CC BY
152
Механика
26. Овчинников М.Ю., Ткачев С.С. Определение параметров относительного движения двух спутников с помощью траекторных измерений // Космические исследования. 2008. Т. 46. № 6. С. 553-558.
27. Экспериментальное исследование режимов неуправляемого вращательного движения КА ПРОГРЕСС / НА. Брюханов и др. // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 1. С. 52-61.
28. Родников А.В. О положениях равновесия груза на тросе, закрепленном на гантелевидной космической станции, движущейся по круговой геоцентрической орбите // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 1. С. 62-72.
29. Садов С.Ю. Об устойчивости резонансного вращения спутника относительно центра масс в плоскости орбиты // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 2. С. 170-181.
30. Мытарев А.И., Рабинович Б.И. Об устойчивости вращающегося космического аппарата, частично заполненного жидкостью. Случай одной полости // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 3. С. 239-248.
31. Мытарев А.И., Рабинович Б.И. Об устойчивости вращающегося космического аппарата, частично заполненного жидкостью. Случай нескольких полостей // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 5. С. 452-458.
32. Брюно А.Д. Периодические решения системы Гамильтона // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 3. С. 258-271.
33. Погорелов В.А. Комплексное решение задачи оценивания и идентификации вектора состояния бесплатформенной навигационной системы спускаемого космического аппарата // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 3. С. 281288.
34. Левский М.В. Управление пространственным разворотом космического аппарата с минимальным значением функционала пути // Космические исследования. 2007. Т. 45. № 3. С. 250-263.
35. Бозюков А.Ю., Сазонов В.В. Исследование эволюции режима закрутки спутника в плоскости орбиты // Космические исследования. 2007. Т. 45. № 2. С. 150-164.
УДК 62-501.12
Огородников Юрий Иннокентьевич,
к. т. н.,
Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. 8-983-4011463, e-mail: ogor23@yandex.ru
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ
Yu. I. Ogorodnikov
STATE OBSERVERS SYNTHESIS FOR LINEAR MODELS OF FLEXIBLE STRUCTURES
Аннотация. Задача наблюдения является фундаментальной задачей теории автоматического управления. Эта задача заключается в получении текущей информации о векторе состояния динамических систем по измеряемым переменным и решается на основе теории асимптотических наблюдателей состояния. В статье рассматриваются методы синтеза наблюдателей состояния первого и второго порядка для линейных моделей упругих конструкций. В анализируемых работах представлены численные результаты, которые показывают, что модели наблюдателей второго порядка имеют преимущества вычислений в сравнении с моделями наблюдателей первого порядка. Значительная вычислительная эффективность достигается за счёт симметрии и разреженности матриц масс, демпфирования и жёсткости в исходных структурах, представленных линейными моделями второго порядка. Хорошие методы синтеза наблюдателей состояния второго порядка являются перспективной областью исследований.
Ключевые слова: линейные модели второго порядка упругих конструкций, наблюдатели состояния первого порядка, наблюдатели состояния второго порядка, синтез наблюдателей состояния.
Abstract. Observation problem is a fundamental problem of the automatic control theory. Its main objective is to obtain current information on the state vector of dynamic systems using the measured variables, and it is solved on the basis of the theory of asymptotic state observers. Consideration is given to the methods of synthesis for state observers of the first and second order for linear models of flexible structures. The papers analyzed present numerical results that demonstrate advantages of computing the state observers models of the second order over the state observers models of the first order. Significant computational efficiency is achieved due to mass matrix symmetry and sparsity, as well as damping matrix and stiffness matrix in the initial structures presented by the second order linear models. Appropriate methods for the synthesis of second order state observers are a promising area for research.
Keywords: second order linear models of flexible structures, first order state observers, second order state observers, state observers synthesis.
Введение
Рассматриваются упругие крупногабаритные конструкции (КГК), представляющие собой
механические системы, состоящие из соединённых между собой жёстких и упругих частей, влияние колебаний которых негативно сказывается на
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
точности, качестве и длительности процессов ориентации и стабилизации углового положения КГК. Кроме того, активные системы ориентации и стабилизации, в свою очередь, приводят к дополнительному возбуждению упругих колебаний. Поэтому важной и актуальной задачей является построение систем управления угловым движением КГК с активной компенсацией колебаний упругих частей конструкции.
Одним из возможных путей уменьшения влияния упругих колебаний на динамику углового движения КГК является синтез алгоритмов управления, использующих информацию о координатах упругих колебаний. Подобные алгоритмы должны обеспечивать одновременно стабилизацию не только жёстких, но и упругих элементов.
Поскольку достоверная информация об упругих колебаниях априори отсутствует, необходимо принятие специальных мер, позволяющих только по показаниям измерителей углового положения КГК оценить координаты, определяющие упругие деформации нежёстких элементов конструкции.
Постановка задачи
Обзор посвящён рассмотрению методов синтеза наблюдателей состояния для математических моделей динамики углового движения КГК в процессе угловой ориентации и стабилизации в виде матричной стационарной системы второго порядка в детерминированной и стохастической постановке.
В детерминированной постановке рассматривается модель вида
Mq + Dq + Kq = Hu,
y = Cq + C2 q,
где q e Rn, u e Rp и y e Rm есть, соответственно, векторы состояния, управления и выхода. Матрицы M, D, K обычно называются матрицами массы, демпфирования и жёсткости соответственно. M, D, K, H, C, C2 есть матрицы с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей. Матрицы коэффициентов Cx и C2 удовлетворяют следующему допущению: ранг [ Q C2 ] = m.
В стохастической постановке рассматривается модель вида
Mq + Dq + Kq = Hu + ш,
(2)
y = Cxq + C2q + -S, где ш - вектор шумов КГК, возбуждающих состояние; О - вектор шумов измерителей.
Ставится задача наблюдения неизмеряемых компонент вектора состояния систем (1), (2) по измерениям у с помощью динамического наблюдателя состояния.
Наблюдатели состояния первого порядка Наблюдатели состояния представляют собой мощный инструмент, позволяющий максимизировать количество информации, получаемой из измеряемых сигналов в механических системах.
Идея построения асимптотических наблюдателей состоит во введении в контур обратной связи динамической подсистемы (наблюдателя), выходная переменная которой со временем приближается к состоянию, которое необходимо восстановить. Задача наблюдения состоит в «подгонке» вектора состояния наблюдателя к текущим значениям вектора состояния объекта управления с использованием доступных для измерения выходных переменных объекта управления.
Наибольшая часть теоретических разработок, касающихся наблюдателей [1-7], использует форму пространства состояний первого порядка х = Ах + Бы,
г (3)
У = Сх,
x =
fq) lq У
A =
X = Ax + Bu + Ош, y = Cx + S,
0 E ^
- M-lK - M -1 D
(4)
B =
0
M lH
О =
J
0
M -
\
, C = (q, C2),
n2n rt p
где x e R - вектор состояния; u e R - вектор управления; y e Rm - вектор выходных (измеряемых) переменных; A, B, C - матрицы с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей. Без потери общности будем полагать, что rank C = m.
Для формирования обратной связи в системах автоматического управления требуется информация о векторе состояния объекта управления. В случае, когда все переменные состояния доступны для измерения, для управляемой системы можно выбрать обратную связь, обеспечивающую желаемые динамические свойства замкнутой системы. На практике обычно измеряемыми (выходными) переменными объекта являются лишь отдельные компоненты вектора состояния или линейные комбинации этих компонент вследствие того, что число измерительных устройств ограничено, или потому, что часть переменных состоя-
Механика
ния в принципе нельзя измерить, как в случае упругих космических конструкций. С одной стороны установка дополнительных датчиков приводит к увеличению стоимости системы, а с другой измерительные устройства вносят в систему управления лишнюю динамику, что усложняет синтез системы управления. Таким образом, возникает необходимость в решении задачи наблюдения, а именно задачи получения текущей информации о векторе состояния динамических систем по измеряемым переменным.
Задача наблюдения, являющаяся фундаментальной задачей теории автоматического управления, решается на основе теории асимптотических наблюдателей состояния. Во многих случаях только после решения задачи наблюдения можно приступать к решению задачи управления, а именно к синтезу обратной связи. Классическая теория асимптотических наблюдателей состояния, начиная с 60-х годов прошлого столетия, связанная с именами Р. Калмана [4, 8], Д. Люенбергера [5, 6, 9], У. Уонема [10], А. Исидори [11], хорошо развита в основном применительно к линейным или квазилинейным моделям объектов управления.
Рассмотрим задачу восстановления текущих значений компонент вектора состояния системы по измеряемым переменным применительно к линейным многосвязным стационарным системам вида (3).
Обратим внимание на дуальность задач управления и наблюдения: если пара {C, A}-наблюдаемая, то пара {Лг, Ст} - управляемая и, наоборот, если пара {Л, В} - управляемая, то пара {Вт, Ат} - наблюдаемая. Свойство дуальности управления и наблюдения можно нестрого сформулировать следующим образом: мы считаем систему управляемой, если с помощью подходящего выбора входных воздействий ее можно перевести в любое состояние, и наблюдаемой, если можно определить ее состояние, подходящим образом обрабатывая ее входы и выходы.
Учитывая свойство дуальности, можно непосредственно использовать только понятие управляемости для построения динамических устройств наблюдения и наоборот. Во многом выбор подходов к синтезу обратной связи или наблюдателей дело вкуса и предпочтений разработчика. Существенным здесь является тот факт, что задача стабилизации в полной мере решается по всем компонентам вектора состояний с помощью управлений меньшей размерности р, а задача наблюдения - с полным управлением размерности
2n, но с использованием только выходных переменных размерности m.
Прежде чем переходить к конкретным способам оценивания, обсудим принципиальную возможность восстановления текущих значений не-измеряемых компонент вектора состояния по выходу.
Определение 1.1 (на физическом уровне). Система (3) называется ненаблюдаемой, если разным траекториям могут отвечать одинаковые выходы, т. е. найдутся такие начальные условия x0 Ф x(', что для соответствующих траекторий x, x' и выходов у, у' справедливо y = y'. В противном случае система называется наблюдаемой.
Условия наблюдаемости линейных моделей второго порядка были установлены Laub и Arnold в [12], Hughes и Skelton в [13], Bender и Laub в [14].
Ранговые условия наблюдаемости для линейных стационарных систем вида (3), полученные Р. Калманом [8], сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 1.1. Система (3) наблюдаема или
пара {С, A} наблюдаема тогда и только тогда, когда выполняется условие:
Г С
H =
л
CA
к CA 2n-x ,
rank H = 2 п. (5)
Таким образом, матрица наблюдаемости Н размерности [2тп х п] должна быть полного ранга. Выполнение данного условия, по сути, означает, что вектор состояния можно оценить по значениям производных выхода до (2п - 1)-го порядка. На практике для решения задачи оценивания используют другой подход, основанный на построении наблюдателя и не требующий непосредственного вычисления производных.
Идея построения асимптотических наблюдателей состоит в построении динамической модели объекта управления (3) и последующей «подгонке» начальных условий с помощью корректирующих воздействий наблюдателя [8]:
х = Ах + Ви + Ь{у - Сх), (6) где х е Я2п - вектор состояния наблюдателя;
Ь е Я2пхт - матрица коэффициентов перед корректирующими воздействиями, которые подлежат определению. Матрицу Ь называют матрицей коэффициентов усиления наблюдателя, а наблюдатель (6) - наблюдателем полного порядка, так как
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
U =
-M-1 K - L2CX -M-1 D - L2C2 j
где
L =
Г L л
v l2 j
, C = (Q, C2).
(8)
его состояние л имеет такую же размерность, как у состояния х системы (3).
Задача оценивания (наблюдения) вектора состояния сводится к задаче стабилизации системы уравнений, записанных с учетом (3), (6), относительно невязок 8 = х — X, ее Я2п
8 = (А — ЬС )е. (7)
Обычно невязки 8 = X—X называют ошибкой восстановления или ошибкой оценивания.
Следовательно, синтез наблюдателя состоит в определении такой матрицы коэффициентов усиления Ь, для которой дифференциальное уравнение ошибки восстановления (7) асимптотически устойчиво. В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления Ь, устойчивость уравнения (7) следует из расположения характеристических чисел матрицы (А-ЬС) или в обозначениях динамической системы (1.1) матрицы
воздействий. Это тривиальный случай (поскольку при Ь = 0 нет возможности влиять на темпы сходимости невязок, и время оценивания может оказаться неприемлемо большим), к которому, однако, прибегают при отсутствии измерений. Здесь уместно прокомментировать свойство детектиру-емости [10]. С помощью неособой замены переменных представим систему (3) при нулевом входном сигнале в канонической форме наблюдаемости [15]
хс^ — , хх^ — I -^^2X2, ~У\ — СС,
где пара матриц {С1, А11}- наблюдаемая, векто-
ры ^ £ Rm и x2 е R
41J
2n-m
описывают наблюдае-
Ошибка восстановления обладает тем свойством, что s(t) ^ 0 при t ^ ro тогда и только тогда, когда дифференциальное уравнение ошибки восстановления (7) асимптотически устойчиво. Чтобы обеспечить быструю сходимость ошибки восстановления к нулю, матрицу L необходимо выбирать так, чтобы характеристические числа матрицы (A-LC), обычно называемые полюсами наблюдателя, были значительно удалены в левой половине комплексной плоскости.
В предположении о наблюдаемости пары {C, A} выбором коэффициентов матрицы L можно обеспечить желаемое распределение корней характеристического многочлена (A-LC) и, следовательно, обеспечить асимптотическую сходимость невязки с заданными темпами lims(t) = 0 или
t^-ro
сходимость вектора состояния наблюдателя к вектору состояния объекта управления lim x(t) = x(t).
Отметим, что для устойчивых систем (Re X,(a)< 0, i =1,2n) асимптотическая сходимость невязок s = As, lims(t) = 0 обеспечивает-
t^-ro
ся наблюдателем 5 = Ax без корректирующих
мую и ненаблюдаемую подсистемы соответственно. В случае если собственные числа матрицы А22 имеют отрицательные действительные части, система называется детектируемой. При этом темпы сходимости оценок компонент наблюдаемого подпространства могут назначаться произвольно, в то время как поведение компонент ненаблюдаемого подпространства определяется матрицей их собственных движений.
Процедура синтеза обратной связи при неполной информации о состоянии системы выглядит следующим образом.
Предполагается, что в системе (3) пара
{А, В} - управляема. Наблюдаются выходные
сигналы у = Сх , пара {С, А} - наблюдаема. Для синтеза замкнутой системы с желаемым расположением корней характеристического уравнения требуется выполнить следующие действия:
1) синтезировать управление в предположении, что все компоненты вектора состояния известны, например, в виде линейной обратной связи и = Гх, Г е яр*2" исходя из требований к поведению замкнутой системы X = (А + В¥ )х;
2) построить наблюдатель (6) с заданными темпами сходимости уравнений относительно невязок (7);
3) сформировать управление и в виде и = Гх = Г (х — е).
После замыкания обратной связи поведение объекта управления описывается уравнениями
X = (А + ВГ)х — ВГе . Невязки 8 сходятся к нулю независимо от вектора х и, следовательно, переходные процессы в замкнутой системе отличаются от поведения системы, синтезированной с использованием полной информации о векторе х, с точностью до затухающих невязок. Понятно, что чем быстрее сходятся невязки, тем это отличие меньше. Приведённые соображения позволяют рас-
Механика
сматривать независимо задачи синтеза обратной связи и наблюдателя.
В детерминированной постановке требования к темпам сходимости наблюдателя состояния могут оказаться несущественными, если учесть, что после отработки рассогласования наблюдатель в последующем даёт удовлетворительные оценки вектора состояний объекта управления. Чтобы повысить быстродействие необходимо увеличивать коэффициенты корректирующих воздействий наблюдателя. Корректирующие воздействия наблюдателя можно выбрать оптимальным образом при наличии шумов в каналах измерения [1, 15, 16]. При этом темпы сходимости могут оказаться неудовлетворительными. В конкретных задачах приходится искать компромисс между фильтрующими свойствами наблюдателя (фильтра) и возможностью получить оценки с удовлетворительными темпами сходимости. Другой проблемой синтеза наблюдателя состояний КГК является его высокая размерность и связанные с этим проблемы его настройки.
Наблюдатель Люенбергера
Можно построить наблюдатели с размерностью, меньшей размерности наблюдаемой системы. Такие наблюдатели называют наблюдателями пониженного порядка. Возможность понижения порядка наблюдателя состояния связана с тем фактом, что вектор выходных переменных доступен для измерения и с точки зрения задачи наблюдения не требуется повторно получать его оценки.
Действительно, представим вектор выходных переменных (предположив без ограничения общности, что rank С = m) в виде
y = Сх xx + C2 x2, (9)
mx(2n-m)
C2 g Rm
где хг е Я2п—т, х2 е Ят, С е Я и det С2 # 0. Непосредственно из выражения (9) следует, что нет необходимости в определении всего вектора состояния х, так как достаточно
определить лишь вектор х1, а вектор х2 вычис-
лить из соотношения
x2 = С-1 (У - Ci xi )
определим позднее. Тогда вторая подсистема системы (11) примет вид
х* = (Ап + ЦА21 )х* + Ру + (В + ¿Вг К
где Р = —(АП + ЬА21 )А + ^А22 + Аи. Построим наблюдатель состояния в виде
х* = (Ап + ЦА21 )х* + Ру + (В + ¿В К (12)
X2U
(10)
Для определения (2п - т) компонент вектора х можно воспользоваться асимптотическим наблюдателем Люенбергера [5, 6, 9, 17]. Приведем принцип построения такого наблюдателя.
Представим [5] систему (3) в виде двух подсистем
у = А21х + А22у+В2ы, х! = Ах + Апу+Вхп (11)
и введем замену переменных
^ 1 Г ,, Т)2п-т т г>(2п—т)хт
х* = х1 + ¿у, х* е Я , где матрицу Ц е Яу '
„ ^ п2п-т ~
где вектор х1 е Я является оценкой вектора
*
х*. Уравнение относительно невязок
* * * * у-. 2 п— т
^ = х — хх, ^ е Я имеет вид
б* =(АП + ¿А )Б*. (13)
Теперь уже в системе пониженного порядка (13) размерности (2п - т) можно задать произвольные темпы сходимости за счет соответствующего выбора коэффициентов матрицы Ц. Отметим, что из наблюдаемости исходной системы (пара матриц {С, А} - наблюдаемая) следует наблюдаемость пары матриц {А21, Ап} в системе (11). Этот очевидный результат легко доказывается от противного - в случае ненаблюдаемости пары {А21, Ап } во второй подсистеме (11) можно выделить ненаблюдаемое подпространство, что противоречит условию наблюдаемости относительно исходной системы.
Отметим, что при наличии в каналах измерений шумов наблюдатель Люенбергера (в отличие от наблюдателя полного порядка (6)) не позволяет отфильтровать часть компонент вектора
состояний, поскольку компоненты х связаны с выходом системы алгебраическим преобразованием (10).
Как указано выше, для быстрой сходимости ошибки восстановления к нулю полюса наблюдателя должны быть значительно удалены в левой половине комплексной плоскости. Однако это обычно достигается лишь путем выбора большой матрицы коэффициентов усиления Ь, что в свою очередь делает наблюдатель весьма чувствительным к любому шуму в наблюдениях, который, возможно, присутствует помимо наблюдаемой переменной у{(). Здесь необходимо обеспечить компромисс с учётом всех стохастических аспектов, который достигается применением оптимального наблюдателя, известного как фильтр Калмана - Бьюси.
Фильтр Калмана - Бьюси В предположении, что известны ковариационные матрицы (матрицы интенсивностей) шумов
объекта V и шумов измерителей У2 (V и У2 постоянны), задача синтеза матрицы коэффициентов
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
усиления наблюдателя Ь сводится к частному случаю непрерывного фильтра Калмана - Бьюси. Приведём необходимые сведения [15, 18]. Определение 1.2. Рассмотрим систему (4) при t > ¿0 . Рассмотрим наблюдатель (6) в предположении, что начальное состояние х^0) некорре-лировано с Ш^) и
,Е{4)} = х0, 44)—хМ)—х]т}= до, (14) где Е - знак математического ожидания. Тогда задача определения матричной функции Ь и начального условия с минимизацией выражения
Е{ет ^)Ж^)8(t)} где е^) = х(t) — х^), Ж^) -положительно определенная симметрическая весовая матрица, называется задачей оптимального наблюдения.
Особый интерес представляет случай
V > 0, t > ^ . (15)
Это предположение по существу означает, что все компоненты наблюдаемой переменной возмущаются белым шумом и невозможно извлечь
из y(t) информацию, которая не содержала бы белого шума. Если это условие удовлетворяется, то задача восстановления состояния системы (4) называется несингулярной (невырожденной). Линейный непрерывный фильтр Калмана - Бьюси (ФКБ) для стационарных процессов Предположим, что задача восстановления состояния системы (4) является несингулярной и что шум, возбуждающий состояние, и шум измерителей не коррелированы. Если матрицы коэффициентов модели объекта А и В и ковариационные матрицы шумов управляемого объекта и шумов измерителей V и V постоянны (не зависят от времени), то уравнения ФКБ [15, 18] записываются в виде
х^) = Ах ^) + Ви ^) + Ь^ )[у^) — Сх ^)],
) = $$ (16) где Q(t) - решение матричного уравнения Риккати
6(0 = Aб(t) + e(t)AT — 6(0^2^(0 + VI, (17)
с начальным условием ) = 60.
Если начальное условие для наблюдателя выбрано в виде х(^0) = х0, то выражение
е{Х0 — х(0Гж(0 [х(t) — )] } (18)
минимизируется при всех t > ^. Матрица дисперсий ошибок восстановления определяется выражением
Е{х(0— X(t)][х(t)— х(0] т}= (19)
а среднее значение квадрата ошибки восстановления равно
Efx(t)-x(t ffw (t )[x(t)-x(t)]}
t )[x(t)-x(t )}=
= tr[Q(t W (t )] (20)
где tr - знак следа матрицы.
Оптимальный наблюдатель (16), (17) известен как линейный непрерывный фильтр Калмана - Бьюси для стационарных процессов. Уравнение Риккати (17) является детерминированным и полностью независимым по отношению к основному алгоритмическому модулю (16).
Если условие полной наблюдаемости выполнено, то уравнение Риккати (16) имеет единственное устойчивое установившееся решение, к которому стремятся все другие решения, соответствующие произвольным неотрицательным начальным условиям. Процесс оценивания при этом устойчив в среднеквадратическом.
Линейный стационарный фильтр
Для многомерных многосвязных стационарных линейных процессов наиболее трудоёмким является решение матричного уравнения Риккати. Поэтому естественно стремление осуществить решение этого уравнения на стадии проектирования и ввести в основной алгоритмический модуль (16) заранее определенную матрицу Q. Наиболее просто реализовать фильтр с постоянной матрицей Q = Qcm, получаемой, в частности, как установившееся решение уравнения (17) - решение алгебраического уравнения Лурье
AQt + QTAt + Vi = CTV2LlCQcm . (21)
В этом случае фильтр принимает вид
x = Ax + Bu + L(y - Cx), (22)
где L = QmCTV- и Qcm определено на стадии
проектирования системы оценивания.
Этот стационарный фильтр является уже субоптимальным, он заведомо не оптимален в начальном переходном режиме.
Hashemipour и Laub [1] использовали фильтр Калмана - Бьюси для моделей второго порядка. Поскольку фильтр Калмана - Бьюси был успешно разработан только в форме первого порядка, оптимальный способ оценки состояний системы второго порядка в [1] осуществляется с помощью модели наблюдателя первого порядка.
Особый интерес в плане синтеза наблюдателей первого порядка представляет монография [19], в которой излагаются оригинальные методы каскадного синтеза наблюдателей состояния, разработанные авторами применительно к много-
Механика
мерным линейным и нелинейным динамическим системам, в том числе при наличии внешних неконтролируемых возмущений.
Каскадным авторы называют подход, который включает в себя приведение математической модели исходной системы к блочной форме наблюдаемости (БФН); построение соответствующего блочного наблюдателя состояния; использование методов систем с разделяемыми движениями (большими коэффициентами [20, 21] или разрывными управлениями [22, 23]) при синтезе корректирующих воздействий наблюдателя, позволяющих декомпозировать процедуру синтеза наблюдателей на независимые, последовательно решаемые задачи синтеза меньшей размерности.
По сравнению с классическими принципами построения асимптотических наблюдателей состояния первого порядка, изложенными выше, каскадный подход является новым с методологической точки зрения и состоит из двух этапов. На первом этапе (этап конструктивного анализа) исходная модель преобразуется к БФН, а именно, расщепляется на блоки, размерности которых соответствуют индексам наблюдаемости системы, что позволяет в явном виде выделить наблюдаемое подпространство и блочную структуру декомпозиции задачи синтеза. На втором этапе (этап каскадного синтеза) на основе полученной БФН строится блочный наблюдатель, в каждом блоке которого последовательно решаются элементарные подзадачи синтеза.
Наблюдатели состояния второго порядка
В последнее время в научных публикациях уделяется большое внимание наблюдателям состояния второго порядка [16, 24-39]. Поскольку исходная структура моделей объекта управления представлена уравнениями второго порядка, кажется естественным избрать модель наблюдателя второго порядка для оценки состояний.
В [26] Wu и Duan для динамической системы (1.1) предлагают следующий наблюдатель второго порядка:
(M + 1гСг )£ + (D + lf2 + LC )q + (K + LQ)q =
= Bu + Ly + L2y,
где L, L g Rnxm есть матрицы коэффициентов
усиления наблюдателя, векторы q, q g Rn есть оценка состояния и соответствующая производная оценки состояния.
Park и Belvin в [24] представляют наблюдатель второго порядка для динамической системы (1) следующей структуры:
Mq + Dq + Kq = Bu + ML2 у, (24)
где М , О и К - матрицы той же размерности, что и матрицы масс, демпфирования и жёсткости в системе (1), а у - член коррекции состояния следующей формы:
(23)
У = У
-(C1q + С 2 q)
(25)
Особенность предложенной в [1] структуры наблюдателя второго порядка (24)-(25) заключается в том, что в матрице коэффициентов усиления наблюдателя L1 = 0. Это условие, по мнению авторов, обеспечивает отношение тождества при трансформации системы первого порядка в систему второго порядка, но при этом теряется некоторая свобода установления собственных значений и собственных векторов матрицы наблюдателя. Авторы признают, что подход к синтезу наблюдателя с условием L1 = 0 может привести к созданию устойчивого наблюдателя, а может и не привести и что нужны дополнительные исследования для определения характеристик робастности наблюдателей второго порядка в форме (24)-(25).
В [24] представлены результаты, показывающие, что аппроксимация наблюдателей первого порядка наблюдателями второго порядка может быть успешно осуществлена, если доступны замеры скорости, и что модели наблюдателей второго порядка имеют преимущества вычислений в сравнении с моделями первого порядка.
Wu и Duan в [26] конструируют наблюдатель второго порядка (23) для матричных линейных систем второго порядка (1), основываясь на назначении обобщенной собственной структуры, посредством объединенного параметрического подхода. Демонстрируется, что эта задача тесно связана с так называемым матричным уравнением Сильвестра (Sylvester) [39]. Представлены два объединенных параметрических метода. Оба метода дают простые параметрические выражения для матриц коэффициентов усиления наблюдателя. Первый полагается, в основном, на ряд сингулярных разложений и, таким образом, является простым и надежным в числовом смысле; второй использует правильную факторизацию системы и позволяет устанавливать полюса наблюдателя с помощью определенных процедур оптимизации. Для демонстрации эффекта предлагаемых подходов используется система «пружина - масса - демпфер», представляющая собой систему второго порядка с тремя степенями свободы.
Наблюдатели первого порядка могут дать оценку состояния, которая не соответствует искомому физическому состоянию. Это было ясно показано Balas [40]. Он пришел к заключению, что, если не наложить некоторые ограничения на мат-
рицу коэффициентов усиления обратной связи, оценки скорости, генерируемые наблюдателем первого порядка, не соответствуют производным оценок перемещений. Наблюдатели второго порядка, удовлетворяющие требованию соответствия оценок скорости, генерируемых наблюдателем, производным оценок перемещений, называются естественными наблюдателями. Они сохраняют структуру второго порядка, лежащую в основании системы, чьё состояние и оценивается.
Demetriou в [31] и Balas в [40] продолжили разработку «естественных наблюдателей второго порядка» для конечноразмерных систем второго порядка. Основная цель исследований заключается в том, чтобы показать, при каких условиях можно добиться произвольного расположения полюсов естественного наблюдателя второго порядка в случае, когда система наблюдаема и управляема (условия наблюдаемости и управляемости линейных моделей второго порядка были установлены Laub и Arnold в [12], Hughes и Skelton в [13], Bender и Laub в [14]). Это даёт возможность для произвольно быстрого снижения ошибки оценивания состояния при неизвестных начальных условиях. Задача конструирования наблюдателя второго порядка для конечноразмерных систем близко связана с задачей определения собственных значений в симметричном пучке квадратичных форм [41-43]. В этом типе задач исследователь заинтересован в выборе матриц таким образом, чтобы добиться определенного расположения собственных значений пучка, в то же время поддерживая определенную внутреннюю структуру, унаследованную от граничных условий и физических характеристик лежащей в основе системы.
Задача оценки состояний рассматривается в [1, 33]. Работа Joshi [33] предлагает наблюдатель, минимизирующий ковариационную матрицу ошибок оценивания состояния, в то же время с гарантированной сходимостью ошибки восстановления к нулю. Предлагаемый наблюдатель требует решения двух связанных алгебраических уравнений с матрицами размерности [n х n], где n - количество степеней свободы модели второго порядка.
В работе Hashemipour и Laub [1] рассматривается проблема наблюдателей состояния второго порядка в свете возможной вычислительной эффективности. Этой эффективности можно добиться, используя природу уравнений второго порядка, в частности, тот факт, что матрицы массы, демпфирования и жесткости, обычно выводимые с использованием конечно-элементного моделирования, симметрические и разреженные. Значительный вычислительный эффект даёт дискретизация
дифференциального уравнения движения второго порядка и использование разностных уравнений. В этом случае сохраняется структура задачи и вместо одного уравнения Риккати с матрицами размерности [2n x 2n] (как в фильтре Калмана), используемого для получения матрицы коэффициентов усиления наблюдателя, решается три уравнения Риккати c матрицами размерности [n х n], где n - количество степеней свободы модели второго порядка. В [1] утверждается, что данная модификация ведёт к значительному увеличению эффективности вычислений без снижения их точности.
В дополнение к фундаментальным исследованиям, описанным выше, последними релевантными работами в области оценки состояний структурных систем большого порядка являются работы [32, 44, 45]. Работа Carmichael, приведенная в [44], представляет одно из первых применений идеи об оценке состояний к проектированию сооружений. Она применяет фильтр Калмана для расчета напряжения и скорости деформации бетона, возникающих из-за неизмеряемых нарушений.
В [45] Waller и Schmidt рассматривают общую тему наблюдателей и обсуждают их приложения к структурной динамике, фокусируясь на воздействии размещения полюсов наблюдателя на точность расчетов и применении наблюдателей для оценки параметров. Кроме того, в [45] выдвигается мысль о применении наблюдателей пониженного порядка для использования на больших моделях.
В [32] Hernandez и Bernal разрабатывают наблюдатель для оценки состояний линейных систем в присутствии большой ошибки моделирования при проектировании зданий из стальных конструкций, подверженных сейсмическим подвижкам грунта.
Hernandez в [25] разработал алгоритм оценивания состояний моделей второго порядка при условиях, схожих с фильтром Калмана, когда учитываются шумы управляемого объекта и измерителей, и, следовательно, предлагаемый метод ближе к оптимальному оцениванию состояния систем второго порядка [1, 16, 33]. В [25] получен естественный наблюдатель, который является конечно-элементной моделью, в отличие от абстрактной модели пространства состояний. Этот подход имеет несколько преимуществ. Во-первых, он позволяет исследователю физически понять процесс оптимального оценивания в контексте структурной динамики, часто спрятанный за абстрактными формулами в пространстве состояний. Во-вторых, сохраняя алгебраическую структуру задачи, он делает возможным эффективное применение при
Механика
расчетах, особенно в свете имеющихся сегодня мощных конечно-элементных решателей. Предлагаемый алгоритм наглядно иллюстрируется на системе «пружина - масса - демпфер», представляющей собой систему второго порядка с десятью степенями свободы.
Выводы
Наблюдатели состояния дают возможность получить знания о деформациях и движениях конструкции, позволяя по показаниям измерителей углового положения КГК оценить координаты, определяющие упругие деформации нежёстких элементов конструкции.
Альтернативными подходами к получению знаний о деформациях и движениях упругих космических конструкций могут быть следующие.
1) Использование встроенных датчиков, таких как тензометрические датчики и акселерометры, чтобы непосредственно измерять движения и деформации гибких конструкций [46-48]. Однако высокая стоимость оборудования и сложность данного подхода могут не позволить использовать его для очень больших космических конструкций, которые раскидываются на сотни и тысячи метров
[49].
2) Использование для удаленного построения изображений КГК 3D-сенсоров, установленных на свободно летающих (рядом с КГК) роботах [50-54]. Такие сенсоры могут иметь стереокамеры [55] или лазерные дальномеры [56]. Алгоритмы обработки изображений позволяют осуществить: 1) синтез кинематических данных с использованием значений измерений датчиков; 2) фильтрацию по Калману, которая фильтрует эти измерения и извлекает полное динамическое состояние модели объекта. Однако и с таким подходом возникают трудности. Дальностные изображения могут оказаться очень смазанными, и данные со многих участков конструкции могут отсутствовать из-за жестких условий освещения, имеющихся в космосе. Яркий солнечный свет, участки высокой контрастности и светоотражающие материалы (например, солнечные панели и металлическая фольга на фюзеляже корабля) являются серьёзными проблемами для многих алгоритмов обработки изображений [57]. Очень трудно отслеживать некоторые точки на конструкции, поскольку освещение и позиции сенсоров меняются. Что еще более усложняет проблему, так это тот факт, что программное обеспечение, устанавливаемое на космическом оборудовании, имеет ограниченные вычислительные ресурсы.
Анализируя научные публикации, посвященные теоретической разработке наблюдателей
состояния для стационарном матричнои динамической системы второго порядка вида (3), (4), можно сделать следующие выводы.
Матрица коэффициентов усиления наблюдателя L может быть синтезирована множеством способов. Если имеются ковариационные матрицы шумов объекта и измерителей, можно построить фильтр Калмана [1, 15, 16]. Фильтр Калмана обеспечивает оптимальный баланс быстрой сходимости ошибки восстановления к нулю и подавления шума, однако в этом случае используется наблюдатель первого порядка.
Большая часть разработок использует форму пространства состояний первого порядка и рассматривает синтез наблюдателей в структуре наблюдателей первого порядка.
Hashemipour и Laub [1] использовали оптимальный наблюдатель состояния, известный как фильтр Калмана - Бьюси для динамических моделей второго порядка. Oshman, Inman, Laub в [16] разработали ясные вычислительные процедуры для ковариационных матриц ошибок оценивания фильтра Калмана для моделей второго порядка. К сожалению, фильтр Калмана непрерывного времени был успешно разработан только в форме первого порядка. Парадоксальным выглядит тот факт, что оптимальный способ оценки состояний системы второго порядка осуществляется с помощью модели наблюдателя первого порядка.
Наблюдатели первого порядка могут дать оценку состояния, не соответствующую искомому физическому состоянию. Balas [40] пришел к заключению, что если не наложить некоторые ограничения на матрицу коэффициентов усиления обратной связи, оценки скорости, генерируемые наблюдателем первого порядка, не соответствуют производным оценок перемещений.
На практике для применения стандартных наблюдателей первого порядка в стационарной матричной динамической системе второго порядка вида (3), (4) требуется значительная обработка данных. Матрицы системы должны быть собраны с использованием конечно-элементного моделирования. Матрица коэффициентов усиления наблюдателя должна быть вычислена, и отдельно должна быть решена система дифференциальных уравнений первого порядка в условиях потери симметричности, свойственной матрицам исходной модели второго порядка. Как отмечают некоторые авторы [1, 33], это делает применение наблюдателя первого порядка в многомерных моделях, свойственных большим космическим и гражданским конструкциям, громоздким, неэффективным с точки зрения вычислений и иногда
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
просто невозможным для некоторых приложении в реальном времени, таких как, например, управление обратной связью по состоянию [7].
В приложениях часто требуется, чтобы порядок наблюдателя был минимальным, так как с порядком наблюдателя существенно растет объем вычислений, требуемый для его работы. Уменьшение порядка может дать существенный выигрыш и снизить объем вычислений в несколько раз. Такое улучшение существенно и для современных вычислительных мощностей. В этом плане перспективной представляется работа [19], в которой излагаются методы каскадного синтеза наблюдателей состояния первого порядка, разработанные авторами применительно к многомерным линейным динамическим системам, в том числе при наличии внешних неконтролируемых возмущений.
Следует отметить, что вопросы синтеза наблюдателей в условиях параметрической неопределенности модели объекта управления или при наличии произвольных неконтролируемых возмущений в настоящее время мало изучены в теории управления.
В последнее время в научных публикациях уделяется большое внимание наблюдателям второго порядка. Кажется естественным избрать модель наблюдателя второго порядка для оценки состояний, поскольку исходная структура представлена моделями второго порядка.
Park и Belvin [58, 59] показали вычислительные преимущества моделирования уравнений динамики в форме второго порядка. В отличие от классических уравнений первого порядка, моделирование в форме второго порядка позволяет использовать симметрию и разреженность матриц масс, демпфирования и жесткости, обычно выводимых с использованием конечно-элементного моделирования. При рассмотрении уравнений в форме второго порядка достигается значительная вычислительная эффективность не только за счёт симметрии и разреженности матриц масс, демпфирования и жесткости, но и за счёт дискретизации дифференциальных уравнений движения и наблюдателя второго порядка с использованием разностных уравнений.
Наблюдатель второго порядка обеспечивает потенциал для создания больших по размеру наблюдателей и для более быстрых вычислений по сравнению с теми, которые могут быть реализованы с наблюдателем первого порядка.
Разумной платой за увеличение скорости вычислений, получаемой с использованием модели наблюдателя второго порядка, может оказаться
некоторое ухудшение рабочих характеристик, особенно в том, что касается подавления шумов объекта управления и измерителей.
Хотя при использовании модели первого порядка есть больше конструкторской свободы, недостатки числового моделирования уравнений в форме первого порядка показывают, что субоптимальный наблюдатель второго порядка лучше с практической точки зрения.
В анализируемых работах представлены числовые результаты, которые показывают жизнеспособность наблюдателей второго порядка. Так, числовое моделирование, проведенное Park и Belvin [24], показало, что наблюдатель второго порядка требует приблизительно 5 % операций от того количества, которое требуется наблюдателю первого порядка.
Модели наблюдателей второго порядка имеют преимущества вычислений в сравнении с моделями наблюдателей первого порядка. Эффективность вычислений позволит создавать наблюдатели большего размера. Хорошие методы конструирования наблюдателей состояния второго порядка остаются многообещающей областью исследований.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Hashemipour H. R., Laub A. J. Kalman Filtering for Second-Order Models // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1988. Vol. 11. №. 2. рр.181-186.
2. Gelb A. (Ed.). Applied Optimal estimation, Fourteenth ed., The M.I.T Press, Cambridge, 1996.
3. Grewal M., Andrews A. Kalman Filtering Theory and Practice using MATLAB, John Wiley and Sons. New York, 2008.
4. Kalman R.E. A new Approach for Linear Fltering and Prediction Problems. Joumal of Basic Engineering. 1960. Vol. 82. рр. 35-45.
5. Luenberger D.G. Observers of Multivariable Systems // IEEE Trans. Vol. AC-11. 1966. рр. 190197.
6. Luenberger D.G. Observing the State of a Linear System // IEEE Transactions on Military Electronics. 1966. Vol. MIL-8. рр. 74-80.
7. Ram Y., Inman D.J. Optimal Control for Vibrating Systems // Mechanical Systems and Signal Processing. 1999. Vol. 13. № 6. рр. 879-892.
8. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.
9. Luenberger D.G. Introduction to observers, IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. Vol. 16. №. 6. рр. 596-602.
Механика
10.Уонем У.М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. М., 1980.
11. Isidori A. Nonlinear Control Systems. 3-d Ed., Berlin: Springler-Verlag, 1995.
12. Laub A.J., Arnold W. F. Controllability and Observability Criteria for Multivariable Linear Second-Order Models // IEEE Transactions on Automatic Control. 1984. Vol. AC-29. №. 2. рр. 163165.
13.Hughes P. C., Skelton R. E. Controllability and Observability for Flexible Spacecraft // Journal of Guidance and Control. 1980. Vol. 3. №. 5. рр.452-459.
14. Bender D. J., Laub A. J. Controllability and Observability at Infinity of Multivariable linear Second-Order Models // IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-30. 1985. №. 12. рр.1234-1237.
15. Квакернаак Х., Сиван рр. Линейные оптимальные системы управления. М. : Мир, 1977.
16. Oshman Y., Inman D. J., Laub A. J. Square Root State Estimation for Second Order Large Space Structures Models // AIAAJ Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1989. №. 12. рр. 698-708.
17.Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., 1976.
18. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М. : Наука, 1987.
19. Краетова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем / Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова ; РАН. М. : Наука, 2006.
20. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования. М., 1965.
21. Исследования по теории многосвязных систем / под ред. Б.Н. Петрова, М., 1982.
22. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М., 1967.
23. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. М., 1997.
24. Belvin W. K., Park K. C. On the State Estimation of Structures with Second Order Observers // NASA Langley Research Center, Hampton, Report №. NASA TM - IO1602. 1989. 7 p.
25.Hernandez E.M. A Natural Observer for Optimal State Estimation in Second Order Linear Structural Systems // Mechanical Systems and Signal Processing. 2011. №. 25. рр. 2938-2947.
26.Wu Y. L., Duan G. R. Unified Parametric Approaches for Observer Design in Matrix Second-order Linear Systems // International Journal of Control, Automation and Systems. 2005. Vol. 3. №. 2. рр. 159-165.
27.Zhou B., Duan G. R. Parametric Approach for the Normal Luenberger Function Observer Design in Second-order Linear Systems // Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision & Control, San Diego, USA, 2006. December 13-15. pp. 14231428.
28. Duan G. R., Wu Y. L. Dual observer design for matrix second order linear systems - a parametric approach // Control 2004, University of Bath, UK. 2004. September.
29. Kwak S. K., Yedavalli R. K. New Approaches for Observer Design in Linear Matrix Second Order Systems // Proccedings of the American Conference. 2000. Vol. 4. pp. 2311-2315.
30. Kwak S. K., Yedavalli R. K. Observer Design in Matrix Second Order System Framework, Measurement Conditions and Perspectives // Procced-ings of the American Conference. 2000. Vol. 4. pp.2316-2320.
31. Demetriou M.A. Natural Second-order Observers for Second-order distributed Parameter Systems // Systems and Control Letters. 2004. №. 51. pp.225-234.
32.Hernandez E.M., Bernal D. State Estimation in Structural Systems with Model Uncertainties // Joumal of Engineering Mechanics. 2008. Vol. 134. №. 3. pp. 252-257.
33. Joshi S.M. Design of second order state estimators // AIAA Journal of Guidance Control and Dynamics. 1989. Vol. 14. №. 2. pp. 466-468.
34.Waller H., Schmidt R. The Application of State Observers in Structural Dynamics // Mechanical Systems and Signal Processing. 1990. №. 4. pp.195-213.
35. Duan G. R., Liu G. P. Complete Parametric Approach for Eigenstructure Assignment in a Class of Second-order Linear Systems // Automatica. 2002. Vol. 38. pp. 725-729.
36.Nichols N. K., Kautsky J. Robust Eigenstructure Assignment in Quadratic Matrix Polynomials: Nonsingular Case // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2001. Vol. 23. №. 1. pp.77-102.
37. Bhayah A., Desoer C. On the Design of Large Flexible Space Structures (LFSS) // IEEE Trans. on Automatic Control. 1985. Vol. 30. № 11. pp.1118-1120.
38. Duan G R., Zhou L. S., Xu Y. M. A Parametric Approach for Observer-based Control System Design // Proc. of the Asia-Paclffic Conf. Measurement and Control, Guangzhou. PR China. 1991. pp.259-300.
39. Duan G R. On the Solution to Sylvester Matrix Equation AV+BW = EVF, IEEE Trans. on Automatic Control. 1996. Vol. 41. №. 4. pp. 612-614.
40. Balas M. J. Do all Linear Flexible Structures have Convergent Second-order Observers // AIAA Joumal of Guidance Control and Dynamics. 1999. Vol. 22. № 6. pp. 905-908.
41. Bai Z.-J., Datta B.N., Wang J. Robust and Minimum Norm Partial Quadratic Eigenvalue Assignment in Vibrating Systems: a New Optimization Approach // Mechanical Systems and Signal Processing. 2010. Vol. 24. № 3. pp. 766-783.
42. Datta B.N., Sarkissian D R. Multi-input Partial Eigenvalue Assignment for the Symmetric Quadratic Pencil // Proceedings of the American Control Conference. 1999. pp. 2244-2247.
43. Ram Y., Elhay S. An inverse eigenvalue problem for the symmetric tridiagonal quadratic pencil with application to damped oscillatory systems // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1996. Vol. 56. № 1. pp. 232-244.
44. Carmichael D.G. The State estimation problem in experimental structural mechanics // Proceedings of the Third Intemational Conference on Applications of Statistics and Probability in Soil and Structural Engineering, 1979.
45. Waller H., Schmidt R. The application of Sate Observers in Structural Dynamics // Mechanical Systems and Signal Processing. 1990. № 4. pp. 195213.
46. Maghami P.G., Joshi S. M. Sensor/Actuator Placement for Flexible Space Structures // IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems. 1993. Vol. 29. №. 2. pp. 345-351.
47.Zhang H.-H., Wu H.-X. Identifiability of Flexible Space Stmctures // Proc. IEEE Conf. on Decision and Control. 1993. Vol. 2. pp. 1488-1493.
48. Stieber M.E., Petriu E. M., Vukovich G. Systematic Design of Instrumentation Architecture for Control of Mechanical Systems // IEEE Trans. on lnstrument. and Meas. 1996. Vol. 45. № 2. pp. 406-412.
49. Scattolini R., Cattane N. Detection of Sensor Faults in a Large Flexible Structure // IEE Proc. Control Theory and Applications. 1999. Vol. 146. №. 5. pp. 383-388.
50. Lichter M. D., Dubowsky S., Ueno H., Mitani S. Shape, Motion and Parameter Estimation of Flexi-
ble Space Structures using Laser Rangefinders // Proccedings of lnternational Conference on Robotics: Science and Systems. 2005. pp. 351-358.
51. Lichter M. D., Dubowsky S. State, Shape, and Parameter Estimation of Space Objects from Range Images // Proccedings of the 2004 IEEE lnterna-tional Conference on Robotics, New Orleans. 2004. April. pp. 2974-2979.
52. Lichter M. D., Dubowsky S. Estimation of State, Shape and Inertial Parameters Estimation of Space Objects from Sequences of Range Images // Proc-cedings of SPIE, Vol. 5267, 2003, pp. 194-205.
53. Mangalgiri V. Analysis for the Robotic Assembly of Large Flexible Space Structures. MS Thesis, Dept. of Mech. Eng. MIT, 2004.
54. Ueno H., Nishimaki T., Oda M., Inaba N. Autonomous Cooperative Robots for Space Structure Assembly and Maintenance: proc. 7 th Int. Symp. on Artificial 11. Laub A. J., Arnold W. F. Controllability and Observability Criteria for Multivariable Linear Second-Order Models // IEEE Transactions on Automatic Control. 1984. Vol. AC-29. № 2. pp.163-165.
55.Vergauwen M., Pollefeys M., Van Gool L. J. A Stereo-vision System for Support of Planetary Surface Exploration // Machine Vision and Applications. 2003. Vol. 14. № 1. pp. 5-14.
56.Wakabayashi Y., Ohkami Y., Miyata M., Adachi T., Iijima T. A Compact Laser Range Finder for Space Applications // Proc. SPIE, Vol 3714: Enabling Photonic Technologies for Aerospace Applications, A.R. Pirich, E. W. Taylor, eds., 1999, pp.131-138.
57. Jenkin M., Jasiobedzki P. Computation of Stereo Disparity for Space Materials // Proc. IEEE Conf. Conf. on lntell. Robots and Sys. (IROS), 1998.
58. Park K. C., Belvin W. K. Partitioned Procedures for Control-Structure Interaction Analysis // Proceedings of the International Conference on Computational Engineering Science. 1988. Vol. 2. № 64.
59. Park K. C., Belvin W. K. Stability and lmplemen-tation of Partitioned CSI Solution Procedures // Proc. of the 30 th Structures, Dynamics and Materials Conference, AIAA Paper 1989. № 89-1238. April 3-5.
