CC BY
26
3
АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ
И РОБОТОТЕХНИКА AUTOMATIC CONTROL AND ROBOTICS
УДК 681.51
РОБАСТНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ НА ПРИМЕРЕ БЫСТРЫХ ТЕРМИЧЕ СКИХ ПРОЦЕССОВ А.А. Капитонов", С.В. Арановскийа, Р. Ортегаь
b
a
Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, s.aranovskiy@gmail.com Национальный центр научных исследований, Париж, Франция
b
Аннотация. Рассмотрена задача построения робастного закона управления по выходу для системы со степенной нелинейностью. Показано, что с использованием записи в отклонениях данная задача может быть сведена к задаче стабилизации нулевого положения в системе с полиномиальной нелинейностью. В качестве практического применения рассматривается задача регулирования температуры в быстрых термических процессах, характерных для газофазной эпитаксии. Современные промышленные установки используют сложные системы контроля температуры и нагрева, которые оказываются неприменимыми для исследовательского лабораторного оборудования. Ограниченное число сенсоров и накладываемые на систему технические ограничения делают актуальной разработку малоразмерных регуляторов, использующих измерения только выходной величины. Решение задачи получено с использованием метода последовательного компенсатора. В работе формулируется ограничение на нелинейность, представляющее собой объединение секторной и степенной нелинейностей. Показано, что полиномиальная нелинейность соответствует введенному ограничению. С использованием аппарата функций Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость замкнутой системы для указанного типа нелинейности, что усиливает ранее известные результаты. Численное моделирование процесса газофазной эпитаксии показало, что с применением предложенного метода удается обеспечить нулевое математическое ожидание ошибки слежения и среднеквадратичную ошибку температуры, не превышающую 1 К.
Ключевые слова: робастное управление, полиномиальная нелинейность, регулирование температуры, газофазная эпитаксия.
Благодарности. Работа выполнена при государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (субсидия 074-Ш1) и при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 14.Z50.31.0031).
ROBUST REGULATION FOR SYSTEMS WITH POLYNOMIAL NONLINEARITY APPLIED TO RAPID THERMAL PROCESSES
A.A. Kapitonova, S.V. Aranovskiya, R. Ortegab
a ITMO University, Saint Petersburg, Russia, s.aranovskiy@gmail.com b Centre National de la Recherche Scientiphique, Paris, France
Abstract. A problem of output robust control for a system with power nonlinearity is considered. The considered problem can be rewritten as a stabilization problem for a system with polynomial nonlinearity by introducing the error term. The problem of temperature regulation is considered as application; the rapid thermal processes in vapor deposition processing are studied. Modern industrial equipment uses complex sensors and control systems; these devices are not available for laboratory setups. The limited amount of available sensors and other technical restrictions for laboratory setups make it an actual problem to design simple low-order output control laws. The problem is solved by the consecutive compensator approach. The paper deals with a new type of restriction which is a combination of linear and power restrictions. It is shown that the polynomial nonlinearity satisfies this restriction. Asymptotical stability of the closed-loop system is proved by the Lyapunov functions approach for the considered nonlinear function; this contribution extends previously known results. Numerical simulation of the vapor deposition processing illustrates that the proposed approach results in zero-mean tracking error with standard deviation less than 1K.
Keywords: robust control, polynomial nonlinearity, temperature regulation, vapor deposition processing. Acknowledgements. This work was partially financially supported by the Government of the Russian Federation grant 074-U01), the Russian Ministry of Education and Science (project 14.Z50.31.0031)
Управление нелинейными процессами является не только фундаментальной задачей теории управления, но и имеет большое прикладное значение. Выбор закона управления существенным образом зависит от конкретного типа нелинейности, присущей объекту. Детальный обзор работ, рассматривающих системы, где выходной сигнал нелинейного блока входит как управление в линейный блок, приведен в работе [1]. Хорошо изучены системы с входными и выходными статическими нелинейностями, системы с секторными ограничениями [2]. Тем не менее, задача построения законов управления для более широких классов нелинейностей остается актуальной.
Введение
Одним из распространенных способов управления нелинейными системами является линеаризация обратной связью, главный недостаток которой - жесткие требования к точному знанию параметров системы. Другим возможным подходом является метод иммерсии и инвариантности (I&I) [3], однако для его реализации часто требуется измерять состояния системы, а не только выход. Отметим, что в большинстве методов при синтезе нелинейных законов управления предполагается управление по состоянию, т.е. измеримость всех внутренних состояний объекта. Это предположение может ограничивать применимость таких методов на практике. В таких ситуациях привлекательными с инженерной точки зрения являются методы управления по выходу [4]. К таким методам, например, относятся методы адаптивного и робастного управления, представленные в работах [5-10]. Целью настоящей работы является расширение результатов, представленных в работах [6, 7] на случай более широкого класса нелинейностей, чем секторная, как в [6], или степенная, как в [7].
Мотивацией для настоящих исследований послужила задача регулирования быстрых термических процессов, возникающая при разработке оборудования для выращивания полупроводников методом газофазной эпитаксии [11]. Промышленные установки для газофазной эпитаксии из металлоорганических соединений обладают высокой стоимостью и позволяют достаточно точно контролировать процесс роста структур, в том числе за счет сложных систем измерения и регулирования температуры. В таких установках достигается высокая точность регулирования. В то же время исследовательское лабораторное оборудование нацелено на следующие характеристики: малогабаритность, гибкость настроек и режимов работы, невысокая цена в сравнении с промышленными образцами. Это накладывает определенные условия на систему нагрева и измерительный комплекс. Так, в лабораторном оборудовании Epiquip, используемом в ФТИ им. Иоффе (см. [12]), используются одноэлементный нагреватель и система из двух оптических пирометров, один из которых контролирует качество графитового нагревательного элемента. Указанные технические ограничения делают невозможным использование в таком оборудовании сложных систем регулирования температуры, применяющихся в промышленных установках, что обусловливает актуальность разработки простых и малоразмерных методов регулирования температуры, позволяющих достичь приемлемой точности работы системы. Для рассматриваемой установки требуемой точностью является среднеквадратичная ошибка слежения не более 1 К при рабочей температуре 1273 К, что сопоставимо с точностными характеристиками промышленных установок.
Постановка задачи
На основе работ [13-15] можно записать модель быстрых термических процессов, протекающих в рассматриваемой установке, построенную на основе уравнения баланса энергии:
T(t) = -я, (4 (t) -T4 ) - a_ (T(t) -Tcmv) - acmd (T(t) -Tcond ) + bu(t) , (1)
где T(t) > 0 - температура подложкодержателя в точке измерения; коэффициент a, > 0 описывает потери тепла за счет излучения; коэффициент aconv > 0 описывает потери тепла за счет конвекции; коэффициент acond > 0 описывает потери тепла за счет теплопередачи; T, - температура, соответствующая переизлучению от внутренних стенок камеры; Tconv - температура газа, с которым происходит теплообмен через конвекцию; Tcond - температура прилегающих участков, с которыми происходит обмен теплом через теплопередачу; коэффициент b > 0 описывает приток тепла за счет приведенной мощности индуктора; u (t) > 0 - сигнал управления, соответствующий наведенной в индуктор мощности. Так как за счет продува обеспечивается постоянный поток газа, а за счет контура охлаждения - постоянный отвод тепла от стенок камеры, величины T, , Tconv и Tcond в рабочем режиме можно считать постоянными. Модель (1) может быть переписана в виде
T(t) = -a,T4(t)-acT(t) + bu(t) + C , (2)
где ac = aconv + acond , а константа C = aX + aco„vTconv + acondTcond описывает совокупный приток тепла от
внешней среды. Ставится задача формирования такого закона управления u(t) = U(T*,T(t)), который обеспечивает в замкнутой системе
T(t) ^ T* при t ^ да , (3)
где T * > Tr и T * > Tc, или, что то же, обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия T = T .
Традиционно при управлении нелинейными системами рассматривается задача стабилизации нулевого положения равновесия. Для сведения задачи слежения за постоянным заданием к задаче стабилизации перепишем модель (2) в отклонениях, введя в рассмотрение AT (t) = T (t) - T . Система (2) примет вид
AT (t) = - a0 AT + bu (t) + C + 9(AT), (4)
где а0 = ас + 4аг (Т*)3, С = С - асТ* - аг (Т*)4 < 0 и нелинейная функция
ф(ЛТ) = —аг-ЛТ4 - 4агТ*-ЛТ3 -6аг (Т*)2-ЛТ2. (5)
Тогда задача управления формулируется как формирование такого закона управления и (?) = и (ЛТ (?)), что нулевое положение ЛТ = 0 асимптотически устойчиво.
Формирование закона управления
Если предположить, что все параметры системы (4) известны, то задача может быть легко решена с использованием точной линеаризации обратной связью. Действительно, сигнал управления и(г) = —Ь-1 (С +ф(ЛТ)) сводит систему (4) к устойчивой линейной системе. Однако на практике параметры объекта нельзя считать точно известными, так как присутствует модельная неопределенность, связанная с неточной идентификацией или с вариативностью параметров объекта (деградация графитного под-ложкодержателя, изменение параметров окружающей среды). В силу этих причин будем искать решение задачи в классе робастных законов управления.
В работах [6, 7] был рассмотрен объект управления вида
у (,) = ЬЛЕ1и (,) + ф(у) + 5(,), (6)
а( р) а( р) а( р)
где р = ё / А; у(/) - измеряемый выходной сигнал; и({) - входной сигнал; 5(/) - действующее на систему возмущение; ф(у) - некоторая известная нелинейная функция. Коэффициенты полиномов а(р) = р" + а^ + а0, Ь(р) = Ьтрт +_ + Ьхр + Ь^ с(р) = егрг +_ + С[р + Co, е(р) = е^ +_ + ехр + ей неизвестны, г, g < " -1, относительная степень объекта р = " - т известна. Для рассматриваемого объекта (6) была решена задача стабилизации положения равновесия у = 0 с использованием метода последовательного компенсатора [8] в предположении, что для нелинейной функции ф(у) выполняется секторное [6] или степенное ограничение [7]
|ф(у)1<С,|уГ, (7)
где С0 > 0 и натуральное число 5 > 1. Несмотря на тот факт, что для многих распространенных в инженерной практике нелинейностей указанное соотношение выполняется, налагаемое на ф(у) ограничение остается достаточно консервативным. Так, легко показать, что для нелинейности (5) ограничение (7) не выполнится.
Для решения поставленной задачи и достижения цели (3) рассмотрим расширение результатов, представленных в работах [6, 7], на случай более общего и менее консервативного ограничения:
|ф(у)|< | у | +С21 у Г , (8)
где С1 > 0 , С2 > 0 . В частности, покажем, что для полиномиальной нелинейности вида (5) неравенство (8) выполняется.
Лемма 1. Для функции
ф( у) = ХфУ
{=1
для люб^1х постоянных параметров ф(, / = 1,...,5 существуют такие С1 > 0 и С2 > 0 , что неравенство (8) выполняется для всех у .
Доказательство. Запишем
1фОО 1=
Очевидно, что для доказательства Леммы 1 достаточно показать, что для любого 1 < к < 5 существуют такие с1к >0 и с2к > 0, что
| у |к < с1,к|у|+С2, к | у |5. (9)
Перепишем это неравенство как
|у|к-1 (1 - С2,к | у |5-к )< с,к. (10)
Пусть | у ^-к > ус2 к. Тогда левая часть неравенства (10) меньше либо равна нулю и, следовательно, неравенство (10) выполняется для любого с1к > 0. Рассмотрим теперь отрезок | у |5-к < ус2к. Так как на этом отрезке у ограничен, то, очевидно, ограничена и левая часть неравенства (10). Следовательно, суще-
ствует такое с1к > вир^ <ус (| у |к 1 (1 - с2,к | у |5 к )) > 0, что неравенство (10) выполняется. Следовательно,
(9) выполняется для всех у и всех 1 < к < 5 . Лемма 1 доказана.
Для приведения модели (4) к форме (6) далее будем рассматривать постоянное возмущение 8(/) = С-1(/). (11)
Рассмотрим закон управления
«(0 = -(ц + к) (12)
р
где а(р) - гурвицев полином степени р -1, к > 0, константа ц > 0 выбрана такой, что передаточная функция
Н (р) =-а( РЖ Р)( Р +1)--(13)
а( р) р + ца( р)Ь( р)( р +1)
является строго вещественно положительной (СВП). Сигнал у(0 формируется следующим образом:
1 = ст^
12 ^^
"... (14)
1 р-1 = ст(-кА кр-1 гр-1 + к1 y),
. у = 1,
где ст > (ц + к) и параметры к^,...,кр-1 выбираются так, что система (14) устойчива.
Прежде, чем представить основной результат работы, проведем некоторые предварительные преобразования, иллюстрирующие компенсацию возмущения и приводящие систему к форме вход-состояние-выход. Подстановка (12) в (6) приводит к
у (0 =(ц + к)Ь( р)а(р)(р +1) (8(0 - у(0) + Ф(у) + 8(0, а(р) р а(р) а(р)
где 8(0 = у(0 - у(0. Это выражение может быть приведено к форме
[а(р)р + цЬ(р)а(р)(р +1)]у(0 = Ь(р)а(р)(р + 1) [(ц + к)8(0 - ку(0] + с(р)р ф(у) + е(р)р 8(0
или
у(0 = Н(р) [(ц + к)8(0 - ку(0] +—--с((р))а -- ф(у) + 8е (0, (15)
а( р) р + цЬ( р) а( р)( р + 1)
где передаточная функция Н (р) определена в (13), а сигнал 88 (0 задан как
88« = С-—-У/( )( 1) КО. (16)
а( р) р + цЬ( р)а( р)( р +1)
Так как передаточная функция Н (р) устойчива и числитель передаточной функции (16) имеет нулевой корень, сигнал 88 (/) является экспоненциально затухающим. Пренебрегая экспоненциально затухающим членом 88 (0, систему (15) можно переписать в виде
Гх = Ах(0 + ь ((ц + к)8 - ку(0) + Ч Ф(у), (17)
1 у(Г ) = ст х(Г),
где вектор х е Я" является вектором состояния системы (17), А , Ь, с и Ч - вектора и матрицы соответствующих размерностей, полученные при переходе от системы (15) к системе (17). Представим выражение (14) также в форме вход-состояние-выход:
'4 (/) = ст(щ/)+(1 у(/)),
■ у(0 = Ит §(/), (18)
8 = у(0 - у(0 = у (0 - ьт 4(0,
где ^ =[0 ... 0 к1 ], Ит =[1 0 ... 0] и
Г
0 1 0 0 0 1 0 0 0
-к
0 0 0
-к
Ч '"2 '"3 '"р-1
Основной результат работы представлен в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть выполняется (8). Тогда для любых ц > 0 , таких, что передаточная функция (13) строго вещественно положительна, и для любых x > 0 существует такое к > 0, что в замкнутой системе (17), (18) положение равновесия y = 0 асимптотически устойчиво для всех начальных условий || x0||< x .
Прежде чем представить доказательство теоремы 1, приведем некоторые вспомогательные результаты. Введем в рассмотрение сигнал n(t) = hy(t) - £(t). Так как для системы (18) справедливо
hT h = 1, то e(t) = hT hy(t) - hT ^(t) = hT n(t). Продифференцировав сигнал n(t), получим П (t) = hy (t) - a(r(hy(t) - n(t)) + dk y(t)) = hy (t) + arn(t) - a(d + rh) y(t). С учетом d = -Г h система (18) может быть представлена в виде Гт| (t) = hy (t) + arn(t), |s(t) = hT n(t).
Так как матрица Г - гурвицева в силу выбора параметров k1,...,kр-1, то существуют такие
N = NT > 0 и M = MT > 0 , что
Гт N + Nr = -M. (19)
Так как передаточная функция H(p) - СВП, то существуют такие P = PT > 0 и R = RT > 0, что AT P + PA = - R, Pb = c, (20)
где матрица R зависит от параметра ц, но не зависит от параметра к . Доказательство теоремы 1. Введем функцию Ляпунова
V (t) = xT (t)Px(t) + nT (t )Nn(t). (21)
В работах [6, 7] показано, что с учетом свойств (19) и (20) для производной от функции Ляпунова (21) справедливо следующее неравенство
V(t) < -X0 V(t) - 2 к y 2(t) + (/-1 + к-1)[ф(y)]2
(22)
1
где 0 </ < 0,5 - константа. С учетом (8) и используя неравенство Юнга 2аЬ < — а + сЬ , запишем:
c
2 s
| ф(у) |2< С21 у |2 +2С, С21 у |51 у | +С21 у |25< (С + С2 С2)| у |2 +(1 + С22)| у (I-1 +к-10(1 + С2) | у 11 у |25-1 < ^ (I-1 + к-1)2 (1+С2)21 у |2 +1^1 | у |45-2. Таким образом, неравенство (22) принимает вид
К(г) < -^0 V(г) - 2 к у 2(г) + 11 у(г) |45-2 +(/-1 +к-1) [С12 + С12 С2 + у(/-1 +к-1)(1 + С2)2 ] | у(г) | Несложно показать, что существует такое к0, что для всех к > к0 выполняется 2 к > (/-1 + к-1) [С12 + С2 С22 + ц>(/-1 + к-1)(1 + С22)2 ] , и, следовательно,
К (г) 0 V (г) + 11 у(/) |4 5- 2. Выберем Х1 такое, что
(xTPx) " >(xTccTx)
= y
Тогда
V(t) < -X0 V (t ) + V-1 ! y(t) !4 s-2 < -X0 V (t) + ( xT (t)Px(t) )2 ^ < -X0 V (t ) + V2 s-1(t). Выберем y такое, что
-1 .
V <
X1 (V2 s-2(t0) + 8v )
(23)
где eV > 0 - некоторая малая константа. Тогда
V(t) <-Х0 V(t) +
V2 *-1(t)
(
0 V2 *-2(to) +8v
■<—0 V(t)
1 -
V2 s-2(t ) V 2 '-2(to) +8v
A
<0,
(24)
л ^ 1 т у
где последнее строгое неравенство справедливо при V(/) ф 0. Из (24) следует асимптотическая устойчивость V = 0 и, следовательно, у = 0 . Отметим, что параметр у в (23), а следовательно, и параметр к0, зависят от значения функции Ляпунова (21) в момент времени /0 и являются функцией начальных условий || х0||< х . Теорема 1 доказана.
Численное моделирование
Представим систему (4) в форме (6): AT (t) = b u (t) +—— 5(t) + - 1
-ф(ДТ),
(25)
р + а0 р + а0 р + а0 где 5(/) определено в (11), а ф(ДТ) в (5). Относительная степень системы равна единице, следовательно,
вместо (14) запишем ДТТ(?) = ДТ(?). Выберем полином а(р) в (12) в виде а(р) = а0 = 1. Закон управления (12) примет вид
(26)
u(t) = -(ц + к)(Р +1) AT (t),
а передаточная функция (13)
Н (р) = ^ + 1) = ^(Р + 1) . (27)
р + цЬ( р + 1) (1 + цЬ) р + цЬ
Передаточная функция (27) является СВП для всех ц > 0 . Выберем ц = 0,01 и к = 0,1.
Для моделирования системы (2) выберем следующие значения параметров:
аг = ИСТ12, ас = 4,75-1СГ3, Ь = 4,37, С = 4,49.
Эти параметры соответствуют лабораторной установке Ер1чшр [12]. Сигнал управления нормализован в
диапазоне от нуля до единицы. Целевая температура составляет Т* = 1273 К. Начальная температура
Т (?0 = 0) = 1243 К, выход в окрестность рабочей температуры на практике осуществляется в специальном
режиме работы системы управления и здесь не рассматривается. Измерение температуры осуществляется оптическим пирометром с частотой 10 Гц, шум измерений представляет собой нормально распределенный сигнал с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 0,02 К2. График переходного процесса в системе представлен на рисунке. Установившееся значение равно 1273 К, среднеквадратичное отклонение составляет 0,33 К.
0
50
100
150
200
250
300
t, с
Рисунок. Переходный процесс в системе (25) с законом управления (26) при ц = 0,01 и к = 0,1.
Заключение
Рассмотрена задача построения робастного закона управления по выходу для системы с нелинейностью, удовлетворяющей неравенству (8). Решение задачи получено с использованием метода последовательного компенсатора. С использованием метода функций Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость замкнутой системы для указанного типа нелинейности, что усиливает ранее известные результаты [6, 7]. Полученный закон управления предлагается использовать для построения системы регулирования температуры в процессе газофазной эпитаксии. Приведена математическая модель термического процесса и показано, что задача поддержания постоянной температуры может быть сведена к задаче стабилизации нулевого положения с сопутствующим переходом от степенной нелинейности к поли-
номиальной. Показано, что полиномиальная нелинейность удовлетворяет неравенству (8), следовательно, предложенный в работе метод может быть использован для решения задачи регулирования температуры.
Численное моделирование процесса газофазной эпитаксии показало, что с применением предложенного метода удается обеспечить следующие точностные характеристики: нулевое математическое ожидание ошибки слежения и среднеквадратичную ошибку, не превышающую 1 К, что сопоставимо с промышленными установками.
Литература
1. Kokotovic P., Arcak M. Constructive nonlinear control: a historical perspective // Automatica. 2001. V. 37. N 5. P. 637-662.
2. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. 549 с.
3. Astolfi A., Ortega R. Immersion and invariance: a new tool for stabilization and adaptive control of nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. V. 48. N 4. P. 590-606.
4. Бобцов А.А., Никифоров В.О. Адаптивное управление по выходу: проблематика, прикладные задачи и решения // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 1 (83). С. 1-14.
5. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с неизвестной относительной степенью // Автоматика и телемеханика. 2010. № 6. С. 109-118.
6. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Kolyubin S.A., Faronov M.V., Shavetov S.V., Kapitanyuk Y.A., Kapitonov A.A. Output control approach 'consecutive compensator' providing exponential and L®-stability for nonlinear systems with delay and disturbance // Proc. IEEE International Conference on Control Applications, CCA 2011. Denver, USA, 2011. P. 1499-1504.
7. Pyrkin A. A., Bobtsov A. A., Kolyubin S. A. Simple output controller for nonlinear systems with multisinusoidal disturbance // Proc. 21st Mediterranean Conference on Control and Automation, MED 2013. Platanias-Chania, Crete, Greece, 2013. P. 1087-1091.
8. Бобцов А.А., Капитонов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой // Автоматика и телемеханика. 2010. № 12. С. 3-10.
9. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Алгоритм управления по выходной переменной для линейного объекта с неизвестными параметрами и динамической размерностью // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. № 4 (74). С. 160-161.
10. Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 2002. № 11. С. 108-117.
11. Новиков В.А., Преображенский В.В., Ивонин И.В. Влияние температуры роста на статистические параметры морфологии поверхности GaN // Физика и техника полупроводников. 2014. Т. 48. № 7. С. 898-901.
12. Лундин В.В., Сахаров А.В., Цацульников А.Ф., Заварин Е.Е., Бесюлькин А.И., Фомин А.В., Сизов Д.С. Выращивание эпитаксиальных слоев AlGaN и сверхрешеток AlGaN/GaN методом газофазной эпитаксии из металлоорганических соединений // Физика и техника полупроводников. 2004. Т. 38. № 6. С. 705-709.
13. Schaper C.D., Cho Y.M., Park P., Norman S.A., Gyugyi P., Hoffmann G., Balemi S., Boyd S.P., Franklin G., Kailath T., Saraswat K.C. Modeling and control of rapid thermal processing // Proc. SPIE - The International Society for Optical Engineering. 1992. V. 1595. P. 2-17.
14. Schaper C.D., Moslehi M.M., Saraswat K.C., Kailath T. Modeling, identification, and control of rapid thermal processing systems // Journal of the Electrochemical Society. 1994. V. 141. N 11. P. 3200-3209.
15. Ebert J., De Roover D., Porter L.L., Lisiewicz V.A., Ghosal S., Kosut R.L., Emami-Naeini A. Model-based control of rapid thermal processing for semiconductor wafers // Proceedings of the American Control Conference. 2004. V 5. P. 3910-3921.
Капитонов Александр Александрович аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия,
kap2fox@gmail.com
Арановский Станислав Владимирович - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, s.aranovskiy@gmail.com Ортега Ромео - PhD, директор по исследованиям, Национальный центр научных
исследований, Париж, Франция, ortega@lss.supelec.fr
Alexander A. Kapitonov - postgraduate, ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
kap2fox@gmail.com
Stanislav V. Aranovskiy - PhD, Senior researcher, ITMO University, Saint Petersburg, Russia,
s.aranovskiy@gmail.com
Romeo Ortega - PhD, Directeur de Recherche, Centre National de la Recherche
Scientiphique, Paris, France, ortega@lss.supelec.fr
Принято к печати 28.05.14 Accepted 28.05.14
