p) a(p) a(p)

b( p)

a( p)

[-(/ + K)a(p)e + (/ + K)a(p)s + f ],

(14)

где невязка (функция отклонений) равна

а = e - e .

Проводя несложные преобразования, для уравнения (14) получаем

а(р)е + /а(р)Ъ(р)е = Ъ(p)a(p)[f + (/ + к)а - ке]; (15)

принимая обозначения у(р) = а(р) + /а(р)Ъ(р) и Р(р) = а(р)Ъ(р), для системы (14) получаем

( р )

(16)

e = ß( p) [-Ke + (/ + K)S + f ],

Y( p) где сигнал f =

1

a( p)

f.

Теперь представим модель вход-выход (14) в виде модели вход - состояние -

выход

x = Ax + Ь(-ке + (/ + k)s + f),

T

e = c x,

(17)

(18)

где х е Яп - вектор переменных состояния модели (17); А, Ъ и с - соответствующие матрицы перехода от модели вход - выход к модели вход - состояние - выход.

Следует отметить, что в соответствии с известными результатами А.Л. Фрадкова о пассификации линейных систем [2] гурвицевость полинома у(р) и строгая минимальная фазовость модели (16) позволяет указать симметрическую положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

ATP + PA = -Qi, Pb = c.

(19)

где Ql = Ql > 0 причем значения матрицы Ql зависят от параметра л и не зависят от коэффициента к.

Перепишем систему (10), (11) в векторно-матричной форме | = с(Г£ + ёк1е),

e = hT£

(20) (21)

" £i ' " 0 i 0 .. . 0 " "0" "i"

£2 0 0 i .. . 0 0 0

где £ = £3 , r = 0 0 0 .. . 0 , ä = 0 и h = 0

£p-i - ki -k2 - k3 .. . - kp-i _ i 0

Введем в рассмотрение вектор отклонений

П = he - £ ,

тогда в силу структуры матрицы h невязка s примет вид

* T T T T

s = e - e = h he - h £ = h (he -£) = h n. Для производной от n получим

П = he - o(t(he - n) + äkie) = he + cO n - o(dki + th)e . Так как äki = -yh (проверяется подстановкой), то

n = he + оГП, s = h n,

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

где матрица Г гурвицева и удовлетворяет уравнению Ляпунова

гTN + Ж = -02, (27)

где N = ^ > 0 и 02 = ОТ > 0 .

Условия применимости закона управления (9) - (11) для стабилизации системы (1) приведены в следующей теореме.

Теорема. Существует число о> ц + к такое, что все траектории системы (17), (18), (25), (26) ограничены и за счет выбора параметра к могут быть сведены в любую малую окрестность А.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова вида

V = хтРх + пТЩ. (28) Дифференцируя (28) по времени с учетом уравнений (17), (18) и (25), (26), получаем

V = хт (АТР + РА) х + 2(ц + к) хт РЪЪТ п + 2 хт РЪ/ -

- 2кхт РЪе + nTст(ГTN + Ж)п + 2пТ Шет Ах +

+ 2(ц + к)птШстЪИтп + 2птШстЪ/ - 2кпт Шст Ъе, (29)

где вместо составляющей е уравнения (25) в (29) было использовано слагаемое

т т ~

е = с (Ах - кЪе + (к + /и)ЪН п + Ъ/).

Подставляя в (29) уравнения (19) и (27), а также принимая во внимание соотношения 2хтРЪИтп < 8хтРЪЪтРх + 5~1птИИтп, (30)

2птШстЪИтп < птШстЪЪтсИтЩ + г1тЬИтп, (31)

2птШстАх < 8~хпт^стААтсИт^ + 8хтх, (32)

2птМстЪ/ < кптМстЪЪтсНтЩ + к~1 /2 , (33)

- 2кптШстЪе < 5~1кг!тNhcTЪЪTchTNп + 5юстРЪЪтРх, (34)

2хт РЪ/ < кхтРЪЪтРх +к~1/2, (35)

для производной от функции Ляпунова (28) получаем

V < -хтО1х - огГОпП - 2кхтРЪЪтРх +

+ 5(ц + к) хт РЪЪт Рх + 8~1 (ц + к)птШтп + кхт РЪЪт Рх +

— 1 ~ 2 тттт т т

+ к 1 / + (ц + к)п Шс ЪЪ си Nп + (ц + к)п hh п +

+ 8~1пт Nhcт ААт скт Nп + 5хтх + кпт Nhcт ЪЪт chт Nп +

+ к- /2 +S~lкпTNhcTЪЪTchTNп + SкxTPЪЪTPx, (36)

где число 5 > 0 (возможно малое) удовлетворяет неравенству

- а +51 + (5ц + 25к-к)РЪЪтР <-0 < 0. (37) Подставляя выражение (37) в неравенство (36), получаем

V <-хт0х-апт02п+ 5_1(ц + к)птМтп+ 2к_1 /2 + + (ц + к)пт Nhcт ЪЪт скт Nп + (ц + к)птиитп +

+ 5~lпTNhcT AATchTNп +кпт Nhcт ЪЪт chт Nп +

+ 5~lкпTNhcTЪЪTchTNп. (38)

Пусть число о выбрано таким, что выполнено соотношение

-о02 + 5~1(ц + к)Шт + (ц + к) ШстЪЪт сит N + (ц + к)Шт + + 5~lNhcT AATchTN + кыист ЪЪт сит N +

+ 5~1 кЫНс7ЪЪТсктN . (39) Подставляя выражение (39) в неравенство (38), получаем

V <-хTQх -nTQn+ 2к- f 2. (40)

Поскольку функция f является ограниченной, а полином а(р) гурвицев, то функция

f также ограничена. Из выражения (40) следует, что для ограниченного сигнала /

при увеличении параметра к значения функции V вида (28) могут быть сделаны сколь угодно малыми [2,3]. Последнее обеспечивает ограниченность траекторий системы (17), (18), (25), (26) и сведение их в любую малую окрестность А за счет увеличения параметра к, что и требовалось доказать.

Заключение

Для линейной системы с неизвестными параметрами рассмотрена проблема синтеза закона управления, обеспечивающего слежение за эталонным сигналом с определенной точностью при наличии внешнего ограниченного гладкого возмущения. Предполагая, что объект управления задан в форме вход - выход и его числитель гурвицев, в классе алгоритмов робастного управления предложен подход, позволяющий решать комплексную задачу слежения и стабилизации линейной неопределенной системы только по измерениям выходной переменной объекта. К достоинствам предложенной схемы управления следует отнести ее простоту построения, малую размерность, линейность и возможность увеличения точности за счет роста коэффициента к .

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Администрации Санкт-Петербурга, конкурс грантов 2003 года для молодых кандидатов наук Санкт-Петербурга (шифр гранта: РБ03-2.0-6).

Литература

1. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления в задаче слежения за эталонным сигналом // Автоматика и телемеханика. 2003. № 6.

2. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

3. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб: Наука, 2003.