CC BY
32
УДК 62.50
А. А. Бобцов, Н. А. Николаев
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ВЕРСИИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОМПЕНСАТОРА ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ СО СТЕПЕННЫМИ СТАТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Рассматривается задача стабилизации нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы, подверженной влиянию внешнего ограниченного возмущения. Предполагается, что измерениям доступны только выходная переменная объекта и управляющий сигнал, а нелинейности являются статическими и имеют степенные ограничения.
Ключевые слова: компенсатор, стабилизация, нелинейная система.
Введение. Постановка задачи. В статье [1] была рассмотрена нелинейная система в форме „вход—состояние—выход" вида
2 = ¥2+Ьп+Бф(у), у = , (1)
где 2(*)е Яп — вектор переменных состояний; ¥, Ь, Б и Я2 — неизвестные постоянные матрицы размерностью пхп, пх1, пх1 и пх1 соответственно; у(*) е Я — выходная переменная. Неизвестная функция ф = ф(у, *) такая, что:
|ф(У, *)| < С0 |у(*)|" для всех у(*), (2)
всех
где число С0 > 0 неизвестно, а целое число ^ >1 известно.
В работе [1] рассматривалась возможность использования алгоритма управления (метода последовательного компенсатора), представленного в [2], для обеспечения полуглобальной асимптотической устойчивости нелинейной системы без секторных ограничений. В настоящей статье с использованием результатов [1] будет доказана работоспособность алгоритма [2] для случая, когда объект управления (1) подвержен влиянию внешнего неизвестного ограниченного возмущающего воздействия.
Рассмотрим нелинейную систему в форме „вход—выход"
у(*)=04 [п (*)+ф( У, *), (3)
а(р) а(р)
где р = ё / ё* — оператор дифференцирования; выходная переменная у=у(*) измеряется, но ее производные Ь(р) = Ьтрт +...+Ь1 р+Ь0, с(р) = сгрг + сг-1 рг-1 +...+с1 р+с0 и
а(р) = рп + ап-1 рп-1 +......+а1 р+а0 — полиномы с неизвестными коэффициентами, г <п-1;
, Ь(р) ..
передаточная функция - имеет относительную степень р=п -т; ) — неизвестное ог-
а( р)
раниченное гладкое возмущающее воздействие; полином Ь(р) гурвицев Ьт > 0 .
Пусть для стабилизации системы (3) используется управление следующего вида (см. [2]):
п = -а (р)(ц+к) у, (4)
41 =^2, 4 2 =^3,
(5)
4 р-1 - к2 4 2 -•••-кр-14р-1 + к1
у=4ъ (6)
где число | и полином а( р) такие, что передаточная функция
Ж(р) = Ь(р)а(р) (7)
а (Р )+1Ь( Р)а( Р)
является строго вещественно положительной; параметр к> 0 используется для компенсации неопределенности ф(у, I) (см. ниже доказательство теоремы, условие (П.8)); число а>|+к (см. ниже доказательство теоремы, неравенство (П.6)); параметры к{ выбираются таким образом, чтобы система (5) была асимптотически устойчивой при нулевом входе у^) .
Замечание. В силу следствия 3 из работы [2] существуют число | > |0 > 0 и любой гур-вицев полином а(р) степени р-1 такие, что передаточная функция (7) является строго вещественно положительной.
Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы доказать правомочность использования управления вида (4)—(6) (алгоритма последовательного компенсатора [2]) для обеспечения ограниченности выходной переменной у(^) для любого ограниченного гладкого возмущающего воздействия w(t).
Модельные преобразования и основной результат. Подставив (4) в уравнение (3), получим
У=[-а( Р )(|+к) у+w]+^ ф( у, t) = а(Р) а(Р)
= ^ [-а(р)(|+к)у+а(р)(|+к)е+w] + с(р) ф(у, t) . (8)
а( Р) а(Р)
После простых преобразований для модели (8) имеем
а (Р )у+1а( Р)Ь( Р) у = Ь( Р)а (Р)[(!+к)е-ку++с(Р)Ф(у )
и
у = Ь(р)а(р) [-ку+(|+к)8+w]+-СМ-ф(у, t), (9)
а(р)+|Ь(р)а(р) а(Р)+цЬ(р)а(р)
где передаточная функция (7) является строго вещественно положительной, а функция
у-у.
Представим модель „вход—выход" (9) в форме „вход—состояние—выход"
х = Ах+Ь(-ку+(|+к)е+w)+<2ф(у, t), (10)
у = сТх, (11)
где хеЯ" — вектор переменного состояния системы (10), (11); А, Ь, q и с — соответствующие матрицы перехода от модели (9) к модели (10), (11).
Так как передаточная функция Ж (р) строго вещественно положительная, то, в соответствии с известной леммой Якубовича—Калмана (см., например, обзор [3] или монографию
[4]), существует симметрическая положительно определенная матрица Р=Р , удовлетворяющая двум матричным соотношениям
АТР+РА = -бь РЬ = с, (12)
т
где Ql = Ql — положительно определенная матрица и параметры матрицы Ql зависят от р и не зависят от к .
Перепишем модель (5), (6) в форме
^ = а(П;+^у), у = Ит £,
где
" 0 1 0 .. . 0 " "0" "1"
0 0 1 .. . 0 0 0
Г = 0 0 0 .. . 0 , d = 0 , h = 0
-k1 -k2 -k3 .. . -kp-1 _ 1 0
Введем в рассмотрение вектор
П =hy-Е,, (13)
который связан с функцией s следующим образом:
T T T T
s = y-y = h hy-h Е = h (hy-Е) = h n • Продифференцировав уравнение (13), получим
П = hyy-а(Г(hy-n)+d&[y) = hy+аГп- а(dki +rh)y . Так как dki = -rh (может быть проверено подстановкой), то
T
П = hy+аГп, s = h n, (14)
где матрица Г является гурвицевой в соответствии с параметром k{ системы (5) и
Г^+ЖГ = -е2, (15)
где N = NT > 0 и Q2 = QT > 0.
Теперь сформулируем теорему, в которой будут представлены условия ограниченности всех траекторий системы (10), (11), (14).
Теорема. Рассмотрим нелинейную систему (10), (11), (14) с допущениями на нелинейную функцию ф = ф( y, t) вида (2). Пусть положительные числа к и а удовлетворяют следующим условиям:
-aQ2 + 5-1(|+K)hhT + (|+K)NhcTbbTchTN+ +(|+K)hhT +5-1 NhcT AATchTN + KNhcTbbTchT N+ +KNhcT qqT chT N +5-1 KNhcTbbTchT N <-Q
и
к>^0Co (к-1 +5-1)2,
где Q = Q — положительно определенная матрица, числа 0<5<0,25 и у0 >0 такие, что
-Q1 +51+(5|+25к-0,5к) PbbT P +5PqqT P <-Q < 0, у0 (t0>)2"-2,
V(t0) = xT (t0)Px(t0)+nT (t0)Nn(t0). Тогда все траектории системы (10), (11), (14) ограничены. Доказательство теоремы приведено в Приложении.
Выводы. Из теоремы следует, что для каждого множества начальных условий функции V(t0) найдутся положительные числа к, у0 и а, для которых нелинейная система (10), (11),
(14) будет устойчива. Однако изменение начальных условий функции V (t0) в сторону их увеличения при фиксированных значениях к, у0 и а может привести к нарушению условия (П.10), а следовательно, к невыполнимости неравенства (П.11). Таким образом, при фиксированных значениях к, у0 и а можно говорить лишь о полуглобальной устойчивости нелинейной системы (10), (11), (14), и следовательно, о полуглобальной устойчивости положения равновесия y = 0. Также заметим, что из неравенства (П.11) следует, что увеличение коэффициента к закона управления (4) приводит к уменьшению функции V (t) и, как следствие — уменьшению значений y(t) . В предельном случае для к имеем lim y(t) = 0.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство теоремы. Рассмотрим функцию Ляпунова вида
V = xTPx+nTNn . (П.1)
Продифференцировав (П.1) в соответствии с уравнениями (10), (11) и (14), получим
V = xT ( ATP+PA) x+2(д+к) xTPbhT n+ +2 xT Pqф(y, t) - 2oxT Pby+nT a(rT N+NT) n ■+ 2 xTPbw + +2nT NhcT Ax+2( д++ к)^ NhcT bhT n + 2nT NhcT bw+
+2nTNhcT qq(y, t) -2^TNhcTby. (П.2)
Подставив в (П.2) уравнения (12), (15) и принимая во внимание неравенства
2 xTPbhT n<5 xT PbbT Px+5"V hhT n,
2 xTPqq(y, t) <5 xT PqqT Px+5-1 [ф(у, t)]2,
_ T m к 2 2 2 2xT Pbw <—y2 +— w2, 2к
2nTNhcTbhT n<nT NhcT bbT chT Nn+nT hhT n
5
2nT NhcT Ax < 5-1nT NhcT AAT chT N n+5 xT x, 2nTNhc-^( y, t) <кnTNhcTqqTchTNn +к-1[ф( y, t )]2, -2кnT NhcTby <5~l кп[ NhcT bbT chT N n +5кxTPbbTPx,
2nT NhcT bw < к(nT NhcT b)2 + - w2,
к
получим
V <- xTQ1 x-anTQ2n-1 кxTPbbTPx-к y2 +
T T -1 T T
+5 (д+к)x Pbb Px+5 (д+к)п hh n+ +5 xT PqqT Px +5-1[ф(y, t)]2 + (д+к)nTNhcTbbTchTNn+ +( д+к)п'Г hhT n+5 -1 nT NhcT AAT chT Nn +5 xT x+
+кnTNhcTqqTchTNn+ к(nTNhcTb)2 +—w2 +
к
+к-1[ф( y, t)]2 +5-1кnT NhcTbbTchT Nn +5кxTPbbTPx, (П.3)
где число 0 <5<0,25 такое, что
—Q1 +51+(5д+25к-0,5к)PbbTP +5PqqTP<-Q<0 . (П.4)
Подставив неравенство (П.4) в (П.3), имеем
V<-xTQx-а|^2г -ку2 +5-1(р+к)пТккТ|+ +5-1 [ф( у, г )]2 + (р+к)пТ тсТЬЬТскТЫц+ +(р+к)пТ ккТ п +Ь-Х ЫксТ ААТ скТ Ыц+
3
+к|ТЫИсТ скТ N1 +к-1[ф(у, г)]2 + к(пТЖсТЬ)2 +—+
к
+5-1кг|ТЫксТЬЬТскТЫц. (П.5)
Пусть число а такое, что
+ 5-1(р+к)МТ + (р+к)ЫксТЬЬТ скТ N+ +(р+к)МТ +5-1 ШсТ ААТсИТ N + МсТЬЬТсИТ N+
+кУйсТ сУ N +5-1к^сТ ЬЬТсУ^ . (П.6)
Подставив выражение (П.6) в неравенство (П.5), получим
V<-xTQx-r^TQп -ку2 +(5-1 +к-1)[ф(у,г)]2 + -<
к
-ку2 +(к-1 +5-1)С02у25-1 у+-<
к
< V-ку2 + ^0С04 (к-1 +5-1)2 у2 45-2 +- , (П.7)
к
где в силу условия (2) [ф(у, г)]2 < Сд |у(г)|25, а Л0 > 0 и у0 > 0 . Пусть число к такое, что
тогда
к>У0 С(4 (к-1 +5-1)2, (П.8)
V +у-1 у45-2 +-+у-%(xTPx)l5-1 +-<
к к
+у-1^25-1 +- (А,0 -у-1^25-2)+-, (П.9)
к к
где число А.1 > 0 такое, что Выбирая число
Х1(xTPx)25-1 > (с^)45-2 = у45-2 .
-1^1 (v(*0 ))25-2, (П.10)
для неравенства (П.9) получаем
V
V (V(г))25-2 ^
(V (г0))2 5-2
3
+— С1 < 0 для любого г > г00. (П.11)
к
Из последнего выражения следует ограниченность всех траекторий системы (10), (11), (14), что и требовалось доказать.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
список литературы
1. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу некоторой нелинейной системой с неизвестными параметрами и нелинейностью // АиТ. 2007. № 6. С. 150—156.
38
Д. С. Бирюков, О. В. Слита, А. В. Ушаков
2. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // АиТ. 2005. № 1. С. 118—129.
3. Барабанов Н. Е., Гелиг А. Х., Леонов Г. А. и др. Частотная теорема (лемма Якубовича — Калмана) в теории управления // АиТ. 1996. № 10. С. 3—40.
4. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
Сведения об авторах
Алексей Алексеевич Бобцов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov @mail.ru Николай Анатольевич Николаев — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики; кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
систем управления и информатики 01.07.09 г.
УДК 62.50
Д. С. Бирюков, О. В. Слита, А. В. Ушаков
ОЦЕНКА ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЖЕЛАЕМОЙ СТРУКТУРЫ МОД
И ИХ РОБАСТНОСТИ
Рассматриваются вопросы синтеза непрерывной системы, обладающей свойством модальной робастности, путем задания желаемой структуры мод проектируемой системы. Предлагается зафиксировать желаемое значение времени переходного процесса, а структуру мод выбирать такой, чтобы минимизировать затраты на управление. В качестве основного результата приведен алгоритм такого синтеза с использованием грамиана затрат на управление.
Ключевые слова: динамическая система, грамиан, затраты на управление, ро-бастность.
Введение. Постановка задачи. При проектировании систем управления с желаемыми показателями качества в переходном и установившемся режимах широкое применение нашли методы [1—4], основанные на обеспечении необходимой структуры собственных значений (мод) матрицы состояния синтезируемой системы. Наиболее полно данный подход реализован в современных методах модального управления [5—8], основанных на концепции векторного и матричного подобия, что позволяет алгоритмически обеспечивать модальное управление, опирающееся на решение матричного уравнения Сильвестра. При этом выбор необходимой структуры мод в соответствии с заданными показателями качества синтезируемой системы зачастую оказывается неоднозначным. Для решения задачи выбора той или иной необходимой структуры мод авторами предлагается оценка затрат на управление при решении задачи перевода объекта из начального положения на сфере начальных состояний в начало координат. Также в процессе синтеза системы возможен контроль структуры собственных векторов ее матрицы состояния с целью обеспечения робастности элементов спектра собственных значений матрицы при наличии неопределенности задания матрицы состояния исходного объекта [9, 10].
В настоящей статье поставлена задача объединить механизм контроля затрат на управление при выборе необходимой структуры мод и механизм контроля структуры собственных векторов при обеспечении модальной робастности.
