Использование грамиана наблюдаемости для диагностики отказов в нелинейных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2006, вып. 16, с. 37-44

УДК 519.95

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАМИАНА НАБЛЮДАЕМОСТИ ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ ОТКАЗОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМАХ

Д.Н. Василенко, Е.В. Головачев, С.Н. Чуканов

В работе рассматривается возможность многократного оценивания элементов вектора состояния сложной системы управления на основе построения пересечений множеств оценок вектора состояния. Также рассматривается способ количественной оценки процесса наблюдения возмущения вектора состояния системы по информации вектора изменения при помощи грамиана наблюдаемости.

Использование мажоритарной логики для идентификации отказов требует применения нескольких приборов, измеряющих один параметр (или нескольких каналов в приборе, измеряющих один параметр). Если учитывать аналитическую избыточность системы управления (с учетом уравнений динамики объекта), то можно измерять различные параметры и затем оценивать другие параметры по информации измерительных приборов с помощью, например, наблюдателей Люенбергера. Однако определение одного и того же параметра по информации различных измерителей приводит к разным оценкам из-за разницы моделей оценивания, шумовых характеристик и др. Поэтому следует сравнить оценки параметра, полученные по информации различных измерителей.

1. Декомпозиция системы c множеством входов и выходов (MIMO - Multi Input/Multi Output)

Пусть имеется гладкая нелинейная система с множеством входов и выходов

[1.2]:

dx

dt

f(x) + X 9j(x К;

i= 1

m

(1)

Vi = hi(x);

У = h (x),

где

x Є Rn; f (x) Є Rn; gj (x) Є Rn; V j = l,...,m;

Copyright © 2006 Д.Н. Василенко, Е.В. Головачев, С.Н. Чуканов.

Омский филиал Института математики СО РАН.

E-mail: negue@avte.omsk.info

38 Д.Н. Василенко, Е.В. Головачев и др.. Использование грамиана...

Уі Є R; hi(x) Є R; V i = 1 ;

y Є Rp ; h(x) Є Rp.

Сформулируем для системы (1) матрицу декомпозиции

' Lg!Lf-1hi(x) ••• Lgj Lk1-1hi(x) ••• Lgm L/1-1h1(x )'

Adecom Lg! Lf-1 hi(x) ••• Lgj Lki-1hi(x) ••• Lgm L/i-1hi(x)

Lg! L/p_ \(x) ••• LgjL/^1 hp(x) • • • Lgml/^1 hp(x) _

где вектор относительных степеней k = {k\,kp} определяется из выполнения соотношений:

Lg.Lfhi(x) = 0; 0 < а < ki - 2;

Lgj Lk - 1hi(x) = 0.

Здесь Lf, Lgj — производные Ли.

Для линейной системы:

dx

dt

m

Fx + bj Uj;

j=і

Уі ci x;

y = C x,

(2)

где

x Є Rn; F Є Rnxn; bj Є Rnx1; V j = 1 ,...,m; Уі Є R; y Є Rp; c Є R1xn; Vi = 1,...,p;

C Є Rnxp;

матрица декомпозиции будет иметь форму:

' dFkl-1b 1 ••• c 1F kl-1b j ••• c1F kl-1b m

Adecom ciF ki-1b 1 ••• c iF ki-1b j ••• ciF ki-1b m

cpF kp-1b 1 ••• cpF kp-1b j ••• cpF kp-1b m

где вектор относительных степеней k = {ki,..., kp} определяется из выполнения соотношений:

dim(span{ci, ciF, ciF2,..., ciFn}) = ki; V i = 1, ...,p.

Для оценивания вектора состояния линейной системы (2) можно построить наблюдатель [3]

d£

dt

FC + Bu + L(CC - y); C Є Rn; L Є Rnxm;

Математические структуры и моделирование. 2006. Вып. 16.

39

для оценивания вектора состояния нелинейной системы (1) наблюдатель может быть построен в форме [4]:

d£

dt

m

f (C) + gj(C)uj + L(h(0 - y);

j=1

C є Rn,

где L(') Є Rp в данном случае является гладкой нелинейной функцией.

Наряду с матрицей декомпозиции Adecom сформируем матрицу множеств компонент вектора состояния As:

S11 ■■■ Sij S1m

As = Si1 ■■■ Sij ■ ■ ■ S. im

_ Spi ■ ■ ■ S • Spj ■ ■ ■ S ^pm

в которой любой элемент Sij (i = 1, j = 1, ...,m) представляет собой под-

множество компонент вектора состояния со свойством управляемости по входу Uj и свойством наблюдаемости по выходу yi. Тогда

S • = iim S- •

S*j = uj=iSij

— подмножество компонент вектора состояния, управляемых по входу j, а

S = llm S- •

si* lj= 1 Sij

— подмножество компонент вектора состояния, наблюдаемых по выходу i.

Один и тот же элемент может быть наблюдаем по нескольким соотношениям yi = Cix, т.е. находиться в нескольких множествах S. Отсюда следует, что пересечения таких множеств (содержащих одинаковые компоненты вектора x) могут быть непустыми. В общем случае для системы с m соотношениями yi = cix может быть максимальное количество пересечений:

m

z = J2 cm.

i=2

2. Построение грамиана наблюдаемости для гладкой нелинейной системы

Рассмотрим систему (1) с gj = 0, V j :

dx

= f (x); у = h(x); x є Rn;

f (■) Є Rn; y Є Rm; h(■) Є Rm, с заданной базовой траекторией, описываемой соотношениями:

^ = f (xь); уь = h(xь); xь є Rn; yь є Rm.

40 Д.Н. Василенко, Е.В. Головачев и др.. Использование грамиана...

Тогда возмущения

8x = (x — xь) Є Rn

и

8y = (У — Уь) Є R

могут быть определены из соотношений:

d(8x)

-= A8x,

где

A

dfk

d x i

Є Rn

dt

8y = C 8x C

d h p d x i

Є Rn

k = 1, ..., n, l = 1, ..., n, p = 1, ..., m.

Соотношение для распространения возмущения 8xо = 8x (0) при | 8x (0)| ^ 0

имеет вид:

8x(t) = exp(At) 8x(0),

8y = C[exp(At) 8x(0)].

По фундаментальной матрице F (t) = exp(At) построим грамиан наблюдае-

мости:

G0(t)= F(t)t F(t) C(t)t C(t)F(t)dr.

t

о

то есть матрицу с неотрицательными собственными значениями размерности (n x n), которая может служить количественной оценкой процесса наблюдения возмущения вектора состояния 8x (t) по информации вектора измерения 8y (t). Если det(G0) = 0, то по информации вектора измерения 8y (t) невозможно определить весь вектор возмущения вектора состояния 8x (t); в этом случае необходимо выбрать подпространство вектора 8x (t) и редуцированный вектор 8xr (t) Є Rr, r < n, такой, что грамиан, построенный в редуцированном подпространстве будет неособой матрицей.

Рассмотрим случай покомпонентного оценивания вектора состояния:

Ур hp(x); yp Є R; hp Є R,

Ур = hbp(Xb); yp Є R; hbp Є R;

8Ур = Cp x 8x; 8yp Є R;

C p

dhp

d x i

Є R

lxn.

5

p =1, ..., m.

Далее построим грамианы

t

Gp : GGp(t) = J F(r)TF(t)Cp(t)tCp(r)F(r)dr

о

Математические структуры и моделирование. 2006. Вып. 16.

41

на максимальных подпространствах вектора 8x (t), удовлетворяющих условию det(Gp) = 0. Тогда для каждого такого р, что det(Gp) = 0, существует набор индексов Sp компонент редуцированного вектора 8xr (t), наблюдаемого по информации только канала yp измерителя; например, если

S3 = (8жі,8жз,8жб)Т ,

то по информации канала у3 измерителя могут быть оценены компоненты 8x1, 8x3, 8x5 вектора состояния.

Для количественной оценки уровня наблюдаемости компонент вектора состояния по информации р-го канала измерителя могут быть определены спектры собственных значений o-грамиана Gp, а для симметричной оценки уровня наблюдаемости можно определить симметрические функции от собственных значений грамианов Gp после получения характеристического полинома:

det(t1 - Gp) = tnj - ai(Gp)tnj-1 + ... + (-1)пощ(Gp).

Следует отметить факт монотонного возрастания собственных значений Л грамиана Gp при изменении времени t. Построим симметрические функции ар

04 = Л1 + Л2 + ... + gЛn,

а2 = Л1Л2 + Л2Л3 + ... + Лп— 1 Лп,

а3 = Л1Л2 ... gЛп

и усредненные оценки:

‘Л1 = а1п ,

‘Л2 = (022n—1(n

1)—1)1/2,

‘Лі = (02(n!) 1(n - i)!i!)lA,

‘Лп = (ап)1/п.

Предположим, что первые j (n > j) усредненных собственных чисел грами-ана Gp больше нуля, а остальные равны нулю:

‘Лк = 0, если j > k > 0,

‘Лк = 0, если n > k > n — j + 1.

Тогда по информации р-го канала измерителя можно оценить j компонент вектора состояния системы.

Для диагностики отказов необходимо определить, на сколько усредненные собственные числа грамиана Gp превышают значение нуля.

42 Д.Н. Василенко, Е.В. Головачев и др.. Использование грамиана...

Пример 1. Пусть имеется линейная система, представленная в нормальной форме:

Тогда

dx і

~dt = Ul ’ dx2

~dt = Xl ’ dx з

~dt = X2 ’ dx4

~dt = x3 ’

Уі = xi,

У2 = x2 j y3 x3,

У4 = x4.

Si* (xi, x2, x3, x4) j

S2* = (x2,x3,x4),

S3* = (x3j x4)j S4* (x4)•

Непустые пересечения множеств Sj*:

S4* n S3* — S4* n S2* — S4* n Si*

(x4) ,

S3* П S2* — S3* П Si* — (x3,x4),

S2* П S1* (x4, x3, x2) j

S4* П S3* П S2* = S4* П S3* П Si* = S4* П S2* П Si*

S3* П S2* n Si* = (x4,x3)j

Si* n S2* n S3* n S4* = (x4).

(x4) ,

Таким образом, компонент вектора состояния x4 может быть оценен по выходной информации y4, y3, y2, yi; x3 — по информации y3, y2, yi; x2 — по ин-

формации y2, yi; xi — по информации yi.

Пример 2. Пусть имеется линейная форме:

dxi

dt

dx2

dt

dx3

dt

dx4

dt

У4 =

система, представленная в нормальной

x2 + Ui, x3 + U2, x4 + М3, x3 + М4,

x4.

Математические структуры и моделирование. 2006. Вып. 16.

43

Тогда

S*i = (xi),

S*2 = (Xi ,x2),

S*3 = (x1) x2 j x3),

S* 4 = (xi,x2 ,x3,x4).

Непустые пересечения множеств S*j:

Si* n S2* Si* n S3* Si* n S4* (xi),

S2* П S3* = S2* П S4* = (xi,x2),

S3* n S4* = (xi,x2,x3),

Si* n S2* n S3* = Si* n S2* n S4* = Si* n S3* n S4* = (xi),

S2* n S3* n S4* = (xi,x2),

Si* n S2* n S3* n S4* = (xi).

Таким образом, компонент вектора состояния xi управляем по входным сигналам ui, u2, u3, u4; x2 — по u2, u3, u4; x3 — по u3, u4; x4 — по u4.

Пример 3. Линейный гармонический осциллятор.

dxi

dt dx2

dt

W^2,

^2xi,

W — (— WiW2)^, WiW2 < 0,

yi = X1,

У2 = x2.

xi (0) = xio, x2 (0) = x20,

xi(t) = xi0 cos(wt) + wiw-ix20 sin(wt), x2(t) = x20 cos(wt) + w2w-ixi0 sin(wt).

F (t)

cos(wt) W2W i sin(wt)

W2W-i sin(wt) cos(wt)

Ci(t) = [ 1 0], C2(t) = [ 0 1 ] .

t

J FT(t)CT(t)Ci(t)F(t)dT =

0

0, 5t + 0, 25w-i sin(2wt) 0, 5w1w-2 sin2(wt)

0, 5w1w-2 sin2(wt) —0, 5t + 0, 25w-i sin(2wt)

44

Заключение

Предложенный в работе метод формирования матрицы пересечений множеств компонент наблюдаемого вектора состояния системы управления может использован для диагностики отказов в системе управления. Методы построения грамианов наблюдения для каждого компонента измерителя в непрерывных системах управления динамическим объектом могут быть распространены на дискретные системы управления динамическим объектом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Battilotti S. Noninteracting control with stability for nonlinear systems. Springer-Verlag, 1994. 180 p.

2. Nonlinear decoupling via feedback: a differential geometric approach / Isidori A., A.Krener, G.Giorgi, S.Monaco // IEEE Transactions on Automatic control. 1981. N.26. P.331-345.

3. Luenberger D.G. Introduction to observers // IEEE Transactions on Automatic control. 1971. N.16. P.596-602.

4. Tsinias J. Observer design for in nonlinear systems // Systems & Control Letters. 1989. N.13. P.135-142.