CC BY
17О матрице пересечений множеств компонент наблюдаемого вектора состояния системы управления
Василенко Д.Н, Головачев Е.В (negue@avte.omsk.info) Омский филиал института математики СО РАН
Введение.
В работе рассматривается возможность многократного оценивания элементов вектора состояния сложной системы управления, на основе построения пересечений множеств оценок вектора состояния. Если элемент вектора оказывается в пересечении двух множеств, это означает, что на основании анализа значений соответствующих элементов можно диагностировать состояние отказа одного из датчиков выходной информации, посредством которых были получены значения элементов вектора выходной информации. Если же элемент находится в пересечении более чем двух множеств, это означает, что на основании тех же значений можно диагностировать отказавший датчик по мажоритарной логике (2 из 3, 2 из 4 и т. д. в зависимости от количества множеств, пересечение которых оказалось непустым).
Декомпозиция системы с множеством входов и выходов.
Для гладкой нелинейной системы с множеством входов и выходов (MIMO - Multi Input Multi Output) [Battilotti, Isidori]:
dx m
-r = f(x) + Z S} (x)uj; У = К(x); y = h( x); dt 1=i
(1)
где x e Rn; f (x) e Rn; g} (x) e Rn; Vj = 1,..., m; yt e R; К (x) e R; Vi = 1,..., p; y e Rp; h(x) e Rp сформируем матрицу декомпозиции:
rk, -1 ¡
decom
Lgi Lf -1 h,( x)
Lgi Lf (x)
Lg, Lfp -1hP (x)
LgLf -lhx( x)
j ( x)
LJl-1 hP (x)
LgmLf ">( x)
LgL-1h (x)
LgmLkfP -1 hp (x)
(2)
где вектор относительных степеней k = {k1,...,kp}определяется из выполнения соотношений:
L . Lxfhi (x) = 0; 0 < а < f - 2; L Lf-1 ht (x) * 0.
Для линейной системы:
dx m
dt=Fx+Z b/u/; y> = cx; y =Cx;
dt j=1
(3)
где
x e Rn; F e Rnxn; bi e Rnx1; Vj = 1,..., m; y e R; y e Rp; ct e R1xn; Vi = 1,..., p; C e Rnxp; матрица
декомпозиции будет иметь форму:
Лесот
с1 ¥к-1Ъ
сг¥к/
ср¥кр -Ъ\
С1 ¥к
ср¥кр-1Ъ;
с1 ¥к -1Ъ
сг¥к/ -1Ъ
с ¥кр-1Ъ
р т
(4)
где вектор относительных степеней к = {к1,...,кр} определяется из выполнения соотношений: dim(span{ci,сг¥,сг¥2,...,сг¥"}) = ki;V/ = 1,...,р. Очевидно, что матрица декомпозиции является обобщением матриц наблюдаемости и управляемости Р. Калмана на линейный и на нелинейный случай. Элемент матрицы декомпозиции А-есот (/, -) = сг¥к/~1Ъг указывает на то, что по выходу уг = сгх можно оценить к{ компонент вектора состояния х и существует максимальная подматрица ¥г матрицы ¥, ранг которой определяет подсистему размерности кг пара которой (¥г, сг) является
наблюдаемой (в смысле Р. Калмана).
Для оценивания вектора состояния линейной системы (3) можно построить наблюдатель ^ие^е^е^:
-? = ¥? + Ви + Ь(С?-у);?е Я";Ь е Я" Л
(5)
Если пара (С, ¥) наблюдаемая, то матрица Ь может быть выбрана таким образом, что
х
^ г^ш ^ 0 .
Для оценивания вектора состояния нелинейной системы (1) наблюдатель может быть построен в форме [Tsinias]:
т
-- = /(?) + Е 8 + Ь(к(?) - у); ? е Я"; Л
(6)
где Ь( ) е Яр в данном случае является гладкой нелинейной функцией.
Наряду с матрицей декомпозиции А-есот сформируем матрицу множеств компонент вектора состояния Аз
А., =
5,
р1
X,.
31.
Р!
5
рт
(7)
в которой любой элемент Х-; /=1, ... , р; !=1, ... , т; представляет собой подмножество компонент вектора состояния со свойством управляемости по входу и. и свойством наблюдаемости по выходу Уг. Тогда
=. (8) подмножество компонент вектора состояния, управляемых по входуа
5/* =и т=1(9) подмножество компонент вектора состояния, наблюдаемых по выходу /.
Один и тот же элемент может быть наблюдаем по нескольким соотношениям уг = сгх, т.е.
находиться в нескольких множествах Б. Отсюда следует, что пересечения таких множеств (содержащих одинаковые компоненты вектора х) могут быть непустыми. В общем случае для системы с т соотношениями уг = сгх может быть максимальное количество пересечений
т
т
г — I с; (10)
1=2
Пример 1.
Пусть имеется линейная система, представленная в нормальной форме:
йх,
~л =
=
йг
йх
з = X •
л-2,
йг
йх4
~йГ = Хз;
У1 = Х1; У2 = Х2; Уз = хз; у4 = Х4; Тогда 51*=(хь Х2, Хз, Х4); S2*=(X2, Хз, Х4); ^з*=(хз, Х4); ^4*=(Х4); Непустые пересечения множеств 81*:
S4*nSз*=S4*nS2*=S4*nSl*=(X4)■; 8з*П^2*=8з*П81*=(Хз, Х4); 82*П^1*=(Х4, Хз, Х2); 54 *П Sз *ПS2*=S4*П Sз*ПSl*=S4 *П S2*ПSl*= (Х4); Sз*ПS2*ПSl*=(x4, Хз); Sl*ПS2*ПSз*ПS4 *=(Х4).
Таким образом компонент вектора состояния х4 может быть оценен по выходной информации у4, уз, у2, у,; хз - по информации уз, у2, у,; х2 - по информации у2, у,; х, - по информации у,.
Пример 2.
Пусть имеется линейная система, представленная в нормальной форме:
йх, = ;
^^^^ — Х + ;
ййХг
- Хз + и 2;
йг
йХ
йг
йХ
= Х4 + из ;
= хз + и4 ;
йг
у 4 = Х4;
Тогда S*l=(Xl); S*2=(xь Х2); S*з=(xl, Х2, Хз); S*4=(xl, Х2, Хз, Х4); Непустые пересечения множеств S*j:
Sl*ПS2*=Sl*ПSз*=Sl*ПS4*=(xl); S2*ПSз*=S2*ПS4*=(xl, Х2); Sз*ПS4*=(xl, Х2, хз);
Sl *ПS2*ПSз*=Sl *ПS2*ПS4*=Sl *ПSз*ПS4*= (Х1); S2*ПSз*ПS4*=(Xl, Х2);
Sl *ПS2*ПSз*ПS4*=(xl).
Таким образом компонент вектора состояния х, управляем по входным сигналам и,, и2, из, и4; х2 - по и2, из, и4; хз - по из, и4; х4 - по и4.
Заключение.
Предложенный в работе метод формирования матрицы пересечений множеств компонент наблюдаемого вектора состояния системы управления может быть использован для диагностики отказов в системе управления.
Литература
1. Battilotti S. Noninteracting control with stability for nonlinear systems. Springer-Verlag, 1994, 180 p.
2. Isidori A., Krener A., Giorgi C., Monaco S. Nonlinear decoupling via feedback: a differential geometric approach // IEEE Transactions on Automatic control, AC-26, 1981, pp. 331-345.
3. Luenberger D. G. Introduction to observers // IEEE Transactions on Automatic control, AC-16, 1971, pp. 596-602.
4. Tsinias J. Observer design for in nonlinear systems // Systems&Control Letters, vol.13, 1989, pp. 135142.
5. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С., III. Оптимальное управление системами. М: "Радио и связь". 1982. 392 с.
