Оценивание взаимодействия каналов систем управления, инвариантное к преобразованию вектора состояния Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математические структуры и моделирование 2006, вып. 16, с. 45-50

УДК 519.95

ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАНАЛОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, ИНВАРИАНТНОЕ К ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ

Е.В. Головачев, С.Н. Чуканов

Рассмотрен метод оценивания взаимодействия каналов систем управления, основанный на формировании сингулярных значений Ганкеля для систем с единичным входом и выходом, входящих в состав системы управления с множеством входов и выходов.

Введение

Взаимодействие каналов - свойство систем управления, создающее трудности при формировании требуемого управления вектором состояния, без возмущения других каналов. Наиболее значительная работа в области исследования взаимного влияния каналов - работа Е. Бристол [1], в которой представлен метод RGA (Relative Gain Array). Однако метод RGA имеет ограничение - в нем рассматриваются только частотные характеристики процесса. Метод основан на построении матрицы мер взаимодействия всех возможных SISO-систем (систем с единичным входом и выходом), включеных в состав MIMO-системы (системы с множеством входов и выходов). Метод RGA обеспечивает информацию об управляемости и робастности MIMO-системы [2,4].

Рассмотрим систему, которая может быть описана моделью z(s) = G(s)u(s), где u(s), z(s) — n-мерные векторы преобразований Лапласа входных/выходных сигналов соответственно; G(s) — n х n матрица устойчивых передаточных функций и матрица G(0) - несингулярная. Матрица относительных коэффициентов усиления RGA системы определяется как Л^) = G о G_1, где о - поэлементное умножение (произведение Шура). Относительный коэффициент усиления \ij (G) для пары Uj — zi задается как Aj (G) = gr1, где gij - коэффициент усиления разомкнутого контура Uj — zi; gij - коэффициент усиления контура Uj — zi, когда остальная часть системы замкнута контуром интегральной обратной связи. Пусть G- матрица, полученная приравниванием нулю всех компонентов матрицы G, которые не соответствуют паре входа/выхода в заданной структуре

Copyright © 2006 Е.В. Головачев, С.Н. Чуканов.

Омский филиал Института математики СО РАН. E-mail: negue@avte.omsk.info

децентрализованного управления. Индекс Нидерлински (Niederlinski) [5] для этой структуры определяется как [3]:

NI (G)

det(G) det(G)'

1. Постановка задачи

Рассмотрим конечномерную линейную инвариантную по времени динамическую систему [A, B; C, D], которая может быть представлена в пространстве состояний (SS - state space) соотношениями:

x = Ax + Bu; x(0) = xo; (1)

z = Cx + Du, (i)

где x(t) Є Rra- вектор состояния, u(t) Є Rm - вектор входных управляющих сигналов, z(t) Є Rp- вектор выходных сигналов. При этом матричная передаточная функция системы G(s): G(s) = D + C(sI - A)_1B. Отклик выходного сигнала для начального состояния x0 и входа u(t) можно записать в виде [7]:

t

z(t) = CeAtx0 + J CeA(t_r)Bu(r)dr + Du(t). (2)

o

Для системы с реализацией: [A, B; C, 0] можно сформировать грамиан наблюдаемости [7]:

СО

W0 = у (eATt)CTCeAtdt, (3)

o

T

являющийся положительно определенным решением уравнения Ляпунова: A р W0 + T

WoA + CC = 0. Грамиан управляемости системы:

СО

Wc = J eAtBBTeATtdt (4)

o

положительно определен решением уравнения Ляпунова:

AWC + WCAT + BTB = 0.

Требуется найти параметры, инвариантные по отношению к преобразованию подобия вектора состояния

2. Формирование параметров SISO-систем, инвариантных к преобразованию вектора состояния

ГрамианыWc, Wo и матричная передаточная функция G(s) зависят от реализации; после преобразования подобия x ^ Tx грамианы преобразуются как

46

T T 1

Wc ^ TWcr Wo ^ T-^WoT'1 соответственно. Собственные значения матрицы WcWo инвариантны относительно действия преобразования подобия T. Если T - такая матрица, что:

TWcWoT-1

£ = diag{a'il ,а^2 ,...,(72in },

(5)

то сингулярные значения Ганкеля (HSV - Hankel singular value) системы:

71 > 72 Д ... Д 7п

не зависят от T.

С MIMO-системой [A, B; C, 0] свяжем совокупность SISO-систем с входом Uj: j=1..m и выходом zy i = 1..p; SS-реализация каждой такой системы задается

как

A, bi; cT,0

с грамианами Woi, Wcj:

ATWoj + 'W oj A + Cj c

AWci + WciA

T

T

j

+ bTbi

0

0

(6)

u u rn

где bi — іЬІй столбец матрицы B; Cj — дый столбец матрицы C1. HSV пары (Woi, Wcj ) оценивают возможность входа Uj и выхода zi управлять и наблюдать вектором состояния системы соответственно.

Пусть Woi и Wcj - грамианы управляемости и наблюдаемости для SISO-

системы всей MIM

A, bi;cT,0 O-системы:

. Тогда грамианы управляемости и наблюдаемости Wo, Wc

p m

Wo =J] Woi , Wc =J] Wcj .

i=1 j=1

Произведение WoWc MIMO-системы можно представить в виде:

pm

WoWc = ^Y, Woi Wcj , i=1 j=1

то есть как сумму произведений WmWj для SISO-систем, входящих в состав MIMO-системы управления. Так как HSV матриц W^W^ не зависят от SS-реализации, то они могут выступать в качестве базиса меры взаимодействия SISO-систем c входным управляющим сигналом Uj и выходным сигналом zi.

После определения HSV пары (Woi, Wcj) найдем симметрические функции от собственных значений:

?1 = 71 + 72 + ... + 7n, Я2 = 7172 + 7273 + ... + 7п-17п, . . . , Яп = 7172 . . . 7п.

Для каждого Як, 1 < k < п; определим такие максимальное ^™ax и минимальное я™т значения, что при:

47

• Як Ф Я™т - будем считать процессы невзаимодействующими и подсистемы могут исследоваться без учета влияния других подсистем (декомпозиция MIMO-системы на основе количественной оценки);

• Як Ф ЯГ* - будем считать процессы взаимодействующими (формирование искусственного взаимодействия систем на основе количественной оценки MIMO-системы).

3. Пример оценивания взаимодействия каналов системы управления

Рассмотрим твердое тело (ТТ), центр масс O1 которого движется по круговой орбите под действием гравитационных сил, создаваемых притягивающим центром O [6]. Пусть OiXoYoZo - правая прямоугольная орбитальная система: ось O1Zo направлена по радиусу-вектору OOi ТТ; ось OiXo расположена в плоскости орбиты и направлена в сторону движения ТТ. Система координат O1XoYoZo вращается вокруг притягивающего центра O с угловой скоростью uo, вектор которой направлен параллельно оси O1Y,. Введем далее правую связанную систему координат OiXYZ, оси которой направим по главным центральным осям инерции ТТ. Пусть выполнены малые повороты относительно осей x,y,z на углы крена у , тангажа $ и рыскания ф соответственно. Линеаризованные уравнения движения ТТ по круговой орбите с учетом влияния гравитационного поля планеты [6] и формирования обратной связи по производным углов ^,$,ф:

+ Шо(3х + Jz — Jy )ф1 + — Jz Yi — Mx';

d$1 t

dф1

Jy~^ + 3w2 (Jx — Jz )a + k^&1 — My;

Jz dt + ^o(Jy Jx Jz )Y1 + Шo (Jy Jx^^ + кф ф1 Mz

dY

dt = Y1;

d$ a

dt — $1;

dt— ф1

или в соответствии с [1]:

x

dY dd &ф TfTfTfY-d-i’

nT

u

Mx My Mz

J’ J’ ~J~

xyz

nT

; z —[Y’d^]T;

ненулевые компоненты матрицы A:

a11

— kY

Jx

a13 —

Jy - Jx - Jz 2 Jz - Jy

y -; a14 — y■

Jx

Jx

48

а22 —

Jx + Jz Jy

a3i — uo---------------; азз

ktf 0 2 °Z

Jy

a25 — 3 U0

Jz Jx

J

y

-k

Ф

J

x

Jz

2 Jx - Jy

a36 — Uo ----J----; a41 — a52 — a63 — 1;

Jz

bi — [1,0,0,0,0,0]T ; b2 — [0,1,0,0,0,0]T ; Ьз — [0,0,1,0,0,0]T ;

ci — [0, 0, 0,1,0, 0]; C2 — [0, 0, 0, 0,1,0]; C3 — [0,0, 0, 0, 0,1]

где Jx, Jy, Jz- компоненты тензора инерции ТТ относительно его главных центральных осей; Mx, My, Mz - компоненты момента внешних сил; все компоненты матрицы D равны нулю.

При значениях: и0 — 0, 0012 с-1, Jy — 100 кг-м2, Jx — 80 кг-м2, Jz — 60кг • м2, kY — 0,001 Н •м-с, ky — 0, 001 Н •м-с, kф — 0, 001 Н-м-с найдем суммы HSV:

-►zi — З5000000; яГ

1-1 g to ->zi — 1,7 - 10-7; nU2 Я 1

1-1 g w -^zi — 9000000; T со

--4, 7 - 10-10; яТ^3 — 18000000; = 78000000; я^2^zs — 4,9 - 10-7; 4, 9 - 10-9; яТ^3 — 52000000.

Относительные значения влияния управляющих сигналов на выходные при Я™т — 1 приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Крен y Тангаж $ Рыскание ф Сумма по строке

Влияние u Г на 0,66 0 0,34 1

Влияние u2 на 0 1 0 1

Влияние u2 на 0,15 0 0,85 1

Из таблицы следует, что существует возможность декомпозиции системы управления на подсистему крена-рыскания и подсистему тангажа.

Заключение

Предложенный метод оценивания взаимного влияния каналов в системах управления может быть использован при проектировании подсистем диагностики отказов. В дальнейших работах авторы предполагают распространить метод на гладкие нелинейные системы управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bristol E.H. On a new measure of interaction for multivariable process control // IEEE Transactions on Automatic Control. 1966. N.11. P.133-134.

49

50

2. Campo P.J., Morari M. Achievable closed-loop properties of systems under decentralized control: Conditions involving the steady-state gain // IEEE Transactions on Automatic Control. 1994. N.39. P.932-943.

3. Chiu M, Arkun Y. A new result on relative gain array, Niederlinski index and decentralized stability condition: 2x2 plant case // Automatica. 1991. N.27(2). P.419421.

4. Grosdidier P., Morari M. Interaction measures for systems under decentralized control // Automatica. 1986. N.22. P.309-319.

5. Niederlinski A. A heuristic approach to the design of linear multivariable control systems // Automatica. 1971. N.7. P.691-701.

6. Боевкин В.И., Гуревич Ю.Г., Павлов Ю.Н. Ориентация искусственных спутников в гравитационных и магнитных полях. М.: Наука, 1976. 304 с.

7. Калман Р.Е., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.