Меры управляемости и наблюдаемости взаимодействующих систем управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

278

УДК 681.5.033 : 004.02

В. М. ГОРДЕЕВ К. В. ГОРДЕЕВА

Омский государственный технический университет

МЕРЫ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ_________________________________

Рассмотрен метод количественного оценивания взаимодействия каналов систем управления нелинейными динамическими объектами. Предложены методы построения грамианов управляемости и наблюдаемости для систем управления нелинейными динамическими объектами.

Ключевые слова: грамиан, управляемость, наблюдаемость, система управления, количественная оценка взаимодействия.

Введение. Проверка системы на управляемость и наблюдаемость обычно проводится исследованием рангов матриц управляемости и наблюдаемости [ 1, 2]. Однако эти методы не дают количественной оценки управляемости и наблюдаемости. В работах [3, 4] рассмотрены меры управляемости и наблюдаемости линейной системы управления Е.:

х = Ах + Ви;

У = Сх;

х е Яп;и е Ят; у е ЯГ;А е Япхп;

(1)

В е Япхт;С е Ягхп;

с передаточной функцией:

уИ/иф = С(.1 - А)-1В = Ф^)/det(sl - А);

где Ф(.) = Са<±|(81—А)В; (81 — А)-1 = а<±|(81 — А)/ <3е1;(81 — — А). Для системы с различными собственными значениями в [1] меры управляемости и наблюдаемости системы определяется как: тс = т1п{тс1}; то = т1п{то1}; где меры управляемости и наблюдаемости моды то= ||фв ( 1)|р; то1 = ||фс (1) \\р

ФB(S)=adj(sl-A)B; ФС(Б)=С adj(sl-A);

||. | Р — норма Фробениуса.

Если Е. — устойчивая стационарная система, то по отображениям выход-выход: Ь(1) = СеА1В, 1;>0; вход-состояние: Х(У = емВ; состояние-выход: ^(У = = СеА1 для количественной оценки меры управляемости/ наблюдаемости можно построить грамиан управ-¥ Т

ляемости

р = /ададМ-

и грамиан наблюдаемости

О = л(-№ [5].

о

решение дифференциальных уравнений может быть представлено в форме [6]:

х(-) = Ф(ио)х(У + | Ф(- т)В(т)и(т)с!т. (3)

-о

Переходная матрица ф(t, tо) системы Е п. определяется по матрице А(-) из соотношения:

¥ 1 t t t Ф(t, -у = 1 + X- 1^1 1^2- 1 ^{^^..А^}; (4)

1 =11, -о -о -0

где Р{.} оператор хронологического упорядочения Дайсона:

р{А(т1)...А(т;)} = А(та1)...А(тап);та1 >т«2 > ... >т„_. (5)

В случае, если известны п линейно независимых решений системы Еп. (2), то переходную матрицу можно определить из соотношения [7]:

Ф(-,-о) = Ш(-)Ш-1(-о) (6)

где Ш — матрица Вронского: Ш(Ц = (w1(t) w2(t) ... %^п(Ц);

wl(t) = (xl(t) х(-) ... х/п-11(фТ.

Система Еп. обладает свойством полной управляемости, если 35 > о ^ Сс(- — 5Д) > «1(5)1 > о [4]; где Со(- —5Д) — грамиан управляемости;

СсД — 5, -) = | ф(-, т)В(т)ВТ(т)фТДг т^т; (7)

--5

система Еп. обладает свойством полной наблюдаемости, если 35 > о ^ Со(-, - + 5) > а2(5)1 > о [4] ; где Со(-Д + 5) — грамиан наблюдаемости;

-+5 Т Т Со(-,- + 5) = | ф (тД)С (т)С(т)ф(т, t)dт . (8)

-

Постановка задачи и основные результаты. Для

количественной оценки взаимного влияния каналов в сложной нелинейной динамической системе:

Для нестационарной системы Еп.: х (-) = А(-)х(-) + В(-)и(-)

(2)

х (-) = ^ (х(-),и(-)) у(-) = ь(х(-));

(9)

¥

сопоставим ей линеиную нестационарную динамическую систему Еп8 с переменными параметрами:

Sx(t) = A(t) • 5x(t) + B(t)u(t); y(t) = C(t) • Sx(t); det(A(t)) * 0;

(lO)

которая получена линеаризацией нелинейной динамической системы относительно заданной траектории х(1) (являющейся решением (9)):

С С СИ

Л(1) = — (1);В(1) = — (1);С(1) = — (1). сх си сх

Решение дифференциальных уравнений (10) можно записать в виде:

(

y(t) = C(t)

л

j(t| to)x(to) + J j(t| t)B(t)u(T)dt

to

О;Д, Т) = [сфД, Т)Ъ; С2фД, Т)Ъ; ... СпфД, Т)Ъ;]. (17)

Для формирования количественной оценки влияния импульсного возмущения элемента 8х; на элемент 8х. вектора хД) построим интеграл «управляемости»:

gc®j(t - S, t) = Jjij(t| t)jji(t| t)dt;

t-St

и интеграл «наблюдаемости»:

t+S

go® j(t| t + S) = J j ji(t| t)jij(t| t)dt. t

Для определения влияния импульсного возмущения элемента х. вектора хД), сформированного в момент времени 1;0 на элемент х. вектора хД) примем: Б(т)и(т) = Ъ;5и5(т - 1^) и С = с.; здесь вектор Ъ.= [0...1...0]т имеет единичный элемент в і-й строке; ковектор с. = [0.. .1.. .0] имеет единичный элемент в .-м столбце; 5и®0 — амплитуда импульсного возмущения компонента вектора хД). Тогда:

со x = a x Sy sz; со y = a y sx sz;

(l8)

(l9)

На основе матриц (13— 16) и интегралов (18— 19) можно сформировать количественную оценку взаимодействия каналов сложной нелинейной динамической системы. Следует отметить, что такая оценка зависит от выбора траектории хД) (являющейся решением (9)).

Пример. Рассмотрим пример оценивания влияние процесса импульсного возмущения по каналу У при вращательном движении твердого тела (например, космического аппарата):

(2l)

8х.Д) = с. |фД,т)Ъ;5и5(т - = с.фДД0)Ъ;8и (12)

Сформируем матрицу Грина (импульсных переходных функций) [8]:

ОДД0) = |<в.®.ДД0)| = |с.фДД0)Ъ. |; т.е. элементами матрицы Грина являются функции: <в.®.ДД0) = ф..ДД0). Матрица Грина обладает свойством инвариантности по отношению к преобразованиям в пространстве состояний системы

8хД) = > ТД) 5хД); det(T(t))*0.

На основе матрицы Грина сформируем пх п «матрицу управляемости» (см. (7)):

t

JW

t-St

T

и «матрицу управляемости» (см. (8)):

1+81

С0Д, 1 + 8) = I О (т, ЦО(т, Щт; (14)

1

которые дают количественную оценку взаимного влияния каналов сложной нелинейной ДС.

Для формирования количественной оценки влияния импульсного возмущения элемента 8х. на все элементы вектора хД) построим пхп «матрицу управляемости» :

на процессы в канале Z.

После линеаризации относительно траектории cox = wx = const; C0y = 0; coz = 0 получим:

оо 8- "o o 0 ' Ss

Sco у = 0 o ay Sx Ss

SS z 0 az Sx 0 Ss

(22)

Предположим, что ay > 0; az < 0; v = y|ayaz|sx ; h = ^|a.y/az| . Матрица A системы равна:

"o o o

A = 0 o a y I

(l3) 0 a zSx o

(23)

переходная матрица j(t, t0) определяется по матрице A:

j(t,t0) = exp(A(t - to )) =

1 o o

0 cos(v(t - to )) sin(v(t - to ))

0 - h-1sin(v(t - to)) cos(v(t - to))

(24)

Сформируем матрицы «управляемости» и «наблюдаемости» (см.(13—16)):

tT

Gci(t -S|t) = JWi(t| t)Qj (t| t)dt.

t-St

и 1 x1 «матрицу наблюдаемости»: t+St

Goi(t|t +S) = J Qf (t| t)Wi(t| t)dt, t

(15)

(l6)

t

Gc(t - S,t) = J exp(At) exp(ATt)dt =

c t - S t

t

= J

t-St

где:

(25)

oo

sin2(vt) I h-1 +h I sin (vt)cos vt)

0 cos^(vt)+h 2-i"2(vt) (h 1

0 [h 1+h] sin(vt)cosvt) cos2(vt)+h2sin2(vt)

dt;

со z = a zsx Sy

c

1

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

279

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

280

t+5t

Go(t,t +5) = J exp(-ATt) exp -At) = t

t+5t

J

t

(26)

0 cos2(vt)+h2 sin2(vt) 1+h^|sin(vt)cosvt)

0 |h-1+h]sin(vt)cosvt) cos2(vt)+|-2 sin2(vt)

dt;

GCy(t - 5, t) = 1

t J

t-5t

0

0

0 cos (vt) | sin(vt)cos(vt)

22

0 | sin(vt)cos(vt) | • cos (vt)

dt; (27)

Goy(t, t +8) = J [cos2(vt) + h • sin2(vt)]dt; (28)

t

а также интегралы «управляемости» и «наблюдаемости» (см.(18— 19)):

gc ®Z(t -5,t) = - J sin (vt)dt = t - 5 t

(29)

^/2 | FresnelSin (t - 5t)'] - FresnelSin 2Pt

t+5t

gy®z(t,t +5) = - J sin (vt)dt

(30)

^2 (FresnelSinf^Pt'j - FresnelSinf^^P(t + 5t)]';

Заключение. Предложенный в работе метод количественной оценки взаимодействия каналов систем управления нелинейными динамическими объектами на основе линеаризации системы относительно базовой траектории и построения соответст-

вующеи системы управления с переменными параметрами может быть использован при декомпозиции сложноИ системы с количественной оценкоИ уровня декомпозиции.

Библиографический список

1. Kalman R. On the general theory of control theory. // Proc. First Int.Congress of IFAC. — Butterworth, London, 1961. — pp.81 —492.

2. Калман, P. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. — М. : МИР, 1971. — 400 с.

3. Hamdan A. M. A., Nayfeh A. H. Measures of modal controllability and observability for first- and second-order linear systems. // J.Guid.Contr.Dynam., vol. 12, no. 3, pp. 421—428, May — June 1989.

4. Tarokh M. Measures for Controllability, Observability, and Fixed Modes.// IEEE Trans.on Automatic Control. Vol. 37, № 8, 1997. - pp, 1268— 1273

5. Sorensen D.C., Antoulas A.C. The Sylvester equation and approximate balanced reduction. // Linear Algebra and its Applications. vol.351/352 , 2002. — pp.671—700

6. Д'Анжело, Г. ЛинеИные системы с переменными параметрами / Г. Д'Анжело. — М. : Машиностроение. 1974. — 288 с.

7. Silverman L.M. Synthesis of impulse response matrices by internally stable and passive realizations. // IEEE Trans. Circuit Theory, vol.CT—15, pp.238 — 245, sept.1968

8. Seraji H. Transfer-function matrix. // Electron. Lett., vol. 23, no. 6, pp. 256—257, Mar. 1987.

ГОРДЕЕВ Вячеслав Михайлович, магистр группы РАС-619 по направлению «Распределенные автоматизированные системы».

Адрес для переписки: e-mail: gordvm@gmail.com ГОРДЕЕВА Ксения Владимировна, магистр группы РАС-619 по направлению «Распределенные автоматизированные системы».

Адрес для переписки: e-mail: ksu.gordeeva@yandex.com

Статья поступила в редакцию 14.06.2011 г.

© В. М. Гордеев, К. В. Гордеева

t

Книжная полка

004/И85

Исаев. Г. Н. Предпринимательство в информационной сфере : учеб. пособие для вузов по специальности 080801 «Прикладная информатика (в сфере сервиса)» / Г. Н. Исаев. - М. : Альфа-М ИНФРА-М, 2011. -286 с. - 1БВЫ 978-5-98281-235-3. -978-5-16-004652-5.

Информационное предпринимательство представлено как система креативных знаний по организации, функционированию и развитию информационной индустрии. Рассмотрены системообразующие признаки информационного предпринимательства - социальное назначение, цели, задачи, функции, структура, управление и технология функционирования информационного предприятия, организация и экономика производства новых информационных продуктов и услуг, обеспечение их качества с учетом требований стандарта 180 9000: 2000, маркетинг информационного товара и др.

004/Н74

Новожилов, О. П. Информатика : учеб. пособие для вузов по специальностям группы «Экономика и управление» и направлению «Информатика и вычислительная техника» / О. П. Новожилов. - М. : Юрайт, 2011. - 564 с. - 1БВЫ 978-5-9916-0972-2.

Издание ориентировано на изучение принципов, алгоритмов и технологий обработки информации, а также их аппаратно-программной реализации. Рассмотрен широкий круг вопросов, относящихся к разным уровням обработки: первичной - с помощью элементарных цифровых устройств, процессорной - с помощью микрокоманд и команд, программной обработки на уровне компьютерных устройств, обработки при передаче данных по компьютерным сетям с использованием коммуникационных протоколов. Приведены основные понятия информатики и компьютерной техники. Рассмотрены основные понятия информатики и компьютерной техники. Рассмотрены вопросы информационной безопасности.